Сущность матрицы
Матрица — это прямоугольная таблица, содержащая числа и имеющая некоторое число строк (m) и столбцов (n). Строки матрицы — это элементы, стоящие на одной линии, идущей слева направо, а столбцы — элементы, стоящие на одной линии, идущей сверху вниз.
Числа m и n определяют порядок (размерность) матрицы.
Аналогом матрицы является обычная двумерная таблица.
Основные действия над матрицами
Над матрицами возможно выполнять следующие основные действия:
- Сложение матриц;
- Умножение матрицы на число;
- Умножение матриц друг на друга (применимо, если матрицы согласованы друг с другом — то есть, матрица A должна иметь количество столбцов, равное количеству строк в матрице B);
- Транспонирование матрицы; *Умножение матрицы на вектор-столбец или строку;
- Вычисление определителя матрицы.
Как правило, матрица порядка m×n записывается следующим образом:
(a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2...amn) или (aij), где i=1...m,j=1..n.
Реже для записи матрицы вместо круглых скобок используют двойные вертикальные линии, например, ‖aij‖, где i=1...m,j=1..n.
Числа aij из записи матрицы называются элементами матрицы, при этом i — номер строки, j — номер столбца.
Для обозначения матрицы часто используют заглавные буквы латинского алфавита: A,B,C и т.д.
Дана матрица A=(136−2)
Определить какого размера матрица и выписать элементы матрицы с их номерами.
Решение:
Порядок матрицы А: 2×2.
Элементы матрицы А: a11=1,a12=3,a21=6,a22=−2.
Различают несколько видов матриц:
- Квадратная и прямоугольная;
- Вектор-строка и вектор-столбец;
- Скаляр;
- Диагональная;
- Единичная и нулевая;
- Треугольная.
Квадратной матрицей порядка n называется матрица размерности n×n, т.е. число строк и столбцов одинаково, то есть количество элементов в строках и столбцах равное.
Прямоугольной матрицей называется матрица размерности m×n, т.е. число строк и столбцов неодинаково.
Вектор-строка — это матрица, которая состоит только из одной строки элементов, т.е. размерность матрицы 1×n.
Вектор-столбец — это матрица, которая состоит только из одного столбца, т.е. размерность матрицы m×1.
Скаляром называется матрица, содержащая только один элемент, т.е. размерность матрицы 1×1.
Даны матрицы:
A=(3119−321143),B=(3−4305−4), C=(1−45),D=(−2−309),F=(1).
Определить вид каждой матрицы.
Решение:
A=(3119−321143) - квадратная матрица;
B=(3−4305−4) - прямоугольная матрица;
C=(1−45) — вектор-столбец; D=(−2−309) — вектор-строка;
F=(1) — скаляр.
Квадратная матрица имеет главную и побочную диагонали, причем:
- Элементы главной диагонали расположены на линии, которая направлена от левого верхнего угла матрицы (элемент a11) до правого нижнего угла матрицы (элемент ann);
- Элементы побочной диагонали расположены на линии, которая направлена от правого верхнего угла матрицы (элемент a1n) до левого нижнего угла матрицы (элемент an1).
Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, находящиеся вне главной диагонали, равны нулю.
Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все элементы, находящиеся на главной диагонали, равны единице, такую матрицу можно применять для транспонирования. Обозначение единичной матрицы: Е.
Нулевая матрица — это матрица, у которой все элементы равны нулю.
Треугольная матрица — это квадратная матрица, элементы которой, находящиеся ниже или выше главной диагонали, равны нулю.
Различают верхнетреугольную и нижнетреугольную матрицы. В первом случае нулевые элементы находятся ниже главной диагонали, во втором случае — выше главной диагонали.
Даны матрицы:
A=(300020003),B=(300−220143),C=(35202−1003),E=(100010001),D=(000000000).
Определить вид каждой матрицы.
Решение:
A=(300020003) - диагональная матрица;
B=(300−220143) - нижнетреугольная матрица;
C=(35202−1003) - верхнетреугольная матрица;
E=(100010001) - единичная матрица;
D=(000000000) - нулевая матрица.
