Сущность матрицы
Матрица — это прямоугольная таблица, содержащая числа и имеющая некоторое число строк ($m$) и столбцов ($n$). Строки матрицы — это элементы, стоящие на одной линии, идущей слева направо, а столбцы — элементы, стоящие на одной линии, идущей сверху вниз.
Числа m и n определяют порядок (размерность) матрицы.
Аналогом матрицы является обычная двумерная таблица.
Основные действия над матрицами
Над матрицами возможно выполнять следующие основные действия:
- Сложение матриц;
- Умножение матрицы на число;
- Умножение матриц друг на друга (применимо, если матрицы согласованы друг с другом — то есть, матрица $A$ должна иметь количество столбцов, равное количеству строк в матрице $B$);
- Транспонирование матрицы; *Умножение матрицы на вектор-столбец или строку;
- Вычисление определителя матрицы.
Как правило, матрица порядка $m\times n$ записывается следующим образом:
$\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {...} & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {...} & {a_{2n} } \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ {a_{m1} } & {a_{m2} } & {...} & {a_{mn} } \end{array}\right)$ или $\left(a_{ij} \right)$, где $i=1...m,j=1..n$.
Реже для записи матрицы вместо круглых скобок используют двойные вертикальные линии, например, $\left\| a_{ij} \right\| $, где $i=1...m,j=1..n$.
Числа $a_{ij} $ из записи матрицы называются элементами матрицы, при этом $i$ — номер строки, $j$ — номер столбца.
Для обозначения матрицы часто используют заглавные буквы латинского алфавита: $A, B, C$ и т.д.
Дана матрица $A=\left(\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {6} & {-2} \end{array}\right)$
Определить какого размера матрица и выписать элементы матрицы с их номерами.
Решение:
Порядок матрицы $А$: $2\times 2$.
Элементы матрицы А: $a_{11} =1,a_{12} =3,a_{21} =6,a_{22} =-2$.
Различают несколько видов матриц:
- Квадратная и прямоугольная;
- Вектор-строка и вектор-столбец;
- Скаляр;
- Диагональная;
- Единичная и нулевая;
- Треугольная.
Квадратной матрицей порядка $n$ называется матрица размерности $n\times n$, т.е. число строк и столбцов одинаково, то есть количество элементов в строках и столбцах равное.
Прямоугольной матрицей называется матрица размерности $m\times n$, т.е. число строк и столбцов неодинаково.
Вектор-строка — это матрица, которая состоит только из одной строки элементов, т.е. размерность матрицы $1\times n$.
Вектор-столбец — это матрица, которая состоит только из одного столбца, т.е. размерность матрицы $m\times 1$.
Скаляром называется матрица, содержащая только один элемент, т.е. размерность матрицы $1\times 1$.
Даны матрицы:
$A=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {1} & {19} \\ {-3} & {2} & {1} \\ {1} & {4} & {3} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {-4} & {3} \\ {0} & {5} & {-4} \end{array}\right),$ $C=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-4} \\ {5} \end{array}\right), D=\left(\begin{array}{cccc} {-2} & {-3} & {0} & {9} \end{array}\right), F=\left(1\right).$
Определить вид каждой матрицы.
Решение:
$A=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {1} & {19} \\ {-3} & {2} & {1} \\ {1} & {4} & {3} \end{array}\right)$ - квадратная матрица;
$B=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {-4} & {3} \\ {0} & {5} & {-4} \end{array}\right)$ - прямоугольная матрица;
$C=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-4} \\ {5} \end{array}\right)$ — вектор-столбец; $D=\left(\begin{array}{cccc} {-2} & {-3} & {0} & {9} \end{array}\right)$ — вектор-строка;
$F=\left(1\right)$ — скаляр.
Квадратная матрица имеет главную и побочную диагонали, причем:
- Элементы главной диагонали расположены на линии, которая направлена от левого верхнего угла матрицы (элемент $a_{11} $) до правого нижнего угла матрицы (элемент $a_{nn} $);
- Элементы побочной диагонали расположены на линии, которая направлена от правого верхнего угла матрицы (элемент $a_{1n} $) до левого нижнего угла матрицы (элемент $a_{n1} $).
Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, находящиеся вне главной диагонали, равны нулю.
Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все элементы, находящиеся на главной диагонали, равны единице, такую матрицу можно применять для транспонирования. Обозначение единичной матрицы: $Е$.
Нулевая матрица — это матрица, у которой все элементы равны нулю.
Треугольная матрица — это квадратная матрица, элементы которой, находящиеся ниже или выше главной диагонали, равны нулю.
Различают верхнетреугольную и нижнетреугольную матрицы. В первом случае нулевые элементы находятся ниже главной диагонали, во втором случае — выше главной диагонали.
Даны матрицы:
$A=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {0} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {0} \\ {-2} & {2} & {0} \\ {1} & {4} & {3} \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {5} & {2} \\ {0} & {2} & {-1} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right), E=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right), D=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right).$
Определить вид каждой матрицы.
Решение:
$A=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {0} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right)$ - диагональная матрица;
$B=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {0} \\ {-2} & {2} & {0} \\ {1} & {4} & {3} \end{array}\right)$ - нижнетреугольная матрица;
$C=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {5} & {2} \\ {0} & {2} & {-1} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right)$ - верхнетреугольная матрица;
$E=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)$ - единичная матрица;
$D=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)$ - нулевая матрица.
