Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнения, содержащие знак модуля

Содержание статьи

Понятие модуля

Для начала вспомним, собственно, что такое модуль.

Определение 1

Модулем будем называть такую математическую конструкцию, при которой действительное неотрицательное число совпадает с самим числом, а отрицательное равняется абсолютному значению этого числа.

Обозначение: $|x|$.

Математически это выглядит следующим образом:

$|x|=\cases{x,x≥0,\\-x,x

Пример: $|-31|=31$

Очевидно из определения, что модуль всегда будет неотрицательным числом.

Далее рассмотрим некоторые возможные виды уравнений с модулем и их общие решения.

Уравнение $|f(x) |=θ$

Рассмотрим уравнение

$|f(x)|=θ$

Здесь $θ$ – какое-то действительное число. Решение такого уравнения зависит от значения этого числа, поэтому рассмотрим три случая.

  1. Если $θ>0$, то уравнение будет иметь следующие два решения:

    $f(x)=θ$ и $f(x)=-θ$

  2. Если $θ=0$, то уравнение будет иметь ровно 1 решение:

    $f(x)=0$

  3. Если $θ

Пример 1

Решить

$|πx^2 |=π$

Решение.

Так как число $π>0$, уравнение будет иметь решения

Первое решение

$πx^2=π$

$x=±1$

Второе решение

$πx^2=-π$

$x^2=-1$ - корней нет.

Ответ: $±1$.

Уравнение $|f(x) |=q(x)$

Рассмотрим уравнение

$|f(x)|=q(x)$

Так как, из определения 1, модуль всегда неотрицателен, здесь, в первую очередь, надо найти область определения.

ООУ: $q(x)≥0$

Далее, решение такого уравнения будет равносильно решению следующих двух систем:

$\cases{f(x)≥0,\\f(x)=q(x).}$ и $\cases{f(x)

Пример 2

Решить

$|3x^2+6|=x+6$

Решение.

Найдем для начала область определения:

ООУ: $x≥-6$

Теперь запишем для решения две системы:

$\cases{3x^2+6≥0,\\3x^2+6=x+6.}$ и $\cases{3x^2+6

Вторая система решений иметь не будет, так как выражение $3x^2+6$ всегда положительно.

Найдем корни первой системы:

$3x^2+6=x+6$

$x(3x-1)=0$

$x=0$ и $x=\frac{1}{3}$

Ответ: $0$ и $\frac{1}{3}$.

Готовые работы на аналогичную тему

Замечание 1

Замечание: Отметим, что составлением равносильных совокупностей можно решать и некоторые другие уравнения с модулем, поэтому это можно считать одним из способов решения таких уравнений.

Уравнение $|f(x) |=|q(x)|$

Решение такого уравнения удобно рассматривать с помощью таблицы.

Для того, чтобы сделать «шапку» это таблицы найдем для начала корни всех выражений, которые содержатся под знаком модуля. Пусть у нас при $f(x)=0$ будет $x=l$, а при $q(x)=0$ будет $x=k$. Без ограничения общности предположим, что $l

Далее нам остается рассмотреть решения этого уравнения на каждом полученном промежутке.

Останется записать правильный ответ.

Пример 3

Решить

$|3-4x|=|5-6x|$

Решение.

Найдем корни выражений под модулями:

$3-4x=0$ и $5-6x=0$

$x=\frac{3}{4}$ и $x=\frac{5}{6}$

Составляем таблицу:

Окончательно

Ответ: $\frac{4}{5}$ и $1$.

Замечание 2

Замечание: Отметим, что этим способом можно разрешать любые уравнения, содержащие модуль. Такой способ называется методом промежутков или методом интервалов.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис