Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнения, содержащие знак модуля

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Уравнения, содержащие знак модуля

Понятие модуля

Для начала вспомним, собственно, что такое модуль.

Определение 1

Модулем будем называть такую математическую конструкцию, при которой действительное неотрицательное число совпадает с самим числом, а отрицательное равняется абсолютному значению этого числа.

Обозначение: $|x|$.

Математически это выглядит следующим образом:

$|x|=\cases{x,x≥0,\\-x,x

Пример: $|-31|=31$

Очевидно из определения, что модуль всегда будет неотрицательным числом.

Далее рассмотрим некоторые возможные виды уравнений с модулем и их общие решения.

Уравнение $|f(x) |=θ$

Рассмотрим уравнение

$|f(x)|=θ$

Здесь $θ$ – какое-то действительное число. Решение такого уравнения зависит от значения этого числа, поэтому рассмотрим три случая.

  1. Если $θ>0$, то уравнение будет иметь следующие два решения:

    $f(x)=θ$ и $f(x)=-θ$

  2. Если $θ=0$, то уравнение будет иметь ровно 1 решение:

    $f(x)=0$

  3. Если $θ

Пример 1

Решить

$|πx^2 |=π$

Решение.

Так как число $π>0$, уравнение будет иметь решения

Первое решение

$πx^2=π$

$x=±1$

Второе решение

$πx^2=-π$

$x^2=-1$ - корней нет.

Ответ: $±1$.

Уравнение $|f(x) |=q(x)$

Рассмотрим уравнение

$|f(x)|=q(x)$

Так как, из определения 1, модуль всегда неотрицателен, здесь, в первую очередь, надо найти область определения.

ООУ: $q(x)≥0$

Далее, решение такого уравнения будет равносильно решению следующих двух систем:

$\cases{f(x)≥0,\\f(x)=q(x).}$ и $\cases{f(x)

Пример 2

Решить

$|3x^2+6|=x+6$

Решение.

Найдем для начала область определения:

ООУ: $x≥-6$

Теперь запишем для решения две системы:

$\cases{3x^2+6≥0,\\3x^2+6=x+6.}$ и $\cases{3x^2+6

Вторая система решений иметь не будет, так как выражение $3x^2+6$ всегда положительно.

Найдем корни первой системы:

$3x^2+6=x+6$

$x(3x-1)=0$

$x=0$ и $x=\frac{1}{3}$

Ответ: $0$ и $\frac{1}{3}$.

Замечание 1

Замечание: Отметим, что составлением равносильных совокупностей можно решать и некоторые другие уравнения с модулем, поэтому это можно считать одним из способов решения таких уравнений.

Уравнение $|f(x) |=|q(x)|$

Решение такого уравнения удобно рассматривать с помощью таблицы.

Для того, чтобы сделать «шапку» это таблицы найдем для начала корни всех выражений, которые содержатся под знаком модуля. Пусть у нас при $f(x)=0$ будет $x=l$, а при $q(x)=0$ будет $x=k$. Без ограничения общности предположим, что $l

Далее нам остается рассмотреть решения этого уравнения на каждом полученном промежутке.

Останется записать правильный ответ.

Пример 3

Решить

$|3-4x|=|5-6x|$

Решение.

Найдем корни выражений под модулями:

$3-4x=0$ и $5-6x=0$

$x=\frac{3}{4}$ и $x=\frac{5}{6}$

Составляем таблицу:

Окончательно

Ответ: $\frac{4}{5}$ и $1$.

Замечание 2

Замечание: Отметим, что этим способом можно разрешать любые уравнения, содержащие модуль. Такой способ называется методом промежутков или методом интервалов.