Основная формула для вычисления кривизны плоской кривой
Кривизна представляет собой количественную характеристику степени изогнутости плоской кривой.
Построим касательную к кривой в точке $M$. При переходе по кривой из точки $M$ в некоторую соседнюю точку $N$, касательная в текущей точке поворачивается на угол $\Delta \phi $.
Отношение угла $\Delta \phi $ к длине дуги $\Delta s$ между точками $M$ и $N$ называется средней кривизной дуги $K_{A@} =\frac{\Delta \phi }{\Delta s} $.
Средняя кривизна характеризует среднюю изогнутость на всей дуге. Но на отдельных участках кривой значения кривизны могут испытывать значительные отклонения от среднего значения. Здравый смысл подсказывает, что чем короче дуга, тем лучше она характеризуется средней кривизной. А точнее всего характеризовать изогнутость кривой непосредственно в самой точке $M$.
Кривизной $K$ данной кривой в данной точке $M$ называется предел средней кривизны дуги $\cup MN$ при неограниченном приближении точки $N$ к точке $M$, то есть $K=\mathop{\lim }\limits_{\Delta s\to 0} \frac{\Delta \phi }{\Delta s} =\frac{d\phi }{ds} $. Поскольку считается, что кривизна кривой -- величина положительная, то $K=\left|\frac{d\phi }{ds} \right|$.
Вычисление кривизны плоской кривой
При произвольном параметрическом задании кривой $x=x\left(t\right)$ и $y=y\left(t\right)$ имеет место выражение $s'_{t} =\sqrt{\left(x'_{t} \right)^{2} +\left(y'_{t} \right)^{2} } $.
Теперь для выражения $K = \frac {d \phi}{ds} = \frac {d \phi / dt}{ds/dt}= \frac{\phi '_{t} }{s'_{t} } $ необходимо вычислить $\phi '_{t} $.
Так как по определению производной $tg\phi =\frac{y'_{t} }{x'_{t} } $, то $\phi =arctg\frac{y'_{t} }{x'_{t} } $, откуда $\phi '_{t} =\frac{1}{1+\left(\frac{y'_{t} }{x'_{t} } \right)^{2} } \cdot \frac{\left(y'_{t} \right)^{{'} } _{t} \cdot x'_{t} -\left(x'_{t} \right)^{{'} } _{t} \cdot y'_{t} }{\left(x'_{t} \right)^{2} } $.
После преобразований получаем: $\phi '_{t} =\frac{\left(y'_{t} \right)^{{'} } _{t} \cdot x'_{t} -\left(x'_{t} \right)^{{'} } _{t} \cdot y'_{t} }{\left(x'_{t} \right)^{2} +\left(y'_{t} \right)^{2} } $.
Теперь формула для кривизны кривой приобретает окончательный вид: $K=\frac{\left(y'_{t} \right)^{{'} } _{t} \cdot x'_{t} -\left(x'_{t} \right)^{{'} } _{t} \cdot y'_{t} }{\sqrt{\left(\left(x'_{t} \right)^{2} +\left(y'_{t} \right)^{2} \right)^{3} } } $.
Если кривая задана в явном виде $y=f\left(x\right)$, то выбирая в качестве параметра $t=x$, получаем $K=\frac{\left(y'_{x} \right)^{{'} } _{x} }{\sqrt{\left(1+\left(y'_{x} \right)^{2} \right)^{3} } } $.
Если кривая задана в полярных координатах $\rho =\rho \left(\phi \right)$, то принимая в качестве параметра $t=\phi $ и учитывая формулы $x=\rho \cdot \cos \phi $ и $y=\rho \cdot \sin \phi $, получаем:
\[x'_{\phi } =\left(\rho \cdot \cos \phi \right)^{{'} } _{\phi } =\rho '_{\phi } \cdot \cos \phi -\rho \cdot \sin \phi ;\] \[\left(x'_{\phi } \right)^{{'} } _{\phi } =\left(\rho '_{\phi } \cdot \cos \phi -\rho \cdot \sin \phi \right)^{{'} } _{\phi } =\left(\rho '_{\phi } \right)^{{'} } _{\phi } \cdot \cos \phi -2\cdot \rho '_{\phi } \cdot \sin \phi -\rho \cdot \cos \phi ;\] \[y'_{\phi } =\left(\rho \cdot \sin \phi \right)^{{'} } _{\phi } =\rho '_{\phi } \cdot \sin \phi +\rho \cdot \cos \phi ;\] \[\left(y'_{\phi } \right)^{{'} } _{\phi } =\left(\rho '_{\phi } \cdot \sin \phi +\rho \cdot \cos \phi \right)^{{'} } _{\phi } =\left(\rho '_{\phi } \right)^{{'} } _{\phi } \cdot \sin \phi +2\cdot \rho '_{\phi } \cdot \cos \phi -\rho \cdot \sin \phi .\]После подстановки имеем: $K=\frac{\rho ^{2} +2\cdot \left(\rho '_{\phi } \right)^{2} -\rho \cdot \left(\rho '_{\phi } \right)^{{'} } _{\phi } }{\sqrt{\left(\rho ^{2} +\left(\rho '_{\phi } \right)^{2} \right)^{3} } } $.
Задачи вычисления кривизны плоской кривой.
Определить кривизну параболы $y=2\cdot x^{2} $ в её произвольной точке $M\left(x,y\right)$, а также в точке $M_{1} \left(0,0\right)$.
Вычисляем первую и вторую производные функции $y=2\cdot x^{2} $:
\[y'=\left(2\cdot x^{2} \right)^{{'} } =4\cdot x; y''=\left(4\cdot x\right)^{{'} } =4. \]Подставляем полученные выражения в формулу для кривизны:
\[K=\frac{y''}{\sqrt{\left(1+\left(y'\right)^{2} \right)^{3} } } =\frac{4}{\sqrt{\left(1+\left(4\cdot x\right)^{2} \right)^{3} } } =\frac{4}{\sqrt{\left(1+16\cdot x^{2} \right)^{3} } } .\]В точке $M_{1} \left(0,0\right)$ имеем $K=4$.
Определить кривизну параболы $y^{2} =\frac{1}{2} \cdot x$ в её произвольной точке $M\left(x,y\right)$, а также в точке $M_{1} \left(0,0\right)$. Сравнить результат решения с результатом, полученным в задаче 1.
Вычисляем первую и вторую производные функции $y^{2} =\frac{1}{2} \cdot x$:
$\left(y^{2} \right)^{{'} } =\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)^{{'} } $; $2\cdot y\cdot y'=\frac{1}{2} $, откуда $y'=\frac{1}{4\cdot y} $;
$\left(2\cdot y\cdot y'\right)^{{'} } =\left(\frac{1}{2} \right)^{{'} } $; $y'\cdot y'+y\cdot y''=0$, откуда $y''=-\frac{1}{16\cdot y^{3} } $.
Подставляем полученные выражения в формулу для кривизны:
\[K=\frac{y''}{\sqrt{\left(1+\left(y'\right)^{2} \right)^{3} } } =\frac{\frac{1}{16\cdot y^{3} } }{\sqrt{\left(1+\frac{1}{16\cdot y^{2} } \right)^{3} } } =\frac{4}{\sqrt{\left(1+16\cdot y^{2} \right)^{3} } } .\]В точке $M_{1} \left(0,0\right)$ имеем $K=4$.
Полученный результат по форме и численно совпадает с результатом, полученным в задаче 1. Действительно, кривые обеих задач совпадут, если систему координат второй задачи повернуть на $\frac{\pi }{2} $ против часовой стрелки. Естественно, что кривизна кривой не меняется при преобразованиях её системы координат.
Найти кривизну параметрически заданной линии $\left\{\begin{array}{c} {x=2\cdot \cos \left(3\cdot t\right)} \\ {y=3\cdot \sin \left(2\cdot t\right)} \end{array}\right. $ в точке $t=\frac{\pi }{6} $.
Находим производные:
\[x'_{t} =\left(2\cdot \cos \left(3\cdot t\right)\right)^{{'} } _{t} =-6\cdot \sin \left(3\cdot t\right);\] \[x''_{tt} =\left(-6\cdot \sin \left(3\cdot t\right)\right)^{{'} } _{t} =-18\cdot \cos \left(3\cdot t\right);\] \[y'_{t} =\left(3\cdot \sin \left(2\cdot t\right)\right)^{{'} } _{t} =6\cdot \cos \left(2\cdot t\right);\] \[y''_{tt} =\left(6\cdot \cos \left(2\cdot t\right)\right)^{{'} } _{t} =-12\cdot \sin \left(2\cdot t\right).\]Вычисляем значения производных в заданной точке $t=\frac{\pi }{6} $:
\[x'_{t} \left(\frac{\pi }{6} \right)=-6\cdot \sin \left(3\cdot \frac{\pi }{6} \right)=-6;\] \[x''_{tt} \left(\frac{\pi }{6} \right)=-18\cdot \cos \left(3\cdot \frac{\pi }{6} \right)=0;\] \[y'_{t} \left(\frac{\pi }{6} \right)=6\cdot \cos \left(2\cdot \frac{\pi }{6} \right)=3;\] \[y''_{tt} \left(\frac{\pi }{6} \right)=-12\cdot \sin \left(2\cdot \frac{\pi }{6} \right)=-6\cdot \sqrt{3} .\]Полученные значения подставляем в формулу для кривизны:
\[K=\frac{y''_{tt} \cdot x'_{t} -x''_{tt} \cdot y'_{t} }{\sqrt{\left(\left(x'_{t} \right)^{2} +\left(y'_{t} \right)^{2} \right)^{3} } } =\frac{-6\cdot \sqrt{3} \cdot \left(-6\right)-0\cdot 3}{\sqrt{\left(\left(-6\right)^{2} +\left(3\right)^{2} \right)^{3} } } =\frac{36\cdot \sqrt{3} }{45\cdot \sqrt{45} } =\frac{4}{5\cdot \sqrt{15} } .\]
