Определение последовательности
Для начала приведём вводное определение.
Последовательность {xn} определена тогда, когда каждому натуральному числу n=1,2,3,... поставлено в соответствие в силу некоторого закона число xn. Числа xn - члены или элементы последовательности.
Пример последовательности: {2n}=2,4,8,....
Ключевое значение в рассматриваемой теме имеет понятие фундаментальной последовательности. Дадим определение.
Фундаментальная последовательности (или последовательность Коши) - это последовательность, в которой для любого числа ω больше 0 найдётся номер N, что из n > N, m > N следует равенство |xm−xn|
Критерий Коши сходимости последовательности
Сформулируем критерий Коши:
Числовая последовательность сходится тогда и лишь тогда, когда она фундаментальна.
Этот критерий лежит в основе других теорем, в том числе о
- несобственном интеграле,
- функциональном ряде,
- функциональной последовательности,
- пределе последовательности,
- пределе функции.
Примеры на данную тему сводятся к доказательству, что та или иная последовательность сходится или нет из условий вышеприведённой теоремы и определения фундаментальной последовательности.