Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Критерий Коши сходимости последовательности

Определение последовательности

Для начала приведём вводное определение.

Определение 1

Последовательность {xn} определена тогда, когда каждому натуральному числу n=1,2,3,... поставлено в соответствие в силу некоторого закона число xn. Числа xn - члены или элементы последовательности.

Пример последовательности: {2n}=2,4,8,....

Ключевое значение в рассматриваемой теме имеет понятие фундаментальной последовательности. Дадим определение.

Определение 2

Фундаментальная последовательности (или последовательность Коши) - это последовательность, в которой для любого числа ω больше 0 найдётся номер N, что из n > N, m > N следует равенство |xmxn|

Критерий Коши сходимости последовательности

Сформулируем критерий Коши:

Числовая последовательность сходится тогда и лишь тогда, когда она фундаментальна.

Этот критерий лежит в основе других теорем, в том числе о

  • несобственном интеграле,
  • функциональном ряде,
  • функциональной последовательности,
  • пределе последовательности,
  • пределе функции.

Примеры на данную тему сводятся к доказательству, что та или иная последовательность сходится или нет из условий вышеприведённой теоремы и определения фундаментальной последовательности.

Дата последнего обновления статьи: 04.05.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Критерий Коши сходимости последовательности"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant