Определение последовательности
Для начала приведём вводное определение.
Последовательность $\{x_n\}$ определена тогда, когда каждому натуральному числу $n=1,2,3,...$ поставлено в соответствие в силу некоторого закона число $x_n$. Числа $x_n$ - члены или элементы последовательности.
Пример последовательности: $\{2^n\}=2,4,8,...$.
Ключевое значение в рассматриваемой теме имеет понятие фундаментальной последовательности. Дадим определение.
Фундаментальная последовательности (или последовательность Коши) - это последовательность, в которой для любого числа $\omega$ больше $0$ найдётся номер $N$, что из $n$ > $N$, $m$ > $N$ следует равенство $|x_m-x_n|$
Критерий Коши сходимости последовательности
Сформулируем критерий Коши:
Числовая последовательность сходится тогда и лишь тогда, когда она фундаментальна.
Этот критерий лежит в основе других теорем, в том числе о
- несобственном интеграле,
- функциональном ряде,
- функциональной последовательности,
- пределе последовательности,
- пределе функции.
Примеры на данную тему сводятся к доказательству, что та или иная последовательность сходится или нет из условий вышеприведённой теоремы и определения фундаментальной последовательности.
