Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Кратные интегралы

Понятие двойного интеграла

Двойной интеграл (ДИ) является обобщением определенного интеграла (ОИ) функции одной переменной на случай функции двух переменных.

Пусть непрерывная неотрицательная функция z=f(x,y) задана в замкнутой области D, расположенной в координатной плоскости xOy. Функция z=f(x,y) описывает некоторую поверхность, которая проецируется в область D. Область D ограничена замкнутой линией L, граничные точки которой также принадлежат области D. Предполагаем, что линия L образована конечным числом непрерывных кривых, заданных уравнениями вида y=ϑ(x) или x=ψ(y).

Разобьем область D на n произвольных участков площадью ΔSi. В каждом из участков выберем по одной произвольной точке Pi(ξi,ηi). В каждой из этих точек вычислим значение заданной функции f(ξi,ηi). Рассмотрим объем под той частью поверхности z=f(x,y), которая проецируется в участок ΔSi. Геометрически этот объем можно приближенно представить как объем цилиндра с основанием ΔSi и высотой f(ξi,ηii), то есть равным произведению f(ξi,ηi)ΔSi. Тогда объем под всей поверхностью z=f(x,y) в пределах области D можно приближенно вычислить как сумму объемов всех цилиндров σ=ni=1f(ξi,ηi)ΔSi. Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(x,y) в области D.

Назовем диаметром di(ΔSi) участка ΔSi самое большое расстояние между крайними точками этого участка. Обозначим λ самый большой из диаметров всех участков из области D. Пусть λ0 за счет неограниченного n измельчения разбивки области D.

Определение

Если существует предел интегральной суммы I=limλ0σ, то это число называют ДИ от функции f(x,y) по области D и обозначают I=Df(x,y)dS или I=Df(x,y)dxdy.

При этом область D называется областью интегрирования, x и y -- переменными интегрирования, а dS=dxdy -- элементом площади.

Из определения следует геометрический смысл ДИ: он дает точное значение объема некоторого криволинейного цилиндра.

Применение двойных интегралов

Объем тела

В соответствии с геометрическим смыслом ДИ, объем V некоторого тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y)0, снизу областью D на плоскости xOy, по бокам цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей является контур области D (линия L), вычисляется по формуле V=Df(x,y)dxdy.

Пусть тело ограничивает сверху поверхность z=f2(x,y), а снизу -- поверхность z=f1(x,y), причем f2(x,y)f1(x,y). Проекцией обеих поверхностей на плоскость xOy является одна и та же область D. Тогда объем такого тела вычисляют по формуле V=D(f2(x,y)f1(x,y))dxdy.

Предположим, что в области D функция f(x,y) меняет знак. Тогда для вычисления объема соответствующего тела область D надо разбить на две части: часть D1, где f(x,y)0, и часть D2, где f(x,y)0. При этом интеграл по области D1 будет положительным и равным объему той части тела, которая лежит выше плоскости xOy. Интеграл по области D2 будет отрицательным и по абсолютной величине равным объему той части тела, которая лежит ниже плоскости xOy.

Площадь плоской фигуры

Если везде в области D на координатной плоскости xOy положить f(x,y)1, то ДИ численно равен площади области интегрирования D, то есть S=Ddxdy. В полярной системе координат эта же формула приобретает вид S=Dρdρdϕ.

Площадь произвольной поверхности

Пусть некоторая поверхность Q, заданная уравнением z=f1(x,y), проецируется на координатную плоскость xOy в область D1. В этом случае площадь поверхности Q можно вычислить по формуле S=D11+(zx)2+(zy)2dxdy.

Количество вещества

Предположим, что в области D на плоскости xOy распределено некоторое вещество с поверхностной плотностью ρ(x,y). Это значит, что поверхностная плотность ρ(x,y) представляет собой массу вещества, приходящуюся на элементарную площадку dxdy области D. При этих условиях общую массу вещества можно вычислить по формуле M=Dρ(x,y)dxdy.

Заметим, что в качестве "вещества" может выступать электрический заряд, тепло и т.п.

Координаты центра массы плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости xOy материальную плоскую фигуру. Представим ее как некоторую область D, по которой распределено вещество общей массой M с переменной поверхностной плотностью ρ(x,y).

Формулы для вычисления значений координат центра массы плоской фигуры таковы:xc=Dxρ(x,y)dxdyM, yc=Dyρ(x,y)dxdyM.

Величины в числителях называются статическими моментами My и Mx плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox соответственно.

Если плоская фигура однородна, то есть ρ=const, то эти формулы упрощаются и выражаются уже не через массу, а через площадь плоской фигуры S: xc=DxdxdyS, yc=DydxdyS.

Моменты инерции площади плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости xOy материальную плоскую фигуру. Представим ее как некоторую область D, по которой распределено вещество общей массой M с переменной поверхностной плотностью ρ(x,y).

Значение момента инерции площади плоской фигуры относительно оси Oy: Iy=Dx2ρ(x,y)dxdy. Значение момент инерции относительно оси Ox: Ix=Dy2ρ(x,y)dxdy. Момент инерции плоской фигуры относительно начала координат равен сумме моментов инерции относительно осей координат, то есть IO=Ix+Iy.

Тройной интеграл

Тройные интегралы вводятся для функций трех переменных.

Предположим, что задана некоторая область V трехмерного пространства, ограниченная замкнутой поверхностью S. Считаем, что точки, которые лежат на поверхности, также принадлежат области V. Предположим, что в области V задана некоторая непрерывная функция f(x,y,z). Например, такой функцией при условии f(x,y,z)0 может быть объемная плотность распределения некоторого вещества, распределение температуры и т.п.

Разобьем область V на n произвольных частей, объемы которых ΔVi. В каждой из частей выберем по одной произвольной точке Pi(ξi,ηi,ςi). В каждой из этих точек вычислим значение заданной функции f(ξi,ηi,ςi).

Образуем интегральную сумму ni=1f(ξi,ηi,ςi)ΔVi и будем неограниченно измельчать (n) разбивку области V так, чтобы самый большой из диаметров λ всех частей ΔVi неограниченно уменьшался (λ0).

Определение

При перечисленных условиях предел I этой интегральной суммы существует, называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области V и обозначается I=Vf(x,y,z)dV или I=Vf(x,y,z)dxdydz.

Здесь область V является областью интегрирования, x, y и z -- переменными интегрирования, а dV=dxdydz -- элементом объема.

Дата последнего обновления статьи: 19.01.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Кратные интегралы"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant