Понятие двойного интеграла
Двойной интеграл (ДИ) является обобщением определенного интеграла (ОИ) функции одной переменной на случай функции двух переменных.
Пусть непрерывная неотрицательная функция z=f(x,y) задана в замкнутой области D, расположенной в координатной плоскости xOy. Функция z=f(x,y) описывает некоторую поверхность, которая проецируется в область D. Область D ограничена замкнутой линией L, граничные точки которой также принадлежат области D. Предполагаем, что линия L образована конечным числом непрерывных кривых, заданных уравнениями вида y=ϑ(x) или x=ψ(y).
Разобьем область D на n произвольных участков площадью ΔSi. В каждом из участков выберем по одной произвольной точке Pi(ξi,ηi). В каждой из этих точек вычислим значение заданной функции f(ξi,ηi). Рассмотрим объем под той частью поверхности z=f(x,y), которая проецируется в участок ΔSi. Геометрически этот объем можно приближенно представить как объем цилиндра с основанием ΔSi и высотой f(ξi,ηii), то есть равным произведению f(ξi,ηi)⋅ΔSi. Тогда объем под всей поверхностью z=f(x,y) в пределах области D можно приближенно вычислить как сумму объемов всех цилиндров σ=n∑i=1f(ξi,ηi)⋅ΔSi. Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(x,y) в области D.
Назовем диаметром di(ΔSi) участка ΔSi самое большое расстояние между крайними точками этого участка. Обозначим λ самый большой из диаметров всех участков из области D. Пусть λ→0 за счет неограниченного n→∞ измельчения разбивки области D.
Если существует предел интегральной суммы I=limλ→0σ, то это число называют ДИ от функции f(x,y) по области D и обозначают I=∬Df(x,y)⋅dS или I=∬Df(x,y)⋅dx⋅dy.
При этом область D называется областью интегрирования, x и y -- переменными интегрирования, а dS=dx⋅dy -- элементом площади.
Из определения следует геометрический смысл ДИ: он дает точное значение объема некоторого криволинейного цилиндра.
Применение двойных интегралов
Объем тела
В соответствии с геометрическим смыслом ДИ, объем V некоторого тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y)≥0, снизу областью D на плоскости xOy, по бокам цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей является контур области D (линия L), вычисляется по формуле V=∬Df(x,y)⋅dx⋅dy.
Пусть тело ограничивает сверху поверхность z=f2(x,y), а снизу -- поверхность z=f1(x,y), причем f2(x,y)≥f1(x,y). Проекцией обеих поверхностей на плоскость xOy является одна и та же область D. Тогда объем такого тела вычисляют по формуле V=∬D(f2(x,y)−f1(x,y))⋅dx⋅dy.
Предположим, что в области D функция f(x,y) меняет знак. Тогда для вычисления объема соответствующего тела область D надо разбить на две части: часть D1, где f(x,y)≥0, и часть D2, где f(x,y)≤0. При этом интеграл по области D1 будет положительным и равным объему той части тела, которая лежит выше плоскости xOy. Интеграл по области D2 будет отрицательным и по абсолютной величине равным объему той части тела, которая лежит ниже плоскости xOy.
Площадь плоской фигуры
Если везде в области D на координатной плоскости xOy положить f(x,y)≡1, то ДИ численно равен площади области интегрирования D, то есть S=∬Ddx⋅dy. В полярной системе координат эта же формула приобретает вид S=∬D∗ρ⋅dρ⋅dϕ.
Площадь произвольной поверхности
Пусть некоторая поверхность Q, заданная уравнением z=f1(x,y), проецируется на координатную плоскость xOy в область D1. В этом случае площадь поверхности Q можно вычислить по формуле S=∬D1√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2⋅dx⋅dy.
Количество вещества
Предположим, что в области D на плоскости xOy распределено некоторое вещество с поверхностной плотностью ρ(x,y). Это значит, что поверхностная плотность ρ(x,y) представляет собой массу вещества, приходящуюся на элементарную площадку dx⋅dy области D. При этих условиях общую массу вещества можно вычислить по формуле M=∬Dρ(x,y)⋅dx⋅dy.
Заметим, что в качестве "вещества" может выступать электрический заряд, тепло и т.п.
Координаты центра массы плоской фигуры
Рассмотрим на плоскости xOy материальную плоскую фигуру. Представим ее как некоторую область D, по которой распределено вещество общей массой M с переменной поверхностной плотностью ρ(x,y).
Формулы для вычисления значений координат центра массы плоской фигуры таковы:xc=∬Dx⋅ρ(x,y)⋅dx⋅dyM, yc=∬Dy⋅ρ(x,y)⋅dx⋅dyM.
Величины в числителях называются статическими моментами My и Mx плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox соответственно.
Если плоская фигура однородна, то есть ρ=const, то эти формулы упрощаются и выражаются уже не через массу, а через площадь плоской фигуры S: xc=∬Dx⋅dx⋅dyS, yc=∬Dy⋅dx⋅dyS.
Моменты инерции площади плоской фигуры
Рассмотрим на плоскости xOy материальную плоскую фигуру. Представим ее как некоторую область D, по которой распределено вещество общей массой M с переменной поверхностной плотностью ρ(x,y).
Значение момента инерции площади плоской фигуры относительно оси Oy: Iy=∬Dx2⋅ρ(x,y)⋅dx⋅dy. Значение момент инерции относительно оси Ox: Ix=∬Dy2⋅ρ(x,y)⋅dx⋅dy. Момент инерции плоской фигуры относительно начала координат равен сумме моментов инерции относительно осей координат, то есть IO=Ix+Iy.
Тройные интегралы вводятся для функций трех переменных.
Предположим, что задана некоторая область V трехмерного пространства, ограниченная замкнутой поверхностью S. Считаем, что точки, которые лежат на поверхности, также принадлежат области V. Предположим, что в области V задана некоторая непрерывная функция f(x,y,z). Например, такой функцией при условии f(x,y,z)≥0 может быть объемная плотность распределения некоторого вещества, распределение температуры и т.п.
Разобьем область V на n произвольных частей, объемы которых ΔVi. В каждой из частей выберем по одной произвольной точке Pi(ξi,ηi,ςi). В каждой из этих точек вычислим значение заданной функции f(ξi,ηi,ςi).
Образуем интегральную сумму n∑i=1f(ξi,ηi,ςi)⋅ΔVi и будем неограниченно измельчать (n→∞) разбивку области V так, чтобы самый большой из диаметров λ всех частей ΔVi неограниченно уменьшался (λ→0).
При перечисленных условиях предел I этой интегральной суммы существует, называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области V и обозначается I=∭Vf(x,y,z)⋅dV или I=∭Vf(x,y,z)⋅dx⋅dy⋅dz.
Здесь область V является областью интегрирования, x, y и z -- переменными интегрирования, а dV=dx⋅dy⋅dz -- элементом объема.