Умножение, деление и возведение в степень выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.
Для чисел, представленных в алгебраической форме, возведение в $n$-ю степень осуществляется путем перемножения $n$ одинаковых сомножителей.
Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое получается перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^{2} =-1$.
Вычислить $n$-ю степень некоторого комплексного числа $z=1+2\cdot i$, где $n=2..4$.
Решение:
По определению операции умножения комплексных чисел в алгебраической форме получим:
Для $n=2$:
Для $n=3$:
$z^{3} =z^{2} \cdot (1+2\cdot i)=(-3+4i)\cdot (1+2\cdot i)=-3\cdot 1+4\cdot 1\cdot i-3\cdot 2\cdot i+4\cdot 2\cdot i^{2} =-3+4i-6i-8=-11-2i$
Для $n=4$:
Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством
Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ является комплексное число, которое определяется равенством
Степенью порядка $n$ ($n\in Z_{+} $) комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством
Данная формула называется формулой Муавра.
Формулу из определения 3 легко получить из формулы приведенной определении 2 посредством перемножения некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ на само себя $n$ раз.
Формула Муавра показывает, что возводя некоторое комплексное число в целую положительную степень, необходимо модуль числа возвести в данную степень, а аргумент комплексного числа умножить на показатель степени.
Вычислить степени $z^{3} ,\, \, z^{5} $ данного комплексного числа $z=2\cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} \right)$.
Решение:
Воспользуемся формулой Муавра:
Вычисляя $z^{3} $, получим:
Вычисляя $z^{5} $, получим:
При возведении некоторого комплексного числа, представленного в алгебраической форме, в степень с большим показателем необходимо выполнить следующие действия:
- представить число в тригонометрической форме;
- возвести число в степень по формуле Муавра;
- при необходимости перевести число в алгебраическую форму.
Вычислить степени $z^{2} ,\, \, z^{4} $ некоторого комплексного числа $z=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot i$.
Решение:
Представим число в тригонометрической форме:
$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$, где $r=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $ и $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.
По условию $a=\frac{1}{2} ,b=\frac{1}{2} $.
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
Подставим полученные значения и получим:
Далее воспользуемся формулой Муавра:
Вычисляя $z^{2} $, получим:
Запишем ответ в алгебраической форме:
Вычисляя $z^{4} $, получим:
Запишем ответ в алгебраической форме:
При возведении некоторого комплексного числа, представленного в показательной форме, в степень можно воспользоваться следующим свойством:
Вычислить степени $z^{3} ,\, \, z^{5} $ данного комплексного числа $z=2\cdot e^{i\cdot \pi } $.
Решение:
Воспользуемся формулой:
Вычисляя $z^{3} $, получим:
Вычисляя $z^{5} $, получим:
При возведении некоторого комплексного числа, представленного в показательной форме, в степень можно выполнить следующие действия:
- представить число в тригонометрической форме;
- возвести число в степень по формуле Муавра;
- при необходимости перевести число в показательную форму.
Вычислить степени $z^{6} $ данного комплексного числа $z=1\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6} } $.
Решение:
По условию $r=1,\varphi =\frac{\pi }{6} $.
Подставим полученные значения и получим число в тригонометрической форме:
Далее воспользуемся формулой Муавра:
Вычисляя $z^{6} $, получим:
Запишем ответ в показательной форме:
Формулу Муавра можно применять при вычислении косинусов и синусов углов, например, $\cos 3\varphi $, $\sin 3\varphi $ и т.д.
При $r=1$ формула Муавра записывается следующим образом:
Рассмотрим применение формулы Муавра для вычисления тройных углов ($n=3$).
По определению равенства двух заданных комплексных числе получим:
и
