Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Условия Коши-Римана

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Условия Коши-Римана

Рассмотрим некоторую комплексную величину $w$, которая задается выражением $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.

Данная величина является комплексной функцией вещественного переменного.

Определение 1

Функция $w(z)$ называется аналитической в некоторой точке z, если данная функция дифференцируема в некоторой окрестности данной точки z.

Определение 2

Функция называется аналитической в некоторой области D, если она является аналитической в каждой точке данной области.

Пусть функции $u(x),\, \, \, v(x)$ являются дифференцируемыми.

Готовые работы на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость
Определение 3

Выражение $w_{x} '=u'_{x} (x,y)+i\cdot v'_{x} (x,y)$ называется производной комплексной функции действительного переменного по действительному аргументу$x$.

Аналогично определяется производная по действительному аргументу$y$.

Пример 1

Вычислить производные комплексной функции действительного переменного $x$ и $y$:

1) $w=(3x+2)+(x^{3} +2y)\cdot i$; 2) $w=(x+e^{y} )+(3y^{2} +\ln x)\cdot i$.

Решение:

Для вычисления производной воспользуемся следующей формулами:

\[w_{x} '=u'_{x} (x,y)+i\cdot v'_{x} (x,y),\] \[w_{y} '=u'_{y} (x,y)+i\cdot v'_{y} (x,y).\]

1) Для функции $w=(3x+2)+(x^{3} +2y)\cdot i$ получаем:

\[w_{x} '=(3x+2)_{x} '+(x^{3} +2y)_{x} '\cdot i=3+3x^{2} \cdot i;\] \[w_{y} '=(3x+2)_{y} '+(x^{3} +2y)_{y} '\cdot i=0+2\cdot i=2\cdot i.\]

2) Для функции $w=(x+e^{y} )+(3y^{2} +\ln x)\cdot i$ получаем:

\[w_{x} '=(x+e^{y} )_{x} '+(3y^{2} +\ln x)_{x} '\cdot i=1+\frac{1}{x} \cdot i;\] \[w_{y} '=(x+e^{y} )_{y} '+(3y^{2} +\ln x)_{y} '\cdot i=e^{y} +6y\cdot i.\]

Для того чтобы некоторая функция $w(z)$ являлась дифференцируемой в некоторой точке $z_{0} =x_{0} +y_{0} \cdot i$, необходимо и достаточно, чтобы $u(x,y)$ и $v(x,y)$ являлись дифференцируемыми в точке $(x_{0} ;y_{0} )$ и выполнялись следующие условия:

\[\begin{array}{l} {\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} =\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} } \\ {\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} =-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} } \end{array}.\]

Данные условия называются условиями Коши-Римана.

Примечание 1

Условия Коши-Римана являются соотношениями, которые связывают вещественную и мнимую части дифференцируемой функции $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.

Пример 2

Для заданной функции комплексной переменной выполнить следующие действия:

  • выделить действительную и мнимую части функции;
  • найти область аналитической функции;
  • вычислить значение производной функции в заданной точке $z_{0} $.
  • \[w=e^{1-2iz} ,z_{0} =\frac{\pi }{6} \]

Решение:

Выделим действительную и мнимую части функции. Положим $z=x+yi$ и получим:

\[w=e^{1-2i(x+yi)} =e^{1-2ix+2y} =e^{(1+2y)-2xi} =e^{1+2y} \cdot (\cos (-2x)+i\cdot \sin (-2x))\]

Следовательно, $u(x,y)=e^{1+2y} \cdot \cos (-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)$ - искомые действительная и мнимая части функции.

Воспользуемся условиями Коши-Римана: $\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y} ;\frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{\partial v}{\partial x} $.

\[\begin{array}{l} {\frac{\partial u}{\partial x} =2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x);\frac{\partial v}{\partial y} =2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)} \\ {2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)=2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)} \end{array}\] \[\begin{array}{l} {\frac{\partial u}{\partial y} =2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x);\frac{\partial v}{\partial x} =-2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x)} \\ {2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x)=-(-2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x))} \end{array}\]

Условия Коши-Римана выполняются для любых действительных $x,y$. Следовательно, функция является аналитической для любых действительных $x,y$.

Найдем производную функции и вычислим значение производной функции в заданной точке $z_{0} =\frac{\pi }{6} $.

Производная функции имеет вид:

\[w'(z)=-2i\cdot e^{1-2iz} .\]

Вычислим значение производной функции в заданной точке

\[z_{0} =\frac{\pi }{6} w'(z_{0} )=w'(\frac{\pi }{6} )=-2i\cdot e^{1-2i\frac{\pi }{6} } =-2i\cdot e^{1-i\frac{\pi }{3} } .\]

На практике можно встретить следующие задачи.

Задача 1

По заданной действительной части $u(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $v(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.

Алгоритм решения задачи 1 будет следующим:

  • найти мнимую часть с помощью условий Коши-Римана;
  • составить функцию $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
  • выполнить преобразования и выделить переменную $z=x+yi$ или $\overline{z}=x-yi$.
Задача 2

По заданной мнимой части $v(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $u(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.

Алгоритм решения задачи 2 будет следующим:

  • найти действительную часть с помощью условий Коши-Римана;
  • составить функцию $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
  • выполнить преобразования и выделить переменную $z=x+yi$ или $\overline{z}=x-yi$.
Замечание 1

При решении практических задач могут пригодиться следующие соотношения:

\[x+yi=z\] \[x^{2} +2xyi-y^{2} =(x+yi)^{2} =z^{2} \] \[x^{3} +3x^{2} yi-3xy^{2} -y^{3} \cdot i=(x+yi)^{3} =z^{3} \]
Замечание 2

Операция деления на мнимую единицу $i$ равносильна операции умножения на $-i$.

Пример 3

По действительной части $u(x,y)=-x^{2} +y^{2} -5y$ некоторой функции комплексной переменной восстановить ее мнимую часть $v(x,y)$ и восстановить данную функцию, при этом функция удовлетворяет начальному условию $w(0)=0$.

Решение.

Найдем мнимую часть $v(x,y)$ искомой функции $w(z)$. Воспользуемся первым условием Коши-Римана:

\[\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} =\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} .\]

Подставим исходные значения и получим:

\[\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} =\frac{\partial (-x^{2} +y^{2} -5y)}{\partial x} =-2x\] \[v(x,y)=\int (-2x)dy +\phi (x).\] \[v(x,y)=\int (-2x)dy +\phi (x)=-2xy+\phi (x)\]

Найдем неизвестную функцию $\phi (x)$.

Воспользуемся вторым условием Коши-Римана:

\[\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} =-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} .\] \[2y-5=-(2y+\phi (x))_{x} '\Leftrightarrow 2y-5=2y-\phi '(x)\] \[\phi '(x)=5\Rightarrow \phi (x)=\int 5dx =5x+C\]

Следовательно,

\[v(x,y)=-2xy+5x+C.\]

Мнимая часть искомой функции $w(z)$ восстановлена, тогда можем записать саму функцию:

\[w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i=-x^{2} +y^{2} -5y+i\cdot (-2xy+5x+C)\]

Преобразуем полученное выражение:

\[w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i=-x^{2} +y^{2} -5y+i\cdot (-2xy+5x+C)=\]\[=-x^{2} +y^{2} -5y+-2xyi+5xi+Ci=(-x^{2} +y^{2} -2xyi)+(-5y+5xi)+Ci=\] \[=-(x^{2} +2xyi-y^{2} )+5i\cdot (x-\frac{y}{i} )+Ci\] \[w(z)=-z^{2} +5zi+Ci\]

Используя начальное условие $w(0)=0$, найдём значение константы $C$.

\[w(0)=0=-0^{2} +5\cdot 0\cdot i+Ci=Ci\Rightarrow C=0\]

Следовательно, искомая функция имеет вид:

\[w(z)=-z^{2} +5zi.\]

Мнимая часть функции примет вид:

\[v(x,y)=-2xy+5x.\]
Ограниченное предложение
Введите email чтобы зафиксировать скидку
300 ₽
На любой первый заказ в Автор24