Условия Коши-Римана

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Рассмотрим некоторую комплексную величину $w$ , которая задается выражением $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$ , где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$ .

Данная величина является комплексной функцией вещественного переменного.

Определение 1

Функция $w(z)$ называется аналитической в некоторой точке z, если данная функция дифференцируема в некоторой окрестности данной точки z.

Определение 2

Функция называется аналитической в некоторой области D, если она является аналитической в каждой точке данной области.

Пусть функции $u(x),\, \, \, v(x)$ являются дифференцируемыми.

Определение 3

Выражение $w_{x} '=u'_{x} (x,y)+i\cdot v'_{x} (x,y)$ называется производной комплексной функции действительного переменного по действительному аргументу $x$ .

Аналогично определяется производная по действительному аргументу $y$ .

Пример 1

Вычислить производные комплексной функции действительного переменного $x$ и $y$ :

$w=(3x+2)+(x^{3} +2y)\cdot i$ ; 2)

$w=(x+e^{y} )+(3y^{2} +\ln x)\cdot i$ .

Решение:

Для вычисления производной воспользуемся следующей формулами:

$w_{x} '=u'_{x} (x,y)+i\cdot v'_{x} (x,y),$

$w_{y} '=u'_{y} (x,y)+i\cdot v'_{y} (x,y).$

1) Для функции $w=(3x+2)+(x^{3} +2y)\cdot i$ получаем:

$w_{x} '=(3x+2)_{x} '+(x^{3} +2y)_{x} '\cdot i=3+3x^{2} \cdot i;$

$w_{y} '=(3x+2)_{y} '+(x^{3} +2y)_{y} '\cdot i=0+2\cdot i=2\cdot i.$

2) Для функции $w=(x+e^{y} )+(3y^{2} +\ln x)\cdot i$ получаем:

$w_{x} '=(x+e^{y} )_{x} '+(3y^{2} +\ln x)_{x} '\cdot i=1+\frac{1}{x} \cdot i;$

$w_{y} '=(x+e^{y} )_{y} '+(3y^{2} +\ln x)_{y} '\cdot i=e^{y} +6y\cdot i.$

Для того чтобы некоторая функция $w(z)$ являлась дифференцируемой в некоторой точке $z_{0} =x_{0} +y_{0} \cdot i$ , необходимо и достаточно, чтобы $u(x,y)$ и $v(x,y)$ являлись дифференцируемыми в точке $(x_{0} ;y_{0} )$ и выполнялись следующие условия:

$\begin{array}{l} {\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} =\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} } \\ {\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} =-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} } \end{array}.$

Данные условия называются условиями Коши-Римана.

«Условия Коши-Римана» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Примечание 1

Условия Коши-Римана являются соотношениями, которые связывают вещественную и мнимую части дифференцируемой функции $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$ , где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$ .

Пример 2

Для заданной функции комплексной переменной выполнить следующие действия:

выделить действительную и мнимую части функции;
найти область аналитической функции;
вычислить значение производной функции в заданной точке $z_{0}$ .

$w=e^{1-2iz} ,z_{0} =\frac{\pi }{6}$

Решение:

Выделим действительную и мнимую части функции. Положим $z=x+yi$ и получим:

$w=e^{1-2i(x+yi)} =e^{1-2ix+2y} =e^{(1+2y)-2xi} =e^{1+2y} \cdot (\cos (-2x)+i\cdot \sin (-2x))$

Следовательно, $u(x,y)=e^{1+2y} \cdot \cos (-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)$ - искомые действительная и мнимая части функции.

Воспользуемся условиями Коши-Римана: $\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y} ;\frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{\partial v}{\partial x}$ .

$\begin{array}{l} {\frac{\partial u}{\partial x} =2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x);\frac{\partial v}{\partial y} =2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)} \\ {2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)=2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)} \end{array}$

$\begin{array}{l} {\frac{\partial u}{\partial y} =2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x);\frac{\partial v}{\partial x} =-2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x)} \\ {2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x)=-(-2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x))} \end{array}$

Условия Коши-Римана выполняются для любых действительных $x,y$ . Следовательно, функция является аналитической для любых действительных $x,y$ .

Найдем производную функции и вычислим значение производной функции в заданной точке $z_{0} =\frac{\pi }{6}$ .

Производная функции имеет вид:

$w'(z)=-2i\cdot e^{1-2iz} .$

Вычислим значение производной функции в заданной точке

$z_{0} =\frac{\pi }{6} w'(z_{0} )=w'(\frac{\pi }{6} )=-2i\cdot e^{1-2i\frac{\pi }{6} } =-2i\cdot e^{1-i\frac{\pi }{3} } .$

На практике можно встретить следующие задачи.

Задача 1

По заданной действительной части $u(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $v(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.

Алгоритм решения задачи 1 будет следующим:

найти мнимую часть с помощью условий Коши-Римана;
составить функцию $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$ ;
выполнить преобразования и выделить переменную $z=x+yi$ или $\overline{z}=x-yi$ .

Задача 2

По заданной мнимой части $v(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $u(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.

Алгоритм решения задачи 2 будет следующим:

найти действительную часть с помощью условий Коши-Римана;
составить функцию $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$ ;
выполнить преобразования и выделить переменную $z=x+yi$ или $\overline{z}=x-yi$ .

Замечание 1

При решении практических задач могут пригодиться следующие соотношения:

$x+yi=z$

$x^{2} +2xyi-y^{2} =(x+yi)^{2} =z^{2}$

$x^{3} +3x^{2} yi-3xy^{2} -y^{3} \cdot i=(x+yi)^{3} =z^{3}$

Замечание 2

Операция деления на мнимую единицу $i$ равносильна операции умножения на $-i$ .

Пример 3

По действительной части $u(x,y)=-x^{2} +y^{2} -5y$ некоторой функции комплексной переменной восстановить ее мнимую часть $v(x,y)$ и восстановить данную функцию, при этом функция удовлетворяет начальному условию $w(0)=0$ .