Рассмотрим некоторую комплексную величину $w$, которая задается выражением $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.
Данная величина является комплексной функцией вещественного переменного.
Функция $w(z)$ называется аналитической в некоторой точке z, если данная функция дифференцируема в некоторой окрестности данной точки z.
Функция называется аналитической в некоторой области D, если она является аналитической в каждой точке данной области.
Пусть функции $u(x),\, \, \, v(x)$ являются дифференцируемыми.
Выражение $w_{x} '=u'_{x} (x,y)+i\cdot v'_{x} (x,y)$ называется производной комплексной функции действительного переменного по действительному аргументу$x$.
Аналогично определяется производная по действительному аргументу$y$.
Вычислить производные комплексной функции действительного переменного $x$ и $y$:
1) $w=(3x+2)+(x^{3} +2y)\cdot i$; 2) $w=(x+e^{y} )+(3y^{2} +\ln x)\cdot i$.Решение:
Для вычисления производной воспользуемся следующей формулами:
1) Для функции $w=(3x+2)+(x^{3} +2y)\cdot i$ получаем:
2) Для функции $w=(x+e^{y} )+(3y^{2} +\ln x)\cdot i$ получаем:
Для того чтобы некоторая функция $w(z)$ являлась дифференцируемой в некоторой точке $z_{0} =x_{0} +y_{0} \cdot i$, необходимо и достаточно, чтобы $u(x,y)$ и $v(x,y)$ являлись дифференцируемыми в точке $(x_{0} ;y_{0} )$ и выполнялись следующие условия:
Данные условия называются условиями Коши-Римана.
Условия Коши-Римана являются соотношениями, которые связывают вещественную и мнимую части дифференцируемой функции $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.
Для заданной функции комплексной переменной выполнить следующие действия:
- выделить действительную и мнимую части функции;
- найти область аналитической функции;
- вычислить значение производной функции в заданной точке $z_{0} $.
Решение:
Выделим действительную и мнимую части функции. Положим $z=x+yi$ и получим:
Следовательно, $u(x,y)=e^{1+2y} \cdot \cos (-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)$ - искомые действительная и мнимая части функции.
Воспользуемся условиями Коши-Римана: $\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y} ;\frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{\partial v}{\partial x} $.
Условия Коши-Римана выполняются для любых действительных $x,y$. Следовательно, функция является аналитической для любых действительных $x,y$.
Найдем производную функции и вычислим значение производной функции в заданной точке $z_{0} =\frac{\pi }{6} $.
Производная функции имеет вид:
Вычислим значение производной функции в заданной точке
На практике можно встретить следующие задачи.
По заданной действительной части $u(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $v(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.
Алгоритм решения задачи 1 будет следующим:
- найти мнимую часть с помощью условий Коши-Римана;
- составить функцию $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
- выполнить преобразования и выделить переменную $z=x+yi$ или $\overline{z}=x-yi$.
По заданной мнимой части $v(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $u(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.
Алгоритм решения задачи 2 будет следующим:
- найти действительную часть с помощью условий Коши-Римана;
- составить функцию $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
- выполнить преобразования и выделить переменную $z=x+yi$ или $\overline{z}=x-yi$.
При решении практических задач могут пригодиться следующие соотношения:
Операция деления на мнимую единицу $i$ равносильна операции умножения на $-i$.
По действительной части $u(x,y)=-x^{2} +y^{2} -5y$ некоторой функции комплексной переменной восстановить ее мнимую часть $v(x,y)$ и восстановить данную функцию, при этом функция удовлетворяет начальному условию $w(0)=0$.
Решение.
Найдем мнимую часть $v(x,y)$ искомой функции $w(z)$. Воспользуемся первым условием Коши-Римана:
Подставим исходные значения и получим:
Найдем неизвестную функцию $\phi (x)$.
Воспользуемся вторым условием Коши-Римана:
Следовательно,
Мнимая часть искомой функции $w(z)$ восстановлена, тогда можем записать саму функцию:
Преобразуем полученное выражение:
Используя начальное условие $w(0)=0$, найдём значение константы $C$.
Следовательно, искомая функция имеет вид:
Мнимая часть функции примет вид:
