Что такое гипербола: уравнения и свойства
Гипербола в математике – это множество всех точек на плоскости, для любой из которых абсолютная разность расстояния между двумя точками $F_1$ и $F_2$, называемыми фокусами, всегда равна одному и тому же значению и равна $2a$.
Рисунок 1. Как выглядит гипербола: пример гиперболы
Свойства гиперболы
- Если точки $F_1$ и $F_2$ являются фокусами гиперболы, то касательная, проведённая через любую точку $A$, принадлежащую кривой, является биссектрисой угла $F_1AF_2$;
- Отношение расстояний от точки на гиперболе до фокуса и от этой же точки до директрисы – это константа, называемая эксцентриситетом $ε$;
- Гиперболе свойственна зеркальная симметричность относительно действительной и мнимой осей, а также вращательная к центру при повороте на 180°;
- Ограниченный действительными осями отрезок касательной, проведённой через точку $M$, делится пополам точкой $M$;
- У каждой гиперболы есть сопряжённая гипербола, которая располагается в незанятых четвертях графика.
Основные определения
- Ветви гиперболы – это две непересекающиеся кривые;
- Вершинами гиперболы называются две ближайшие точки на разных ветвях гиперболы;
- Формула для определения расстояния между вершинами гиперболы выглядит как $2\cdot a$;
- Большой действительной осью называется прямая, проложенная через две ближайшие точки на гиперболе. На половине этого расстояния расположен центр гиперболы;
- Полуосями гиперболы называется половина расстояния между вершинами гиперболы, формула для его определения $2\cdot a/2 = a$;
- Мнимая ось – это прямая, проложенная через центр гиперболы и перпендикулярная действительной оси;
- Геометрическое построение гиперболы производится по заданным вершинам и фокусам с помощью циркуля.
Уравнение гиперболы
Общая формула гиперболы и функция гиперболы описывается следующим уравнением: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, где $a, b$ - положительные действительные числа.
Уравнение вырожденной гиперболы выглядит как уравнение двух асимтот к гиперболе: $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$
Уравнение гиперболы со смещенным центром $\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$, где $x_0, y_0$ - координаты центра гиперболы.
Для нахождения уравнения смещенной гиперболы по графику сначала определяют смещение центра относительно оси координат, оно равно координатам центра. Затем по асимтоптам определяют значения $a$ и $b$.
Пример вывода формулы параметрического уравнения гиперболы в математике
Рассмотрим уравнение: $5x^2 – 4y^2 = 20$
Для того чтобы привести его к каноничному виду, сначала разделим всё на 20:
$\frac{5x^2}{20} - \frac{4y^2}{20} = 1$
Теперь сократим числители и знаменатели: $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$
Для получения каноничной формы выразим в знаменателе квадрат:
$\frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{\sqrt(5)^2} = 1$
