Комплексные числа, основные понятия

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Выражение вида $z=a+bi$ , где $a$ и $b$ - вещественные числа, а $i$ - «мнимая единица», называется комплексным числом $z$ . Мнимая единица определяется равенством $i=\sqrt{-1}$ или $i^{2} =-1$ .

Определение 2

Комплексное число вида $\overline{z}=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$ .

Пример 1

Записать комплексно-сопряженные числа для заданных комплексных чисел:

1) $z_{1} =2+10i$ ; 2) $z_{2} =4$ ; 3) $z_{3} =-5i$

Решение:

Для комплексного числа $z=a+bi$ комплексно-сопряженным будет являться число $\overline{z}=a-bi$ .

Для числа $z_{1} =2+10i$ получим $\overline{z_{1} }=2-10i$ .

Для числа $z_{2} =4$ получим $\overline{z_{2} }=4$ .

Для числа $z_{3} =-5i$ получим $\overline{z_{3} }=5i$ .

Комплексная плоскость

Любое комплексное число можно изобразить на плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Комплексная плоскость аналогична прямоугольной декартовой системе координат, исключение составляют только названия осей:

действительная ось (соответствует оси абсцисс);
мнимая ось (соответствует оси ординат).

Комплексно-сопряженное число $\overline{z}=a-bi$ изображается на комплексной плоскости точкой, симметричной относительно действительной оси, для точки, изображающей некоторое комплексное число $z=a+bi$ .

Пример 2

Изобразить на комплексной плоскости числа $z_{1} =3+2i,\, \, z_{2} =-2,\, \, \, z_{3} =i$ и комплексно-сопряженные к ним.

«Комплексные числа, основные понятия» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Решение:

Для комплексного числа $z=a+bi$ комплексно-сопряженным будет являться число $\overline{z}=a-bi$ .

Для числа $z_{1} =3+2i$ получим $\overline{z_{1} }=3-2i$ .

Для числа $z_{2} =-2$ получим $\overline{z_{2} }=-2$ .

Для числа $z_{3} =i$ получим $\overline{z_{3} }=-i$ .

Отмечая соответствующие точки на плоскости, получим изображение комплексных чисел (рис.1)

Изображение комплексных чисел

Рис. 1

Примечание 1

Если комплексное число изображается точкой на вещественной оси, то комплексно-сопряженное число изображается той же самой точкой.

Два комплексных числа $z_{1}$ и $z_{2}$ можно сравнить между собой.

Определение 3

Некоторые комплексные числа $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ называются равными, если выполняются следующие равенства $a_{1} =a_{2} ,b_{1} =b_{2}$ . Обозначение: $z_{1} =z_{2}$ .

Примечание 2

Некоторое комплексное число $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ равно нулю тогда и только тогда, когда $a_{1} =0,b_{1} =0$ .

Пример 3

Сравнить заданные комплексные числа: 1) $z_{1} =3+2i$ и $z_{2} =3+2i$ ; 2) $z_{1} =3+3i$ и $z_{2} =3-2i$ .

Решение:

1) Для чисел $z_{1} =3+2i$ и $z_{2} =3+2i$ имеем $3=3,\, \, \, 2=2$ , следовательно, $z_{1} =z_{2}$ .

2) Для чисел $z_{1} =3+3i$ и $z_{2} =3-2i$ имеем $3=3,\, \, \, 2\ne -2$ , следовательно, $z_{1} \ne z_{2}$ .

Выделяют три формы представления (записи) комплексных чисел:

алгебраическая;
тригонометрическая;
показательная.

Алгебраическая форма записи

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

$a$ - вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$ ;
$b$ - мнимая часть, обозначение $Imz=b$ .

Тригонометрическая форма записи

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$ , определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$ , $\varphi$ - аргумент комплексного числа $z$ , определяемый по формуле $\varphi =arctg \frac{b}{a}$ .

Показательная форма записи

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi }$ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$ , определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$ , $\varphi$ - аргумент комплексного числа $z$ , определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a}$ .

Пример 4

Привести примеры комплексных чисел, представленных в различных формах записи.

Решение:

Алгебраическая запись: $z_{1} =\sqrt{3} +(-\sqrt{2} )\cdot i$ , $z_{2} =3+2i$ .

Тригонометрическая запись: $z=\sqrt{3} \cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )$ .

Показательная запись: $z=3\cdot e^{i\cdot \pi }$ .

Операции над комплексными числами

Над комплексными числами можно выполнять следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.

Умножение, деление и возведение в степень выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Извлечение корня выполняется для чисел, представленных в тригонометрической форме.

Сумма

Суммой двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством $z_{1} +z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)+(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} +a_{2} )+(b_{1} +b_{2}$ .

Разность

Разностью двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством $z_{1} -z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)-(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} -a_{2} )+(b_{1} -b_{2}$ .

Пример 5

Выполнить действия: 1) $z_{1} +z_{2}$ 2) $z_{1} -z_{2}$ для комплексных чисел $z_{1} =3+3i$ и $z_{2} =3-2i$ .

Решение:

1) $z_{1} +z_{2} =(3+3i)+(3-2i)=(3+3)+(3-2)i=6+i$

2) $z_{1} +z_{2} =(3+3i)-(3-2i)=(3-3)-(3+2)i=0-5i=-5i$

Произведение

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое получается перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^{2} =-1$ .

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi {2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством $z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2})$ .

Пример 6

Выполнить умножение комплексных чисел:

$z_{1} =3+3i$ и $z_{2} =3-2i$ ; 2) $z_{1} =\sqrt{3} \cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )$ и $z_{2} =\sqrt{3} \cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$ .

Решение:

1) $z_{1} \cdot z_{2} =(3+3i)\cdot (3-2i)=3\cdot 3+3\cdot 3i+3\cdot (-2i)+3i\cdot (-2i)$

$=9+9i-6i-6i^{2} =9+3i+6=15+3i$

2) $z_{1} \cdot z_{2} =\left(\sqrt{3} \cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )\right)\cdot \left(\sqrt{3} \cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )\right)=$ $=\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot [\cos (2\pi +\pi )+i\cdot \sin (2\pi +\pi )]3\cdot (\cos 3\pi +i\cdot \sin 3\pi )$

Частное

Частным двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством $z_{1} \cdot z_{2} =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot [\cos (\varphi _{1} -\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} -\varphi _{2})$ .

Примечание 3

Чтобы выполнить операцию деления комплексных чисел, представленных в алгебраической форме необходимо:

представить запись операции деления в виде дроби;
числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю;
привести полученное выражение к алгебраической записи.

Пример 7

Выполнить деление комплексных чисел:

1) $z_{1} =3+i$ и $z_{2} =2-i$ ; 2) $z_{1} =2\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )$ и $z_{2} =4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$ .

Решение:

1) $\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{3+i}{2-i} =\frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} =\frac{6+2i+3i+i^{2} }{2^{2} -i^{2} } =\frac{6+5i-1}{4+1} =\frac{5+5i}{5} =1+i$

2) $z_{1} \cdot z_{2} =\left(2\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )\right)\div \left(4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )\right)=$

$=2\cdot 4\cdot [\cos (2\pi -\pi )+i\cdot \sin (2\pi -\pi )]=8\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$

Степень

Степенью порядка $n$ комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством $z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi _{1} )$ .

Данная формула называется формулой Муавра.

Пример 8

Выполнить действие $z^{4}$ , где $z=2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$ .

Решение:

По формуле Муавра получим:

$z^{4} =2^{4} \cdot (\cos 4\pi +i\cdot \sin 4\pi )=16\cdot (\cos 4\pi +i\cdot \sin 4\pi).$

Корень

Корнем $n$ -й степени комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством $\sqrt[{n}]{z} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1$ .

Пример 9

Выполнить действие $\sqrt[{3}]{z}$ , где $z=2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$ .

Решение:

Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi }{3} \right)$ .

Для $k=1$ получаем: $w_{2} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi +2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{2} \cdot \left (\cos \pi +i\cdot \sin \pi \right)$ .

Для получаем: Для $k=2$ получаем: $w_{3} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi +4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{5\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{5\pi }{3} \right)$