Извлечение корня из комплексного числа

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Извлечение корня из некоторого комплексного числа выполняется для чисел, которые представлены в тригонометрической форме.

Определение 1

Выражение вида $z=a+bi$ , где $a$ и $b$ - вещественные числа, а $i$ - «мнимая единица», называется комплексным числом $z$ . Мнимая единица определяется равенством $i=\sqrt{-1}$ или $i^{2} =-1$ .

Определение 2

Запись некоторого комплексного числа $z$ в следующем виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$ , который определяется по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$ , $\varphi$ - аргумент комплексного числа $z$ , который определяется по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a}$ .

Определение 3

Корень $n$ -ой степени из некоторого комплексного числа $z$ - это такое комплексное число $w$ , $n$ -я степень которого равна $z$ , то есть

$w^{n} =z.$

Примечание 1

Корень $n$ -ой степени из некоторого комплексного числа $z$ обозначают как $\sqrt[{n}]{z}$ ; на множестве всех комплексных чисел корень $n$ -ой степени из этого комплексного числа $z$ имеет в точности $n$ значений.

Примечание 2

Однозначно извлечь корень из некоторого комплексного числа невозможно, так как он имеет количество значений, равное его степени.

Примечание 3

С геометрической точки зрения все значения корня $n$ -ой степени из некоторого комплексного числа $z$ лежат на некоторой окружности радиуса $\sqrt[{n}]{z}$ , центр которой находится в начале координат О(0;0), и образуют правильный $n$ -угольник (рис. 1).

«Извлечение корня из комплексного числа» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Извлечение корня из комплексного числа

Рис. 1

Все комплексные числа, представленные в тригонометрической форме, можно возвести в некоторую степень по формуле Муавра:

$z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ),\, \, \, \, \, \forall n\in N.$

Аналогично применяя формулу Муавра для вычисления корня $n$ -ой степени из некоторого комплексного числа $z$ (не равного нулю) получаем:

$\sqrt[{n}]{z} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1.$

Определение 4

Корнем $n$ -й степени из некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

$\sqrt[{n}]{z} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1.$

Примечание 4

Если некоторое комплексное число $z$ отлично от нуля, то корень $n$ -й степени существует всегда.

Пример 1

Выполнить действие $\sqrt[{3}]{z}$ , где $z=2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$ .

Решение:

Воспользуемся формулой из определения 4.

Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi }{3} \right)$ .

Для $k=1$ получаем: $w_{2} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi +2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \pi +i\cdot \sin \pi \right)$ .

Для $k=2$ получаем: $w_{3} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi +4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{5\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{5\pi }{3} \right)$ .

Определение 5

Запись некоторого комплексного числа $z$ в следующем виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

$a$ - вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$ ;
$b$ - мнимая часть, обозначение $Imz=b$ .

Алгоритм 1

Чтобы извлечь корень $n$ -ой степени из некоторого комплексного числа $z$ , представленного в алгебраической форме, необходимо выполнить следующие действия:

записать данное число в тригонометрической форме;
извлечь корни, используя определение.

Алгоритм 2

Чтобы комплексное число $z$ , записанное в алгебраической форме, привести к тригонометрической форме записи, необходимо выполнить следующее:

вычислить модуль и аргумент;
подставить полученные значения в выражение $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$ .

Пример 2

Выполнить операцию извлечения корня $\sqrt[{3}]{z}$ для заданных комплексных чисел в алгебраической форме представления:

$z=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot i.$

Решение:

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$ .

По условию $a=\frac{1}{2} ,b=\frac{1}{2}$ .

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

$r=\sqrt{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(\frac{1}{2} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{1}{4} } =\sqrt{\frac{1}{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

$\varphi =\arg z=arctg\frac{1/2}{1/2} =arctg1=\frac{\pi }{4} .$

Подставим полученные значения и получим:

$z=\frac{\sqrt{2} }{2} \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} ).$

Воспользуемся формулой из определения 4.

Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{\pi }{12} \right)$ .

Для $k=1$ получаем:

$w_{2} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi /4+2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi /4+2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{3\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{4} \right).$

Для $k=2$ получаем:

$w_{3} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi /4+4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi /4+4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{17\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{17\pi }{12} \right).$

Определение 6

Запись комплексного числа $z$ в следующем виде $z=r\cdot e^{i\varphi }$ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$ , который определяется по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$ , $\varphi$ - аргумент комплексного числа $z$ , который определяется по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a}$ .

Алгоритм 3

Чтобы извлечь корень $n$ -ой степени из некоторого комплексного числа $z$ , представленного в показательной форме, необходимо выполнить следующие действия:

записать число в тригонометрической форме;
извлечь корни, используя определение.

Алгоритм 4

Чтобы комплексное число $z$ , записанное в показательной форме, привести к тригонометрической форме записи, необходимо выполнить следующее:

определить из показательной записи числа значения модуля и аргумента;
подставить полученные значения в выражение $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$ .

Пример 3

Выполнить операцию извлечения корня $\sqrt{z}$ для заданных комплексных чисел в показательной форме представления:

$z=3\cdot e^{\frac{\pi }{3} \cdot i} .$

Решение:

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$ .

Определим значения модуля и аргумента: $r=3,\, \, \varphi =\frac{\pi }{3}$ .

Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=3\cdot (\cos \frac{\pi }{3} +i\sin \frac{\pi }{3} )$ .

Воспользуемся формулой из определения 4.

Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt{z} =\sqrt{3} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{6} +i\cdot \sin \frac{\pi }{6} \right)$ .

Для $k=1$ получаем:

$w_{2} =\sqrt{z} =\sqrt{3} \cdot \left(\cos \frac{\pi /3+2\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi /3+2\pi }{2} \right)=\sqrt{3} \cdot \left(\cos \frac{7\pi }{6} +i\cdot \sin \frac{7\pi }{6} \right).$