Извлечение корня из комплексного числа

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Извлечение корня из некоторого комплексного числа выполняется для чисел, которые представлены в тригонометрической форме.

Определение 1

Выражение вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ - вещественные числа, а $i$ - «мнимая единица», называется комплексным числом $z$. Мнимая единица определяется равенством $i=\sqrt{-1} $ или $i^{2} =-1$.

Определение 2

Запись некоторого комплексного числа $z$ в следующем виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, который определяется по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, который определяется по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Определение 3

Корень $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$ - это такое комплексное число $w$, $n$-я степень которого равна $z$, то есть \[w^{n} =z.\]

Примечание 1

Корень $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$ обозначают как $\sqrt[{n}]{z} $; на множестве всех комплексных чисел корень $n$-ой степени из этого комплексного числа $z$ имеет в точности $n$ значений.

Примечание 2

Однозначно извлечь корень из некоторого комплексного числа невозможно, так как он имеет количество значений, равное его степени.

Примечание 3

С геометрической точки зрения все значения корня $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$ лежат на некоторой окружности радиуса $\sqrt[{n}]{z} $, центр которой находится в начале координат О(0;0), и образуют правильный $n$-угольник (рис. 1).

«Извлечение корня из комплексного числа» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Извлечение корня из комплексного числа

Рис. 1

Все комплексные числа, представленные в тригонометрической форме, можно возвести в некоторую степень по формуле Муавра:

\[z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ),\, \, \, \, \, \forall n\in N.\]

Аналогично применяя формулу Муавра для вычисления корня $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$ (не равного нулю) получаем:

\[\sqrt[{n}]{z} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1.\]

Определение 4

Корнем $n$-й степени из некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[\sqrt[{n}]{z} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1.\]

Примечание 4

Если некоторое комплексное число $z$ отлично от нуля, то корень $n$-й степени существует всегда.

Пример 1

Выполнить действие $\sqrt[{3}]{z} $, где $z=2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

Решение:

Воспользуемся формулой из определения 4.

Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi }{3} \right)$.

Для $k=1$ получаем: $w_{2} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi +2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \pi +i\cdot \sin \pi \right)$.

Для $k=2$ получаем: $w_{3} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi +4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{2} \cdot \left(\cos \frac{5\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{5\pi }{3} \right)$.

Определение 5

Запись некоторого комплексного числа $z$ в следующем виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

$a$ - вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$;
$b$ - мнимая часть, обозначение $Imz=b$.

Алгоритм 1

Чтобы извлечь корень $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$, представленного в алгебраической форме, необходимо выполнить следующие действия:

записать данное число в тригонометрической форме;
извлечь корни, используя определение.

Алгоритм 2

Чтобы комплексное число $z$, записанное в алгебраической форме, привести к тригонометрической форме записи, необходимо выполнить следующее:

вычислить модуль и аргумент;
подставить полученные значения в выражение $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.

Пример 2

Выполнить операцию извлечения корня $\sqrt[{3}]{z} $ для заданных комплексных чисел в алгебраической форме представления:

\[z=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot i.\]

Решение:

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.

По условию $a=\frac{1}{2} ,b=\frac{1}{2} $.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

\[r=\sqrt{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(\frac{1}{2} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{1}{4} } =\sqrt{\frac{1}{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} \]

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{1/2}{1/2} =arctg1=\frac{\pi }{4} .\]

Подставим полученные значения и получим:

\[z=\frac{\sqrt{2} }{2} \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} ).\]

Воспользуемся формулой из определения 4.

Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{\pi }{12} \right)$.

Для $k=1$ получаем:

\[w_{2} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi /4+2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi /4+2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{3\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{4} \right).\]

Для $k=2$ получаем:

\[w_{3} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi /4+4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi /4+4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{\frac{\sqrt{2} }{2} } \cdot \left(\cos \frac{17\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{17\pi }{12} \right).\]

Определение 6

Запись комплексного числа $z$ в следующем виде $z=r\cdot e^{i\varphi } $ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, который определяется по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, который определяется по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Алгоритм 3

Чтобы извлечь корень $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$, представленного в показательной форме, необходимо выполнить следующие действия:

записать число в тригонометрической форме;
извлечь корни, используя определение.

Алгоритм 4

Чтобы комплексное число $z$, записанное в показательной форме, привести к тригонометрической форме записи, необходимо выполнить следующее:

определить из показательной записи числа значения модуля и аргумента;
подставить полученные значения в выражение $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.

Пример 3

Выполнить операцию извлечения корня $\sqrt{z} $ для заданных комплексных чисел в показательной форме представления:

\[z=3\cdot e^{\frac{\pi }{3} \cdot i} .\]

Решение:

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.

Определим значения модуля и аргумента: $r=3,\, \, \varphi =\frac{\pi }{3} $.

Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=3\cdot (\cos \frac{\pi }{3} +i\sin \frac{\pi }{3} )$.

Воспользуемся формулой из определения 4.

Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt{z} =\sqrt{3} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{6} +i\cdot \sin \frac{\pi }{6} \right)$.

Для $k=1$ получаем:

\[w_{2} =\sqrt{z} =\sqrt{3} \cdot \left(\cos \frac{\pi /3+2\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi /3+2\pi }{2} \right)=\sqrt{3} \cdot \left(\cos \frac{7\pi }{6} +i\cdot \sin \frac{7\pi }{6} \right).\]

Дата последнего обновления статьи: 13.11.2024