Формы записи комплексных чисел

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Выражение вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ - вещественные числа, а $i$ - «мнимая единица», называется комплексным числом $z$. Мнимая единица определяется равенством $i=\sqrt{-1} $ или $i^{2} =-1$.

Выделяют три формы представления (записи) комплексных чисел:

алгебраическая;
тригонометрическая;
показательная.

Определение 2

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

$a$ - вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$;
$b$ - мнимая часть, обозначение $Imz=b$.

Определение 3

Комплексное число вида $\overline{z}=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Примечание 1

Представление комплексно-сопряженного числа $z=a-bi$ в алгебраической форме записи имеет вид $z=a+(-b)i$.

Примечание 2

Действительное число в алгебраической форме записывается как $z=a+0\cdot i$, чисто мнимое - $z=0+b\cdot i$.

Пример 1

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

\[1) z=\sqrt{2} -\sqrt{3} \cdot i; 2) z=\sqrt{3} \cdot (1+3i).\]

Решение:

Алгебраическая форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

1) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=\sqrt{2} ,b=-\sqrt{3} $.

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом

\[z=\sqrt{2} +(-\sqrt{3} )\cdot i.\]

2) Преобразуем исходное число, раскрыв скобки и выполнив необходимые вычисления:

\[z=\sqrt{3} \cdot (1+3i)=\sqrt{3} \cdot 1+\sqrt{3} \cdot 3i=\sqrt{3} +3\sqrt{3} \cdot i\]

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом

\[z=\sqrt{3} +3\sqrt{3} \cdot i.\]

«Формы записи комплексных чисел» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 2

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

\[1) z=\sqrt{2} ; 2) z=3i.\]

Решение:

Алгебраическая форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

1) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=\sqrt{2} ,b=0$.

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом

\[z=\sqrt{2} +0\cdot i.\]

2) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=0,b=3$.

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом \[z=0+3i.\]

Определение 4

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Пример 3

Представить в тригонометрической форме заданные комплексные числа, для которых:

\[1) r=2,\varphi =\pi ; 2) r=0,\varphi =\frac{3\pi }{2} .\]

Решение:

Тригонометрическая форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.

Для $r=2,\varphi =\pi $ получаем комплексное число $z=2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

Для $r=0,\varphi =\frac{3\pi }{2} $ получаем комплексное число $z=0\cdot \left(\cos \frac{3\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{2} \right)$.

Пример 4

Представить заданное комплексное число в тригонометрической форме: $z=\frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{2} }{2} \cdot i$.

Решение:

Тригонометрическая форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.

По условию $a=\frac{\sqrt{2} }{2} ,b=\frac{\sqrt{2} }{2} $.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

\[r=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{2}{4} +\frac{2}{4} } =\sqrt{1} =1\]

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{\sqrt{2} /2}{\sqrt{2} /2} =arctg1=\frac{\pi }{4} .\]

Подставим полученные значения и получим:

\[z=1\cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} ).\]

Следовательно, $z=1\cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} )$ - искомая запись исходного комплексного числа.

Определение 5

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi } $ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Пример 5

Представить в показательной форме заданные комплексные числа, для которых:

\[1) r=3,\varphi =2\pi ; 2) r=0,\varphi =\frac{\pi }{6} .\]

Решение:

Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r\cdot e^{i\varphi } $.

Для $r=3,\varphi =2\pi $ получаем комплексное число $z=3\cdot e^{i\cdot 2\pi } $.

Для $r=0,\varphi =\frac{\pi }{6} $ получаем комплексное число $z=0\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6} } $.

Пример 6

Представить заданные комплексные числа в показательной форме:

\[1) z=\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{6} +i\sin \frac{\pi }{6} ); 2) z=\cos \frac{2\pi }{3} +i\sin \frac{2\pi }{3} ;.\]

Решение:

Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r\cdot e^{i\varphi } $.

\[1)\] Определим значения модуля и аргумента: $r=\sqrt{3} ,\, \, \varphi =\frac{\pi }{6} $.

Запись исходного числа в показательной форме имеет вид: $z=\sqrt{3} \cdot e^{\frac{\pi }{6} \cdot i} $.

\[2)\] Определим значения модуля и аргумента: $r=1,\, \, \varphi =\frac{2\pi }{3} $.

Запись исходного числа в показательной форме имеет вид: $z=1\cdot e^{\frac{2\pi }{3} \cdot i} $.

Пример 7

Представить заданные комплексные числа в показательной форме:

\[1) z=4+0\cdot i; 2) z=\sqrt{2} +\sqrt{2} \cdot i.\]

Решение:

Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r\cdot e^{i\varphi } $.

1) По условию $a=4,b=0$.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

\[r=\sqrt{4^{2} +0^{2} } =4\]

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{0}{4} =arctg0=0.\]

Подставим полученные значения и получим:

\[z=4\cdot e^{i\cdot 0} .\]

Следовательно, $z=4\cdot e^{i\cdot 0} $ - искомая запись исходного комплексного числа.

2) По условию $z=\sqrt{2} +\sqrt{2} \cdot i$.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

\[r=\sqrt{(\sqrt{2} )^{2} +(\sqrt{2} )^{2} } =\sqrt{2+2} =\sqrt{4} =2\]

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =arctg1=\frac{\pi }{4} .\]

Подставим полученные значения и получим:

\[z=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4} } .\]

Следовательно, $z=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4} } $ - искомая запись исходного комплексного числа.

Алгоритм 1

Чтобы комплексное число $z$, записанное в тригонометрической форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:

подставить в запись числа соответствующие значения для $\cos \varphi $ и $\sin \varphi $ (использовать таблицы Брадиса);
преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.

Пример 4

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

\[1) z=3\cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi ); 2) z=\frac{1}{\sqrt{2} } \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} ).\]

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

1) По таблице косинусов и синусов $\cos 2\pi =1;\sin 2\pi =0$.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

\[z=3\cdot \left(1+0i\right)=3+0\cdot i.\]

Следовательно, $z=3+0\cdot i$ - искомая запись комплексного числа.

2) По таблице косинусов и синусов $\cos \frac{\pi }{4} =\frac{\sqrt{2} }{2} ;\sin \frac{\pi }{4} =\frac{\sqrt{2} }{2} $.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

\[z=\frac{1}{\sqrt{2} } \cdot \left(\frac{\sqrt{2} }{2} +i\frac{\sqrt{2} }{2} \right)=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot i.\]