Формы записи комплексных чисел

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Выражение вида $z=a+bi$ , где $a$ и $b$ - вещественные числа, а $i$ - «мнимая единица», называется комплексным числом $z$ . Мнимая единица определяется равенством $i=\sqrt{-1}$ или $i^{2} =-1$ .

Выделяют три формы представления (записи) комплексных чисел:

алгебраическая;
тригонометрическая;
показательная.

Определение 2

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

$a$ - вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$ ;
$b$ - мнимая часть, обозначение $Imz=b$ .

Определение 3

Комплексное число вида $\overline{z}=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$ .

Примечание 1

Представление комплексно-сопряженного числа $z=a-bi$ в алгебраической форме записи имеет вид $z=a+(-b)i$ .

Примечание 2

Действительное число в алгебраической форме записывается как $z=a+0\cdot i$ , чисто мнимое - $z=0+b\cdot i$ .

Пример 1

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

$1) z=\sqrt{2} -\sqrt{3} \cdot i; 2) z=\sqrt{3} \cdot (1+3i).$

Решение:

Алгебраическая форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$ .

1) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=\sqrt{2} ,b=-\sqrt{3}$ .

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом

$z=\sqrt{2} +(-\sqrt{3} )\cdot i.$

2) Преобразуем исходное число, раскрыв скобки и выполнив необходимые вычисления:

$z=\sqrt{3} \cdot (1+3i)=\sqrt{3} \cdot 1+\sqrt{3} \cdot 3i=\sqrt{3} +3\sqrt{3} \cdot i$

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом

$z=\sqrt{3} +3\sqrt{3} \cdot i.$

«Формы записи комплексных чисел» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 2

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

$1) z=\sqrt{2} ; 2) z=3i.$

Решение:

Алгебраическая форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$ .

1) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=\sqrt{2} ,b=0$ .

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом

$z=\sqrt{2} +0\cdot i.$

2) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=0,b=3$ .

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом

$z=0+3i.$

Определение 4

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$ , определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$ , $\varphi$ - аргумент комплексного числа $z$ , определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a}$ .

Пример 3

Представить в тригонометрической форме заданные комплексные числа, для которых:

$1) r=2,\varphi =\pi ; 2) r=0,\varphi =\frac{3\pi }{2} .$

Решение:

Тригонометрическая форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$ .

Для $r=2,\varphi =\pi$ получаем комплексное число $z=2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$ .

Для $r=0,\varphi =\frac{3\pi }{2}$ получаем комплексное число $z=0\cdot \left(\cos \frac{3\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{2} \right)$ .

Пример 4

Представить заданное комплексное число в тригонометрической форме: $z=\frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{2} }{2} \cdot i$ .

Решение:

Тригонометрическая форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$ .

По условию $a=\frac{\sqrt{2} }{2} ,b=\frac{\sqrt{2} }{2}$ .

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

$r=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{2}{4} +\frac{2}{4} } =\sqrt{1} =1$

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

$\varphi =\arg z=arctg\frac{\sqrt{2} /2}{\sqrt{2} /2} =arctg1=\frac{\pi }{4} .$

Подставим полученные значения и получим:

$z=1\cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} ).$

Следовательно, $z=1\cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} )$ - искомая запись исходного комплексного числа.

Определение 5

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi }$ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$ , определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$ , $\varphi$ - аргумент комплексного числа $z$ , определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a}$ .

Пример 5

Представить в показательной форме заданные комплексные числа, для которых:

$1) r=3,\varphi =2\pi ; 2) r=0,\varphi =\frac{\pi }{6} .$

Решение:

Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r\cdot e^{i\varphi }$ .

Для $r=3,\varphi =2\pi$ получаем комплексное число $z=3\cdot e^{i\cdot 2\pi }$ .

Для $r=0,\varphi =\frac{\pi }{6}$ получаем комплексное число $z=0\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6} }$ .

Пример 6

Представить заданные комплексные числа в показательной форме:

$1) z=\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{6} +i\sin \frac{\pi }{6} ); 2) z=\cos \frac{2\pi }{3} +i\sin \frac{2\pi }{3} ;.$

Решение:

Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r\cdot e^{i\varphi }$ .

$1)$ Определим значения модуля и аргумента:

$r=\sqrt{3} ,\, \, \varphi =\frac{\pi }{6}$ .

Запись исходного числа в показательной форме имеет вид: $z=\sqrt{3} \cdot e^{\frac{\pi }{6} \cdot i}$ .

$2)$ Определим значения модуля и аргумента:

$r=1,\, \, \varphi =\frac{2\pi }{3}$ .

Запись исходного числа в показательной форме имеет вид: $z=1\cdot e^{\frac{2\pi }{3} \cdot i}$ .

Пример 7

Представить заданные комплексные числа в показательной форме:

$1) z=4+0\cdot i; 2) z=\sqrt{2} +\sqrt{2} \cdot i.$

Решение:

Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r\cdot e^{i\varphi }$ .

1) По условию

$a=4,b=0$ .

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

$r=\sqrt{4^{2} +0^{2} } =4$

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

$\varphi =\arg z=arctg\frac{0}{4} =arctg0=0.$

Подставим полученные значения и получим:

$z=4\cdot e^{i\cdot 0} .$

Следовательно, $z=4\cdot e^{i\cdot 0}$ - искомая запись исходного комплексного числа.

2) По условию $z=\sqrt{2} +\sqrt{2} \cdot i$ .

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

$r=\sqrt{(\sqrt{2} )^{2} +(\sqrt{2} )^{2} } =\sqrt{2+2} =\sqrt{4} =2$

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

$\varphi =\arg z=arctg\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =arctg1=\frac{\pi }{4} .$

Подставим полученные значения и получим:

$z=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4} } .$

Следовательно, $z=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4} }$ - искомая запись исходного комплексного числа.

Алгоритм 1

Чтобы комплексное число $z$ , записанное в тригонометрической форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:

подставить в запись числа соответствующие значения для $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ (использовать таблицы Брадиса);
преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.

Пример 4

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме: