Поиск наименьшего общего кратного — задача, с которой все мы сталкиваемся при необходимости найти общий знаменатель для дроби. Ниже для удобства обозначения мы будем использовать не только термин «наименьшее общее кратное», но и его сокращение — НОК.
Давайте рассмотрим подробнее, что значит НОК.
Наименьшее общее кратное нескольких чисел $a, b, c, d$ — это наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на все эти числа.
Нахождение НОК
Существует несколько различных приёмов для определения НОК:
- Через связь наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя;
- Через разложение чисел, для которых ищется НОК, на простые множители.
Как искать НОК через наибольший общий делитель
Для начала вспомним, что такое наибольший общий делитель.
Наибольшим общим делителем называют наибольшее число, в результате деления на которое двух или более чисел не остаётся остатка.
Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо следующее тождество:
$НОД(a, b) \cdot НОК(a, b)=a \cdot b$.
Способы нахождения НОД для определения НОК:
- Бинарный метод.
- Алгоритм Евклида.
Алгоритм Евклида для поиска НОК рассмотрен подробнее в другой статье на нашем сайте.
Также НОД можно вычислить через каноническое разложение чисел на простые множители. Для этого числа, для которых ищется НОД, сначала раскладывают на простые множители.
После этого отдельной строкой выписывают все простые множители, входящие в каждое разложение хотя бы один раз.
После к простым множителям подписывают их наименьшую степень и перемножают. Полученное произведение будет являться наибольшим общим делителем данных чисел.
Если же НОД уже известен, то для определения НОК через этот метод можно воспользоваться следующей формулой:
$НОК(a,b)=\frac{|a \cdot b|}{НОД(a, b)}$
Здесь $НОД$ — наибольший общий делитель для чисел $a$ и $b$.
Как найти НОК через разложение чисел
Представление числа через произведение простых чисел, возведённых в разные степени, называется разложением числа на простые множители.
Из этого определения можно сделать следующий вывод: любое натуральное число кроме единицы либо является простым, либо его можно разложить до простых множителей, причём единственным способом. Числа, которые можно разложить на простые множители, называются составными.
Для осуществления разложения числа на множители используют признаки делимости чисел.
Существуют пары чисел, наибольший общий делитель которых равен единице. Такие числа называются взаимно простыми.
При поиске НОК для взаимно простых чисел их разложения не содержат одних и тех же простых множителей.
Существует ещё одна закономерность для взаимно простых чисел: если число делится на каждое из взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.
Наиболее частым является каноническое разложение, при его использовании числа раскладываются на множители в порядке возрастания.
Теперь, узнав основные используемые понятия, можно перейти к алгоритму определения НОК данным методом.
Алгоритм определения НОК
- Разложить числа, для которых нужно найти наименьшее общее кратное на простые множители.
- В отдельную строчку выписать все простые числа, которые входят в каждое из разложений.
- Для каждого из простых чисел выписать максимальную степень, с которой оно встречается в разложении.
- Записать произведение всех выписанных простых чисел в максимальных встреченных степенях.
Как найти НОК трех чисел и более
Для того чтобы найти НОК более чем для двух чисел, сначала необходимо выбрать 2 любых числа из необходимых и найти НОК для них, после этого нужно взять следующее число и найти НОК для него и уже посчитанного ранее наименьшего общего кратного.
Эту процедуру необходимо выполнять до тех пор, пока не закончатся числа, для которых необходимо найти наименьшее общее кратное.
Другим способом найти НОК сразу для нескольких чисел является выписывание в строку всех простых множителей, содержащихся в разложениях, с их наибольшей степенью и затем их последующее перемножение.
Приведите дроби к общему знаменателю:
- $\frac{25}{104}$ и $\frac{37}{520}$.
- $\frac{7}{132}$ и $\frac{9}{154}$
- $\frac{3}{4};\frac{13}{20};\frac{41}{60}; \frac{17}{75};\frac{11}{25}$.
Решение:
Чтобы привести дроби $\frac{25}{104}$ и $\frac{37}{520}$ к общему знаменателю, для начала необходимо найти общее кратное для чисел $104$ и $520$, стоящих под чертой дроби. Для этого разложим их на множители:
$104=1 \cdot 2^3 \cdot 13$;
$520=1 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 13$.
Теперь вычислим наименьшее общее кратное. Чтобы это сделать, выпишем каждый простой множитель, встречающийся в разложениях обоих чисел хотя бы раз с его наибольшей степенью, имеем:
$НОК= \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 13=520$.
Теперь найдём множители для каждой из дробей, на которые их необходимо для множить. Для дроби $\frac{25}{104}$ этот множитель равен $520:104=5$, для второй дроби $\frac{37}{520}$ он равен $520:520=1$. Следовательно, первую дробь нужно домножить на $\frac{5}{5}$, а вторую на $\frac{1}{1}$:
$\frac{25 \cdot 5}{104 \cdot 5}$ и $\frac{37 \cdot 1}{520 \cdot 1}$;
$\frac{125}{520}$ и $\frac{37}{520}$.
Найдём наименьшее кратное для дробей $\frac{7}{132}$ и $\frac{9}{154}$. Для этого вновь разложим знаменатели используя каноническое разложение:
$132=1 \cdot 2^2 \cdot 3^1 \cdot 11^1$;
$154= 1 \cdot 2 \cdot 7^1 \cdot 11^1$.
Найдём НОК:
$НОК=2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 = 924$.
Множитель, на который нужно умножить числитель и знаменатель первой дроби для приведения к общему знаменателю — $7$, а вторую нужно домножить на $6$.
Получаем:
$\frac{7 \cdot 7}{132 \cdot 7}$ и $\frac{9 \cdot 6}{154 \cdot 6}$;
$\frac{49}{924}$ и $\frac{36}{924}$.
Сначала разложим на простые множители знаменатели дробей
$\frac{3}{4};\frac{13}{20};\frac{41}{60}; \frac{17}{75};\frac{11}{25}$:
$4=1 \cdot 2^2$;
$20=1 \cdot 2^2 5$;
$60=1 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5$;
$75= 1 \cdot 3 \cdot 5^2$;
$25=1 \cdot 5^2$.
Выпишем все множители при старших степенях для вычисления НОК:
$НОК=2^2 \cdot 3 \cdot 5^2=300$.
Множители для каждой дроби соответственно $75;15;5;4;12$.
В результате приведения к общему знаменателю получим:
$\frac{225}{300}; \frac{195}{300}; \frac{195}{300}; \frac{205}{300}; \frac{68}{300}; \frac{132}{300}$.
