Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

НОД: определение

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / НОД: определение
НОД: определение
Определение 1

НОД (наибольший общий делитель) — это максимальное число, на которое делятся несколько рассматриваемых чисел.

Теперь о том, как найти НОД двух чисел или более.

Алгоритм нахождения НОД

  1. Осуществите разложения на простые множители каждое из исследуемых чисел. Не забудьте указать степень над каждым простым множителем.
  2. Отдельной строкой в порядке возрастания выпишите простые множители, встречающиеся в разложении каждого из чисел с минимальной степенью, с которой этот множитель встречается во всех разложениях.
  3. Сосчитайте произведение выписанных в степенях чисел.

Следуя данному алгоритму, можно произвести определение НОД двух чисел и более. Наименьший же общий делитель всегда равен единице.

Возможны задачи, в которых НОД нужно найти через наибольшее общее кратное (НОК). Тогда формула нахождения НОД двух чисел или более выглядит так:

$НОД(a;b)=\frac{a \cdot b}{НОК(a;b)}$.

Свойства НОД

  • НОД двух чисел $a$ и $b$ делится на любой общий множитель;
  • Если число $a$ делится на $b$ без остатка, то $НОД(a; b)=b$;
  • При делении $a$ и $b$ на НОД получаются взаимно простые числа.
Пример 1

Осуществите каноническое разложение следующих чисел:

$735;525;882;1925;156;208;495;693;247$.

Чему равен НОД первых трёх чисел?

Решение:

$735= 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7^2$;

$525=3 \cdot 5^2 \cdot 7^2$;

$882=2 \cdot 3^2 \cdot 7^2$;

$1925=5^2 \cdot 7 \cdot 11$;

$156=2^2 \cdot 3 \cdot 13$;

$208=2^4 \cdot 13$;

$495 = 3^2 \cdot 5 \cdot 11$;

$693= 3^2 \cdot 7 \cdot 11$;

$247=13 \cdot 19$.

Для того чтобы найти наибольший общий делитель для чисел $735; 525; 882$, выпишем их общие множители с минимальными степенями:

$НОД(735; 525; 882)=3 \cdot 7 = 21$.