Определение функции распределения
Пусть X – случайная величина, а x – вероятность распределения этой случайной величины.
Функцией распределения называется функция F(x) удовлетворяющая условию $F\left(x\right)=P(X
Также иначе функцию распределения иногда называются интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
В общем виде график функции распределения представляет собой график неубывающей функции с областью значений, принадлежащей отрезку [0,1] (причем 0 и 1 обязательно входят в область значений). При этом функция может, как иметь, так и не иметь скачков функции (рис. 1)
Рисунок 1. Пример графика функции распределения
Функция распределения дискретной случайной величины
Пусть случайная величина X является дискретной. И пусть для нее дан ряд её распределения. Для такой величины функцию распределения вероятностей можно записать в следующем виде:
ступенчатую функцию
Функция распределения непрерывной случайной величины
Пусть случайная величина X теперь является непрерывной.
График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую непрерывную функцию (рис. 3).
Функция распределения смешанной случайной величины
Рассмотрим теперь случай, где случайная величина X является смешанной.
График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую функцию, которая имеет минимальное значение в 0, максимальное значение в 1, но которая не на всей области определения является непрерывной функцией (то есть имеет скачки в отдельных точках) (рис. 4).
Рисунок 4. Функция распределения смешанной случайной величины
Примеры задач на нахождение функции распределения
Приведен ряд распределений появления события A в трех опытах
Рисунок 5.
Найти функцию распределения вероятностей и построить её график.
Решение.
Так как случайная величина является дискретной, то мы можем пользоваться формулой $\ F\left(x\right)=\sum\limits_{x_i
При x≤0, F(x)=0;
При $0
При $1
При $2
При x>3, F(x)=0,2+0,1+0,3+0,4=1;
Отсюда получаем следующую функцию распределения вероятностей:
Рисунок 6.
Построим ее график:
Рисунок 7.
Проводится один опыт, в котором событие A может, как произойти, так и не произойти. Вероятность того, что данное событие произойдет равно 0,6. Найти и построить функцию распределения случайной величины.
Решение.
Так как вероятность того, что событие A произойдет равно 0,6, то вероятность того, что данное событие не произойдет равно 1−0,6=0,4.
Построим для начала ряд распределения данной случайной величины:
Рисунок 8.
Так как случайная величина является дискретной, найдем функцию распределения по аналогии с задачей 1:
При x≤0, F(x)=0;
При $0
При x>1, F(x)=0,4+0,6=1;
Таким образом, получаем следующую функцию распределения:
Рисунок 9.
Построим ее график:
Рисунок 10.
