Определение функции распределения
Пусть – случайная величина, а – вероятность распределения этой случайной величины.
Функцией распределения называется функция удовлетворяющая условию $F\left(x\right)=P(X
Также иначе функцию распределения иногда называются интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
В общем виде график функции распределения представляет собой график неубывающей функции с областью значений, принадлежащей отрезку (причем 0 и 1 обязательно входят в область значений). При этом функция может, как иметь, так и не иметь скачков функции (рис. 1)
Рисунок 1. Пример графика функции распределения
Функция распределения дискретной случайной величины
Пусть случайная величина является дискретной. И пусть для нее дан ряд её распределения. Для такой величины функцию распределения вероятностей можно записать в следующем виде:
ступенчатую функцию
Функция распределения непрерывной случайной величины
Пусть случайная величина теперь является непрерывной.
График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую непрерывную функцию (рис. 3).
Функция распределения смешанной случайной величины
Рассмотрим теперь случай, где случайная величина является смешанной.
График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую функцию, которая имеет минимальное значение в 0, максимальное значение в 1, но которая не на всей области определения является непрерывной функцией (то есть имеет скачки в отдельных точках) (рис. 4).
Рисунок 4. Функция распределения смешанной случайной величины
Примеры задач на нахождение функции распределения
Приведен ряд распределений появления события в трех опытах
Рисунок 5.
Найти функцию распределения вероятностей и построить её график.
Решение.
Так как случайная величина является дискретной, то мы можем пользоваться формулой $\ F\left(x\right)=\sum\limits_{x_i
При , ;
При $0
При $1
При $2
При , ;
Отсюда получаем следующую функцию распределения вероятностей:
Рисунок 6.
Построим ее график:
Рисунок 7.
Проводится один опыт, в котором событие может, как произойти, так и не произойти. Вероятность того, что данное событие произойдет равно . Найти и построить функцию распределения случайной величины.
Решение.
Так как вероятность того, что событие произойдет равно , то вероятность того, что данное событие не произойдет равно .
Построим для начала ряд распределения данной случайной величины:
Рисунок 8.
Так как случайная величина является дискретной, найдем функцию распределения по аналогии с задачей 1:
При , ;
При $0
При , ;
Таким образом, получаем следующую функцию распределения:
Рисунок 9.
Построим ее график:
Рисунок 10.
