Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.
Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.
Если аргументу $x$ дать приращение $\Delta x$, а аргументу $y$ -- приращение $\Delta y$, то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$. Обозначение:
Полный дифференциал заданной функции $z=f(x,y)$ является линейной частью приращения функции и записывается в виде
\[dz=f'_{x} (x,y)\cdot \Delta x+f'_{y} (x,y)\cdot \Delta y.\]Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полный дифференциал:
Приращения независимых переменных, а именно, $\Delta x,\, \, \Delta y,\, \, \Delta z,...,\Delta t$ называют дифференциалами независимых переменных $x,y,z,...,t$. Обозначение: $dx,dy,dz,...,dt$.
В новых обозначениях выражения для полного дифференциала принимает следующий вид:
Полный дифференциал находит свое применение в приближенных вычислениях.
Рассмотрим заданную функцию $z=f(x,y)$, дифференцируемую в точке $(x,y)$, и запишем для нее полное приращение:
Преобразуем формулу следующим образом:
$f(x+\Delta x,y+\Delta y)=f(x,y)+\Delta z$ (1)
Подставив в формулу (1) вместо $\Delta z$ выражение для полного дифференциала, получим следующую приближенную формулу:
$f(x+\Delta x,y+\Delta y)=f(x,y)+f'_{x} (x,y)\cdot \Delta x+f'_{y} (x,y)\cdot \Delta y$, (2)
которая является верной с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно приращений $\Delta x,\, \, \Delta y$.
Формула (2) используется при решении задач на приближенные вычисления.
Вычислить приближенное значение заданной функции
\[f(x,y)=x^{3} +\sqrt{y} \]в точке (1;4) при $\Delta x=0,01;\, \, \Delta y=0,02$.
Решение:
Запишем частные производные заданной функции:
\[f'_{x} (x,y)=3x^{2} , f'_{y} (x,y)=\frac{1}{2\sqrt{y} } .\]Вычислим значения частных производных в заданной точке:
\[f'_{x} (1,4)=3\cdot 1^{2} =3, f'_{y} (1,4)=\frac{1}{2\sqrt{4} } =\frac{1}{4} .\]Вычислим значение функции в заданной точке:
\[f(1,4)=1^{3} +\sqrt{4} =1+2=3.\]Воспользуемся формулой (2) и получим:
\[f(1+0,01,4+0,02)=f(1,4)+f'_{x} (1,4)\cdot 0,01+f'_{y} (1,4)\cdot 0,02=3+3\cdot 0,01+\frac{1}{4} \cdot 0,02=3,035.\]Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Если для каждой совокупности $(x,y,z,...,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,...,t)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$.
Аналогичную формулу можно записать для функции трех и более переменных:
\[f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)=f(x,y,z)+f'_{x} (x,y,z)\cdot \Delta x+f'_{y} (x,y,z)\cdot \Delta y+...+f'_{z} (x,y,z)\cdot \Delta z;\] \[f(x+\Delta x,y+\Delta y,...,t+\Delta t)=\] \[=f(x,y,...,t)+f'_{x} (x,y,...,t)\cdot \Delta x+f'_{y} (x,y,...,t)\cdot \Delta y+...+f'_{t} (x,y,...,t)\cdot \Delta t.\]Вычислить приближенное значение заданной функции
\[f(x,y,z)=x^{3} +y^{2} +z^{2} \]в точке (1;4;1) при $\Delta x=0,01;\, \, \Delta y=0,02;\, \, \Delta z=0,01$.
Решение:
Запишем частные производные заданной функции:
\[f'_{x} (x,y,z)=3x^{2} , f'_{y} (x,y,z)=2y, f'_{z} (x,y,z)=2z.\]Вычислим значения частных производных в заданной точке:
\[f'_{x} (1,4,1)=3\cdot 1^{2} =3, f'_{y} (1,4,1)=2\cdot 1=2, f'_{z} (1,4,1)=2\cdot 1=2.\]Вычислим значение функции в заданной точке:
\[f(1,4,1)=1^{3} +4^{2} +1^{2} =1+16+1=18.\]Воспользуемся формулой (2) и получим:
\[f(1+0,01;4+0,02;1+0,01)=f(1,4,1)+f'_{x} (1,4,1)\cdot 0,01+f'_{y} (1,4,1)\cdot 0,02+f'_{z} (1,4,1)\cdot 0,01=\] \[=18+3\cdot 0,01+2\cdot 0,02+2\cdot 0,01=18+0,03+0,04+0,02=18,09.\]Также полный дифференциал используют применительно к оценке погрешностей при вычислениях:
-
Максимальная абсолютная погрешность:
\[|\Delta *w|=\left|\frac{\partial f}{\partial x} \right|\cdot |\Delta *x|+\left|\frac{\partial f}{\partial y} \right|\cdot |\Delta *y|+...+\left|\frac{\partial f}{\partial t} \right|\cdot |\Delta *t|;\] -
Максимальная относительная погрешность:
\[\frac{|\Delta *w|}{|w|} =\left|\frac{\frac{\partial f}{\partial x} }{f} \right|\cdot |\Delta *x|+\left|\frac{\frac{\partial f}{\partial y} }{f} \right|\cdot |\Delta *y|+...+\left|\frac{\frac{\partial f}{\partial t} }{f} \right|\cdot |\Delta *t|.\]
Записать выражение для определения максимальной абсолютной погрешности заданных функций:
1) $w=x+y-z$;
2) $w=xy$.
Решение:
1) Запишем частные производные заданной функции:
\[\frac{\partial f}{\partial x} =1, \frac{\partial f}{\partial y} =1, \frac{\partial f}{\partial z} =-1.\]Для функции $w=x+y-z$ согласно формуле получаем:
\[|\Delta *w|=1\cdot |\Delta *x|+1\cdot |\Delta *y|+\left|-1\right|\cdot |\Delta *z|=|\Delta *x|+|\Delta *y|+|\Delta *z|.\]2) Запишем частные производные заданной функции:
\[\frac{\partial f}{\partial x} =y, \frac{\partial f}{\partial y} =x.\]Для функции $w=xy$ согласно формуле получаем:
\[|\Delta *w|=|y|\cdot |\Delta *x|+|x|\cdot |\Delta *y|\]Записать выражение для определения максимальной относительной погрешности заданных функций:
1) $w=x+\ln y-z$;
2) $w=x+e^{y} $.
Решение:
1) Запишем частные производные заданной функции:
\[\frac{\partial f}{\partial x} =1, \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{y} , \frac{\partial f}{\partial z} =-1.\]Для функции $w=x+\ln y-z$ согласно формуле получаем:
\[\frac{|\Delta *w|}{|w|} =\frac{1}{|x+\ln y-z|} \cdot |\Delta *x|+\frac{1}{|x+\ln y-z|} \cdot |\Delta *y|+\frac{\left|-1\right|}{|x+\ln y-z|} \cdot |\Delta *z|=\] \[=\frac{1}{|x+\ln y-z|} \cdot |\Delta *x|+\frac{1}{|x+\ln y-z|} \cdot |\Delta *y|+\frac{1}{|x+\ln y-z|} \cdot |\Delta *z|.\]2) Запишем частные производные заданной функции:
\[\frac{\partial f}{\partial x} =1, \frac{\partial f}{\partial y} =e^{y} .\]Для функции $w=x+e^{y} $ согласно формуле получаем:
\[\frac{|\Delta *w|}{|w|} =\frac{1}{|x+e^{y} |} \cdot |\Delta *x|+\frac{e^{y} }{|x+e^{y} |} \cdot |\Delta *y|.\]
