Если для каждой пары (x,y) значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение z, то говорят, что z является функцией двух переменных (x,y). Обозначение: z=f(x,y).
Пусть дана функция z=f(x,y)двух независимых переменных (x,y).
Если аргументу x дать приращение Δx, а аргументу y -- приращение Δy, то получается полное приращение заданной функции z=f(x,y). Обозначение:
Полный дифференциал заданной функции z=f(x,y) является линейной частью приращения функции и записывается в виде
dz=f′x(x,y)⋅Δx+f′y(x,y)⋅Δy.Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полный дифференциал:
Приращения независимых переменных, а именно, Δx,Δy,Δz,...,Δt называют дифференциалами независимых переменных x,y,z,...,t. Обозначение: dx,dy,dz,...,dt.
В новых обозначениях выражения для полного дифференциала принимает следующий вид:
Полный дифференциал находит свое применение в приближенных вычислениях.
Рассмотрим заданную функцию z=f(x,y), дифференцируемую в точке (x,y), и запишем для нее полное приращение:
Преобразуем формулу следующим образом:
f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+Δz (1)
Подставив в формулу (1) вместо Δz выражение для полного дифференциала, получим следующую приближенную формулу:
f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+f′x(x,y)⋅Δx+f′y(x,y)⋅Δy, (2)
которая является верной с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно приращений Δx,Δy.
Формула (2) используется при решении задач на приближенные вычисления.
Вычислить приближенное значение заданной функции
f(x,y)=x3+√yв точке (1;4) при Δx=0,01;Δy=0,02.
Решение:
Запишем частные производные заданной функции:
f′x(x,y)=3x2,f′y(x,y)=12√y.Вычислим значения частных производных в заданной точке:
f′x(1,4)=3⋅12=3,f′y(1,4)=12√4=14.Вычислим значение функции в заданной точке:
f(1,4)=13+√4=1+2=3.Воспользуемся формулой (2) и получим:
f(1+0,01,4+0,02)=f(1,4)+f′x(1,4)⋅0,01+f′y(1,4)⋅0,02=3+3⋅0,01+14⋅0,02=3,035.Если для каждой тройки (x,y,z) значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение w, то говорят, что w является функцией трех переменных (x,y,z) в данной области.
Обозначение: w=f(x,y,z).
Если для каждой совокупности (x,y,z,...,t) значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение w, то говорят, что w является функцией переменных (x,y,z,...,t) в данной области.
Обозначение: w=f(x,y,z,...,t).
Аналогичную формулу можно записать для функции трех и более переменных:
f(x+Δx,y+Δy,z+Δz)=f(x,y,z)+f′x(x,y,z)⋅Δx+f′y(x,y,z)⋅Δy+...+f′z(x,y,z)⋅Δz; f(x+Δx,y+Δy,...,t+Δt)= =f(x,y,...,t)+f′x(x,y,...,t)⋅Δx+f′y(x,y,...,t)⋅Δy+...+f′t(x,y,...,t)⋅Δt.Вычислить приближенное значение заданной функции
f(x,y,z)=x3+y2+z2в точке (1;4;1) при Δx=0,01;Δy=0,02;Δz=0,01.
Решение:
Запишем частные производные заданной функции:
f′x(x,y,z)=3x2,f′y(x,y,z)=2y,f′z(x,y,z)=2z.Вычислим значения частных производных в заданной точке:
f′x(1,4,1)=3⋅12=3,f′y(1,4,1)=2⋅1=2,f′z(1,4,1)=2⋅1=2.Вычислим значение функции в заданной точке:
f(1,4,1)=13+42+12=1+16+1=18.Воспользуемся формулой (2) и получим:
f(1+0,01;4+0,02;1+0,01)=f(1,4,1)+f′x(1,4,1)⋅0,01+f′y(1,4,1)⋅0,02+f′z(1,4,1)⋅0,01= =18+3⋅0,01+2⋅0,02+2⋅0,01=18+0,03+0,04+0,02=18,09.Также полный дифференциал используют применительно к оценке погрешностей при вычислениях:
-
Максимальная абсолютная погрешность:
|Δ∗w|=|∂f∂x|⋅|Δ∗x|+|∂f∂y|⋅|Δ∗y|+...+|∂f∂t|⋅|Δ∗t|; -
Максимальная относительная погрешность:
|Δ∗w||w|=|∂f∂xf|⋅|Δ∗x|+|∂f∂yf|⋅|Δ∗y|+...+|∂f∂tf|⋅|Δ∗t|.
Записать выражение для определения максимальной абсолютной погрешности заданных функций:
1) w=x+y−z;
2) w=xy.
Решение:
1) Запишем частные производные заданной функции:
∂f∂x=1,∂f∂y=1,∂f∂z=−1.Для функции w=x+y−z согласно формуле получаем:
|Δ∗w|=1⋅|Δ∗x|+1⋅|Δ∗y|+|−1|⋅|Δ∗z|=|Δ∗x|+|Δ∗y|+|Δ∗z|.2) Запишем частные производные заданной функции:
∂f∂x=y,∂f∂y=x.Для функции w=xy согласно формуле получаем:
|Δ∗w|=|y|⋅|Δ∗x|+|x|⋅|Δ∗y|Записать выражение для определения максимальной относительной погрешности заданных функций:
1) w=x+lny−z;
2) w=x+ey.
Решение:
1) Запишем частные производные заданной функции:
∂f∂x=1,∂f∂y=1y,∂f∂z=−1.Для функции w=x+lny−z согласно формуле получаем:
|Δ∗w||w|=1|x+lny−z|⋅|Δ∗x|+1|x+lny−z|⋅|Δ∗y|+|−1||x+lny−z|⋅|Δ∗z|= =1|x+lny−z|⋅|Δ∗x|+1|x+lny−z|⋅|Δ∗y|+1|x+lny−z|⋅|Δ∗z|.2) Запишем частные производные заданной функции:
∂f∂x=1,∂f∂y=ey.Для функции w=x+ey согласно формуле получаем:
|Δ∗w||w|=1|x+ey|⋅|Δ∗x|+ey|x+ey|⋅|Δ∗y|.
