Полное приращение и полный дифференциал

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$ , то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$ . Обозначение: $z=f(x,y)$ .

В отношении функции $z=f(x,y)$ рассмотрим понятия общего (полного) приращения функции и полного дифференциала.

Пусть дана функция $z=f(x,y)$ двух независимых переменных $(x,y)$ .

Если аргументу $x$ дать приращение $\Delta x$ , а аргументу $y$ -- приращение $\Delta y$ , то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$ . Обозначение:

Пример 1

Записать полное приращение заданной функции

$z=x+y.$

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$ .

Пример 2

Вычислить полное приращение заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$ .

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$ .

Следовательно,

$\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.$

Определение 2

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$ , то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z)$ .

Определение 3

Если для каждой совокупности $(x,y,z,...,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$ , то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,...,t)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$ .

«Полное приращение и полный дифференциал» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полное приращение:

Пример 3

Записать полное приращение заданной функции

$w=(x+y)\cdot z.$

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$ .

Пример 4

Вычислить полное приращение заданной функции $w=xyz$ в точке $(1;2;1)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$ .

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$ .

Следовательно,

$\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1)=1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.$

С геометрической точки зрения полное приращение функции $z=f(x,y)$ (по определению $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ ) равно приращению аппликаты графика функции $z=f(x,y)$ при переходе от точки $M(x,y)$ к точке $M_{1} (x+\Delta x,y+\Delta y)$ (рис. 1).

Рисунок 1.

Определение 4

Полный дифференциал заданной функции $z=f(x,y)$ является линейной частью приращения функции и записывается в виде

$dz=f'_{x} (x,y)\cdot \Delta x+f'_{y} (x,y)\cdot \Delta y.$

Пример 5

Записать полный дифференциал заданной функции

$z=x+2y.$

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

$f'_{x} (x,y)=1,\, \, f'_{y} (x,y)=2.$

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

$dz=1\cdot \Delta x+2\cdot \Delta y=\Delta x+2\cdot \Delta y.$

Пример 6

Вычислить полный дифференциал заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$ .

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

$f'_{x} (x,y)=y,\, \, f'_{y} (x,y)=x.$

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

$dz=y\cdot \Delta x+x\cdot \Delta y.$

Следовательно,

$dz|_{(1,2)} =2\cdot 0,1+1\cdot 0,1=0,2+0,1=0,3.$

Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полный дифференциал:

$dw=f'_{x} (x,y,z)\cdot \Delta x+f'_{y} (x,y,z)\cdot \Delta y+f'_{z} (x,y,z)\cdot \Delta z,$

$dw=f'_{x} (x,y,z,...,t)\cdot \Delta x+f'_{y} (x,y,z,...,t)\cdot \Delta y+...+f'_{t} (x,y,z,...,t)\cdot \Delta t.$

Пример 7

Записать полный дифференциал заданной функции

$w=(x+y)\cdot z.$

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

$f'_{x} (x,y,z)=z,\, \, f'_{y} (x,y,z)=z,\, \, \, f'_{z} (x,y,z)=x+y.$

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

$dz=z\cdot \Delta x+z\cdot \Delta y+(x+y)\cdot \Delta z.$

Определение 5

Приращения независимых переменных, а именно, $\Delta x,\, \, \Delta y,\, \, \Delta z,...,\Delta t$ называют дифференциалами независимых переменных $x,y,z,...,t$ . Обозначение: $dx,dy,dz,...,dt$ .

В новых обозначениях выражения для полного дифференциала принимает следующий вид:

Замечание 1

Функция, имеющая непрерывные частные производные в заданной точке, является дифференцируемой в данной точке, при этом полный дифференциал функции в данной точке равен сумме произведений частных производных на дифференциалы независимых переменных соответственно.

Пример 8

Записать полный дифференциал заданной функции

$w=x\cdot z.$

Решение:

Определим частные производные заданной функции: