Частное и полное приращение функции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$ , то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$ . Обозначение: $z=f(x,y)$ .

В отношении функции $z=f(x,y)$ рассмотрим понятия общего (полного) и частного приращений функции.

Пусть дана функция $z=f(x,y)$ двух независимых переменных $(x,y)$ .

Замечание 1

Так как переменные $(x,y)$ являются независимыми, то одна из них может изменяться, а другая при этом сохранять постоянное значение.

Дадим переменной $x$ приращение $\Delta x$ , при этом сохраним значение переменной $y$ неизменным.

Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $x$ . Обозначение:

Аналогично дадим переменной $y$ приращение $\Delta y$ , при этом сохраним значение переменной $x$ неизменным.

Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $y$ . Обозначение:

Если же аргументу $x$ дать приращение $\Delta x$ , а аргументу $y$ - приращение $\Delta y$ , то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$ . Обозначение:

Таким образом, имеем:

$\Delta _{x} z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$ ;
$\Delta _{y} z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$ ;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$ .

Пример 1

Записать частные и полное приращение функции

$z=x+y.$

Решение:

По определению частного приращения найдем:

$\Delta _{x} z=x+\Delta x+y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$ ;

$\Delta _{y} z=x+y+\Delta y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$ .

По определению полного приращения найдем:

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$ .

«Частное и полное приращение функции» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 2

Вычислить частные и полное приращение функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$ .

Решение:

По определению частного приращения найдем:

$\Delta _{x} z=(x+\Delta x)\cdot y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$

$\Delta _{y} z=x\cdot (y+\Delta y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$ ;

По определению полного приращения найдем:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$ .

Следовательно,

$\Delta _{x} z=(1+0,1)\cdot 2=2,2$

$\Delta _{y} z=1\cdot (2+0,1)=2,1$

$\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.$

Замечание 2

Полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$ не равно сумме ее частных приращений $\Delta _{x} z$ и $\Delta _{y} z$ . Математическая запись: $\Delta z\ne \Delta _{x} z+\Delta _{y} z$ .

Пример 3

Проверить утверждение замечания для функции

$z=x+y.$

Решение:

$\Delta _{x} z=x+\Delta x+y$ ; $\Delta _{y} z=x+y+\Delta y$ ; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (получены в примере 1)

Найдем сумму частных приращений заданной функции $z=f(x,y)$

$\Delta _{x} z+\Delta _{y} z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.$

Так как

$2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y\ne x+\Delta x+y+\Delta y,$

то

$\Delta _{x} z+\Delta _{y} z\ne \Delta z.$

Определение 2

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$ , то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z)$ .

Определение 3

Если для каждой совокупности $(x,y,z,...,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$ , то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,...,t)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$ .

Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные приращения по каждой из переменных:

$\Delta _{z} w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z,...,t)$ по $z$ ;
$...$
$\Delta _{t} w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z,...,t)$ по $t$ .

Пример 4

Записать частные и полное приращение функции

$w=(x+y)\cdot z.$

Решение:

По определению частного приращения найдем:

$\Delta _{x} w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $x$

$\Delta _{y} w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $y$ ;

$\Delta _{z} w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $z$ ;

По определению полного приращения найдем:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$ .

Пример 5

Вычислить частные и полное приращение функции $w=xyz$ в точке $(1;2;1)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$ .

Решение:

По определению частного приращения найдем:

$\Delta _{x} w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $x$

$\Delta _{y} w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $y$ ;

$\Delta _{z} w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $z$ ;

По определению полного приращения найдем:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$ .

Следовательно,

$\Delta _{x} w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2$

$\Delta _{y} w=1\cdot (2+0,1)\cdot 1=2,1$

$\Delta _{y} w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2$

$\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1)=1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.$

С геометрической точки зрения полное приращение функции $z=f(x,y)$ (по определению $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ ) равно приращению аппликаты графика функции $z=f(x,y)$ при переходе от точки $M(x,y)$ к точке $M_{1} (x+\Delta x,y+\Delta y)$ (рис. 1).