Прямая пропорциональность и её график

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции $y=kx+b$ при $b=0$. Число $k$ называется коэффициентом пропорциональности.

Примером прямой пропорциональности может служить второй закон Ньютона: Ускорение тела прямо пропорционально приложенной к нему силе:

Здесь масса -- коэффициент пропорциональности.

Исследование функции прямой пропорциональности $f(x)=kx$ и её график

Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k > 0$.

1. Область определения -- все числа.
2. Область значения -- все числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx=-f(x)$. Функция прямой пропорциональности нечетна.
4. Функция проходит через начало координат.
5. $f'\left(x\right)={\left(kx\right)}'=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
6. $f^{''}\left(x\right)=k'=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
7. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty$, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty$
8. График (рис. 1).

Рис. 1. График функции $y=kx$, при $k>0$

Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k

1. Область определения -- все числа.
2. Область значения -- все числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx=-f(x)$. Функция прямой пропорциональности нечетна.
4. Функция проходит через начало координат.
5. $f'\left(x\right)={\left(kx\right)}'=k
6. $f^{''}\left(x\right)=k'=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
7. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty$, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty$
8. График (рис. 2).

Рис. 2. График функции $y=kx$, при $k

Важно: для построения графика функции $y=kx$ достаточно найти одну, отличную от начала координат точку $\left(x_0,\ y_0\right)$ и провести прямую через эту точку и начало координат.

Задачи на построение графиков функции прямой пропорциональности