Линейная функция и её график

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение линейной функции

Введем определение линейной функции

Определение

Функция вида $y=kx+b$ , где $k$ отлично от нуля называется линейной функцией.

График линейной функции -- прямая. Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой.

При $b=0$ линейная функция называется функцией прямой пропорциональности $y=kx$ .

Рассмотрим рисунок 1.

Линейная функция и её график

Рис. 1. Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Рассмотрим треугольник АВС. Видим, что $ВС=kx_0+b$ . Найдем точку пересечения прямой $y=kx+b$ с осью $Ox$ :

$kx+b=0$

$x=-\frac{b}{k}$

Значит $AC=x_0+\frac{b}{k}$ . Найдем отношение этих сторон:

$\frac{BC}{AC}=\frac{kx_0+b}{x_0+\frac{b}{k}}=\frac{k(kx_0+b)}{{kx}_0+b}=k$

С другой стороны $\frac{BC}{AC}=tg\angle A$ .

Таким образом, можно сделать следующий вывод:

Вывод

Геометрический смысл коэффициента $k$ . Угловой коэффициент прямой $k$ равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси $Ox$ .

Исследование линейной функции $f\left(x\right)=kx+b$ и её график

Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx+b$ , где $k > 0$ .

Область определения -- все числа.
Область значения -- все числа.
$f\left(-x\right)=-kx+b$ . Функция не является ни четной, ни нечетной.
При $x=0,f\left(0\right)=b$ . При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$ .

Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

$f'\left(x\right)={\left(kx+b\right)}'=k>0$ . Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
$f^{''}\left(x\right)=k'=0$ . Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty$ , ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty$
График (рис. 2).

Линейная функция и её график

Рис. 2. Графики функции $y=kx+b$ , при $k > 0$ .

Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$ , где $k

Область определения -- все числа.
Область значения -- все числа.
$f\left(-x\right)=-kx+b$ . Функция не является ни четной, ни нечетной.
При $x=0,f\left(0\right)=b$ . При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$ .

Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

$f'\left(x\right)={\left(kx\right)}'=k
$f^{''}\left(x\right)=k'=0$ . Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty$ , ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty$
График (рис. 3).

Линейная функция и её график

Рис. 3. Графики функции $y=kx+b$ , при $k

Важно: для построения графика функции $y=kx$ достаточно найти две точки и провести прямую через эти точки.

Задача на построение графиков функции прямой пропорциональности

Задача

Построить график функции $y=2x+3$

Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть $x=1$ , тогда $y=5$ . Пусть $x=-1$ , тогда $y=1$ . Проведем прямую через точки $\left(-1,1\right)\ и\ (1,\ 5)$ . Получим

Линейная функция и её график