Определение степени
Существуют три вида действительных степеней, которые стоит рассматривать отдельно. Рассмотрим вначале понятия степеней с целым, рациональным и иррациональным показателями.
Степенью действительного числа $\alpha$ c целым показателем $z$, будем называть число, определяющееся формулой:
$\alpha^z=\cases{\alpha \cdot \alpha \cdot…\cdot \alpha(z \ раз), \ при z >0\\1, \ при \ z=0\\\frac{1}{\alpha \cdot \alpha\cdot …\cdot \alpha(z \ раз)}, \ при z
Степенью действительного числа $\alpha$ c рациональным показателем $q=\frac{r}{s}$ $(r∈Z,s∈N)$, будем называть число, определяющееся формулой:
$\alpha^q=\sqrt[s]{\alpha^r}$
Нужно отметить, что когда $s$ – четное число, то $\alpha >0$.
Степенью положительного числа $\alpha$ c иррациональным показателем $j$, будем называть число $\alpha^j$, определяющееся следующим образом:
Когда $\alpha=1$, то $\alpha^j=1$;
Когда $\alpha >1$, то $\alpha^j$ будет удовлетворять следующему условию: $\alpha^{q_1}j$.
Когда $0j$.
Степенью положительного числа $\alpha$ c иррациональным показателем $j$, будем называть число $\alpha^j$, равное пределу последовательности $\alpha^{j_0}, \alpha^{j_1}, \alpha^{j_2}$,…, в которой $j_0,j_1,j_2...$ являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа $j$.
Здесь стоит заметить, что при $j >0$ $0^j=0$, а при$ j
Рассмотрим далее свойства степеней.
Формулы степеней
Для начала рассмотрим и докажем свойства для степени с целыми показателями.
Формула 1: $\alpha^z \cdot \alpha^k=\alpha^{z+k}$
Доказательство.
По определению 1, будем иметь
$\alpha^z=\alpha \cdot \alpha\cdot…\cdot \alpha(z \ раз)$, $\alpha^k= \alpha\cdot \alpha\cdot…\cdot \alpha(k \ раз)$
Тогда
$\alpha^z\cdot \alpha^k=\alpha\cdot \alpha\cdot …\cdot \alpha(z \ раз)\cdot \alpha\cdot \alpha\cdot …\cdot \alpha(k \ раз)=\alpha\cdot \alpha\cdot…\cdot \alpha(z+k \ раз)=\alpha^{z+k}$
Формула 2: $\frac{\alpha^z}{\alpha^k} =\alpha^{z-k}$
Доказательство.
$\frac{\alpha^z}{\alpha^k} =\alpha^z\cdot \alpha^{-k}$
По формуле 1, имеем
$\frac{\alpha^z}{\alpha^k} =\alpha^z\cdot \alpha^{-k}=\alpha^{z+(-k)}=\alpha^{z-k}$
Формула 3: $(\alpha \beta)^z=\alpha^z\cdot \beta^z$
Доказательство.
По определению 1, будем иметь
$(\alpha \beta)^z=\alpha\beta\cdot \alpha\beta\cdot…\cdot \alpha\beta(z \ раз)$
Тогда, по правилу перестановки множителей
$(\alpha\beta)^z=\alpha\cdot \alpha\cdot…\cdot \alpha(z \ раз)\cdot \beta\cdot\beta\cdot…\cdot \beta(z \ раз)=\alpha^z\cdot \beta^z$
Формула 4: $(\alpha^z)^k=\alpha^{zk}$
Доказательство.
По определению 1, будем иметь
$(\alpha^z)^k=\alpha^z\cdot \alpha^z\cdot…\cdot \alpha^z (k \ раз)$
В свою очередь
$\alpha^z=\alpha\cdot \alpha \cdot…\cdot \alpha(z \ раз)$
Тогда будем получать, что
$(\alpha^z)^k={\alpha \cdot \alpha \cdot…\cdot \alpha(z \ раз) }\cdot…\cdot {\alpha\cdot \alpha\cdot…\cdot \alpha(z \ раз) }(k \ раз)=\alpha\cdot \alpha\cdot…\cdot \alpha(zk \ раз)=\alpha^{zk}$
Формула 5: $\frac{\alpha^z}{\beta^z} =(\frac{\alpha}{\beta})^z$
Доказательство.
$\frac{\alpha^z}{\beta^z} =\alpha^z\cdot \beta^{-z}$
По формуле 4, имеем
$\frac{\alpha^z}{\beta^z} =\alpha^z\cdot \beta^{-z}=\alpha^z\cdot (\beta^{-1})^z=\alpha^z\cdot (\frac{1}{\beta})^z$
По формуле 3, имеем
$\frac{\alpha^z}{\beta^z} =\alpha^z\cdot (\frac{1}{\beta})^z=(\frac{\alpha}{\beta})^z$
Все эти формулы справедливы также и для рациональных и для иррациональных показателей степеней и также являются их свойствами. Поэтому отдельно мы их рассматривать и доказывать не будем. Также в рамках этой темы будет полезно рассмотреть таблицы степеней, которые здесь мы приводить не будем.
Примеры задач
Найти:
а) $2^2\cdot 2^3-\frac{3^5}{3^3}$
б) $(2^2)^2+\frac{8^4}{4^2}$
в) $8^{\frac{2}{3}}+0^π$
Решение.
а) По свойствам 1 и 2 степеней, получаем:
$2^2\cdot 2^3-\frac{3^5}{3^3} =2^5-3^2=32-9=23$
б) По свойствам 2, 4 и 5, получаем:
$(2^2)^2+\frac{8^4}{4^2}=4^2+\frac{2^{12}}{2^4}=16+2^8=16+256=272$
в) По определению 2, получаем:
$8^{\frac{2}{3}}+0^π=\sqrt[3]{8^2 }+0=2^2=4$
Упростить:
$\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{3}{4}}+\beta^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}+\beta^{\frac{1}{4}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}\cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1$
Решение.
Используя определение 2 степени, а также свойство 1 степеней, будем получать:
$\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{3}{4}}+\beta^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}+\beta^{\frac{1}{4}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}\cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1=\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{1}{2}}(\beta^{\frac{1}{4}}+1) }\cdot \frac{\beta^{\frac{1}{4}}(\beta^{\frac{1}{4}}+1)}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}\cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1=\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}+1=\frac{(\beta^{\frac{1}{2}}-1)(\beta^{\frac{1}{2}}+1)}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}+1=\beta^{\frac{1}{2}}-1+1=\sqrt{\beta}$
