Формулы сокращенного умножения

Формулы для возведения двучлена в $n$-ю степень

Если вспомнить уроки алгебры и математики, то для упрощения вычислений и преобразований различных выражений можно пользоваться заранее выведенными формулами. Одними из таких формул являются формулы возведения двучлена в $n-ю$ степень.

Данные формулы можно вывести с помощью бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона для натуральных чисел имеет следующий вид:

${(a+b)}^n=C^0_na^n+C^1_na^{n-1}b+C^2_na^{n-2}b^2+\dots +C^{n-1}_nab^{n-1}+C^n_nb^n$

Здесь $C^0_n,\ C^1_n,\dots ,C^{n-1}_n,C^n_n$ - коэффициенты Бинома Ньютона.

Коэффициенты разложения Бинома Ньютона можно находить с помощью треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля имеет следующую структуру (таблица 1).

Рисунок 1. Структура треугольника Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Значения коэффициентов треугольника паскаля приведены в следующей таблице:

Рисунок 2. Коэффициенты треугольника Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Формулы для вычисления квадратов и кубов суммы и разности

Используя Бином Ньютона можно легко найти формулы для вычисления квадратов и кубов суммы и разности. Получим следующие формулы сокращенного сложения (далее – формулы ФСУ):

Квадрат суммы:

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

Квадрат разности:

${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

Куб суммы:

${(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Куб разности:

${(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Используя полученные ФСУ, можно выводить также формулы кубов и квадратов трехчленов и многочленов с 4-мя и выше количеством членов. Приведем пример такого вывода. Найдем квадрат суммы трехчлена:

${(a+b+c)}^2$

Для этого сделаем следующую замену. Пусть $a+b=t$, тогда

${(a+b+c)}^2={(t+c)}^2$

Воспользуемся ФСУ квадрата суммы:

${(t+c)}^2=t^2+2tc+c^2$

Вернемся к замене:

${(a+b)}^2+2(a+b)c+c^2$

Вновь воспользуемся формулой a2 b2 сумма квадратов:

${(a+b)}^2+2\left(a+b\right)c+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Другие формулы сокращенного умножения

Представим еще несколько формул сокращенного умножения.

1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разность на их сумму:

   $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$

2. Сумма кубов двух выражений а3+b3 равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:

   $\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$

3. Разность кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:

   $\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3$

Примеры задач на применение формул сокр. умножения