Признаки параллелограмма

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие параллелограмма

Определение 1

Параллелограмм -- это четырехугольник, в котором противоположные стороны параллельны между собой (рис. 1).

Рисунок 1.

Параллелограмм имеет два основных свойства. Рассмотрим их без доказательства.

Свойство 1: Противоположные стороны и углы параллелограмма равны, соответственно, между собой.

Свойство 2: Диагонали, проведенные в параллелограмме, делятся пополам их точкой пересечения.

Признаки параллелограмма

Рассмотрим три признака параллелограмма и представим их в виде теорем.

Теорема 1

Если две стороны четырехугольника равны между собой, а также параллельны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Доказательство.

Пусть нам дан четырехугольник $ABCD$ . В котором $AB||CD$ и $AB=CD$ Проведем в нем диагональ $AC$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и их секущую $AC$ . Тогда

$\angle CAB=\angle DCA$

как накрест лежащие углы.

По $I$ признаку равенства треугольников,

$\triangle DAC=\triangle ACB$

так как $AC$ -- их общая сторона, а $AB=CD$ по условию. Значит

$\angle DAC=\angle ACB$

Рассмотрим прямые $AD$ и $CB$ и их секущую $AC$ , по последнему равенству накрест лежащих углов получим, что $AD||CB$ .}Следовательно, по определению $1$ , данный четырехугольник является параллелограммом.

Теорема доказана.

Теорема 2

Если противоположные стороны четырехугольника равны между собой, то он является параллелограммом.

Доказательство.

Пусть нам дан четырехугольник $ABCD$ . В котором $AD=BC$ и $AB=CD$ . Проведем в нем диагональ $AC$ (рис. 3).

Рисунок 3.

Так как $AD=BC$ , $AB=CD$ , а $AC$ -- общая сторона, то по $III$ признаку равенства треугольников,

$\triangle DAC=\triangle ACB$

Тогда

$\angle DAC=\angle ACB$

Рассмотрим прямые $AD$ и $CB$ и их секущую $AC$ , по последнему равенству накрест лежащих углов получим, что $AD||CB$ . Следовательно, по определению $1$ , данный четырехугольник является параллелограммом.

Также

$\angle DCA=\angle CAB$

Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и их секущую $AC$ , по последнему равенству накрест лежащих углов получим, что $AB||CD$ . Следовательно, по определению 1, данный четырехугольник является параллелограммом.

Теорема доказана.

Теорема 3

Если диагонали, проведенные в четырехугольнике, своей точкой пересечения делятся на две равные части, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство.

Пусть нам дан четырехугольник $ABCD$ . Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$ . Пусть они пересекаются в точке $O$ (рис. 4).

Рисунок 4.

Так как, по условию $BO=OD,\ AO=OC$ , а углы $\angle COB=\angle DOA$ как вертикальные, то, по $I$ признаку равенства треугольников,

$\triangle BOC=\triangle AOD$

Тогда

$\angle DBC=\angle BDA$

Рассмотрим прямые $BC$ и $AD$ и их секущую $BD$ , по последнему равенству накрест лежащих углов получим, что $BC||AD$ . Также $BC=AD$ . Следовательно, по теореме $1$ , данный четырехугольник является параллелограммом.

Теорема доказана.

«Признаки параллелограмма» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример задачи на признаки параллелограмма

Пример 1

Доказать, что если у четырехугольника $AD||BC$ и $\angle D=\angle B$ , то он является четырехугольником.

Доказательство.

Пусть нам дан четырехугольник $ABCD$ . В котором $AD||BC$ и $\angle D=\angle B$ . Проведем в нем диагональ $AC$ (рис. 5).

Рисунок 5.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и их секущую $AC$ . Тогда

$\angle DAC=\angle ACB$

как накрест лежащие углы.

$\angle ACD={180}^0-\angle DAC-\angle D$

$\angle CAB={180}^0-\angle ACB-\angle B={180}^0-\angle DAC-\angle D=\angle ACD$

Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AC$ , по последнему равенству накрест лежащих углов получим, что $AB||CD$ . Следовательно, по определению $1$ , данный четырехугольник является параллелограммом.