Формулировка теоремы
Теорема Менелая представляет собой закон, говорящий о соотношениях в треугольнике в евклидовой геометрии на плоскости.
Рисунок 1. Теорема Менелая. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пусть дан треугольник △ABC и секущая линия, пересекающая BC, AC и AB соответственно в точках D,E и F, при этом так, что D,E и F не совпадают с точками A,B и C. тогда для этого треугольника будет выполняться соотношение:
AFFB⋅BDDC⋅CEEA=−1 или иначе AF⋅BD⋅CE=−FB⋅DC⋅EA.
В данной формуле длины отрезков используются со знаками + и −, причём в зависимости от того, находится ли точка A справа или слева от точки B. Например, дробь AFFB будет положительной, когда F расположена между точками A и B и отрицательной в противном случае.
Обратное соотношение также верно, то есть, если точки D,E и F лежат на BC,AC и AB, то они расположены на одной прямой.
Доказательство теоремы Менелая
Докажем данную теорему.
Знак с левой стороны всегда будет отрицательным, так как линия DEF проходит через образующие треугольник прямые либо полностью минуя треугольник, либо пересекая 2 из его сторон.
Для проверки знака опустим перпендикуляры из точек A,B и C на секущую. Пусть их длины будут равны a,b и c соответственно. Из подобия треугольников имеем:
|AFFB|=|ab|,|BDDC|=|bc| и |CEEA|=|ca|.
Из этого следует, что
AFFB⋅BDDC⋅CEEA=|ab⋅bc⋅ca|=−1.
Есть △PQR, у которого на PQ имеется N, а на PR — L, причём расположены они так, что NQ=LR. F разбивает QR так, что при разбиении соблюдается соотношение m:n, если рассматривать отрезок от Q. Как соотносятся между собой PN и PR?
Рисунок 2. Рисунок к задаче. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение:
NA=LR=a,QF=km,LF=kn. При этом NR проходит через QP и QL, а с третьей стороной пересекается вне треугольника, следовательно, по сформулированной выше теореме:
PNNQ⋅QFFL⋅LPRP=1, а из этого можно сделать вывод, что
PNa⋅kmkn⋅aRP=1 и, следовательно, PN и PR относятся друг к другу как nm.
