Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Все предметы / Математика / Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Основные понятия комбинаторики

Основными понятиями в комбинаторики являются понятия размещения, сочетания и перестановки. Введем их.

Определение 1

Всякий упорядоченный набор имеющий $k$ элементов, взятых из наперед заданных $n$ элементов без повторений, будем называть размещением из $n$ по $k$.

Математически, такое размещение обозначается и вычисляется следующим образом:

$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$

Определение 2

Всякий упорядоченный набор имеющий $n$ элементов, взятых из наперед заданных $n$ элементов без повторений, будем называть перестановкой из $n$.

Математически, такая перестановка обозначается и вычисляется следующим образом:

$P_n=n!$

Определение 3

Всякий неупорядоченный набор имеющий $k$ элементов, взятых из наперед заданных $n$ элементов без повторений, будем называть сочетанием из $n$ по $k$.

Математически, такое сочетание обозначается и вычисляется следующим образом:

$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$

Основные понятия теории вероятностей

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.

Определение 4

Событием будем называть любое утверждение, которое может как произойти, так и не произойти.

Обычно события обозначаются большими английскими буквами.

Пример: $A$ – выпадение числа $6$ на кости.

В связи с тем, что событие может иметь две вариации исхода («произошло» и «не произошло») мы сталкиваемся с понятие вероятности такого события. Это понятие имеет $4$ основных определения.

Готовые работы на аналогичную тему

Классическое определение.

Классическое определение связано с такими неопределяемыми понятиями как равновозможность и элементарность события. Интуитивно их можно понять на следующих примерах:

Равновозможность: При подбрасывании монеты она может упасть как аверсом, так и реверсом независимо от внешних условий. То есть можно сказать что вероятность выпадения одной или другой стороны по сути одинакова.

Элементарность события: Если на кости выпадет число $4$, то это означает, что числа $1, 2, 3, 5$ и $6$ уже не выпали.

Определение 5

Вероятностью события будем называть отношения числа $n$ равновозможных элементарных событий исходного события $B$ ко всем элементарным событиям $N$.

Математически это выглядит следующим образом:

$P(B)=\frac{n}{N}$

Геометрическое определение.

Геометрическое определение применяется для случая, когда количество равновозможных событий будет бесконечно. Здесь, для введения геометрического определения рассмотрим следующий пример. Для игры дартс берем круг площадью $S$ и разбиваем его на несколько кругов. Какова вероятность, что дротик попадет в центральный круг? (Исключим здесь случаи полного непопадания в поле). Очевидно что равновозможных событий здесь будет бесконечно (как и общих событий) так как круг содержит в себе бесконечное число точек.

Пусть площадь центрального круга равняется $s$. Тогда мы сталкиваемся с геометрическим определением вероятности такого события:

$P(B)=\frac{s}{S}$

Статистическое (частотное) определение.

Классическое определение довольно часто не учитывает всех возможностей. Рассматривая даже классический пример с бросанием кости мы пренебрегаем возможностью, что не выпадет никакого из шести чисел (кубик просто «остановится» на уголке). Поэтому вводят следующее определение вероятности, учитывающее все возможности. Рассматриваем $N$ наблюдений. Пусть нужное нам событие при этом выпало $n$ раз. Тогда

$P(B)=lim_{N→∞}⁡\frac{n}{N}$

Аксиоматическое определение.

Данное определение задается с помощью аксиоматики Колмогорова.

Пусть $X$ - пространство всех элементарных событий. Тогда

Определение 6

Вероятностью события $B$ будем называть такую функцию $P(B)$, которая удовлетворяет следующим условиям:

  1. Данная функция всегда неотрицательна,
  2. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из попарно несовместных событий равняется сумме их вероятностей.
  3. Функция всегда меньше или равна $1$, причем $P(X)=1$.

Пример задач

Пример 1

В корзине лежат $10$ разных зерен для высадки цветов. Нам нужно посадить всего $4$ так как у нас есть всего $4$ горшка. Сколькими способами мы можем посадить цветы в эти горшки?

Решение.

Вначале нам нужно вытащить из корзины $4$ наугад попавшихся зерна. То есть здесь мы имеем дело с сочетанием из $10$ зерен по $4$.

Получаем:

$C_n^k=\frac{10!}{(10-4)!4!}=\frac{10!}{6!4!}=\frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=210$

Четыре же зерна посадить в $4$ горшка можно

$P_4=4!=24$

способами.

Для нахождения окончательного результата нужно перемножить эти два, получим:

$210\cdot 24=5040$

Ответ: $5040$.

Пример 2

Найти вероятность того, что наугад вытащенная из колоды карта будет пиковой масти (сумма карт в колоде кратна $4$-м).

Решение.

Так как количество карт кратно четверке, то пусть всего карт будет $4k$. Тогда каждой масти карт будет $k$ штук (так как мастей $4$ и их количество одинаково).

При решении этой задачи будем использовать определение $5$. Во введенных нами обозначениях, получим что в определении $5$ мы будем иметь

$N=4k,n=k$

Следовательно

$P=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис