Начальные геометрические сведения
Понятие отрезка, как и понятие точки, прямой, луча и угла, относится к начальным геометрическим сведениям. С перечисленных понятий начинается изучение геометрии.
Под "начальными сведениями" обычно понимают нечто элементарное и простое. В понимании, возможно, это так и есть. Тем не менее, такие простые понятия часто встречаются и оказываются необходимыми не только в нашей повседневной жизни, но и в производстве, строительстве и прочих сферах нашей жизнедеятельности.
Начнём с определений.
Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками (концами).
Если концы отрезка являются точками A и B, то образованный отрезок записывают как AB или BA. Такому отрезку принадлежат точки A и B, а также все точки прямой, лежащие между этими точками.
Рисунок 1. Отрезок. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Середина отрезка - точка отрезка, которая делит его пополам на два равных отрезка.
Если это точка C, то AC=CB.
Рисунок 2. Середина отрезка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Измерение отрезка происходит сравнением с определённым отрезком, принятым за единицу измерения. Чаще всего используют сантиметр. Если в заданном отрезке сантиметр укладывается ровно четыре раза, то это означает, что длина данного отрезка равна 4 см.
Введём простое наблюдение. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих отрезков.
Формула нахождения координаты середины отрезка
Формула нахождения координаты середины отрезка относится к курсу аналитической геометрии на плоскости.
Дадим определение координатам.
Координаты - это определённые (или упорядоченные) числа, которые показывают положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве.
В нашем случае, координаты отмечаются на плоскости, определённой координатными осями.
Рисунок 3. Координатная плоскость. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Опишем рисунок. На плоскости выбрана точка, называемая началом координат. Её обозначают буквой O. Через начало координат проведены две прямые (координатные оси), пересекающиеся под прямым углом, причём одна из них строго горизонтальная, а другая - вертикальная. Такое положение считается обычным. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается OX, вертикальная - осью ординат OY.
Таким образом, оси определяют плоскость XOY.
Координаты точек в такой системе определяются двумя числами.
Существуют разные формулы (уравнения), определяющие те или иные координаты. Обычно в курсе аналитической геометрии изучают разные формулы прямых, углов, длины отрезка и прочие.
Перейдём сразу к формуле координаты середины отрезка.
Если координаты точки E(x,y) - это середина отрезка M1M2, то:
Рисунок 4. Формула нахождения координаты середины отрезка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Практическая часть
Примеры из школьного курса геометрии достаточно просты. Рассмотрим несколько основных.
Для лучшего понимания, рассмотрим для начала элементарный наглядный пример.
Имеем рисунок:
Рисунок 5. Отрезки на плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На рисунке отрезки AC,CD,DE,EB равны.
- Серединой каких отрезков является точка D?
- Какая точка является серединой отрезка DB?
Ответы:
- точка D является серединой отрезков AB и CE;
- точка E.
Рассмотрим другой простой пример, в котором нужно вычислить длину.
Точка B - середина отрезка AC. AB=9 см. Какая длина AC?
Так как т. B делит AC пополам, то AB=BC=9 см. Значит, AC=9+9=18 см.
Ответ: 18 см.
Прочие подобные примеры обычно идентичны и ориентированы на умение сопоставлять значения длин и их представление с алгебраическими действиями. Нередко в задачах встречаются случаи, когда сантиметр не укладывается ровное количество раз в отрезок. Тогда единицу измерения делят на равные части. В нашем случае сантиметр делится на 10 миллиметров. Отдельно измеряют остаток, сравнивая с миллиметром. Приведём пример, демонстрирующий такой случай.
Точка B - середина отрезка AC. AC=8,4 см. Какая длина AB?
Так как т. B делит AC пополам, то AB=8,42 см. Значит, AB=4,2 см.
Ответ: 4,2 см.
Если в очередной задаче возникают трудности с пониманием её решения (например, нетипичные случаи с несколькими отрезками, образующими углами и прочими усложнениями), то лучше рассмотреть задачу, сделав по её условию рисунок. Наглядность способствует лучшему пониманию и более скорому нахождению решения.
Теперь решим задачи по аналитической геометрии.
Даны точки T1(7,11) и T2(1,23). Требуется найти координаты середины отрезка T1T2.
Абсцисса середины отрезка: x=7+12=4. Ордината: y=11+232=17.
Ответ: (4,17).
Даны точки T(6,−1) и S(−4,−8). Точка S - середина TK. Найти координаты K.
Подставим значения и получим уравнения:
−4=6+x22,−8=−1+y22.
Найдём координаты:
−2=6+x2,−4=−1+y2;x2=−8,y2=−3.
Ответ: K(−8,−3).
