Умножение обыкновенных дробей
Умножение дробей рассматривается как действие нахождения дроби от дроби.
Рассмотрим пример.
Пусть на тарелке лежит 13 часть яблока. Нужно найти 12 часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей 13 и 12. Результат умножения двух обыкновенных дробей -- это обыкновенная дробь.
Умножение двух обыкновенных дробей
Правило умножения обыкновенных дробей:
Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:
Выполнить умножение обыкновенных дробей 37 и 511.
Решение.
Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:
37⋅511=3⋅57⋅11=1577Ответ: 1577
Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.
При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.
Вычислить произведение дробей 675 и 1524.
Решение.
Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:
675⋅1524=6⋅1575⋅24Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа 2, 3 и 5. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:
6⋅1575⋅24=2⋅3⋅3⋅53⋅5⋅5⋅2⋅2⋅2⋅3=15⋅2⋅2=120Ответ: 120.
При умножении дробей можно применять переместительный закон:
Умножение обыкновенной дроби на натуральное число
Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:
Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:
где ab -- обыкновенная дробь, n -- натуральное число.
Выполнить умножение дроби 317 на 4.
Решение.
Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:
317⋅4=3⋅417=1217Ответ: 1217.
Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.
Умножить дробь 715 на число 3.
Решение.
Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:
715⋅3=7⋅315=2115По признаку деления на число 3} можно определить, что полученную дробь можно сократить:
2115=21:315:3=75В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:
75=125Краткое решение:
715⋅3=7⋅315=2115=75=125Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:
715⋅3=7⋅315=7⋅33⋅5=75=125Ответ: 125.
При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:
Деление обыкновенных дробей
Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.
Деление двух обыкновенных дробей
Правило деления обыкновенных дробей:
При делении обыкновенной дроби ab на дробь cd необходимо делимое умножить на число, которое является обратным делителю:
Выполнить деление дробей 74 и 35.
Решение.
Числом, обратным делителю 35, является дробь 53. Воспользуемся правилом деления обыкновенных дробей:
74:35=74⋅53=7⋅54⋅3=3512Ответ: 3512.
Результат деления дробей необходимо проверять на сократимость дроби и на возможность выделения целой части из неправильной дроби.
Выполнить деление дробей 815:1235.
Решение.
Применим правило деления дробей:
815:1235=815⋅3512=8⋅3515⋅12Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:
8⋅3515⋅12=2⋅2⋅2⋅5⋅73⋅5⋅2⋅2⋅3=2⋅73⋅3=149В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:
149=159Ответ: 159.
