Правильные и неправильные дроби

Обыкновенные дроби делятся на \textit{правильные} и \textit{неправильные} дроби. Такое разделение основано на сравнении числителя и знаменателя.

Правильные дроби

Правильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$, у которой числитель меньше знаменателя, т.е. $m

Существует определение правильной дроби, которое базируется на сравнении дроби с единицей.

Обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$ является правильной, если она меньше единицы:

Неправильные дроби

Неправильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$, у которой числитель больше или равен знаменателю, т.е. $m\ge n$.

Дадим определение неправильной дроби, которое базируется на ее сравнении с единицей.

Обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$ является неправильной, если она равна или больше единицы:

Рассмотрим более подробно понятие неправильной дроби.

Возьмем для примера неправильную дробь $\frac{7}{7}$. Значение этой дроби -- взяли семь долей предмета, который поделен на семь одинаковых долей. Таким образом, из семи долей, которые есть в наличии, можно составить весь предмет. Т.е. неправильная дробь $\frac{7}{7}$ описывает целый предмет и $\frac{7}{7}=1$. Итак, неправильные дроби, у которых числитель равен знаменателю, описывают один целый предмет и такая дробь может быть заменена на натуральное число $1$.

Рассмотрим далее неправильные дроби:

• $\frac{5}{2}$ -- достаточно очевидно, что из этих пяти вторых долей можно составить $2$ целых предмета (один целый предмет будут составлять $2$ доли, а для составления двух целых предметов нужны $2+2=4$ доли) и остается одна вторая доля. Т.е., неправильная дробь $\frac{5}{2}$ описывает $2$ предмета и $\frac{1}{2}$ долю этого предмета.

• $\frac{21}{7}$ -- из двадцати одной седьмых долей можно составить $3$ целых предмета ($3$ предмета по $7$ долей в каждом). Т.е. дробь $\frac{21}{7}$ описывает $3$ целых предмета.

Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: неправильную дробь можно заменить натуральным числом, если числитель нацело делится на знаменатель (например, $\frac{7}{7}=1$ и $\frac{21}{7}=3$), или суммой натурального числа и правильной дроби, если числитель нацело не делится на знаменатель (например,$\ \frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}$). Поэтому такие дроби и называются неправильными.

При работе с неправильными дробями прослеживается тесная связь между ними и смешанными числами.

Неправильная дробь часто записывается в виде смешанного числа -- числа, которое состоит из целой и дробной части.

Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанного числа, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Частное будет составлять целую часть смешанного числа, остаток -- числитель дробной части, а делитель -- знаменатель дробной части.

Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо знаменатель умножить на целую часть числа, к произведению, которое получилось, прибавить числитель дробной части и записать полученную сумму в числитель дроби. Знаменатель неправильной дроби будет равен знаменателю дробной части смешанного числа.

Сложение смешанного числа и правильной дроби

Сложение смешанного числа $a\frac{b}{c}$ и правильной дроби $\frac{d}{e}$ выполняет прибавлением к данной дроби дробной части данного смешанного числа:

Сложение смешанного числа и неправильной дроби

Сложение неправильной дроби и смешанного числа сводят к сложению двух смешанных чисел, для чего достаточно выделить целую часть из неправильной дроби.