Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартний вид $y'+P\left(x\right)\cdot y=0$, где $P\left(x\right)$ -- непрерывная функция, называется линейным однородным. Название "линейное" объясняется тем, что неизвестная функция $y$ и её первая производная $y'$ входят в состав уравнения линейно, то есть в первой степени. Название "однородное" объясняется тем, что в правой части уравнения находится нуль.
Такое дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных. Представим его в стандартном виде метода: $y'=-P\left(x\right)\cdot y$, где $f_{1} \left(x\right)=-P\left(x\right)$ и $f_{2} \left(y\right)=y$.
Вычислим интеграл $I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.
Вычислим интеграл $I_{2} =\int \frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =\int \frac{dy}{y} =\ln \left|y\right|$.
Запишем общее решение в виде $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_{1} \right|$, где $\ln \left|C_{1} \right|$ -- произвольная постоянная, взятая в удобном для дальнейших преобразований виде.
Выполним преобразования:
\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_{1} \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac{\left|y\right|}{\left|C_{1} \right|} =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]Используя определение логарифма, получим: $\left|y\right|=\left|C_{1} \right|\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $. Это равенство, в свою очередь, эквивалентно равенству $y=\pm C_{1} \cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $.
Заменив произвольную постоянную $C=\pm C_{1} $, получим общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: $y=C\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $.
Решив уравнение $f_{2} \left(y\right)=y=0$, найдем особые решения. Обычной проверкой убеждаемся, что функция $y=0$ является особым решением данного дифференциального уравнения.
Однако это же решение можно получить из общего решения $y=C\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $, положив в нём $C=0$.
Таким образом, окончательный результат: $y=C\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $.
Общий метод решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:
- Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y'+P\left(x\right)\cdot y=0$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
- Вычисляем интеграл $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
- Записываем общее решение в виде $y=C\cdot e^{-I} $ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.
Найти общее решение дифференциального уравнения $y'+3\cdot x^{2} \cdot y=0$.
Имеем линейное однородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $P\left(x\right)=3\cdot x^{2} $.
Вычисляем интеграл $I=\int 3\cdot x^{2} \cdot dx =x^{3} $.
Общее решение имеет вид: $y=C\cdot e^{-x^{3} } $.
Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно представить в стандартном виде $y'+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ -- известные непрерывные функции, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Название "неоднородное" объясняется тем, что правая часть дифференциального уравнения отлична от нуля.
Решение одного сложного линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть сведено к решению двух более простых дифференциальных уравнений. Для этого искомую функцию $y$ следует заменить произведением двух вспомогательных функций $u$ и $v$, то есть положить $y=u\cdot v$.
Выполняем дифференцирование принятой замены: $\frac{dy}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx} $. Подставляем полученное выражение в данное дифференциальное уравнение: $\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot u\cdot v=Q\left(x\right)$ или $\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \left[\frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot v\right]=Q\left(x\right)$.
Отметим, что если принято $y=u\cdot v$, то в составе произведения $u\cdot v$ одну из вспомогательных функций можно выбирать произвольно. Выберем вспомогательную функцию $v$ так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль. Для этого достаточно решить дифференциальное уравнение $\frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot v=0$ относительно функции $v$ и выбрать для неё простейшее частное решение $v=v\left(x\right)$, отличное от нуля. Это дифференциальное уравнение является линейным однородным и решается оно вышерассмотренным методом.
Полученное решение $v=v\left(x\right)$ подставляем в данное дифференциальное уравнение с учетом того, что теперь выражение в квадратных скобках равно нулю, и получаем еще одно дифференциальное уравнение, но теперь относительно вспомогательной функции $u$: $\frac{du}{dx} \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Это дифференциальное уравнение можно представить в виде $\frac{du}{dx} =\frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} $, после чего становится очевидно, что оно допускает непосредственное интегрирование. Для этого дифференциального уравнения необходимо найти общее решение в виде $u=u\left(x,\; C\right)$.
Теперь можно найти общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.
Общий метод решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:
- Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y'+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
- Вычисляем интеграл $I_{1} =\int P\left(x\right)\cdot dx $, записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант.
- Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $, посля чего записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$.
- Записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.
Найти общее решение дифференциального уравнения $y'-\frac{y}{x} =3\cdot x$.
Имеем линейное неоднородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $P\left(x\right)=-\frac{1}{x} $ и $Q\left(x\right)=3\cdot x$.
Вычисляем интеграл $I_{1} =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac{1}{x} \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.
Записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $ и выполняем упрощающие преобразования: $v\left(x\right)=e^{\ln \left|x\right|} $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Вибираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$.
Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx =\int \frac{3\cdot x}{x} \cdot dx=3\cdot x $.
Записываем выражение $u\left(x,C\right)=I_{2} +C=3\cdot x+C$.
Окончательно записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $y=\left(3\cdot x+C\right)\cdot x$.
