Построение математических моделей систем автоматического управления

## Математическая модель

Математические модели используются в естественных науках, прикладной математике, инженерных дисциплинах и социальных науках. Математические модели могут принимать множество форм, в том числе формы динамической системы, дифференциального уравнения, теоретико-игровой модели, статической модели. В физических науках математическая модель состоит из следующих элементов:

1. Управляющие модели.
2. Дополнительные подмодели, к которым относятся определяющие уравнения.
3. Допущения и ограничения, к которым относятся исходные и граничные условия, а также кинематические уравнения и классические ограничения.

Математические модели бывают следующих типов:

1. Линейная и нелинейная. Когда все операторы математической модели проявляют линейность, то результирующая математическая модель определяется, как линейная, в противном случае математическая модель нелинейная.
2. Статическая и динамическая. Динамическая модель учитывает изменения состояния системы, которые зависят от времени, а стическая модель вычисляет равновесие системы, то есть не зависит от времени.
3. Явная и неявная. Когда известные все входные параметры модели, а выходные могут быть рассчитаны при помощи конечной серии вычислений, модель является явной. Если известны выходные параметры, а входные могут быть рассчитаны по интерационной процедуре, то модель считается неявной.
4. Дискретная или непрерывная. Дискретная модель рассматривает объекты, как дискретные, а непрерывная представляет их непрерывными.
5. Детерминированная или вероятностная. Детерминированная - модель, где каждый набор состояний определяется в модели наборами предыдущих состояний этих переменных, в противном случае модель вероятностная.
6. Дедуктивная, индуктивная или плавающая. Дедуктивная модель - логическая структура, которая основана на теории; индуктивная модель появляется в результате обработки эмпирических данных и их обобщений; плавающая модель является просто вызовом ожидаемой структуры.

Построение математических моделей система автоматического регулирования

Математические модели систем автоматического управления представляются в виде дифференциальных уравнений. Существуют два основных подхода к составлению математических моделей автоматических систем управления:

1. В переменных состояниях.
2. В переменных вход/выход.

При рассмотрении математической модели в переменных вход/выход в большинстве случаев используется символическая форма записи дифференциальных уравнений. Допустим, что дифференциальное уравнение, которое описывает систему автоматического управления выглядит следующим образом:

Рисунок 1.

где y(t) - выходной сигнал; u(t) - входной сигнал; f(t) - помеха.

Для дифференцирования вводится обозначение р, $d/dt = p, d^2/dt = p^2x$, при этом 1/р - символ интегрирования. Формула приобретает следующий вид:

Рисунок 2.

Затем вводятся обозначения собственного оператора и оператора воздействия, выражается передаточная функция в операторной форме, к которой применяется преобразование Лапласа. Данный способ в основном имеет технические преимущества: возможность работы с переменными с физическим смыслом; возможность сопровождения теоретических исследований экспериментом. Но при таком представлении математические описания блоков и систем являются разнотипными в зависимости от порядком знаменателей и числителей, а также их передаточных фукнций.

Более единообразное математическое описание системы автоматического управления можно получить при использовании второго метода. Описание систем дается систем дифференциальных уравнений, разрешенных относительно первых производных - форма Коши:

Рисунок 3.

В данном случае векторная переменная х является вектором состояния, компоненты вектор х1 … хn переменными состояния. Таким образом состояние системы в данный момент времени характеризуется вектором состояния, которое удовлетворяет следующем уравнению:

Рисунок 4.

где А(t), В(t), C(t) - матрицы размера; u(t) - векторы исходных воздействий; л0 - вектор начальных условий; у(t) - вектор измерений.

Математическая модель автоматической системы управления в переменных состояниях представляет собой совокупность уравнений первого порядка, которые допускают получение единообразных методов анализа и синтеза системы, а также алгоритмов для численных методов.