Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (ЛОДУ-2) с постоянными коэффициентами (ПК)
ЛОДУ-2 с ПК $p$ и $q$ имеет вид $y''+p\cdot y'+q\cdot y=0$. С указанным ЛОДУ-2 можно связать квадратное уравнение $k^{2} +p\cdot k+q=0$, которое называется характеристическим. Характеристическое квадратное уравнение (ХКУ) всегда имеет два корня $k_{1} $ и $k_{2} $, которые, в зависимости от значений коэффициентов $p$ и $q$, могут быть действительными (различными или равными) или комплексными.
В отношении ЛОДУ-2 с ПК справедливы следующие три утверждения:
- Если число $k$ является действительным корнем ХКУ, то функция $y=e^{k\cdot x} $ является решением соответствующего ЛОДУ-2.
- Если числа $k_{1} =\alpha +i\cdot \beta $ и $k_{2} =\alpha -i\cdot \beta $, где $\beta \ne 0$, являются комплексными корнями ХКУ, то функции $y_{1} =e^{\alpha \cdot x} \cdot \cos \beta \cdot x$ и $y_{2} =e^{\alpha \cdot x} \cdot \sin \beta \cdot x$ являются решениями соответствующего ЛОДУ-2.
- Предположим, что функции $y_{1} $ и $y_{2} $ являются линейно независимыми частными решениями (ЧР) данного дифференциального уравнения, то есть $y_{2} \ne k\cdot y_{1} $, где $k$ -- некоторый постоянный коэффициент пропорциональности. Тогда функция $y=C_{1} \cdot y_{1} +C_{2} \cdot y_{2} $, где $C_{1} $ и $C_{2} $ -- произвольные постоянные, является общим решением (ОР) данного дифференциального уравнения.
Решение ЛОДУ-2 с ПК
На вышесформулированных утверждениях базируются три правила решения ЛОДУ-2 с ПК.
Если корни ХКУ $k^{2} +p\cdot k+q=0$ действительные и различные, то есть $k_{1} \ne k_{2} $, то ОР ЛОДУ-2 $y''+p\cdot y'+q\cdot y=0$ имеет вид $y=C_{1} \cdot e^{k_{1} \cdot x} +C_{2} \cdot e^{k_{2} \cdot x} $.
Если корни ХКУ $k^{2} +p\cdot k+q=0$ действительные и равные, то есть $k_{1} =k_{2} =k$, то ОР ЛОДУ-2 $y''+p\cdot y'+q\cdot y=0$ имеет вид $y=C_{1} \cdot e^{k\cdot x} +C_{2} \cdot x\cdot e^{k\cdot x} $.
Если корни ХКУ $k^{2} +p\cdot k+q=0$ комплексные, то есть $k_{1} =\alpha +i\cdot \beta $ и $k_{2} =\alpha -i\cdot \beta $, где $\beta \ne 0$, то ОР ЛОДУ-2 $y''+p\cdot y'+q\cdot y=0$ имеет вид $y=e^{\alpha \cdot x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)\right)$.
Найти ОР ЛОДУ-2 $y''+y'-12\cdot y=0$. Найти также его ЧР, удовлетворяющее начальным условиям $y=1$ при $x=0$, $y'=1$ при $x=0$.
Записываем ХКУ: $k^{2} +k-12=0$. Находим его корни: $k_{1} =3$, $k_{2} =-4$. Поскольку корни действительные и различные, то $y=C_{1} \cdot e^{3\cdot x} +C_{2} \cdot e^{-4\cdot x} $.
Находим ЧР, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
- для самой функции имеем $1=C_{1} \cdot e^{3\cdot 0} +C_{2} \cdot e^{-4\cdot 0} =C_{1} +C_{2} $;
- для производной $y'=3\cdot C_{1} \cdot e^{3\cdot x} -4\cdot C_{2} \cdot e^{-4\cdot x} $ функции имеем $1=3\cdot C_{1} \cdot e^{3\cdot 0} -4\cdot C_{2} \cdot e^{-4\cdot 0} =3\cdot C_{1} -4\cdot C_{2} $.
Решая систему $\left\{\begin{array}{c} {C_{1} +C_{2} =1} \\ {3\cdot C_{1} -4\cdot C_{2} =1} \end{array}\right. $, получаем $C_{1} =\frac{5}{7} $, $C_{2} =\frac{2}{7} $.
Таким образом, найдено ЧР $y=\frac{5}{7} \cdot e^{3\cdot x} +\frac{2}{7} \cdot e^{-4\cdot x} $.
Найти ОР ЛОДУ-2 $y''+4\cdot y'+4\cdot y=0$. Найти также его ЧР, удовлетворяющее начальным условиям $y=3$ при $x=0$, $y'=0$ при $x=0$.
Записываем ХКУ: $k^{2} +4\cdot k+4=0$. Находим его корни: $k_{1} =-2$, $k_{2} =-2$. Поскольку корни действительные и равные, то $y=C_{1} \cdot e^{-2\cdot x} +C_{2} \cdot x\cdot e^{-2\cdot x} $.
Находим ЧР, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
- для самой функции имеем $3=C_{1} \cdot e^{-2\cdot 0} +C_{2} \cdot 0\cdot e^{-2\cdot 0} =C_{1} $;
- для производной $y'=-2\cdot C_{1} \cdot e^{-2\cdot x} +C_{2} \cdot e^{-2\cdot x} -2\cdot C_{2} \cdot x\cdot e^{-2\cdot x} $ функции имеем $0=-2\cdot C_{1} \cdot e^{-2\cdot 0} +C_{2} \cdot e^{-2\cdot 0} -2\cdot C_{2} \cdot 0\cdot e^{-2\cdot 0} =-2\cdot C_{1} +C_{2} $.
Решая систему $\left\{\begin{array}{c} {C_{1} =3} \\ {-2\cdot C_{1} +C_{2} =0} \end{array}\right. $, получаем $C_{1} =3$, $C_{2} =6$.
Таким образом, найдено ЧР $y=3\cdot e^{-2\cdot x} +6\cdot x\cdot e^{-2\cdot x} $.
Найти ОР ЛОДУ-2 $y''-4\cdot y'+29\cdot y=0$. Найти также его ЧР, удовлетворяющее начальным условиям $y=3$ при $x=0$, $y'=1$ при $x=0$.
Записываем ХКУ: $k^{2} -4\cdot k+29=0$. Находим его корни: $k_{1} =2+i\cdot 5$, $k_{2} =2-i\cdot 5$. Поскольку корни действительные и равные, то $y=e^{2\cdot x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(5\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(5\cdot x\right)\right)$.
Находим ЧР, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
- для самой функции имеем $3=e^{2\cdot 0} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(5\cdot 0\right)+C_{2} \cdot \sin \left(5\cdot 0\right)\right)=C_{1} $;
- для производной \[y'=2\cdot e^{2\cdot x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(5\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(5\cdot x\right)\right)+e^{2\cdot x} \cdot \left(-5\cdot C_{1} \cdot \sin \left(5\cdot x\right)+5\cdot C_{2} \cdot \cos \left(5\cdot x\right)\right)\]
функции имеем
$1=2\cdot e^{2\cdot 0} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(5\cdot 0\right)+C_{2} \cdot \sin \left(5\cdot 0\right)\right)+e^{2\cdot 0} \cdot \left(-5\cdot C_{1} \cdot \sin \left(5\cdot 0\right)+5\cdot C_{2} \cdot \cos \left(5\cdot 0\right)\right)$ или
\[1=2\cdot C_{1} +5\cdot C_{2} . \]Решая систему $\left\{\begin{array}{c} {C_{1} =3} \\ {2\cdot C_{1} +5\cdot C_{2} =1} \end{array}\right. $, получаем $C_{1} =3$, $C_{2} =-1$.
Таким образом, найдено ЧР $y=e^{2\cdot x} \cdot \left(3\cdot \cos \left(5\cdot x\right)-\sin \left(5\cdot x\right)\right)$.
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка (ЛОДУ-n) с ПК
ЛОДУ-n с ПК имеет следующий вид:
\[y^{\left(n\right)} +p_{1} \cdot y^{\left(n-1\right)} +p_{2} \cdot y^{\left(n-2\right)} +\ldots +p_{n-1} \cdot y'+p_{n} \cdot y=0.\]Поиск ОР ЛОДУ-n осуществляется на основе характеристического уравнения:
\[k^{n} +p_{1} \cdot k^{n-1} +p_{2} \cdot k^{n-2} +\ldots +p_{n-1} \cdot k+p_{n} =0.\]Схемы построения общих решения ЛОДУ-n с ПК зависят от свойств корней характеристического уравнения и аналогичны соответствующим схемам для ЛОДУ-2.
Найти ОР ЛОДУ-n $y'''-2\cdot y''-y'+2\cdot y=0$. Найти также его ЧР, удовлетворяющее начальным условиям $y=4$ при $x=0$, $y'=1$ при $x=0$, $y''=1$ при $x=0$.
Записываем характеристическое уравнение: $k^{3} -2\cdot k^{2} -k+2=0$.
Раскладываем левую часть уравнения на множители:
\[k^{2} \cdot \left(k-2\right)-\left(k-2\right)=0; \left(k-2\right)\cdot \left(k^{2} -1\right)=0;\] \[\left(k-2\right)\cdot \left(k-1\right)\cdot \left(k+1\right)=0.\]Таким образом, корни характеристического уравнения:
\[k_{1} =-1, k_{2} =1, k_{3} =2. \]Поскольку корни действительные и различные, то ОР имеет вид $y=C_{1} \cdot e^{-1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{1\cdot x} +C_{3} \cdot e^{2\cdot x} $.
Находим ЧР, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
- для самого ОР имеем $4=C_{1} \cdot e^{-1\cdot 0} +C_{2} \cdot e^{1\cdot 0} +C_{3} \cdot e^{2\cdot 0} =C_{1} +C_{2} +C_{3} $;
- для производной ОР $y'=-C_{1} \cdot e^{-1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{1\cdot x} +2\cdot C_{3} \cdot e^{2\cdot x} $ имеем $1=-C_{1} \cdot e^{-1\cdot 0} +C_{2} \cdot e^{1\cdot 0} +2\cdot C_{3} \cdot e^{2\cdot 0} =-C_{1} +C_{2} +2\cdot C_{3} $;
- для второй производной ОР $y''=C_{1} \cdot e^{-1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{1\cdot x} +4\cdot C_{3} \cdot e^{2\cdot x} $ имеем $1=C_{1} \cdot e^{-1\cdot 0} +C_{2} \cdot e^{1\cdot 0} +4\cdot C_{3} \cdot e^{2\cdot 0} =C_{1} +C_{2} +4\cdot C_{3} $.
Решаем систему $\left\{\begin{array}{c} {C_{1} +C_{2} +C_{3} =4} \\ {-C_{1} +C_{2} +2\cdot C_{3} =1} \\ {C_{1} +C_{2} +4\cdot C_{3} =1} \end{array}\right. $ по формулам Крамера:
\[\Delta =\left|\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {-1} & {1} & {2} \\ {1} & {1} & {4} \end{array}\right|=6, \Delta _{1} =\left|\begin{array}{ccc} {4} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {2} \\ {1} & {1} & {4} \end{array}\right|=6,\] \[\Delta _{2} =\left|\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {1} \\ {-1} & {1} & {2} \\ {1} & {1} & {4} \end{array}\right|=24, \Delta _{3} =\left|\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {4} \\ {-1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1} \end{array}\right|=-6,\] \[C_{1} =\frac{\Delta _{1} }{\Delta } =\frac{6}{6} =1, C_{2} =\frac{\Delta _{2} }{\Delta } =\frac{24}{6} =4, C_{3} =\frac{\Delta _{3} }{\Delta } =\frac{-6}{6} =-1.\]Таким образом, ЧР имеет вид: $y=e^{-x} +4\cdot e^{x} -e^{2\cdot x} $.
