Основные положения
В неявной форме дифференциальное уравнения первого порядка записывается следующим образом: $F\left(x,\; y,\; y'\right)=0$. Здесь $x$ -- независимая переменная, $y$ -- искомая неизвестная функция от $x$, $y'=\frac{dy}{dx} $.
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной имеет вид $y'=f\left(x,\; y\right)$ или $\frac{dy}{dx} =f\left(x,\; y\right)$.
Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида $y'=f\left(x\right)$, в котором правая часть $f\left(x\right)$ не зависит от $y$. Его можно решить непосредственным интегрированием.
Используя соотношение $y'=\frac{dy}{dx} $, данное дифференциальное уравнение можно представить в виде $dy=f\left(x\right)\cdot dx$. Теперь непосредственное интегрирование становится возможным. После интегрирования левой и правой части равенства общее решение дифференциальное уравнение можно записать так: $y=\int f\left(x\right)\cdot dx +C$, где $C$ -- произвольная постоянная.
Наличие в составе общего решения дифференциального уравнения произвольной постоянной является практическим свидетельством того, что оно имеет бесчисленное множество решений.
Однако во многих задачах прикладного характера достаточно часто возникает необходимость среди всех решений дифференциального уравнения $y'=f\left(x,\; y\right)$ найти такое решение $y=y\left(x\right)$, которое удовлетворяет начальному условию $y\left(x_{0} \right)=y_{0} $, где $x_{0} $, $y_{0} $ -- заданные числа. Эта задача называется задачей Коши. С геометрической точки зрения задача Коши состоит в поиске той интегральной кривой уравнения $y'=f\left(x,\; y\right)$, которая проходит через заданную точку $\left(x_{0} ,\; y_{0} \right)$ плоскости $xOy$.
Особенности решения дифференциального уравнения первого порядка
Условия существования решения задачи Коши формулирует теорема Пеано. Согласно этой теореме, если функция $f\left(x,\; y\right)$ непрерывна в некоторой области $D$ плоскости $xOy$, то существует непрерывная вместе со своей первой производной функция $y=y\left(x\right)$, которая является решением задачи Коши $y'=f\left(x,\; y\right)$, $y\left(x_{0} \right)=y_{0} $, где $\left(x_{0} ,\; y_{0} \right)\in D$.
Однако условия теоремы Пеано не гарантируют единственность решения задачи Коши. В этом убеждает результат решения следующей задачи.
Решить дифференциальное уравнение $y'=2\cdot \sqrt{y} $.
Легко увидеть, что интегральной кривой данного уравнения является прямая $y=0$, то есть ось $Ox$. Но простой подстановкой можно убедиться, что интегральными кривыми данного уравнения являются также и кривые $y=\left(x+C\right)^{2} $. Проверка: $y'=2\cdot \left(x+C\right)$ и $2\cdot \sqrt{y} =2\cdot \sqrt{\left(x+C\right)^{2} } =2\cdot \left(x+C\right)$. Правая часть уравнения $y'=2\cdot \sqrt{y} $ определена и непрерывна при $y\ge 0$. При этом $y'\ge 0$, откуда следует $2\cdot \left(x+C\right)\ge 0$ или $x\ge -C$. Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения представляет собой совокупность кривых $y=0$, а также $y=\left(x+C\right)^{2} $ в той их части, где $x\ge -C$.
Рассмотрим теперь начальное условие $y\left(x_{0} \right)=0$. В этом случае произвольная постоянная $0=\left(x_{0} +C\right)^{2} $ или $C=-x_{0} $, откуда получаем частное решение $y=\left(x-x_{0} \right)^{2} $. Из частного решения видно, что через любую точку $x=x_{0} $ на оси $Ox$ проходят две интегральные кривые: парабола $y=\left(x-x_{0} \right)^{2} $ и прямая $y=0$. Это значит, что в этих точках решение не единственно.
Не только существование, но и единственность решения задачи Коши формулирует теорема Коши. В упрощенной, но достаточной для применения на практике форме, эта теорема утверждает следующее. Предположим, что функция $f\left(x,\; y\right)$ определена в квадрате $G$ со стороной $2\cdot a$ и с центром в точке $\left(x_{0} ,\; y_{0} \right)$. В этом квадрате $f\left(x,\; y\right)$ непрерывна и ограничена, то есть $\left|f\left(x,\; y\right)\right|\le M$, $M>0$, а также существует и ограничена частная производная $\frac{\partial f}{\partial y} $. В этом случае задача Коши $y'=f\left(x,\; y\right)$, $y\left(x_{0} \right)=y_{0} $ имеет единственное решение по крайней мере на отрезке $\left|x-x_{0} \right|\le \frac{a}{M} $.
Выполнение условий теоремы Коши гарантирует, что через каждую внутреннюю точку области $G$ проходит единственная интегральная кривая.
Функция $y=y\left(x,\, C\right)$ является общим решением дифференциального уравнения $y'=f\left(x,\; y\right)$, если она удовлетворяет ему при любом фиксированном значении произвольной постоянной $C$, а также, если для произвольного начального условия $y\left(x_{0} \right)=y_{0} $, где $\left(x_{0} ,\; y_{0} \right)\in G$ существует единственное значение $C=C_{0} $ такое, что функция $y=y\left(x,\, C_{0} \right)$ удовлетворяет условию $y\left(x_{0} \right)=y_{0} $.
Если в точке $\left(x_{0} ,\; y_{0} \right)$ нарушаются условия теоремы Коши, то это означает возможность того, что через эту точку проходит несколько интегральных кривых (решение не единственно) или вообще не проходит ни одна интегральная кривая (решение не существует). Такие точки называются особыми точками дифференциального уравнения.
Особые точки могут находиться среди тех точек, где претерпевает разрыв функция $f\left(x,\; y\right)$ или её частная производная $f'_{y} \left(x,\; y\right)$. Каждую из таких точек разрыва следует проверить, анализируя общее решение дифференциального уравнения. Необходимость проверки связана с тем, что единственное решение задачи Коши может существовать, даже если в точке $\left(x_{0} ,\; y_{0} \right)$ нарушаются условия теоремы Коши.
Исследовать решение дифференциального уравнения $y'=y\cdot \cos x+x^{2} $.
Функция $f\left(x,y\right)=y\cdot \cos x+x^{2} $ непрерывна, а её производная $f'_{y} =\cos x$ ограничена во всех точках плоскости $xOy$. В соответствии с теоремой Коши через каждую точку плоскости $xOy$ проходит одна интегральная кривая.
Исследовать решение дифференциального уравнения $y'=\sqrt{4-y^{2} } $.
Функция $f\left(x,y\right)=\sqrt{4-y^{2} } $ определена и непрерывна в тех точках плоскости $xOy$, где $-2\le y\le 2$. Частная производная $f'_{y} =-\frac{y}{\sqrt{4-y^{2} } } $ становится неограниченной при $y\to \pm 2$. Простой подстановкой можно убедиться, что функция $y=2\cdot \sin \left(x+C\right)$ является решением данного дифференциального уравнения. Но, кроме того, решениями являются также прямые $y=\pm 2$. Таким образом, через каждую точку указанных прямых проходят, по крайней мере, две интегральные кривые, то есть решение не единственно.
Составить дифференциальное уравнение для решения следующей задачи.
Материальная точка $M$ движется по прямой вдоль оси $Ox$. В момент времени $t$ точка занимает положение $x$. Известна скорость движения $v\left(t\right)$. Составить дифференциальное уравнение движения точки $M$.
Известно, что физический смысл производной состоит в том, что её значение в некоторой точке показывает скорость изменения функции в этой точке.
Отсюда получаем искомое дифференциальное уравнение: $x'\left(t\right)=v\left(t\right)$.
Найти дифференциальное уравнение семейства парабол, вершина которых находится в начале координат.
В соответствии с условием задачи такое семейство парабол можно описать формулой $y=C\cdot x^{2} $, где $C$ -- произвольная постоянная.
Составляем систему уравнений:
\[\left\{\begin{array}{c} {y=C\cdot x^{2} } \\ {y'=C\cdot 2\cdot x} \end{array}\right. .\]Исключаем произвольную постоянную $C$ из этой системы.
Из первого уравнения системы получаем $C=\frac{y}{x^{2} } $. Подставляем во второе уравнение системы: $y'=\frac{y}{x^{2} } \cdot 2\cdot x=2\cdot \frac{y}{x} $.
Окончательно: $x\cdot y'=2\cdot y$.
