Действительные числа
Множество действительных чисел состоит из множества рациональных и иррациональных чисел.
Обозначается множество действительных чисел R. Так же множество действительных чисел можно обозначить промежутком (-?; +?)
Вспомним, что любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби, а любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби, значит будет верно следующее утверждение:
Множество конечных и бесконечных десятичных дробей составляют множество действительных чисел.
Геометрическая модель действительных чисел
Геометрической моделью действительных чисел является координатная прямая. Это связано с тем, что каждая точка числовой имеет координату, которая будет являться действительным числом.
Сравнение действительных чисел
Для того чтобы сравнить действительные числа, можно воспользоваться или геометрической моделью действительных чисел или провести сравнение аналитически.Рассмотрим данные способы.
Для того чтоюы сравнить два действительных числа, достаточно найти разность этих чисел и сравнить ее с нулем. Если разность будет положительна, то первое число(уменьшаемое разности) будет больше второго числа(вычитаемого разности); если же разность будет отрицательна, то наоборот
Сравнить числа $\frac{18}{5}$ и $4$.
Решение. Для сравнения этих чисел составим и вычислим их разность
$\frac{18}{5} - 4 =\ \frac{18}{5}-\ \frac{20}{5}=-\frac{2}{5}$
для вычисления разности мы приводили данные числа к общему знаменателю, в данном случае общий знаменатель равен $5$. После этого используя правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем мы вычли из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставили прежним.
Теперь обратим вниманеи, что разность этих чисел получилась отрицательна, значит первое число( уменьшаемое) меньше второго(вычитаемого), т. е.
$\frac{18}{5}$ ‹ 4
Для того чтобы сравнить числа с помощью числовой прямой, надо определить местоположение точек, координаты которых будут соответствовать сравниваемым действительным числам. То число, которое больше будет располагаться на координатной прямой правее, то, которое меньше левее
Сравнить числа $\frac{18}{5}$ и 4 с помощью координатной прямой
Решение. Для сравнения этих чисел сначала определим местоположение точек, координаты которых будут соответствовать сравниваемым действительным числам, т е числам $\frac{18}{5}$ и $4$.
Для этого сначала преобразуем неправильную дробь $\frac{18}{5}$ путем выделения целой части, тогда получим
\[\frac{18}{5}=3\frac{3}{5}\]Теперь на координатной прямой отметим точки, координаты которых будут соответственно равны $3\frac{3}{5}$ и $4$.
Рисунок 1.
Теперь становится очевидно, что точка с координатой 4 лежит правее чем точка с координатой $3\frac{3}{5}$ , значит число 4 больше чем $3\frac{3}{5}$ .
Мы видим, что вне зависимости от выбранного способа сравнения результат получен одинаковый.
С действительными числами можно осуществлять все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. На практике часто, для того чтобы не допустить ошибку перед тем, как производить действия надо определить знаки исходных чисел, т.е. определить положительными или отрицательным является каждое из чисел
Сложение действительных чисел
Для того чтобы найти сумму действительных чисел с одинаковыми знаками, надо сложить модули этих чисел и перед полученной суммой поставить из общий знак.
Например, найдем сумму чисел $375$ и $863$. Очевидно, что оба числа положительны, тогда $375+863=/375/+/863/=1238$.Полученная сумма будет иметь знак $«+»$, т к оба числа имели этот общий знак, т.е. были положительны
Теперь найдем сумму чисел $-375$ и $-863$. Оба числа отрицательны, значит сумма будет так же иметь знак $«-»$
$-375+(-863)= - (/375/+/863/)= -1238$
Для того чтобы найти сумму чисел с разными знаками, надо из числа большего по модуля вычесть число меньшее по модулю и перед получившейся разностью поставить знак числа большего по модулю.
Например, найдем сумму чисел $-657$ и $343$. Сначала вычислим модули данных чисел
$/-657/= 657$
$/343/=343$
Теперь согласно правилу произведем дальнейший расчет
$657-343=314$, тогда
$-657+ 343= - 314$
При вычисления произведения чисел необходимо придерживаться следующих правил:
-
при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
Например, найдем произведение $\sqrt{13}\cdot \sqrt{7}$
Оба числа положительны, значит и произведение этих чисел будет положительным. Действительно $\sqrt{13}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{91}$
-
при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
Например, найдем произведение $-\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{6}{8}\right)=\frac{18}{32}=\frac{9}{16}$
-
при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным
Вычислим частное $\frac{16}{5}$ и $(-4)$
$\frac{16}{5}$ : (-4)= = $\frac{16}{5\cdot 4}=-\frac{4}{5}$
