Делимость целых неотрицательных чисел

Определить делится ли число $12233344445550$ на $2,3,4,5,7,9,11$.

Решение. Для того чтобы это определить, мы воспользуемся приведенными признаками делимости.

Проверим, делится ли число на $2$ : рассмотрим последнюю цифру числа- это $0$. Согласно признаку делимости данное число будет делиться на $2$ без остатка.

Выясним делится ли число на $5$: рассмотрим последнюю цифру числа- это $0$. Согласно признаку делимости, данное число будет делиться на $5$ без остатка.

Чтобы проверить делится ли число на $3$ и $9$ найдем сумму цифр данного числа: $1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5=45$.

Число получилось двузначным, для упрощения найдем сумму его цифр, чтобы убедиться, что число делится на $3$ и $9$.

$4+5=9$, теперь нетрудно опираясь на признаки делимости убедиться, что число делится на $3$ и $9$ без остатка.

Выясним, делится ли число на $4$ : рассмотрим последнюю цифру числа- это $0$. Согласно признаку делимости на $4$ нам это не подходит, рассмотрим число, которым оканчивается искомое- это число $50$, оно так же не делится на $4$, значит не первое ни второе условие, при котором можно будет свидетельствовать, что число кратно $4$ не выполняется, значит наше число не делится на $4$ без остатка.

Чтобы проверить, делится ли число на $11$, найдем сумму цифр, стоящих на четных и нечетных местах в нашем числе. Сначала определим их.

$12233344445550$

На нечетных местах стоят цифры: $1,2,3,4,4,5,5$. Найдем их сумму $1+2+3+4+4+5+5=24$

На четных местах стоят цифры: $2,3,3,4,4,5,0$. Найдем их сумму

$2+3+3+4+4+5+0=21$

Мы видим, что суммы не равны, тогда проверим второе возможное условие: найдем разность сумм чисел, стоящих на четных и нечетных местах:

$24-21=3$, полученная разность $11$ не кратна, значит не одно из условий делимости на $11$ не выполняется, значит число на $11$ делится без остатка не будет.

Выясним, будет ли число делиться на $7$: для этого а надо разбить его запись справа налево на группы по три цифры в каждой ( самая левая группа может содержать две или одну цифру)

$12 \ 233 \ 344 \ 445 \ 550$

и взять с нечетными номерами со знаком минус, а с чётными номерами со знаком плюс.

$12-233+344-445+550=228$ значение получисшегося выражения не делится на $7$ значит и заданное число не делится на $7$.

Определить делится ли число $9234555$ на $2,3,4,5,7,9,11$

Решение. Для того чтобы это определить, мы воспользуемся приведенными признаками делимости.

Для того чтобы определить, делится ли число на $2$, рассмотрим последнюю цифру числа- это $5$. Данное число не четное, значит согласно признаку делимости данное число не будет делиться на $2$ без остатка.

Выясним, делится ли число на $5$: рассмотрим последнюю цифру числа- это цифра $5$. Согласно признаку делимости данное число будет делиться на $5$ без остатка.

Чтобы проверить, делится ли число на $3$ и $9$, найдем сумму цифр данного числа: $9+2+3+4+5+5+5=33$.

Число получилось двузначным, для упрощения найдем сумму его цифр, чтобы убедиться, что число делится на $3$ и $9$.

$3+3=6$, теперь нетрудно опираясь на признаки делимости убедиться, что число делится на $3$ без остатка, но не делится на $9$.

Выясним, делится ли число на $4$ : рассмотрим две последние цифры числа- это $55$, а не два $0$, значит по признаку делимости на $4$ нам это не подходит, рассмотрим число, которым оканчивается искомое- это число $55$, оно так же не делится на $4$, значит не первое ни второе условие, при котором можно будет свидетельствовать, что число кратно $4$ не выполняется, значит наше число не делится на $4$ без остатка.

Чтобы проверить делится ли число на $11$ найдем сумму цифр, стоящих на четных и нечетных местах в нашем числе. сначала определим их

$9234555$

На нечетных местах стоят цифры: $9,3, 5,5$. Найдем их сумму $9+3+5+5=22$.

На четных местах стоят цифры: $2,4,5.$ Найдем их сумму $5+4+2=11$.

Мы видим, что суммы не равны, тогда проверим второе возможное условие: найдем разность сумм чисел, стоящих на четных и нечетных местах:

$22-11=11$, полученная разность кратна $11$, значит одно из условий делимости на $11$ выполняется, значит число на $11$ делится без остатка.

Выясним будет ли число делиться на $7$: для этого а надо разбить его запись справа налево на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может содержать две или одну цифру)

$9 \ 234 \ 555$

и взять с нечетными номерами со знаком минус, а с чётными номерами со знаком плюс.

$9 -234+555=330$ значение получисшегося выражения не делится на $7$, значит, и заданное число не делится на $7$.

Определить, делится ли число $334552$ на $2,3,4,5 ,9,11$.

Решение. Для того чтобы это определить, мы воспользуемся приведенными признаками делимости.

Чтобы определить, делится ли число на $2$,обратим внимание, что число четное, значит, на $2$ оно будет делиться. Так как число оканчивается на цифру $2$, значит, ни на $5$, ни на $10$ оно делится не будет.

Найдем сумму цифр данного числа: $3+3+4+5+5+2=22$, теперь нетрудно, опираясь на признаки делимости, убедиться, что число не делится на $3$ без остатка и не делится на $9$.

Выясним, делится ли число на $4$ : рассмотрим две последние цифры числа- это $52$, оно делится на $4$, значит, что число кратно $4.$

Проверим, делится ли число на $11$.

Найдем сумму цифр, стоящих на четных и нечетных местах в числе $334552$.

На нечетных местах стоят цифры: $3,4,5.$ Найдем их сумму $3+4+5=12$

На четных местах стоят цифры: $3,5,2.$ Найдем их сумму $3+5+2=10$

Мы видим, что суммы не равны, тогда проверим второе возможное условие: найдем разность сумм чисел, стоящих на четных и нечетных местах:

$12-10=2$, полученная разность не кратна $11$, значит ни одно из условий делимости на $11$ выполняется, значит число на $11$ не делится без остатка.