Среднее квадратическое отклонение

Случайная величина $\xi$ задана плотностью:

$$\rho _{\xi } (x)=\left\{\begin{array}{l} {{\rm \; \; }0,{\rm \; \; \; \; \; \; }x2.} \end{array}\right. \, .$$

Требуется:

1. найти коэффициент а, функцию распределения $F_{\xi } (x)$; построить графики $F_{\xi } (x)\,$ и $\rho _{\xi } (x)$;

2. найти $M\xi$, $D\xi$, $\sigma \xi$.

3. вычислить $P(1,5

Построим график плотности распределения вероятностей случайной величины $\xi$ (рис. 1).

Рисунок 1.

Найдем функцию распределения $F_{\xi } (x)$, имеем $F_{\xi } (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\rho _{\xi } (t) dt\,$. Плотность распределения вероятностей случайной величины $\xi$ определена различными элементарными функциями на трех интервалах, будем фиксировать x в каждом из этих интервалов.

Пусть $x

$0\le x\le 2$, тогда

$$F_{\xi } (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\rho _{\xi } (t) dt=\int \limits _{-\infty }^{0}0 dt+\int \limits _{0}^{x}\frac{t}{2} dt=0+\frac{t^{2} }{4} \left|\begin{array}{c} {^{x} } \\ {_{0} } \end{array}=\frac{x^{2} }{4} \right. ;$$

$x>2$, тогда

$$F_{\xi } (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\rho _{\xi } (t) dt=\int \limits _{-\infty }^{0}0 dt+\int \limits _{0}^{2}\frac{t}{2} dt+\int \limits _{2}^{x}0 dt=0+\frac{t^{2} }{4} \left|\begin{array}{c} {^{2} } \\ {_{0} } \end{array}+0=1\right. \, .$$

Имеем

$$F_{\xi } (x)=\left\{\begin{array}{l} {{\rm \; \; }0,{\rm \; \; \; \; \; \; }x2.} \end{array}\right. \,$$

Построим график функции распределения случайной величины $\xi$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Найдем (по определению) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение

$$M\xi =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x\cdot \rho _{\xi } (x) dx=\int \limits _{-\infty }^{0}x\cdot 0 dx+\int \limits _{0}^{2}x\cdot \frac{x}{2} dx+\int \limits _{2}^{+\infty }x\cdot 0 dx=\frac{1}{2} \cdot \int \limits _{0}^{2}x^{2} dx=\,$$ $$=\frac{x^{3} }{6} \left|\begin{array}{c} {^{2} } \\ {_{0} } \end{array}=\frac{8-0}{6} =\frac{4}{3} \right. \, ;$$ $$D\xi =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2} \cdot \rho _{\xi } (x) dx-M^{2} \xi =\int \limits _{-\infty }^{0}x^{2} \cdot 0 dx+\int \limits _{0}^{2}x^{2} \cdot \frac{x}{2} dx+\int \limits _{2}^{+\infty }x^{2} \cdot 0 dx-\,$$ $$-\left(\frac{4}{3} \right)^{2} =\frac{1}{2} \cdot \int \limits _{0}^{2}x^{3} dx=\frac{x^{4} }{8} \left|\begin{array}{c} {^{2} } \\ {_{0} } \end{array}-\frac{16}{9} =\frac{2^{4} -0}{8} -\frac{16}{9} =\frac{16}{8} -\frac{16}{9} =16\cdot \left(\frac{1}{8} -\frac{1}{9} \right)=\right. \, =16\cdot \frac{9-8}{72} =\frac{16}{72} =\frac{4}{18} =\frac{2}{9} \, ;$$ $$\sigma \xi =\sqrt{D\xi } =\sqrt{\frac{2}{9} } =\frac{\sqrt{2} }{3} \approx 0,471\, .$$

Вычислим $P(1,5P(1,5