Действительные числа
Мы уже знаем, что множество действительных чисел $R$ образуют рациональные и иррациональные числа.
Рациональные числа всегда можно представить в виде десятичных дробей (конечных или бесконечных периодических).
Иррациональные числа записываются в виде бесконечных, но непериодических десятичных дробей.
Ко множеству действительных чисел $R$ принадлежат также элементы $-\infty $ и $+\infty $, для которых выполняются неравенства $-\infty Рассмотрим способы представления действительных чисел. Обычные дроби записывают с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной дробной черты. Дробная черта фактически заменяет знак деления. Число под чертой - это знаменатель дроби (делитель), число над чертой - числитель (делимое). Обычные дроби
Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя. И наоборот, дробь называется неправильной, если её числитель больше знаменателя или равен ему.
Для обычных дробей существуют простые, практически очевидные, правила сравнения ($m$,$n$,$p$ - натуральные числа):
- из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, то есть $\frac{m}{p} >\frac{n}{p} $ при $m>n$;
- из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, то есть $\frac{p}{m} >\frac{p}{n} $ при $ m
- правильная дробь всегда меньше единицы; неправильная дробь всегда больше единицы; дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице;
- любая неправильная дробь больше любой правильной.
Десятичные числа
Запись десятичного числа (десятичной дроби) имеет вид: целая часть, десятичная запятая, дробная часть. Десятичную запись обычной дроби можно получить, выполнив деление "углом" числителя на знаменатель. При этом может получиться либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.
Цифры дробной части называют десятичными знаками. При этом первый разряд после запятой называют разрядом десятых, второй - разрядом сотых, третий - разрядом тысячных и т.д.
Определяем значение десятичного числа 3,74. Получаем: $3,74=3+\frac{7}{10} +\frac{4}{100} $.
Десятичное число можно округлить. При этом следует указать разряд, до которого выполняется округление.
Правило округления состоит в следующем:
- все цифры правее данного разряда заменяют нулями (если эти цифры находятся до запятой) или отбрасывают (если эти цифры находятся после запятой);
- если первая цифра, следующая за данным разрядом, меньше 5, то цифру данного разряда не меняют;
- если первая цифра, следующая за данным разрядом, 5 и более, то цифру данного разряда увеличивают на единицу.
- Округлим число 17302 до тысяч: 17000.
- Округлим число 17378 до сотен: 17400.
- Округлим число 17378,45 до десятков: 17380.
- Округлим число 378,91434 до сотых: 378,91.
- Округлим число 378,91534 до сотых: 378,92.
Преобразование десятичного числа в обычную дробь.
Десятичное число представляет собой конечную десятичную дробь.
Способ преобразования демонстрирует следующий пример.
Имеем: $3,74=3+\frac{7}{10} +\frac{4}{100} $.
Приводим к общему знаменателю и получаем:
\[3,74=3+\frac{7}{10} +\frac{4}{100} =\frac{3\cdot 100}{100} +\frac{7\cdot 10}{100} +\frac{4}{100} =\frac{374}{100} .\]Дробь можно сократить: $3,74=\frac{374}{100} =\frac{187}{50} $.
Десятичное число представляет собой бесконечную периодическую десятичную дробь.
Способ преобразования основан на том, что периодическую часть периодической десятичной дроби можно рассматривать как сумму членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
$0,\left(74\right)=\frac{74}{100} +\frac{74}{10000} +\frac{74}{1000000} +\ldots $. Первый член прогрессии $a=0,74$, знаменатель прогрессии $q=0,01$.
$0,5\left(8\right)=\frac{5}{10} +\frac{8}{100} +\frac{8}{1000} +\frac{8}{10000} +\ldots $. Первый член прогрессии $a=0,08$, знаменатель прогрессии $q=0,1$.
Сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $s=\frac{a}{1-q} $, где $a$ - первый член, а $q$ - знаменатель прогрессии $ \left (0
Переведем бесконечную периодическую десятичную дробь $0,\left(72\right)$ в обычную.
Первый член прогрессии $a=0,72$, знаменатель прогрессии $q=0,01$. Получаем: $s=\frac{a}{1-q} =\frac{0,72}{1-0,01} =\frac{0,72}{0,99} =\frac{72}{99} =\frac{8}{11} $. Таким образом, $0,\left(72\right)=\frac{8}{11} $.
Переведем бесконечную периодическую десятичную дробь $0,5\left(3\right)$ в обычную.
Первый член прогрессии $a=0,03$, знаменатель прогрессии $q=0,1$. Получаем: $s=\frac{a}{1-q} =\frac{0,03}{1-0,1} =\frac{0,03}{0,9} =\frac{3}{90} =\frac{1}{30} $.
Таким образом, $0,5\left(3\right)=\frac{5}{10} +\frac{1}{30} =\frac{5\cdot 3}{10\cdot 3} +\frac{1}{30} =\frac{15}{30} +\frac{1}{30} =\frac{16}{30} =\frac{8}{15} $.
Изображение на числовой оси
Действительные числа можно изображать точками числовой оси.
При этом числовой осью мы называем бесконечную прямую, на которой выбрано начало отсчета (точка $O$), положительное направление (указывается стрелкой) и масштаб (для отображения значений).
Между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие: каждой точке соответствует единственное число и, наоборот, каждому числу соответствует единственная точка. Следовательно, множество действительных чисел является непрерывным и бесконечным так же, как непрерывна и бесконечна числовая ось.
Некоторые подмножества множества действительных чисел называют числовыми промежутками. Элементами числового промежутка являются числа $x\in R$, удовлетворяющие определенному неравенству. Пусть $a\in R$, $b\in R$ и $a\le b$. В этом случае разновидности промежутков могут быть такими:
- Интервал $\left(a,\; b\right)$. При этом $ a
- Отрезок $\left[a,\; b\right]$. При этом $a\le x\le b$.
- Полуотрезки или полуинтервалы $\left[a,\; b\right)$ и $\left(a,\; b\right]$. При этом $ a \le x
- Бесконечные промежутки, например, $a
Важное значение имеет также разновидность промежутка, называемая окрестностью точки. Окрестность данной точки $x_{0} \in R$ -- это произвольный интервал $\left(a,\; b\right)$, содержащий эту точку внутри себя, то есть $a
Абсолютная величина числа
Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа $x$называется неотрицательное действительное число $\left|x\right|$, определяемое по формуле: $\left|x\right|=\left\{\begin{array}{c} {\; \; x\; \; {\rm при}\; \; x\ge 0} \\ {-x\; \; {\rm при}\; \; x
Геометрически $\left|x\right|$ означает расстояние между точками $x$ и 0 на числовой оси.
Свойства абсолютных величин:
- из определения следует, что $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
- для модуля суммы и для модуля разности двух чисел справедливы неравенства $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, а также $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$,$\left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
- для модуля произведения и модуля частного двух чисел справедливы равенства $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ и $\left|\frac{x}{y} \right|=\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|} $.
На основании определения абсолютной величины для произвольного числа $a>0$ можно также установить равносильность следующих пар неравенств:
- если $ \left|x\right|
- если $\left|x\right|\le a$, то $-a\le x\le a$;
- если $\left|x\right|>a$, то или $xa$;
- если $\left|x\right|\ge a$, то или $x\le -a$, или $x\ge a$.
Решить неравенство $\left|2\cdot x+1\right|
Данное неравенство равносильно неравенствам $-7
Отсюда получаем: $-8
