Предикаты и их применение

Общая характеристика логики предикатов

Логике предикатов (функциональной логике, теории квантификации, кванторной логике) в современной математической (символической) логике отводится важная роль. Специфика этого раздела состоит в том, что он учитывает субъектно-предикатную структуру высказываний.

Логика предикатов расширяет логику высказываний:

• для того, чтобы выявить субъектно-предикатную структуру высказываний, вводят индивидуальные переменные: x, y, z и т.д., каждая из которых представляет объект; а также ряд предикатных переменных: P, Q, R и т.д., каждая из которых отражает свойства и отношения объектов;
• дополнительно к средствам логики высказываний вводят специфичные логические операторы, называемые кванторами – квантор существования («существует» или «для некоторых») и квантор общности («для любого» или «для всех»). Если переменная находится в сфере действия квантора, ее называют связанной, если вне этой сферы – свободной.

Логическая форма записи выражения на языке логики предикатов производится в следующем порядке:

• в рассматриваемом выражении определяют для всех терминов семантические категории. Если термины могут быть отнесены к категории общих имен и одноместных предикаторов, их трактуют как общие имена только при условии, что у них всех один класс значения; в противном случае их рассматривают как одноместные предикаторы;
• выделенные термины заменяют соответствующими символами языка логики предикатов;
• из символов логики предикатов строят формулу.

В качестве примера запишем на языке логики предикатов следующее выражение: «На каждый праздник есть люди, которых никто не поздравил»:

• «на каждый» - квантор общности ꓯ,
• «праздник» - одноместный предикатор P1,
• «есть» - квантор существования ꓱ,
• «люди» - одноместный предикатор Q1,
• «никто» («ни один человек») – квантор общности ꓯ,
• «не» - отрицание ¬,
• «поздравил» - двухместный предикатор S2.

Из этих символов строим формулу:

ꓯx(P1(x)ᴐꓱy(Q1(y) & ꓯz(Q1(z) & ¬S2(y,z))))

Понятие предиката

Средства логики высказываний позволяют произвести анализ некоторых логических выводов и выяснить их правомерность. Однако в ходе вывода из одних высказываний других не принимается во внимание внутренняя структура элементарных высказываний. Поэтому средств логики высказываний может быть недостаточно для того, чтобы выяснить правомерность рассуждения. Возникает потребность расширить логику высказываний, построить такую логическую систему, которая позволяла бы исследовать структуру элементарных высказываний. Логика предикатов и выступает такой логической системой.

Традиционная логика предусматривает, что элементарное высказывание состоит из:

• субъекта (того, о чем говорится в высказывании),
• предиката (того, что сообщается в высказывании).

Например, в высказывании «Яблоко – это фрукт» термин «яблоко» выступает субъектом, а термин «фрукт» - предикатом.

В этом контексте предикат рассматривается как свойство, а предикативная связь указывает на то, что предмету (субъекту) присущ рассматриваемый признак.

Логика предикатов тоже осуществляет расчленение элементарных высказываний на субъект и предикат, но механизм этого расчленения отличается в современной логике от принятого в традиционной.

В логике предикатов принята трактовка предиката как логической функции от одной или большего количества предметных переменных (т. е. от одного или нескольких аргументов), причем в случае одного аргумента выражается свойство предмета, а в случае нескольких – отношения между предметами. Поэтому такое понимание предиката применимо как для высказываний, характеризующих свойства предметов, так и для высказываний, выражающих связи между предметами. При этом «отношения» и «свойства» понимаются как частные случаи более общего понятия предиката.

Предикаторы бывают:

• одноместными – слова и словосочетания, выражающие свойства («светится», «красный», «соленый»);
• многоместными – слова и словосочетания, выражающие отношения («больше», «лежит на», «старше»).

Операции над предикатами

Предикаты представляют собой логические функции, принимающие значения «истина» и «ложь» (как и пропозициональные переменные). Поэтому к ним могут быть применены все те же операции, что и в логике высказываний. Они позволяют сформировать из элементарных предикатов сложные – аналогично тому, как в логике высказываний строятся сложные высказывания. Основными логическими операциями являются:

• отрицание,
• дизъюнкция,
• конъюнкция,
• импликация,
• эквиваленция.

Наряду с операциями, используемыми в логике высказываний, в логике предикатов используются и специфические операции – кванторы. Квантификация превращает предикат в высказывание, связывая его аргумент. Основные кванторы:

• квантор общности («для всех», «для любого», «для каждого», «для всякого»),
• квантор существования («существует»).

Рассмотрим примеры связывания переменной кванторами. Пусть предикат имеет вид: «Население х меньше населения Воронежа», где х – российский город. В зависимости от того, какой город выбран, предикат может обратиться в истинное или ложное высказывание:

• «Население Белгорода меньше населения Воронежа» - истина,
• «Население Москвы меньше населения Воронежа» - ложь.

Свяжем переменную х кванторами общности и существования:

• «Население любого российского города меньше населения Воронежа» - ложь,
• «Существуют российские города, население которых меньше населения Воронежа» - истина.

В многоместном предикате могут связываться как все переменные, так и некоторые. Переменные, не связанные квантором, называются свободными. Таким образом уменьшается местность предикатов: в частности, двуместный предикат при связывании одной из переменных превращается в одноместный.