Общая характеристика предикатов с одним переменным
Логика предикатов с одним переменным – это раздел формальной логики, занимающийся исследованием выводов, учитывающих субъектно-предикатную (внутреннюю) структуру высказываний.
В логике высказываний внутренняя структура элементарных высказываний не рассматривается – они представляются неразложимыми атомами, которые входят (вместе с логическими связками) в сложные высказывания. Логика предикатов расширяет логику высказываний. Все законы, определенные в логике высказываний, сохраняют справедливость в логике предикатов – а обратное неверно. С этой позиции можно утверждать, что логика предикатов отличается большей фундаментальностью, чем логика предикатов.
Предикатом называют языковое выражение, которое отражает свойство или отношение.
В зависимости от количества переменных – предметов – предикаты бывают:
- одноместными – указывают на свойства отдельного предмета,
- двухместными, трехместными и т. д. – отражают отношения между предметами.
Пример одноместного предиката: «х – нечетное число».
Пример двухместного предиката: «х старше y».
Пример трехместного предиката: «х находится между y и z».
Многоместные предикаты важно отличать от одноместных предикатов, соединенных логической связкой. Из-за стремления естественных языков к более лаконичным формам, часто форма предложений, выражающих разные виды предикатов, похожа.
Например: «х и y – отрицательные числа» - это не двухместный предикат (хотя в предложении использованы две переменные), а конъюнкция двух одноместных предикатов вида «x – отрицательное число» (т. е. в полной форме нужно было бы записать «x – отрицательное число, и y – отрицательное число»).
Современная логика рассматривает предикацию как частный случай функциональной зависимости.
Предикат – это функция, которая при подстановке вместо переменных конкретных объектов превращается в высказывание (истинное или ложное).
Например, одноместный предикат «х зеленый» является функцией одной переменной. Подставим вместо х конкретные предметы и получим разные высказывания:
- «лист дерева зеленый» - истинное высказывание,
- «лягушка зеленая» - истинное высказывание,
- «небо зеленое» - ложное высказывание.
В предикат можно подставлять не любые значения, а только принадлежащие области определения – т. е. предметной области (множеству объектов, о которых делаются утверждения). В противном случае будут получены бессмысленные высказывания, для которых невозможно определить истинностную характеристику.
Например, предикат «х нечетно» определен для целых чисел. Если подставить вместо х не число, получится бессмыслица: «Компот нечетен». Нельзя сказать, истинно такое утверждение или нет, поэтому его нельзя признать высказыванием.
Операции над предикатами с одним переменным
К предикатам (в том числе к предикатам с одним переменным) можно применять те же операции, что и к высказываниям. Рассмотрим два предиката, определенных на одном множестве – P(x) и Q(x). Смысловое содержание в этом контексте не имеет значения:
- конъюнкция двух предикатов – это предикат, принимающий значение истины при подстановке тех значений, при которых оба предиката P и Q истинны. В естественном языке этой операции соответствует союз «И». Например, P(x) – «х делится на 3», Q(x) – «х делится на 5», конъюнкция – «х делится на 3 и 5». При подстановке х=15 (P истинно и Q истинно) новый предикат будет истинным, при подстановке х=6 – ложным (истинен только P, Q – ложен);
- дизъюнкция двух предикатов – это предикат, принимающий значение истины при подстановке тех значений, при которых хотя бы один из предикатов P и Q истинен. В естественном языке этой операции соответствует союз «ИЛИ». Рассматривая те же предикаты P и Q, получим истинную дизъюнкцию, в частности, при х=15 (истинны одновременно P и Q), x=6 (P истинен, Q ложен), х=10 (Q истинен, P ложен). При х=2 дизъюнкция ложна. Отдельно может быть рассмотрена строгая дизъюнкция, истинная только в случае истинности одного (любого) из исходных предикатов (когда оба предиката истинны, строгая дизъюнкция ложна). Ее называют «исключающее ИЛИ»;
- отрицание (определено на одном предикате) – это предикат, принимающий значение «истина» при ложности исходного предиката и «ложь» при истинности исходного предиката. Так, не-P будет истинен при х=7;
- импликация двух предикатов – предикат, ложный в единственном случае: когда первый предикат истинен, а второй ложен. Во всех остальных случаях импликация истинна. На естественном языке она выражается связкой «если … то …». В рассматриваемом примере импликация будет звучать: «Если х делится на 3, то х делится на 5». Если выбран х, который не делится на 3, то он может как делиться на 5, так и не делиться. Особенность импликации состоит в том, что порядок предикатов имеет значение (в конъюнкции и дизъюнкции их свободно можно менять местами);
- эквиваленция двух предикатов – это предикат, принимающий истинной значение при тех значениях х, при которых оба исходных предиката истинны или оба предиката ложны (т.е. имеют одинаковое значение, неважно, какое именно).
Специфической для предикатов операцией является квантификация – связывание переменной кванторами. Используют два основных квантора:
- всеобщности («для любых х»),
- существования («существуют такие х»).
В дополнение к кванторам могут использоваться символы «единственный», «такой, что». Это удобная сокращенная запись теорем.
После того, как переменная связана квантором, предикат одного переменного превращается в высказывание. Если связать одну переменную в предикате двух переменных, будет получен предикат одного переменного.
Например, рассмотрим предикат (определенный на множестве целых чисел): R(x,y)="x $\lt$ y". Связав одну переменную, можем получить предикат одного переменного: «Существует такой х, что х $\lt$ y». Здесь х – связанная переменная, y – свободная. Подставляя различные значения y, получим высказывания: «Существует такой х, что х $\lt$ 2» (при y = 2) – истинное высказывание.
