Теория автоматического управления

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Омский государственный технический университет" А.В. Федотов ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Конспект лекций Омск 2007 УДК 681.5.011(075) ББК 32.965 я73 Ф34 Рецензенты: В.А. Григорьев, канд. техн. наук, доцент, зам. ген. директора группы пред- приятий; В.Д. Парадеев, канд. техн. наук, доцент, президент компании "Арматурно-фланцевый завод" А.В. Федотов Ф34 Теория автоматического управления: Конспект лекций. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2007. 176 с. Рассматриваются общие вопросы и базовые методы теории автоматического управления; математического описания систем автоматического управления; анализа устойчивости и качества систем, а также вопросы синтеза систем автоматического управления. Наряду с теорией обыкновенных линейных систем автоматического управления рассмотрены также промышленные регуляторы; настройка регуляторов; управление по возмущению и управление в многосвязных системах. Конспект лекций предназначен для самостоятельной работы при изучении дисциплины «Теория автоматического управления» студентами дистанционного обучения, обучающимися по специальности 220301 – "Автоматизация технологических процессов и производств". УДК 681.5.011(075) ББК 32.965 я73 Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета  Федотов А.В., 2007  Омский государственный технический университет, 2007 Список сокращений АВМ – аналоговая вычислительная машина АФЧХ – амплитудно-фазовая частотная характеристика Г – генератор Д – электродвигатель Зд – задатчик И-регулятор – интегральный регулятор ИМ – исполнительный механизм ИУ – измерительное устройство ЛАХ – логарифмическая амплитудная характеристика ЛФХ – логарифмическая фазовая характеристика ЛХ – логарифмическая характеристика Об – объект управления ОС – обратная связь ОУ – объект управления П-регулятор – пропорциональный регулятор ПИ-регулятор – пропорционально-интегральный регулятор ПИД-регулятор – пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор Р – регулятор РИН – регулируемый источник напряжения САУ – система автоматического управления ТАУ – теория автоматического управления Тг – тахогенератор У – усилитель УУ – устройство управления ЭВМ – электронная вычислительная машина ЭМУ – электромашинный усилитель ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Введение Функционирование любой автоматической системы, будь то станок-автомат, промышленный робот, гибкая производственная система или другая техника, неразрывно связано с управлением этими объектами. Под управлением понимают целенаправленное воздействие на объект управления с целью поддержания или улучшения его функционирования. Развитие техники автоматического управления связано с проблемой замены человека в различных звеньях управления техническими объектами. Наука об управлении техническими системами называется технической кибернетикой. Техническая кибернетика включает ряд разделов и одним из разделов является теория автоматического управления (рис. 1). Задачи управления различны и их сложность определяет сложность применяемых систем управления. Управление может осуществляться вручную и автоматически. Для автоматического управления предназначены системы автоматического управления. Автоматическое управление – автоматическое осуществление совокупности воздействий на объект управления, выбранных из множества возможных на основании определенной информации и направленных на поддержание или улучшение функционирования управляемого объекта в соответствии с целью управления. Частной задачей автоматического управления является автоматическое регулирование. Автоматическое регулирование – поддержание постоянной или изменение по заданному закону некоторой величины, характеризующей процесс, осуществляемое при помощи измерения состояния объекта или действующих на него возмущений и воздействия на объект. Автоматическое управление является более широким понятием по сравнению с автоматическим регулированием и предусматривает дополнительно оптимальное и адаптивное управление (рис. 2). Таким образом, автоматическое регулирование можно рассматривать как базовый метод управления с целью обеспечения заданного значения управляемой величины на выходе объекта управления. Основой систем автоматического управления являются системы автоматического регулирования, которые и будут в дальнейшем рассматриваться в первую очередь. Управление осуществляется некоторым объектом с целью получения необходимого результата (рис. 3). Этот результат является выходом объекта. Для изменения результата на вход управления объекта подаются управляющие воздействия, которые изменяют состояние объекта управления. Управляющие воздействия формируются устройством управления на основе цели управления и некоторой информации (в том числе информации о результате управления). Теория автоматического управления включает аналитические модели и методы, позволяющие описать и исследовать реальные технические автоматические системы с целью определения их поведения в автоматическом режиме работы и создания систем с требуемыми свойствами. Теория автоматического управления решает задачи аналитического описания автоматических систем, их анализа и синтеза. Примеры систем автоматического управления Классический регулятор Уатта для паровой машины Паровая машина, созданная Уаттом, характеризуется практически постоянным крутящим моментом на выходном валу, не зависящим от скорости вращения вала. В результате при повышении нагрузки машина может остановиться, а при уменьшении нагрузки скорость вращения вала может превысить допустимую. Это обстоятельство приводит к необходимости постоянного регулирования подачи пара в машину так, чтобы поддерживать скорость вращения вала машины примерно постоянной независимо от нагрузки на валу. Чтобы устранить необходимость ручного регулирования скорости вращения вала машины, Уатт создал автоматический регулятор скорости вращения вала, упрощенная принципиальная схема которого показана на рис. 4. Пар, необходимый для работы машины, подаётся по трубопроводу 1 через клапан 2, с помощью которого можно изменять расход пара, поступающего в машину. От расхода пара зависит скорость вращения вала машины (при прочих равных условиях). Паровая машина вращает выходной вал 10, соединённый с нагрузкой, с угловой скоростью (t). При изменении нагрузки на вал скорость его вращения произвольно изменяется. Для поддержания скорости вращения вала неизменной служит центробежный регулятор скорости вращения. Через зубчатую передачу 11 вращение вала 10 машины передается на чувствительный элемент регулятора. Чувствительный элемент состоит из вертикального валика 7, вращающегося в подшипнике 9, и центробежных грузов 4, закреплённых на концах рычагов 5. С помощью шарнира 6 рычаги 5 соединены с валиком 7 чувствительного элемента. Шарнир 6 позволяет рычагам 5 поворачиваться в вертикальной плоскости. При повороте рычагов изменяется угол  между рычагом и вертикальным валиком. При повороте рычаги 5 через промежуточные тяги 8 передвигают муфту, скользящую по валику 7. Если валик 7 не вращается, то под действием силы тяжести центробежных грузов рычаги 5 опускаются и занимают положение, близкое к вертикальному. Муфта в этом случае находится в крайнем нижнем положении. При вращении валика 7 возникает центробежная сила, заставляющая грузы 4 расходиться в стороны. Чем выше скорость вращения, тем больше центробежная сила и тем сильнее расходятся грузы. Угол  будет тем больше, чем выше скорость вращения вала паровой машины. Увеличение угла  приводит к перемещению скользящей муфты вверх. Положение муфты по вертикали будет определяться скоростью вращения вала паровой машины. Таким образом, чувствительный элемент представляет собой механический центробежный датчик скорости (тахометр). Входом для датчика будет угловая скорость вращения вала машины (t), а выходом – перемещение x(t) муфты по вертикали. Вертикальные перемещения муфты с помощью рычага 3 передаются клапану 2, изменяющему подачу пара в машину. Положение клапана (перемещение y(t)), таким образом, будет зависеть от скорости вращения вала машины. При установившемся вращении вала 10 машины центробежные грузы 4 занимают определённое положение, обусловленное номинальной скоростью вращения вала. При изменении скорости вращения вала машины, вследствие, например, изменения нагрузки, центробежная сила, действующая на грузы 4, также изменится и грузы переместятся в новое положение. При этом переместится скользящая муфта. При увеличении скорости вращения вала муфта будет перемещаться вверх, а при уменьшении  вниз. Движение муфты передаётся клапану 2, который будет уменьшать подачу пара в машину при увеличении скорости вращения её вала 10 и увеличивать подачу пара при уменьшении скорости вращения вала. При уменьшении угловой скорости вращения грузы 4 сходятся и открывают клапан 2, увеличивая подачу пара в машину, что восстанавливает исходное значение угловой скорости вращения. В результате все изменения скорости вращения вала машины вследствие внешних причин будут компенсированы изменением подачи пара в машину. Скорость вращения вала машины при этом будет оставаться примерно постоянной, независимо от нагрузки на вал. Объектом управления в рассматриваемой системе является паровая машина, состояние которой определяется скоростью вращения её вала. Скорость (t) вращения вала – выходная или управляемая величина паровой машины. Целью управления паровой машиной является стабилизация её выходной величины (скорости вращения вала). Нагрузка на вал машины, изменяющаяся непредсказуемым образом, будет нарушать требуемое состояние паровой машины, изменяя скорость вращения вала нежелательным образом. Нагрузку можно рассматривать как возмущение  внешнее воздействие, изменяющее управляемую величину объекта управления нежелательным образом. Для изменения состояния паровой машины (скорости вращения её вала) нужно изменить подачу пара в машину. При увеличении подачи пара скорость вращения вала будет увеличиваться. Расход подаваемого в машину пара является управляющим воздействием на паровую машину. Управляющее воздействие формируется устройством управления (регулятором скорости вращения). Регулятор скорости вращения включает: центробежный чувствительный элемент (центробежный датчик скорости вращения вала), клапан, изменяющий расход подаваемого в машину пара (исполнительный механизм), и промежуточный рычаг 3. Рычаг 3 определяет связь между изменением скорости вращения вала машины и изменением подачи пара в машину, т.е. выполняет важную функцию задания закона управления. Таким образом, в рассматриваемом случае рычаг реализует логическое устройство регулятора. Перечисленные компоненты устройства управления являются типовыми для построения любого устройства управления (регулятора). Рассмотренная схема регулятора может использоваться для регулирования скорости вращения других машин и двигателей. При этом компоненты регулятора могут быть реализованы с использованием самых разнообразных технических решений. Система регулирования скорости вращения двигателей На рис. 5 показана упрощенная обобщённая схема регулирования скорости вращения вала некоторого двигателя. Скорость вращения воспринимается датчиком скорости (тахометром) и преобразуется в измерительный сигнал, поступающий в логическое устройство управление, которое на основе оценки состояния объекта управления определяет необходимое управляющее воздействие. Управляющее воздействие подаётся на исполнительный механизм, который имеет в своём составе регулирующий подачу рабочего тела или топлива клапан и его привод, обеспечивающий необходимые перемещения клапана. Система обеспечивает автоматическую стабилизацию скорости вращения выходного вала двигателя независимо от нагрузки на валу. Регулирование происходит за счет соответствующего изменения подачи топлива (или рабочего тела) в двигатель. Подобные системы используются для двигателей внутреннего сгорания, для газовых турбин (например, реактивный двигатель самолёта, для гидравлических турбин и др.). Автоматизированный электропривод Пример электромеханической системы регулирования скорости вращения вала электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения показан на рис. 6. Объектом управления в этой системе является электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения Д. Управляемая величина  скорость вращения (t) вала двигателя. Использован способ регулирования скорости путем изменения напряжения Uд в цепи якоря двигателя. Напряжение питания двигателя Uд формируется регулируемым источником напряжения РИН, который может быть выполнен на основе электронной тиристорной или транзисторной схемы, а также в виде различных электрических машин (генератор постоянного тока, электромеханический усилитель ЭМУ или электромагнитный усилитель). Напряжением на выходе РИН можно управлять, изменяя входное напряжение управления Uу. Для получения информации о текущем значении скорости (t) вращения вала электродвигателя используется тахогенератор Тг (датчик скорости), вал которого кинематически соединён с валом электродвигателя. Выходное напряжение тахогенератора Uтг пропорционально скорости вращения его вала. Напряжение тахогенератора Uтг (измерительный сигнал) сравнивается с напряжением задания Uз, значение которого устанавливается потенциометром Rз. Результатом сравнения будет сигнал ошибки (или отклонения) ΔU = Uз - Uтг. Сигнал ошибки подаётся на вход усилителя, на выходе которого формируется напряжение Uу управления для РИН. Таким образом, усилитель будет определять связь управляющего воздействия с величиной изменения скорости вращения вала электродвигателя. Если в установившемся режиме вращения вала электродвигателя с постоянной скоростью, например, вследствие изменения нагрузки на валу, изменится скорость вращения вала (например, уменьшится), то уменьшится напряжение на выходе тахогенератора и возрастёт сигнал ошибки. Увеличение сигнала ошибки приведёт к увеличению напряжения Uу управления РИН и к увеличению напряжения Uд, подаваемого на якорь электродвигателя. При этом скорость вращения вала электродвигателя увеличится и восстановится её прежнее значение, существовавшее до увеличения нагрузки. Электродвигатель будет работать с постоянной скоростью вращения вала при автоматически изменяющемся в зависимости от нагрузки напряжении питания якоря. Скорость вращения вала электродвигателя в системе будет определяться величиной напряжения задания Uз. Изменяя это напряжение с помощью потенциометра Rз, можно дистанционно регулировать скорость вращения вала электродвигателя. Установленное значение скорости вращения будет автоматически поддерживаться регулятором независимо от изменения нагрузки на валу. В рассматриваемой системе происходит автоматическая стабилизация скорости вращения вала электродвигателя. Система терморегулирования В рассмотренных примерах автоматических систем все сигналы непрерывно изменяются во времени. Могут встречаться и другие случаи. На рис. 7 показан пример системы терморегулирования, построенной с использованием другого принципа. Объектом управления в системе является нагревательный объект, например электрическая печь. Внутренний объём печи нагревается электронагревателем с сопротивлением Rн. Нагреватель подключен к электрической сети через контакты S электромагнитного реле К. При выключенном реле его контакты замкнуты и нагреватель подключен к питающей сети. За счёт протекающего тока происходит его нагрев и температура T(t) в печи повышается. При включении реле его контакты разомкнутся и нагрев прекратится. За счёт естественного охлаждения температура в печи будет понижаться. Для измерения температуры в печи используется ртутный термометр с встроенным электрическим контактом. Контакт выполнен в виде проволочки, запаянной в трубку термометра так, что её нижний конец находится на уровне заданной температуры Tз. В электрическую цепь контакта включена катушка электромагнитного реле К. При замыкании контакта реле будет срабатывать. Когда температура T(t) в печи меньше заданной Tз, реле К обесточено и его контакты S замкнуты, происходит нагрев печи. Температура в печи повышается. Когда температура в печи достигнет заданного положением контакта значения Tз, контакт термометра замкнётся. При этом реле сработает и его нормально замкнутые контакты S разомкнутся. Нагреватель отключится от сети и температура в печи начнёт понижаться. Это приведёт к размыканию контакта термометра, к выключению электромагнитного реле К и к включению нагревателя Rн. Температура снова начнёт повышаться. Таким образом, за счёт попеременного включения-выключения нагревателя в печи будет поддерживаться постоянная температура с небольшими колебаниями относительно значения Тз, на которое настроен термометр. Управление в рассматриваемой системе терморегулирования происходит дискретно, и сама система рассматривается как дискретная система. Это система стабилизации температуры. Следящая система автоматического управления В рассмотренных примерах автоматических систем управление осуществляется с целью стабилизации выходной (управляемой) величины объекта управления. В системах автоматического управления могут решаться и другие задачи. На рис. 8 показана схема автоматической следящей системы для управления углом поворота орудийной башни при наведении орудия на цель. Рассматривается только наведение башни в горизонтальной плоскости. Для поворота вокруг вертикальной оси башня 1 имеет электромеханический привод, включающий электродвигатель Д и редуктор 3. Угол поворота β башни измеряется с помощью потенциометрического датчика угла поворота Rд. Нужный поворот башни задается положением прицела 2, который наводчик направляет на цель. Угол поворота  прицела измеряется потенциометрическим датчиком угла поворота Rз. Датчики Rз и Rд включены в мостовую измерительную схему. Выходное напряжение этой схемы определится разницей углов поворота прицела и башни: . Полярность выходного напряжения будет зависеть от того, какой из углов в данный момент больше. Выходное напряжение ΔU мостовой схемы усиливается и преобразуется в напряжение питания цепи якоря приводного электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения Д. Электродвигатель начинает вращаться и поворачивать башню в нужном направлении так, чтобы устранить разницу углов поворота. Когда башня займёт положение, соответствующее положению прицела, мостовая схема уравновесится и её выходное напряжение ΔU станет равным нулю. Электродвигатель остановится, зафиксировав башню в требуемом положении. Любой поворот прицела наводчиком приведёт к автоматическому повороту башни в то же положение. Система управления будет отслеживать повороты прицела путём соответствующего поворота башни. Система автоматического регулирования уровня Система предназначается для автоматического поддержания заданного уровня жидкости в ёмкости, её упрощенная схема представлена на рис. 9. В ёмкости 6 необходимо поддерживать заданный уровень Н жидкости. Жидкость подается в ёмкость по трубопроводу 1 и вытекает из ёмкости по трубопроводу 5. Приток Q жидкости – управляющее воздействие. Расход G жидкости – возмущение (нагрузка). Уровень жидкости в ёмкости поддерживается путем регулирования притока так, чтобы компенсировать произвольно изменяющийся расход. Для изменения притока служит клапан 2, соединенный рычагом 3 с поплавком 4. Управляемая величина – уровень Н. В данном случае ёмкость 6 является объектом управления, а совокупность элементов 2, 3 и 4 – регулятором. Рассматриваемую систему можно описать уравнением , где S – площадь поперечного сечения ёмкости. Решение дифференциального уравнения позволяет описать характер изменения уровня жидкости во времени: , где Ho – заданное значение уровня жидкости в ёмкости. Подобные системы из-за простоты получили широкое распространение. Широко известным примером такой системы является поплавковая камера карбюратора бензинового двигателя внутреннего сгорания. Система в этом случае обеспечивает стабилизацию уровня топлива в карбюраторе двигателя, что необходимо для получения топливной смеси стабильного состава. Обобщённая структура автоматической системы Система автоматического управления в целом состоит из объекта управления ОУ и устройства управления УУ (рис. 10). Объект управления характеризуется выходными управляемыми величинами y1, y2,…yn. Значения этих величин в конкретный момент времени определяют текущее состояние объекта управления. Кроме того, объект имеет входы управления, на которые подаются управляющие воздействия u1, u2,…un, целенаправленно изменяющие состояние объекта. Целью управления является обеспечение заданного на текущий момент времени состояния объекта управления. Устройство управления УУ, исходя из заданного состояния объекта ОУ, определяемого задающими величинами (уставками) v1, v2 ... vn, и фактического его состояния, определяемого выходными величинами y1, y2 ... yn ОУ, вырабатывает управляющие воздействия u1, u2 ...un на объект управления таким образом, чтобы привести его в заданное состояние: y1 = v1, y2 = v2 , … yn = vn. При этом на объект воздействует совокупность возмущений, выводящих его из заданного состояния. Все возмущения можно разделить на контролируемые g1, g2 ... gm и неконтролируемые f1, f2 ... fk (f – помехи, g – нагрузки). Возмущения нарушают работу объекта и приводят к нежелательным изменениям y1, y2 ... yn . Задача УУ – обеспечить в этих условиях требуемые значения y1, y2 ... yn. Таким образом, система автоматического управления (САУ) включает в свой состав устройство управления и объект управления. При автоматическом регулировании вместо САУ рассматривается система автоматического регулирования САР. Часто объект управления характеризуется одной выходной величиной и одним входом управления. В этом случае говорят об одном контуре управления (регулирования) и объект относят к простым объектам. В общем случае объект управления может иметь много выходных величин и входов управления. Если каждый вход управления влияет только на одну выходную величину и изменение любой выходной величины объекта управления не влияет на состояние других выходов объекта, то каждый контур управления можно рассматривать обособленно и представить объект в виде совокупности соответствующего числа простых объектов. Однако для ряда объектов с несколькими выходами изменение одной выходной величины приводит к изменению и других выходных величин. Выходные величины и входы управления у такого объекта взаимосвязаны. Объект в этом случае называют многосвязным объектом. Задача управления многосвязными объектами существенно усложняется. При управлении простым объектом систему автоматического управления можно представить в виде обобщённой структуры (рис. 11). Воздействие u(t) на объект управления, вырабатываемое УУ, называют управляющим воздействием. Воздействия g(t), f(t), не зависящие от УУ, называются возмущениями. Возмущения могут быть контролируемыми g(t) (нагрузки) и неконтролируемыми f(t) (помехи). Выходная величина объекта, по которой ведется управление, называется управляемой или регулируемой величиной. Заданное значение управляемой величины определяется воздействием v(t), поступающим на вход устройства управления. Это воздействие называют задающим воздействием или уставкой. Формирует задающее воздействие специальное устройство – задатчик Зд. В общем случае, воздействия и управляемые величины можно рассматривать как координаты многомерных векторов: V(v1,v2,…vn), U(u1,u2,…un), Y(y1,y2,…yn), G(g1,g2,…gm), F(f1,f2,…fk). Тогда объект управления можно математически описать выражением , где Ψ  некоторая нелинейная функция переменных U, G и F. Все перечисленные величины описывают физические сигналы в реальной автоматической системе. Поскольку при функционировании системы сигналы в ней постоянно изменяются, то все величины будут являться функциями времени. В структуре системы управления в этом случае действующие сигналы представляются в виде векторов, а для описания взаимосвязей сигналов используется математический аппарат матриц (рис. 12). Устройство автоматического управления в случае автоматического регулирования называют автоматическим регулятором. В состав автоматического регулятора УУ входят: измерительное устройство ИУ, логическое (усилительно-преобразующее) устройство Р и исполнительный механизм ИМ (рис. 13). Измерительное устройство УУ необходимо для контроля состояния объекта управления. С его помощью измеряется управляемая величина и в системе управления формируется необходимая информация о состоянии объекта управления. Логическое устройство Р сравнивает фактическое значение управляемой величины y(t) с заданным значением v(t) этой величины и по определённому алгоритму формирует сигнал управления, необходимый для устранения расхождения между этими величинами. Сигнал управления преобразуется в соответствующее физическое управляющее воздействие на объект управления с помощью исполнительного механизма. ИМ. Алгоритм формирования управляющего воздействия называют часто законом регулирования. Принципы автоматического управления Управление может осуществляться с различными целями. В зависимости от целей управления возможны следующие виды управления. 1. Стабилизация – управление с целью поддержания заданного постоянного значения управляемой величины объекта управления. 2. Программное управление – обеспечение заданного изменения во времени управляемой величины. Управляемая величина в этом случае должна изменяться по известной функции времени. 3. Слежение  управление с целью изменения управляемой величины таким образом, чтобы она воспроизводила бы изменения некоторой измеряемой величины, закон изменения которой заранее неизвестен. 4. Оптимальное управление – управление, при котором перевод объекта управления из произвольного исходного состояния в заданное состояние осуществляется оптимально в соответствии с выбранным критерием оптимальности (например, за минимальное время или с минимальными затратами энергии). 5. Экстремальное управление – автоматическое обеспечение экстремального значения выходной величины объекта управления в изменяющихся условиях его функционирования. 6. Адаптивное управление – автоматическое изменение характеристик управления таким образом, чтобы объект управления функционировал бы наилучшим образом при изменяющихся условиях функционирования и изменяющихся характеристиках самого объекта управления. Первые три вида управления являются простейшими и получили название автоматического регулирования. В зависимости от учёта при управлении состояния управляемого объекта управление может быть: • разомкнутым, • замкнутым. При разомкнутом управлении управляющее воздействие формируется устройством управления без учета фактического значения управляемой величины. Управляющее воздействие определяется на основе цели управления и известных характеристик объекта. Такое управление называется жестким. Разомкнутое управление может применяться для стабилизации и программного управления. Система управления при этом разомкнута. При замкнутом управлении управляющее воздействие формируется в непосредственной зависимости от управляемой величины. Управляемая величина в этом случае постоянно контролируется и в системе управления имеется обратная связь с выхода объекта управления на вход устройства управления. Система управления в этом случае замкнута. Структура разомкнутой системы показана на рис. 14а. Разомкнутая жесткая система управления применяется в том случае, когда свойства объекта полностью известны, все внешние воздействия на объект контролируются и их влияние может быть сведено к нулю. Замкнутая система осуществляет управление на основе измерения рассогласования между заданным характером изменения управляемой величины и действительными её значениями (рис. 14б). В зависимости от учитываемых при определении управляющих воздействий величин управление может быть трёх видов: • управление по отклонению (по ошибке); • управление по возмущению; • комбинированное управление. При управлении по отклонению устройство управления контролирует управляемую величину y(t) объекта управления и сравнивает её с заданным значением v(t), вычисляя отклонение . По величине отклонения (ошибке) определяется необходимое для устранения ошибки управляющее воздействие , где A – оператор, определяемый используемым законом управления. Структура системы управления по ошибке показана на рис. 15б. При управлении по возмущению предполагается известной детерминированная связь между возмущением, действующим на объект, и его выходной величиной. Устройство управления контролирует возмущение и по его величине определяет управляющее воздействие на объект управления, необходимое для компенсации этого возмущения (рис. 15а): . При управлении по возмущению устройство управления может компенсировать действие только тех возмущений, которые контролируются. Возможности такого управления ограничены. Достоинством управления по возмущению является то, что устройство управления не ждёт возникновения отклонения, а предотвращает его появление. Последнее обстоятельство обуславливает большее быстродействие и точность управления. Наилучшие результаты достигаются при комбинированном управлении (рис. 15в). В этом случае для устранения влияния наиболее существенных возмущений используется управление по возмущению, а влияние всех остальных факторов на состояние объекта управления контролируется с помощью управления по отклонению. Устройство управления (регулятор Р) в этом случае будет иметь наибольшую сложность. В настоящее время всё более широкое распространение получает адаптивное управление объектами. При адаптивном управлении осуществляется автоматическое изменение параметров, структуры или алгоритма управления устройства автоматического управления для обеспечения выбранного критерия оптимальности функционирования системы при произвольно изменяющихся внешних воздействиях и переменных параметрах объекта. Адаптивное управление позволяет либо получить стабильное качество управления, либо оптимизировать управления в изменяющихся условиях функционирования и при изменении характеристик объекта управления. Последнее обстоятельство весьма актуально при серийном выпуске устройств управления, когда характеристики конкретного объекта управления заранее неизвестны. Пример структуры системы адаптивного управления показан на рис. 16, где 1  устройство контроля внешнего воздействия, 2  исполнительное устройство, 3  устройство контроля состояния процесса, 4  логический элемент. Логическое устройство 4 контролирует условия функционирования объекта управления и его фактические характеристики и изменяет настройки регулятора Р таким образом, чтобы обеспечить оптимальное функционирование объекта. Задачи теории автоматического управления Теория автоматического управления изучает общие принципы построения автоматических систем и методы их исследования, независимо от физических процессов, протекающих в этих системах. Основными задачами теории управления являются исследования статических (или установившихся) и динамических свойств автоматических систем и разработка систем, свойства которых удовлетворяют заданным требованиям. При создании системы автоматического управления необходимо оценить её ожидаемое поведение при эксплуатации и предусмотреть такие технические решения устройства управления, которые обеспечили бы достижение требуемого результата управления во всех предусмотренных случаях функционирования объекта управления. Управление представляет собой процесс, протекающий в реальном времени функционирования объекта управления. Этот процесс характеризуется изменением состояния объекта управления, изменением управляющих воздействий, изменением возмущений и т.д. Характер таких изменений может быть различным, в том числе и недопустимым с точки зрения цели функционирования объекта. Все эти особенности необходимо выявить ещё до реализации системы автоматического управления. На рис. 17 показаны процессы, возможные в системе автоматического регулирования скорости вращения вала паровой машины при разных характеристиках регулятора. Характеристики регулятора могут меняться в процессе его изготовления и настройки. Управляемой величиной в рассматриваемом примере является угловая скорость вращения вала паровой машины. За единицу принята номинальная скорость вращения вала. График 1 относится к случаю, когда при подаче пара в паровую машину она медленно и плавно набирает обороты выходного вала до установления заданной скорости вращения. На внешние возмущения регулятор в этом случае будет реагировать медленно и переходные процессы в системе растягиваются во времени. В случае 2 переходный процесс в системе также плавный, но протекает существенно быстрее, чем в первом случае. Следовательно, регулятор будет быстро реагировать на возникающие возмущения, плавно и быстро устраняя их последствия. Быстродействие системы высокое. В случае, иллюстрируемом графиком 3, переходный процесс носит колебательный характер. Заданная скорость вращения устанавливается медленно, и процесс сопровождается периодическими колебаниями скорости вращения, которые постепенно затухают. При этом на начальном отрезке процесса наблюдается существенное превышение заданной скорости вращения вала, или перерегулирование. Перерегулирование, как правило, нежелательное свойство системы автоматического управления. Колебательный процесс приводит к возникновению в системе знакопеременных динамических нагрузок, что является нежелательным свойством системы с колебательным переходным процессом. В случае 4 процесс в системе также носит колебательный характер, однако с течением времени процесса колебания не только не затухают, но, наоборот, их амплитуда возрастает. Вал паровой машины в этом случае будет вращаться в неустойчивом режиме: то останавливаясь, то набирая предельную скорость вращения. Использовать паровую машину в таком режиме нельзя и система автоматического управления становится неработоспособной. Системы с подобными свойствами называют неустойчивыми. При проектировании системы автоматического управления необходимо стремиться получить наилучший процесс в системе так, чтобы нужный режим устанавливался бы плавно и за минимальное время. Проектируемая система должна иметь достаточно высокое быстродействие. Кроме того, отклонения управляемой величины от заданного значения (ошибка системы) не должны превышать допустимых значений. Система автоматического управления должна обеспечивать требуемую точность управления. Во всех случаях система автоматического управления должна быть устойчивой и адекватно реагировать на задающие воздействия, переходя при изменении уставок в требуемый установившийся режим работы. При выводе системы из состояния установившегося равновесия внешними возмущениями, система автоматически должна возвращаться в это состояние. Предметом изучения теории автоматического управления являются методы, позволяющие описывать свойства системы автоматического управления математическими методами, исследовать поведение автоматической системы с использованием её математической модели и создавать системы автоматического управления с заданными свойствами. Методы теории автоматического управления позволяют решать следующие задачи для систем автоматического управления: • аналитическое описание свойств системы автоматического управления и процессов в системе (математическая модель системы); • исследование свойств системы и особенностей процессов в ней с использованием математической модели системы (задача анализа системы); • создание системы автоматического управления с заданными свойствами, определяющими быстродействие системы и точность управления (задача синтеза системы). Математическая модель автоматической системы В теории автоматического управления в общем случае рассматривается замкнутая система автоматического управления, которую можно представить в виде изображённой на рис. 18 структуры. Устройство управления УУ постоянно сравнивает значение управляемой величины y(t) с заданным значением v(t) этой величины, вычисляя ошибку . На основе ошибки определяется управляющее воздействие u(t). Функция сравнения на структурной схеме изображается в виде сравнивающего элемента, представляемого в виде кружка, разделённого на четыре сектора. Каждый сектор приписывается одному сигналу. Если сигнал вычитается, то его сектор заливается черным цветом. При функционировании системы воздействия и управляемые величины изменяются во времени, т.е. происходят процессы. При описании системы необходимо математически описать эти процессы и их зависимость от параметров системы, определяемых её конструкцией и техническими решениями. Основным является процесс изменения управляемой величины во времени y(t). Описание системы представляет собой её формализованную математическую модель. В каждый момент времени состояния любого сигнала в системе можно охарактеризовать величиной сигнала, скоростью его изменения, ускорением изменения и производными более высокого порядка. Например, состояние объекта можно описать в момент времени t1 следующими величинами: . Математическое описание системы будет представлять собой некоторое уравнение, в которое будут входить величины воздействий, управляемые величины и их производные. Следовательно, такое уравнение будет дифференциальным уравнением и в общем случае его можно записать следующим образом: . Решением этого уравнения является функция описывающая изменение управляемой величины системы во времени или процесс в системе. Дифференциальное уравнение описывает поведение системы в динамике. Для характеристики системы в статике следует принять и , тогда система опишется зависимостью которая называется статической характеристикой системы. Пример 1. В качестве примера рассмотрим простейшую механическую систему, схема которой показана на рис. 19. Масса m связана с неподвижной стойкой упругой связью (пружина с жёсткостью G) и может перемещаться в горизонтальном направлении (перемещение l). Движению массы сопротивляется гидравлический демпфер, характеризуемый коэффициентом жидкостного сопротивления η. Если к массе m приложить горизонтальную силу F(t), то масса начнет двигаться. Движение массы будет характеризоваться перемещением l ее центра. Уравнение движения массы можно составить исходя из условия равновесия сил, действующих на массу в каждый момент времени t: . Таким образом, рассматриваемая механическая система может быть описана уравнением второго порядка. Решением этого уравнения будет функция l(t), которая описывает характер движения массы во времени. Для статики все производные равны нулю (масса не движется) и положение центра массы определится соотношением , т.е статическая характеристика определяется свойствами пружины. Пример 2. В качестве второго примера рассмотрим генератор постоянного тока независимого возбуждения, показанного на рис. 20. Это электрическая машина, имеющая вращающийся якорь с обмоткой и неподвижный статор, также имеющий обмотку (обмотка возбуждения). Якорь генератора вращается с помощью приводного двигателя. В результате в обмотке якоря возникает электрический ток, который используется для питания подключаемых устройств. Входом генератора будет напряжение возбуждения Uв, поскольку общепринятым способом управления выходным напряжением генератора является изменение его напряжения возбуждения. Выходом генератора является напряжение Uг на обмотке его якоря. Эти напряжения изменяются во времени, и процесс их изменения зависит от технических характеристик генератора и особенностей его устройства. Если скорость вращения вала генератора постоянна, то генератор можно описать следующими уравнениями: где m – некоторый коэффициент. Первое уравнение представляет собой уравнение Кирхгофа, записанное для электрической цепи обмотки возбуждения, а второе – приближённо описывает зависимость выходного напряжения Uг(t) от тока возбуждения генератора i(t). Выражая из второго уравнения ток через напряжение на выходе генератора, получим . Обозначим и получим описание генератора в виде дифференциального уравнения первого порядка . Получено дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее связь между напряжением возбуждения генератора (управляющее воздействие) и напряжением на выходе генератора (управляемая величина). Решение уравнения Uг(t) описывает процесс изменения напряжения генератора во времени при изменении напряжения возбуждения. Таким образом, процессы в системе автоматического управления описываются дифференциальным уравнением произвольного порядка n. В общем случае это уравнение нелинейно и может иметь любой вид. Дифференциальное уравнение системы в совокупности с начальными и граничными условиями представляет собой математическую модель системы. Функция решения дифференциального уравнения описывает процесс в системе автоматического управления. Порядок дифференциального уравнения системы принято связывать с порядком системы автоматического управления. Пространство состояний системы автоматического управления Система автоматического управления в каждый момент времени характеризуется состоянием объекта управления, т.е. значениями выходной величины объекта управления. Поскольку управляемая величина постоянно изменяется вследствие протекающих в системе управления процессов, то для полной характеристики состояния объекта управления необходимо знать не только значение управляемой величины, но и скорость её изменения в данный момент, ускорение изменения и производные более высокого порядка, если они существуют. Следовательно, состояние системы автоматического управления в конкретный момент времени можно описать значениями производных управляемой величины (включая нулевую производную, т.е. саму управляемую величину) . Каждую из производных можно рассматривать в качестве самостоятельной характеристики состояния системы: , тогда состояние системы опишется значениями n переменных величин. При изменении состояния системы все эти величины также изменяются. Следовательно, появляется возможность описания состояния системы автоматического управления вектором . Вектор Y получил название – вектор состояния системы. Координаты вектора состояния являются фазовыми координатами системы. Графически вектор состояния системы можно изобразить в виде отрезка в n-мерном пространстве (рис. 21). Это n-мерное пространство рассматривается как пространство состояний системы автоматического управления, или фазовое пространство. Текущее состояние системы в фазовом пространстве отобразится точкой М, соответствующей концу вектора состояния. Точка М называется изображающей точкой системы. Когда в системе происходит процесс, вектор состояния системы изменяется и изображающая точка М перемещается в фазовом пространстве. След изображающей точки (годограф вектора состояния) называется фазовой траекторией системы. Фазовая траектория отображает процессы, происходящие в системе, и, следовательно, по виду фазовой траектории можно судить об особенностях поведения системы автоматического управления. При использовании пространства состояний систему автоматического управления можно описать системой из n дифференциальных уравнений первого порядка, имеющих вид: . Если из этих уравнений исключить время, то получится уравнение фазовой траектории, которое будет иметь порядок меньший, чем исходное дифференциальное уравнение системы, что упрощает её исследование. Классификация систем автоматического управления Системы автоматического управления классифицируются с использованием разных признаков, поэтому классификация этих систем разнообразна и отображает большое разнообразие систем автоматического управления. Рассмотрим основные классификационные признаки для систем автоматического управления. Признак замкнутости системы. Все системы принято делить следующим образом: • разомкнутые, • замкнутые. В разомкнутых системах управление осуществляется без контроля управляемой величины. В замкнутых системах происходит управление по ошибке и управляемая величина объекта управления постоянно контролируется. В структуре системы сигнал с её выхода снова поступает на вход устройства управления, т.е. присутствует обратная связь. Таким образом, для замкнутых систем характерно наличие глобальной обратной связи – с выхода системы на её вход. Замкнутые системы позволяют управлять объектом точнее по сравнению с разомкнутыми. Признак характера сигналов в системе. Вся информация в системе автоматического управления (управляемая величина, управляющие воздействия, возмущения) представляется в виде некоторых физических сигналов. По характеру этих сигналов системы принято делить следующим образом: • непрерывные системы, • дискретные системы. В непрерывных системах все сигналы являются непрерывными функциями времени. В дискретных системах сигналы изменяются скачками и представляются дискретными функциями времени. Дискретность сигналов в системе автоматического управления порождает целый ряд её особенностей. Признак характера связи между сигналами в системе. Сигналы в системе преобразуются элементами системы. Каждый элемент системы, так же как и система в целом, имеет вход и выход. Выходной сигнал отдельного элемента или системы в целом может по-разному зависеть от входного сигнала. По характеру связи между входными и выходными сигналами системы автоматического управления делятся следующим образом: • линейные системы, • нелинейные системы. В линейных системах все связи между входными и выходными сигналами описываются линейной зависимостью, т.е. выходной сигнал всегда пропорционален входному сигналу. В нелинейных системах эта связь нелинейна. Нелинейные связи между сигналами в системе порождают ряд особенностей поведения нелинейной системы. Особенности объекта управления. Объект управления может быть простым (с одним выходом) и сложным (с несколькими выходами). В последнем случае выходы могут быть либо связаны между собой, либо независимыми. В зависимости от этих особенностей различают следующие системы автоматического управления: • одноконтурные, • многоконтурные, • многосвязные. В одноконтурных системах происходит управление простым объектом. В многоконтурной системе присутствует объект со многими независимыми выходами. В многосвязной системе решается задача управления объектом со многими взаимосвязанными выходами. Это наиболее сложная задача. Контролируемая величина. В соответствии с рассмотренными выше принципами управления, управление может осуществляться по отклонению (ошибке) и по возмущению. В первом случае устройство управления контролирует выходную величину объекта управления, во втором – возмущение, воздействующее на объект. В зависимости от того, какая величина контролируется, различают системы: • с управлением по ошибке, • с управлением по возмущению. Цель управления в системе. Системы автоматического управления принято также различать в зависимости от конечной цели управления. Деление систем на виды в этом случае совпадает с соответствующей классификацией видов управления по этому признаку, рассмотренной ранее. Следовательно, по цели управления системы автоматического управления могут быть следующих видов: • системы стабилизации управляемой величины, • системы программного регулирования, • следящие системы, • оптимальные системы, • экстремальные системы, • адаптивные системы. Методы теории автоматического управления. При решении задач анализа и синтеза системы автоматического управления методами теории автоматического управления приходится учитывать те или иные особенности исследуемой автоматической системы. Метод исследования необходимо выбирать в зависимости от целей исследования и особенностей исследуемой системы. Теория автоматического управления рассматривает различные модели систем автоматического управления. Каждая модель ориентирована на те или иные особенности реальных автоматических систем. С точки зрения применимости методов теории автоматического управления и учитываемых особенностей системы классификацию систем автоматического управления можно представить в виде диаграммы, показанной на рис. 22. Обыкновенные линейные системы являются системами непрерывного действия, т.е. во всех звеньях системы непрерывному изменению входной величины во времени соответствует непрерывное изменение во времени выходной величины. Эти системы описываются линейными статическими характеристиками и линейными дифференциальными уравнениями. Теория обыкновенных линейных систем является базовой в теории автоматического управления. Особые линейные системы – это системы, которые в итоге также можно свести к обыкновенной линейной системе за счёт модернизации описания последней. При этом особая линейная система позволяет учесть некоторые особенности реальной системы, которые непосредственно в теории обыкновенных линейных систем учесть невозможно. Например, можно учесть переменные параметры системы (переменные коэффициенты дифференциальных уравнений), наличие в системе запаздывания сигнала или распределенность параметров системы в пространстве. Импульсные системы – это дискретные системы, в которых осуществляется квантование сигналов по времени. При непрерывных входных сигналах для ряда элементов импульсной системы выходные сигналы будут иметь характер импульсов, что порождает особенности поведения системы и не может быть учтено методами исследования обыкновенных линейных систем. Нелинейные системы – системы, содержащие один или несколько элементов, описываемых нелинейными статическими характеристиками или нелинейными дифференциальными уравнениями. Общим описанием нелинейной системы является нелинейное дифференциальное уравнение. Поскольку такое уравнение не имеет общего решения, то теория нелинейных систем построена с учётом этого обстоятельства. Все перечисленные системы решают частную задачу управления объектом – изменение управляемой величины во времени заданным образом. Никаких дополнительных требований к управлению не предъявляется. Эти системы часто объединяются под общим названием "Системы автоматического регулирования". Оптимальные системы – в этих системах осуществляется оптимальное управление переводом объекта из исходного состояния в заданное конечное состояние. Оптимальная модель содержит дополнительно описание критерия оптимальности, на основе которого оценивается успешность решения задачи управления. Экстремальные системы – модели, которые позволяют описать и решить задачу экстремального управления, т.е. автоматического обеспечения экстремума выходной величины объекта управления в условиях недостаточной априорной информации. Адаптивные системы – модели, используемые для описания и исследования систем адаптивного управления, в которых характеристики управления не остаются постоянными, а целенаправленно изменяются так, чтобы адаптировать поведение системы к конкретным условиям её функционирования. Системы фази-управления – сравнительно новый класс моделей, не вошедших в классическую теорию автоматического управления. Эти модели позволяют формализовать описание процесса управления, не поддающегося детерминированному описанию классическими методами теории управления. Например, с помощью методов фази-управления можно описать (и, следовательно, автоматизировать) процесс ручного управления оператором, осуществляемый на основе личного опыта оператора. Структурный метод описания САУ Первоочередной задачей теории автоматического управления при исследовании системы автоматического управления (САУ) является формализованное описание системы, т.е. составление её математической модели. Исходным описанием исследуемой системы является её техническое описание, содержащее принципиальные схемы, чертежи устройства и другую техническую документацию. На основе этой документации и необходимо разработать математическую модель исследуемой системы. Для составления математической модели САУ в теории автоматического управления используется структурный метод. При этом САУ представляется в виде соединений элементарных элементов, каждый из которых выполняет определенные функции по преобразованию сигналов в системе. Такое соединение изображается упрощенной схемой, которая может быть двух видов: функциональная и структурная. Функциональная схема – схема, в которой исследуемая система представляется в виде соединения функциональных элементов и каждому функциональному элементу САУ приписывается некоторая функция преобразования входного сигнала в выходной. Преобразуемые сигналы являются при этом реальными сигналами описываемой системы. Компонентами функциональной схемы являются функциональные элементы. Структурная схема – схема, в которой преобразование каждого сигнала описывается математически. Математические описания взаимосвязей между входными и выходными сигналами преобразующих элементов системы приписываются компонентам структурной схемы – структурным звеньям. В результате структурная схема является математическим описанием взаимосвязей между сигналами в исследуемой системе, т.е. математической моделью системы. Рассмотрим в качестве примера систему регулирования частоты вращения n(t) вала электродвигателя, построенную по схеме "генератор – двигатель" и используемую в системах автоматизированного электропривода (рис. 23). Целью управления в системе является поддержание постоянной частоты вращения n(t) вала электродвигателя Д при изменении нагрузки на его валу. Скорость вращения двигателя преобразовывается тахогенератором Тг в пропорциональное напряжение Uтг, которое сравнивается с напряжением задания Uз, задаваемым потенциометром Rз. Разность напряжений U усиливается усилителем У и подаётся на обмотку возбуждения генератора Г. При изменении величины напряжения возбуждения Uв изменяется выходное напряжение генератора Uг, подаваемое на электродвигатель, что вызывает изменение его частоты вращения. За счёт изменения напряжения в цепи якоря электродвигателя, при изменениях нагрузки на валу двигателя его частота вращения оставалась бы постоянной. В системе происходит автоматическая стабилизация скорости вращения вала электродвигателя. Для изменения заданной скорости вращения служит потенциометр Rз, который позволяет изменять напряжение задания Uз. На первом этапе применения структурного метода принципиальная схема системы (рис. 23) заменяется упрощенной функциональной схемой. Рассматриваемую САУ можно представить функциональной схемой (рис. 24), содержащей следующие функциональные элементы: У – усилитель, Г – генератор, Д – электродвигатель, Тг – тахогенератор. Кружком на функциональной схеме изображена функция сравнения сигналов (сравнивающий элемент). Функциональная схема позволяет проследить последовательность преобразования сигналов. На втором этапе применения структурного метода для каждого функционального элемента математически описывается связь в динамике между входным и выходным сигналами, т.е. с использованием дифференциального уравнения. Для описания используются известные физические законы, применимые к описываемому элементу с учётом его физической природы. При описании системы в качестве входного сигнала как элемента, так и всей системы в целом может рассматриваться любое внешнее воздействие. В качестве выходного сигнала рассматривается управляемая величина. Электронный усилитель с учётом того, что процессы протекают в нём во много раз быстрее процессов в электромеханических элементах системы, можно описать дифференциальным уравнением нулевого порядка (т.е. алгебраическим уравнением) следующего вида: , где ky – коэффициент усиления усилителя. Описание генератора постоянного тока независимого возбуждения мы в качестве примера уже рассматривали выше. Используем полученное при описании уравнение , где Tг – постоянная времени генератора, kг – коэффициент усиления генератора. Для удобства записи и последующего отображения уравнения на структурной схеме его обычно записывают в виде оператора, решая формально относительно входного сигнала: , где  оператор генератора;  оператор дифференцирования. Аналогичные дифференциальные уравнения (и операторы) можно получить и для других элементов системы. Заменяя функциональные элементы в функциональной схеме операторами этих элементов, получим структурную схему системы автоматического управления (рис. 25). Структурная схема состоит из структурных звеньев. Каждое структурное звено описывается его оператором. При описании функциональных элементов необходимо соблюдать условие ограничения порядка получаемого дифференциального уравнения. Этот порядок не должен быть выше второго. Если при описании получается более высокий порядок дифференциального уравнения, то элемент следует разбить на более простые элементы. Полученная структурная схема дает математическое описание САУ. Это описание учитывает параметры исследуемой системы. На рис. 25 параметры описываемой системы учитываются через коэффициенты усиления звеньев kу, kг, kд, kтг и постоянные времени Tг, Tе, Tм. Вместо структурных схем для описания САУ могут применяться направленные графы. При этом вершины графа соответствуют сигналам системы, а дуги графа  операторам структурных звеньев. Пример графа системы регулирования частоты вращения показан на рис. 26. При описании САУ могут применяться как структурные схемы, так и графы. В настоящее время более широкое распространение имеет описание САУ при помощи структурных схем. ОБЫКНОВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Понятие обыкновенной линейной системы Система автоматического управления называется обыкновенной линейной, если процесс в системе можно описать обыкновенным линейным дифференциальным уравнением порядка "n". Это уравнение записывается в следующем виде: где у(t) – выходная (управляемая) величина, х(t) – входное воздействие, ci, bj – постоянные коэффициенты уравнения, n > m. Реальные САУ и их элементы обычно имеют нелинейные статические характеристики и описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Однако на практике в ряде случаев нелинейностью можно пренебречь и описать САУ или ее элемент линеаризованным (приведённым к линейному виду) дифференциальным уравнением. Таким образом, обыкновенная линейная система является упрощенной математической моделью для описания реальных систем автоматического управления. Процессы в обыкновенной линейной системе описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями любого порядка "n". Все сигналы в такой системе непрерывны и связаны между собой линейными функциональными зависимостями. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение порядка "n" в теории автоматического управления принято записывать в операторном виде , где  оператор дифференцирования. Решение дифференциального уравнения y(t) дает описание процесса в системе, возникающего при воздействии на ее вход сигнала x(t). Решение дифференциального уравнения складывается из общего решения и частного решения: , где  общее решение дифференциального уравнения без правой части, описывающее свободный процесс в системе независимо от вида входного воздействия;  частное решение дифференциального уравнения, зависящее от его правой части и описывающее вынужденный процесс в системе. Для нахождения общего решения нужно решить уравнение без правой части . Общее решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения порядка "n" имеет вид , где Ai – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий ; pi – корни характеристического уравнения . В статическом состоянии системы все сигналы в ней постоянны и, следовательно, все производные этих сигналов равны нулю. Тогда и дифференциальное уравнение системы вырождается в статическую характеристику или , где K – коэффициент усиления системы. Теория обыкновенных линейных систем автоматического управления была разработана в первую очередь и является базой для теории автоматического управления. Линеаризация дифференциального уравнения системы В реальных системах автоматического управления практически всегда наблюдаются некоторые нелинейности при преобразовании сигналов. При представлении системы с нелинейностями в виде обыкновенной линейной системы необходимо свести описание процессов в системе к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению порядка "n". Процесс получения такого уравнения называется линеаризацией описания системы. Используются два метода линеаризации описания системы. Первый метод применяется в том случае, когда для системы уже имеется описание процесса в виде нелинейного дифференциального уравнения. Задача состоит в преобразовании этого уравнения к линейному виду. Второй метод применим на стадии получения дифференциального уравнения при описании системы и сводится к пренебрежению нелинейными зависимостями при описании взаимосвязей между сигналами. Рассмотрим первый метод линеаризации описания системы. Пусть в общем виде некоторая система автоматического управления описывается нелинейным дифференциальным уравнением, которое известно: . Процесс в системе начинает рассматриваться с момента приложения ко входу системы внешнего воздействия. Этот момент принимается за нулевой, поэтому время рассмотрения процесса t  0. В общем случае в начальный момент времени все сигналы в системе отличны от нуля и совокупность этих сигналов описывает начальное состояние системы (нулевые условия): . Поскольку нас интересует поведение системы при t  0, то исходное состояние системы может быть принято за нулевое и в дальнейшем мы можем учитывать только отклонения сигналов в системе от начальных значений. В этом случае говорят, что уравнение системы записывается в отклонениях. Линеаризация исходного нелинейного дифференциального уравнения заключается в разложении нелинейной функции в степенной ряд Тейлора и в отбрасывании членов ряда Тейлора, порождающих нелинейную зависимость. Обозначим , , тогда . При линеаризации все члены ряда Тейлора высшего порядка малости отбрасываются и принимается где , . В результате получаем линеаризованное дифференциальное уравнение системы "в отклонениях" (или "в вариациях") где  коэффициенты дифференциального уравнения. При этом исходное дифференциальное уравнение можно переписать в виде Рассмотрим графическую интерпретацию проведенной линеаризации (рис. 27). На рис. 27а кривая B соответствует нелинейной зависимости y(x). Если нелинейную функцию y(x) разложить в ряд Тейлора в точке O(x0,y0) и отбросить нелинейные члены ряда, то кривая B будет заменена касательной C, а зависимость y(x) преобразуется к виду , где при . Если точку O(x0,y0) принять за начало координат, то получим зависимость между приращениями Δy и Δx (рис. 27б) , где . В результате линеаризации исходное нелинейное дифференциальное уравнение при начальных условиях можно представить в виде линеаризованного уравнения Поскольку значения производных, вычисленные при постоянных x0, y0, дают числовые величины, то линеаризованное уравнение можно записать в отклонениях как где y и x – отклонения этих величин от значений x0 и y0. Пример. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка , или . Выделим нелинейную функцию . Пусть начальные условия , тогда , , После замены нелинейной функции первыми членами ряда Тейлора получим новое приближённое уравнение . Поскольку вновь полученное уравнение по-прежнему нелинейно, вторично подвергаем его линеаризации Окончательный вид линеаризованного уравнения: В новом уравнении , оно записано для отклонений. Это уравнение линейно. Второй метод линеаризации заключается в том, что реальные нелинейные зависимости между сигналами уже при составлении уравнений аппроксимируются линейными зависимостями вида и уравнение системы изначально составляется в отклонениях: При рассмотрении обыкновенных линейных систем автоматического управления в дальнейшем рассматриваются линеаризованные дифференциальные уравнения, записанные в отклонениях. При этом везде будет подразумеваться Пределы, в которых справедлива замена нелинейных дифференциальных уравнений линеаризованными, определяются допустимой величиной отклонения реальных характеристик от линеаризованных и возникающей при анализе погрешности расчета системы. Вопрос о допустимости линеаризации решается в каждом конкретном случае. Существуют случаи, когда линеаризация недопустима из-за существенного искажения реальных процессов. Форма записи линеаризованных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение записывается таким образом, чтобы выходная величина и все ее производные находились бы в левой части уравнения, а входные воздействия (управляющее воздействие или возмущение) – в правой части. При этом нулевая производная выходной величины (сама величина) должна входить в уравнение с коэффициентом, равным единице. В этом случае исходное дифференциальное уравнение запишется в виде (обе части уравнения поделены на коэффициент ) где Ti – имеют размерность времени в соответствующей степени и называются постоянными времени, ki – могут иметь различную размерность и называются коэффициентом преобразования (передачи, усиления). Дифференциальное уравнение часто записывается в операторном виде с использованием алгебраизированного оператора дифференцирования . Формально из уравнения в операторном виде можно получить выражение для выходной величины (при условном рассмотрении оператора дифференцирования p в качестве алгебраической величины) или , где W(p) – оператор системы (символическая запись дифференциального уравнения системы). В дальнейшем мы уточним значение полученного выражения. Преобразование Лапласа В теории автоматического управления широко используются методы операционного исчисления. Суть операционного исчисления заключается в том, что каждой рассматриваемой функции f(t), называемой оригиналом, ставится в соответствие по определенным законам некоторая другая функция F(p), называемая изображением. При этом математические операции над оригиналами заменяются математическими операциями над изображениями. Законы соответствия между оригиналами и изображениями выбраны таким образом, чтобы математические операции над оригиналами заменялись бы более простыми математическими операциями над изображениями. При использовании преобразования Лапласа операции дифференцирования и интегрирования оригиналов сводятся к операциям умножения и деления изображений на независимую переменную. В результате применения преобразования Лапласа к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению ему в области изображений будет соответствовать линейное алгебраическое уравнение. Решение уравнения для изображений будет существенно проще, что упрощает исследование системы автоматического регулирования. В преобразовании Лапласа устанавливается интегральная связь между изображением и оригиналом: где  произвольная комплексная величина, являющаяся аргументом для изображающей функции. Оригиналом f(t) может быть функция действительного переменного, если она обладает следующими свойствами: 1) f(t) определена и дифференцируема на всей числовой прямой; 2) f(t)=0 при t<0; 3) существуют такие положительные величины M>0 и S0, что при . Для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процессы в системах автоматического управления, перечисленные требования выполняются. В преобразовании Лапласа оригинал обозначается строчной буквой, а изображение  соответствующей ей прописной буквой. Применяется одно из следующих обозначений преобразования Лапласа: , или . Пример. Найдем изображения Лапласа для некоторых функций. Пусть f(t)=A=const, тогда Другая функция f(t)=t Аналогично вычисляются изображения других функций. Для наиболее распространенных функций их лапласовы изображения приводятся в справочных пособиях по математике и теории автоматического управления. Свойства преобразования Лапласа При осуществлении преобразования Лапласа и выполнении математических операций с оригиналами и изображениями используются следующие свойства преобразования Лапласа. 1. Линейность преобразования Лапласа. , где  произвольные комплексные числа, F(p); (p) – изображения оригиналов f(p) и (t) соответственно. Изображение линейной комбинации оригиналов равно такой же линейной комбинации их изображений. 2. Дифференцирование оригинала n – кратному дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на pn. 3. Интегрирование оригинала Интегрированию интеграла в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р. 4. Смещение аргумента оригинала , при этом , если . Смещению аргумента оригинала на соответствует умножение изображения на . 5. Смещение аргумента изображения Смещению аргумента изображения на соответствует умножение оригинала . 6. Умножение изображений (теория свертывания) Операция называется сверткой. Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений. Переход от изображения к оригиналу осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа, выполняемого с использованием формулы обращения: где С – абсцисса абсолютной сходимости, выбирается так, чтобы все полюсы подынтегральной функции находились слева от нее (рис. 28). Всегда должно быть С > s0. На рис. 28  – полюсы функции-изображения. Обозначение обратного преобразования Лапласа осуществляется символом L-1 или 1/L. . Непосредственное использование формулы обращения вызывает значительные сложности. Для упрощения обратного перехода используются таблицы, приводимые в справочниках, и специальные приемы. Так, если функция-изображение является дробной функцией: , то при выполнении обратного преобразования Лапласа применимо разложение Хевисайда. Пусть функция имеет m полюсов (корней уравнения B(p)=0), тогда Пример. Выше мы получили для постоянной величины Осуществим обратное преобразование Лапласа, используя разложение Хевисайда. В этом случае A(p)=A, B(p)=p, pk=0, m=1, , следовательно, В результате обратного преобразования с использованием разложения Хевисайда получена постоянная величина А, что и следовало ожидать. Пример исследования функционального элемента Рассмотрим электрический функциональный элемент, принципиальная и структурная схемы которого изображены на рис. 29. Для этого элемента ; Uвх=iR+Uвых. Представим отсюда В результате получаем следующее дифференциальное уравнение, описывающее элемент: . Представим уравнение в операторном виде: , где  постоянная времени, , . Решим полученное дифференцированное уравнение обычными методами. Приняв , запишем уравнение в виде Для решения уравнения введём новую переменную , поскольку , то . Решение полученного однородного уравнения Для нахождения постоянной интегрирования D учтем начальные условия: при , , следовательно, и , . Итак, , откуда окончательно получаем . Найдём решение, используя преобразование Лапласа. Для области изображений Лапласа Подвергнем исходное уравнение преобразованию Лапласа . Получено алгебраическое уравнение, которое легко решается относительно изображения выходной величины: Мы получим решение дифференциального уравнения в изображениях. Обратный переход к оригиналу может быть осуществлен с использованием разложения Хевисайда A(p)=A, B(p)=p(Tp+1). Функция-изображение имеет два полюса, получаемые из решения уравнения B(p)=p(Tp+1)=0: p1 =0, p2= - 1/T. Тогда Используем общую формулу и получим Итак, в обоих случаях мы получим одно и то же решение: или . Используя полученное решение, ответим на следующие вопросы. 1. Как будет изменяться во времени выходное напряжение элемента, если в момент t=0 на вход подать напряжение Uвх=100 B? При этом R=1 МОм, С=1 мкФ. Для данных значений T =RC =106 10-6 =1c; B. График переходного процесса показан на рис. 30. Процесс имеет плавный апериодический характер. Постоянное напряжение на выходе исследуемой цепи устанавливается через 3,5 с (примерно). 2. Через какое время напряжение на выходе будет отличаться от входного не более чем на 0,1 В? 3. Какова будет наибольшая относительная погрешность выходного напряжения, при подаче на вход элемента импульса 100 В длительностью 3 с? Uвых= 100(1-е-3) = 95,0 , . В рассматриваемом примере исследован простейший элемент. Однако порядок исследования и используемые методы являются общими как для более сложных элементов, так и для систем САУ. Передаточная функция Обыкновенная линейная система автоматического управления описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением Умножим обе части уравнения на е – pt и выполним интегрирование в пределах от 0 до : В результате этих преобразований левая и правая части уравнения представляют собой выражения для преобразования Лапласа. Осуществим преобразование Лапласа, используя его свойства: . Полагая, что система находится при нулевых начальных условиях y (0) = 0, y '(0) = y '' (0) = ... = 0, вычислим изображения производных и получим . Полученное уравнение является алгебраическим уравнением и его можно решить относительно изображения выходной величины: . Передаточной функцией элемента (или системы) автоматического управления называется отношение Лапласовых изображений выходной и входной величин При нахождении передаточной функции подразумевается, что элемент (или система) находится при нулевых начальных условиях. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией от независимой переменной р. Передаточная функция легко получается из исходного дифференциального уравнения формальной подстановкой вместо производных символа р в соответствующей степени. При р = 0 передаточная функция вырождается в коэффициент передачи. Обычно для передаточной функции m < n. При известной передаточной функции процесс в системе определяется следующим образом: и . Корни числителя передаточной функции называются нулями передаточной функции, корни знаменателя передаточной функции – полюсами. В общем случае передаточная функция имеет m нулей и n полюсов. Нули и полюса могут быть комплексными. Типовые воздействия Процессы в системе автоматического управления возникают под влиянием внешних воздействий на систему. Внешними воздействиями могут быть управляющие воздействия, или возмущения. В реальных условиях внешние воздействия могут иметь произвольный характер и выражаться произвольными функциями времени как детерминированными, так и статистическими. Поскольку в этом случае задача исследования становится неопределенной, то при анализе систем автоматического управления используют ряд типовых воздействий, которые позволяют наиболее полно выявить динамические свойства исследуемой системы и в то же время наиболее близки к реальным внешним воздействиям. В теории автоматического управления используются следующие типовые воздействия при изучении переходных процессов в системе. 1. Ступенчатая функция (скачкообразное воздействие). График ступенчатой функции приведен на рис. 31. В нулевой момент времени воздействие скачком изменяется от нуля до некоторой постоянной величины. Аналитическое выражение для ступенчатой функции . При значении функции, равном единице (рис. 31), функция называется единичной ступенчатой функцией. Единичную функцию обозначают x(t) = 1(t) = [1]. Если амплитуда ступенчатой функции отличается от единицы и равна некоторой величине А, то такая функция является неединичной и обозначается x(t) = A[1]. Изображения Лапласа для ступенчатой функции и . 2. Единичная импульсная функция, или дельта-функция. Эта функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции . Дельта-функция равна нулю повсюду, кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности (рис. 32). Основное свойство дельта-функции , т.е. она имеет единичную площадь. Размерность единичной -функции [сек–1]. -функцию можно рассматривать как предел прямоугольного импульса при стремлении его длительности к нулю, а амплитуды  к бесконечности. С помощью импульсной функции удобно моделировать ударные воздействия на систему (кратковременные воздействия – удары). 3. Гармоническая функция. Функция, изменяющаяся по гармоническому закону (закону синуса или косинуса) (рис. 33): или . В теории автоматического управления гармоническую функцию часто записывают с использованием формулы Эйлера . Гармоническая функция применяется при исследовании частотных свойств элементов и систем автоматического управления. С её помощью моделируются повторяющиеся периодические воздействия (например, вибрации). 4. Степенные функции времени. Выражают линейное, квадратичное и т.д. изменение входной величины во времени: , где k – постоянный коэффициент,   константа. При =1 обеспечивается линейная функция времени, график которой приведен на рис. 34. Степенные функции применяются в том случае, когда необходимо смоделировать непрерывное изменение воздействия на систему, например, при исследовании следящих систем. Временные характеристики системы автоматического управления Временная характеристика представляет собой переходный процесс на выходе системы автоматического управления, возникающий при подаче на вход системы внешнего воздействия. Различают два вида временных характеристик. Первая временная характеристика получила название переходной характеристики и представляет собой процесс в системе при воздействии на вход системы ступенчатой функции. Изображение Лапласа для переходной характеристики (переходного процесса) или . Переходная характеристика является функцией времени и определяется только динамическими свойствами системы: В обыкновенных линейных системах можно наблюдать три основных вида переходных характеристик (рис. 35). 1. Апериодические (монотонные). Первая производная выходной величины не меняет знака. 2. Колебательные периодические. Первая производная выходной величины меняет знак бесконечное число раз. 3. Апериодические колебательные. Первая производная выходной величины меняет свой знак, но отсутствует периодичность смены знака производной и число экстремумов ограничено. Вид переходной характеристики определяется динамическими свойствами системы или ее элемента. Поэтому при анализе системы автоматического управления обычно стремятся определить её переходную характеристику для оценки свойств системы. Вторая временная характеристика описывает реакцию (отклик) системы на входное воздействие, описываемое единичной импульсной дельта-функцией. Воздействие дельта-функции выводит систему из состояния равновесия, и дальнейшее поведение системы определяется её собственными свойствами, поскольку внешнее воздействие прекращается ((t) ≡ 0 при t > 0). Эта временная характеристика получила название функции веса. Изображение Лапласа единичной импульсной функции X(p) = L{ (t)} = 1, тогда изображение для функции веса . Сама весовая функция (функция времени) определится как . Весовая функция описывает процесс в системе, возникающий при подаче на вход системы сигнала в виде единичной импульсной функции, и выражается оригиналом передаточной функции системы. Таким образом, вид весовой функции полностью определяется свойствами системы. Поскольку изображение Лапласа для процесса в системе , то сам процесс в системе можно выразить через весовую функцию системы, используя свойство умножения изображений для преобразования Лапласа: . Полученная формула позволяет непосредственно описывать переходный процесс в системе при любом входном воздействии по известной функции веса системы. Поскольку весовая функция однозначно определяется передаточной функцией системы, то и характер процесса, описываемого весовой функцией, для обыкновенной линейной системы будет соответствовать переходной характеристике системы. На рис. 36 приведены типовые графики для весовой функции обыкновенной линейной системы автоматического управления. График 1 соответствует апериодическому процессу, график 2 – колебательному, график 3 – колебательному апериодическому. Частотная передаточная функция системы автоматического управления Частотные характеристики системы автоматического управления определяются при подаче на вход системы гармонического воздействия , где (формула Эйлера). При подаче такого сигнала на вход и после затухания переходных процессов на выходе установятся также гармонические колебания с той же частотой , но с другой амплитудой и фазой (рис. 37). Тогда для выходного сигнала можно записать y(t) = ym = ym, где  угол фазового сдвига выходного сигнала относительно входного;  период сигнала;   круговая частота сигнала. Пусть исследуемая линейная система описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением При гармоническом входном сигнале можно в этом уравнении определить все производные входной величины , , .................................................................................... . Аналогично определятся и производные выходной величины. В результате исходное дифференциальное уравнение можно переписать в виде алгебраического уравнения Решив это уравнение, получим Величина W(j) называется комплексной частотной функцией (или частотной передаточной функцией). Комплексная частотная функция может быть найдена по передаточной функции путем подстановки p = j: Частотная передаточная функция может быть записана в комплексном виде где А() – модуль частотной передаточной функции; () – фазовый угол (аргумент); U() = ReW(j) – вещественная составляющая передаточной функции; V() = JmW(j) – мнимая составляющая частотной передаточной функции. Для частотной передаточной функции справедливы следующие соотношения: , . Зависимости А() и () определяют изменение амплитуды и фазы колебаний на выходе системы при изменении частоты входных колебаний. Модуль частотной характеристики A() определяет коэффициент усиления системы для гармонического сигнала с частотой . Частотные характеристики системы автоматического управления Частотную передаточную функцию W(j), являющуюся комплексным выражением, можно представить в векторной форме. При изменении частоты входного сигнала в пределах - < < + конец вектора опишет годограф, который называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) (рис. 38). АФЧХ строится по точкам. Отрицательная ветвь характеристики АФЧХ при (на рис. 38 показана пунктиром) зеркально отражает ветвь . Поэтому при анализе системы достаточно построить положительную ветвь АФЧХ при изменении частоты . Амплитудно-фазовая частотная характеристика широко применяется при исследовании систем автоматического управления, например при исследовании устойчивости системы автоматического управления. Наряду с АФЧХ частотные свойства системы описываются также логарифмическими частотными характеристиками (ЛХ): логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАХ) и логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФХ). Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика обычно обозначается как L() и находится из соотношения дБ. Величинавыражается в децибелах. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика ЛАХ строится в координатах L()  , при этом для оси  используется логарифмический масштаб. Использование логарифмического масштаба для оси частот приводит к тому, что эта ось разбивается на одинаковые участки – декады, в пределах которых частота увеличивается в 10 раз. Логарифмическая фазовая характеристика ЛФХ строится в координатах . Координатные сетки обеих характеристик объединяются и представляются в общепринятой формуле, показанной на рис. 39. Особенностью построений на рис. 39 является то, что положительное направление оси θ() выбирается вниз – противоположно общепринятому направлению. По оси абсцисс оцифровка ведется в единицах частоты , сами величины откладываются в логарифмическом масштабе. Частотный интервал, соответствующий удвоению частоты, называется октавой. Частотный интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз, называется декадой. Достоинством логарифмических характеристик является их более простое построение, по сравнению с АФЧХ, а также возможность получения суммарной характеристики для соединения элементов простым суммированием ЛАХ и ЛФХ элементов. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика строго может быть построена в том случае, когда передаточная функция не имеет размерности. Поэтому при построении логарифмических характеристик системы передаточную функцию системы следует преобразовать к такому виду, когда коэффициент преобразования системы становится безразмерным. Типовые звенья В зависимости от назначения, особенностей конструкции и примененных элементов в составе той или иной системы автоматического управления могут быть самые разнообразные функциональные элементы, число которых в принципе не ограничено. Однако самые разнообразные по физической природе элементарные функциональные элементы можно описать ограниченным числом различающихся по виду дифференциальных уравнений. Названное обстоятельство приводит к тому, что число разновидностей структурных звеньев (т.е. описываемых отличающимися дифференциальными уравнениями) систем автоматического управления невелико. Поскольку при математическом описании функционального элемента порядок дифференциального уравнения ограничивают вторым порядком, то возможны следующие пять типов описания (для обыкновенных линейных систем): дифференциальное уравнение нулевого порядка; дифференциальное уравнение первого порядка; дифференциальное уравнение второго порядка; функция интегрирования; функция дифференцирования. Перечисленные пять описаний рассматриваются в качестве типовых структурных звеньев обыкновенной линейной системы автоматического управления. Рассмотрим свойства типовых звеньев. 1. Безынерционное (усилительное) звено. Уравнение безынерционного звена , где k – коэффициент усиления звена (параметр звена). При подаче на вход звена сигнала, описываемого единичной ступенчатой функцией, на выходе получим переходную характеристику . Выходной сигнал для этого звена повторяет по форме входной сигнал, но усиливается в k раз. Эти свойства звена и породили его название. Графики входного сигнала и переходной характеристики звена показаны на рис. 40. Из уравнения звена определим его передаточную функцию , . Частотная передаточная функция безынерционного звена . Для частотной передаточной функции и . Следовательно, график АФЧХ выродится в одну точку на комплексной плоскости (рис. 41). Логарифмические характеристики усилительного звена определятся следующим образом: L() = 20 lg k, () = arctg 0 = 0. Общий вид логарифмических частотных характеристик звена показан на рис. 42. Эти характеристики представляют собой прямые, параллельные оси частот. Частотные характеристики безынерционного звена свидетельствуют об идеальных динамических свойствах такого звена. Ни коэффициент усиления звена, ни фазовый сдвиг сигнала не зависят от частоты сигнала. Для реальных физических элементов такие свойства недостижимы. Примером безынерционного звена могут служить электронный усилитель, рычажная передача (без учета массы), редуктор (без учета моментов инерции валов и шестерен) и пр. Безынерционное звено можно использовать для описания таких функциональных элементов системы, которые не оказывают существенного влияния на динамику системы. 2. Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка). Инерционное звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка , где T – постоянная времени звена, k – коэффициент усиления звена. Найдём переходную характеристику звена при воздействии на его вход сигнала в виде единичной ступенчатой функции . Для этого необходимо решить уравнение . Для решения заменим переменную , при этом , . Характеристическое уравнение для последнего дифференциального уравнения имеет вид . Характеристическое уравнение имеет единственный корень , следовательно, решение преобразованного дифференциального уравнения будет иметь следующий вид: , где D – постоянная интегрирования, которую необходимо определить из начальных условий. Примем в качестве начального условия y(0) = 0. Тогда , откуда . Перейдя от переменной z(t) к переменной y(t), получим решение дифференциального уравнения переходной характеристики (переходную характеристику) . Общий вид переходной характеристики инерционного звена показан на рис. 43. Переходный процесс апериодический и имеет плавный характер. Установившееся значение выходной величины y(t) равно k, на рисунке этому значению соответствует единица. Уровня 95 % от установившегося значения процесс достигает за время 3T, где T – постоянная времени инерционного звена. За время процесс достигает значения 0,63 от установившегося значения выходной величины. И, наконец, если в точке t = 0 провести касательную к графику переходного процесса, то она пересечёт уровень установившегося значения на удалении t = T от начала процесса. Описанные соотношения позволяют определять параметры инерционного звена на основе графика переходной характеристики, полученной, например, экспериментально. Если записать дифференциальное уравнение инерционного звена в операторном виде , то легко получить выражение для передаточной функции звена которая имеет первый порядок (порядок передаточной функции соответствует порядку дифференциального уравнения и определяется наибольшей степенью параметра p в выражении передаточной функции). Рассмотренный вид дифференциального уравнения и экспоненциальный переходный процесс являются типичными для значительного числа различных по физической природе преобразовательных элементов систем автоматического управления. Такие элементы в структурной схеме представляются инерционными (апериодическими) звеньями для учёта их влияния на динамику системы автоматического управления. Частотная передаточная функция инерционного звена . При получении выражения для частотной передаточной функции выполнены преобразования с целью исключения мнимой части из знаменателя дроби. Модуль и фазовый угол частотной передаточной функции: Амплитудно-фазовая частотная характеристика инерционного звена имеет вид, показанный на рис. 44. Ветвь, соответствующая отрицательным частотам, располагается над вещественной осью, положительным частотам – под вещественной осью. Кривая образует правильную окружность. При нулевой частоте точка АФЧХ лежит на вещественной оси на удалении k от начала координат. Вектор, проведённый из начала координат в точку, соответствующую частоте , образует угол 45° с положительным направлением вещественной оси, т.е. инерционное звено на этой частоте имеет фазовый сдвиг, равный 45°. Максимальный фазовый сдвиг звена составляет 90°. Кроме графика АФЧХ на рис. 44 показаны так называемые круговые диаграммы замыкания, которые используются для анализа качества системы и будут нами обсуждены в соответствующем разделе курса. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика . Эта характеристика обладает следующими свойствами: , . Логарифмическая фазовая частотная характеристика , при этом , , . Общий вид ЛАХ и ЛФХ для инерционного звена показан на рис. 45. При низких частотах ЛАХ (кривая 1) близка к горизонтальной прямой линии, а при высоких частотах ЛАХ близка к прямой с наклоном – 20 дБ/дек. Наибольшая кривизна ЛАХ наблюдается в окрестностях частоты =1/T. На практике часто используют для инерционного звена асимптотическую ЛАХ, состоящую из горизонтального отрезка прямой, проходящей на уровне 20lgk, и отрезка прямой с наклоном – 20 дБ/дек, стыкующегося с первым отрезком на частоте =1/T (ломаная линия 2 на рисунке). Погрешность от такой замены не превышает 3 дБ. Частота =1/T называется частотой сопряжения. На этой частоте фазовый угол звена составляет 45°. При изменении частоты от нуля до бесконечности фазовый угол звена изменяется в пределах от нуля до 90°. 3. Колебательное звено. Колебательное структурное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка . Параметрами колебательного звена являются постоянные времени и , а также коэффициент усиления k. Для нахождения выражения переходной характеристики звена необходимо решить приведенное уравнение при . Решение будет определяться корнями характеристического уравнения или . С учетом корней характеристического уравнения и начальных условий, получаем следующее решение дифференциального уравнения: , где и . Вид переходной характеристики будет зависеть от соотношения вещественной и мнимой частей корней характеристического уравнения. При корни комплексные сопряжённые и переходная характеристика имеет характер затухающих колебаний. Частота колебаний определяется мнимой частью корня , а скорость затухания – вещественной частью корня α. Если , то получаются два вещественных корня характеристического уравнения. При этом колебательность процесса исчезает и колебательное звено ведёт себя как последовательное соединение двух инерционных звеньев. В этом случае колебательное звено вырождается в двойное апериодическое звено. При получаются чисто мнимые корни характеристического уравнения и колебательный процесс на выходе звена перестаёт затухать. Колебательное звено превращается в консервативное звено с незатухающими колебаниями постоянной амплитуды на выходе. Вид переходных характеристик для трёх рассмотренных случаев показан на рис. 46. Колебательная затухающая характеристика 1 соответствует комплексным корням характеристического уравнения, апериодическая характеристика 2 – вещественным корням характеристического уравнения, незатухающие колебания 3 – мнимым корням характеристического уравнения. Поскольку соотношение существенно влияет на свойства колебательного звена, то для этого звена вводят параметр , называемый коэффициентом относительного затухания (степенью успокоения). Чем меньше коэффициент затухания, тем сильнее выражен колебательный процесс и тем дольше он затухает. С учётом коэффициента относительного затухания дифференциальное уравнение звена записывают несколько иначе: . По виду переходной характеристики колебательного звена, снятой экспериментально, можно установить его параметры. Определение параметров показано на рис. 47, при этом используются следующие зависимости: , Для определения передаточной функции колебательного звена запишем его дифференциальное уравнение в операторном виде , отсюда выражение для передаточной функции . Частотная передаточная функция колебательного звена определяется через передаточную функцию Модуль частотной передаточной функции и её аргумент: , . При увеличении частоты модуль стремится к нулю, а фазовый угол – к -180°. На частоте фазовый угол равен -90°. Общий вид АФЧХ колебательного звена приведен на рис. 48. При нулевой частоте точка характеристики лежит на положительном направлении оси вещественных чисел на удалении k от начала координат. С ростом частоты вначале модуль частотной характеристики увеличивается, а затем начинает уменьшаться и точка движется в начало координат. Точка характеристики приходит в начало координат со стороны отрицательной полуоси вещественных чисел, поскольку максимальный фазовый угол равен -180° (–π). Положительная ветвь характеристики лежит под осью вещественных чисел, отрицательная – над осью вещественных чисел. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика колебательного звена . Для частот характеристика , для частот , т.е. близка к прямой с наклоном -40 дБ/дек. Таким образом, ЛАХ можно аппроксимировать двумя прямыми: горизонтальной для малых частот и наклонной (с наклоном -40 дБ/дек) для высоких частот. Эти два участка стыкуются на частоте сопряжения . Аппроксимированная ЛАХ называется асимптотической и отражает частотные свойства звена приближённо. Фазовая частотная характеристика описывается выражением Общий вид логарифмических частотных характеристик колебательного звена показан на рис. 49. ЛАХ звена (кривая 1) имеет максимум, который тем выше, чем меньше коэффициент χ относительного затухания звена. Поэтому в области частот, прилегающих к частоте сопряжения, погрешность аппроксимации ЛАХ асимптотической характеристикой может быть велика. Наличие максимума ЛАХ говорит о резонансных свойствах колебательного звена. Если колебательное звено вырождается в двойное апериодическое, то ЛАХ приобретает плавный характер (кривая 2) и резонансные свойства звена исчезают. Фазовая характеристика располагается в пределах изменения фазового угла от нуля до -180°. Наибольшие изменения фазовая характеристика претерпевает в окрестностях частоты сопряжения. На частоте сопряжения фазовый угол составляет -90°. ЛФХ 1 соответствует звену с малым коэффициентом относительного затухания, ЛФХ 2 – двойному апериодическому звену. Чем меньше коэффициент относительного затухания колебательного звена, тем круче становится логарифмическая фазовая характеристика в окрестностях частоты сопряжения. 4. Интегрирующее звено. Интегрирующее звено реализует функцию интегрирования входного сигнала. Для этого звена скорость изменения выходного сигнала пропорциональна входному сигналу. Типичным примером интегрирующего звена может служить электродвигатель, угол поворота вала которого непрерывно увеличивается во времени, пока на вход подаётся напряжение питания. Уравнение интегрирующего звена или , где . Обе формы записи уравнения равноценны, а в качестве параметра интегрирующего звена может использоваться как коэффициент усиления k, так и постоянная времени T. Процесс на выходе интегрирующего звена . При подаче на вход звена сигнала в виде единичной ступенчатой функции получим переходную характеристику звена . Вид переходной характеристики показан на рис. 50. Поскольку при наличии входного сигнала выходной сигнал интегрирующего звена непрерывно изменяется, звено получило название астатического звена. Если в системе автоматического управления есть интегрирующее звено, то система также становится астатической. Передаточная функция интегрирующего звена или . Частотная передаточная функция интегрирующего звена , откуда и . При нулевой частоте модуль частотной характеристики равен бесконечности, а при бесконечно большой частоте – нулю. Фазовый угол от частоты не зависит и постоянно равен -90°. Таким образом, АФЧХ интегрирующего звена будет совпадать с отрицательным направлением оси мнимых чисел комплексной плоскости (рис. 51). Выражение для логарифмической амплитудной характеристики описывает прямую, проходящую через точку с наклоном -20 дБ/дек. Фазовый угол не зависит от частоты и равен -90°. Поэтому логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена имеют приведенный на рис. 52 вид. ЛАХ представляет собой прямую линию, проходящую через точку с координатами  =1, и имеющую наклон -20 дБ/дек. Эта линия пересекает ось частот в точке с частотой . ЛФХ имеет вид горизонтальной прямой линии, проведённой на уровне -90°. С помощью интегрирующего звена обычно описываются различные двигатели: электрические двигатели, пневматические и гидравлические моторы, пневмо- и гидроцилиндры и другие элементы систем автоматического управления, для которых скорость изменения выходной величины пропорциональна входному сигналу. 5. Дифференцирующее звено. Дифференцирующее звено реализует функцию дифференцирования входного сигнала. Для этого звена выходной сигнал пропорционален скорости изменения входного сигнала. Уравнение дифференцирующего звена , переходная характеристика для дифференцирующего звена представляет собой усиленную в k раз импульсную дельта-функцию (рис. 53). Уравнение звена в операторном виде , откуда передаточная функция звена . Частотная функция дифференцирующего звена , при этом , Модуль частотной характеристики растёт с ростом частоты и стремится к бесконечности. Фазовый угол от частоты не зависит и постоянно равен 90°. Эти особенности отражает АФЧХ дифференцирующего звена, показанная на рис. 54. АФЧХ располагается вдоль положительной полуоси мнимых чисел на комплексной плоскости. Начало АФЧХ, соответствующее частоте , совпадает с началом координат, а при АФЧХ устремляется в бесконечность. Выражения для логарифмических частотных характеристик получаем на основе выражения частотной передаточной функции , . Выражение для ЛАХ описывает прямую линию с наклоном +20 дБ/дек, проходящую через точку с координатами , , а ЛФХ изобразится горизонтальной прямой на уровне 90°.Общий вид логарифмических частотных характеристик дифференцирующего звена приведен на рис. 55. Описанное дифференцирующее звено обладает идеальными свойствами и рассматривается как идеальное дифференцирующее звено. Реально осуществить дифференцирующее звено с идеальными свойствами невозможно. Схема реального дифференцирующего звена показана на рис. 56, это хорошо известная дифференцирующая RC-цепь. Реальное дифференцирующее звено описывается уравнением . Переходная характеристика реального дифференцирующего звена , её вид показан на рис. 57. Переходная характеристика реального дифференцирующего звена существенно отличается от переходной характеристики идеального дифференцирующего звена. Поэтому реальное дифференцирующее звено выполняет операцию дифференцирования сигнала с погрешностью. Эта погрешность зависит от постоянной времени T: чем больше постоянная времени, тем при прочих равных условиях погрешность больше. Передаточная функция реального дифференцирующего звена а его частотная передаточная функция Модуль и аргумент частотной характеристики: , . Амплитудно-фазовая частотная характеристика реального дифференцирующего звена показана на рис. 58, а его асимптотическая логарифмическая амплитудная характеристика  на рис. 59. Неустойчивые звенья Для рассмотренных звеньев переходный процесс затухает и на выходе звена устанавливается по истечении некоторого времени постоянная величина (состояние установившегося равновесия). Существуют звенья, в которых это условие не соблюдается. Рассмотрим в качестве примера звено, описываемое дифференциальным уравнением первого порядка следующего вида : . Передаточная функция такого звена . Для определения переходной характеристики звена решим его дифференциальное уравнение при единичном ступенчатом входном воздействии . Переходный процесс при t не приходит в новое устойчивое состояние и является расходящимся (рис. 60). Такое звено является неустойчивым и не обеспечивает адекватное преобразование входного сигнала. Признаком неустойчивости звена является наличие отрицательных коэффициентов дифференциального уравнения или передаточной функции звена. Соединения структурных звеньев Структурная схема обыкновенной линейной системы автоматического управления будет состоять из типовых структурных звеньев, соединённых в произвольной комбинации. При описании связи между входом и выходом такой структуры необходимо определить её общую передаточную функцию по передаточным функциям составляющих структуру звеньев, которые считаются известными. При решении этой задачи используются правила нахождения передаточной функции соединения звеньев. Эти правила основаны на том, что передаточная функция является алгебраическим выражением и может рассматриваться как коэффициент преобразования изображения входного сигнала в изображение выходного сигнала. В структурной схеме системы звенья могут образовывать три вида соединений: последовательное соединение, параллельное соединение и соединение с обратной связью. Рассмотрим эти соединения с целью определения общей передаточной функции соединения по передаточным функциям входящих в соединение звеньев. Последовательное соединение звеньев Структура последовательного соединения звеньев показана на рис. 61. В последовательном соединении выходной сигнал предыдущего звена подаётся на вход последующего звена и преобразование сигнала осуществляется последовательно. Для схемы на рис. 61 можно записать: тогда передаточная функция соединения определится следующим образом: . Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев. Параллельное соединение звеньев При параллельном соединении звеньев все звенья имеют общий вход, сигнал преобразуется параллельно, а выходные сигналы звеньев суммируются и образуют общий выходной сигнал соединения (рис. 62). Для параллельного соединения: Эти выражения справедливы и для изображений Лапласа сигналов в силу линейности преобразования Лапласа, тогда . Откуда получим выражение для передаточной функции соединения следовательно, для параллельного соединения звеньев . Передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме передаточных функций звеньев, входящих в соединение. Соединение с обратной связью При соединении с обратной связью звено с передаточной функцией охватывается обратной связью, в которую включено звено с передаточной функцией (рис. 63). На самом деле и в прямой ветви, и в обратной связи может быть несколько звеньев, однако, используя приведенные выше правила, схему соединения можно свести к эквивалентной схеме на рис. 63. Обратная связь может быть как положительной, так и отрицательной. Для соединения с обратной связью можно записать уравнение замыкания , где знак ''+'' соответствует положительной обратной связи, а знак ''-'' – отрицательной. В силу линейности уравнение замыкания можно записать и для изображений сигналов . Из структуры соединения можно определить изображения сигналов: , , тогда получим для уравнения замыкания , или . Следует обратить внимание на смену знаков в знаменателе выражения. Теперь можно найти изображение выходной величины соединения . Передаточная функция соединения , знак "минус" относится к положительной обратной связи, а "плюс" – к отрицательной. Преобразования структурных схем При рассмотрении структурной схемы системы не всегда в её составе удаётся выделить в чистом виде одно из рассмотренных выше соединений. В этом случае возникает необходимость преобразования структурной схемы к такому виду, чтобы её можно было бы представить типовыми соединениями звеньев. Естественно, что при таком преобразовании сигналы в преобразованной структуре не должны измениться. Пример структуры, нуждающейся в преобразовании, показан на рис. 64. Из-за перекрещивающихся обратных связей в системе нельзя выделить ни одного типового соединения. Следовательно, для этой структурной схемы нельзя определить общую передаточную функцию. Преобразование структурных схем сводится либо к переносу точки соединения двух звеньев, либо к переносу внешнего воздействия (сумматора, к которому подводится внешнее воздействие). Для сохранения адекватности преобразованной схемы необходимо выполнять при преобразовании следующие правила. 1. Внешнее воздействие можно перенести с входа звена на его выход, добавив между воздействием и точкой приложения звено с передаточной функцией исходного звена. Пример показан на рис. 65. Внешнее воздействие f вместе с сумматором переносится со входа звена на выход этого звена. Чтобы сигналы в преобразованной схеме не изменились, при преобразовании добавляется фиктивное звено с передаточной функцией . Слева показана исходная структура, справа – преобразованная. Для исходной структуры , для преобразованной  , т.е. с точки зрения выходного сигнала обе схемы адекватны. 2. Внешнее воздействие можно перенести с выхода звена на его вход, добавив между воздействием и новой точкой его приложения фиктивное звено с передаточной функцией обратной передаточной функции и исходного звена. На рис. 66 внешнее воздействие f вместе с сумматором переносится с выхода звена (левая структурная схема) на его вход (правая схема). Для обеспечения адекватности преобразованной схемы в её структуру добавлено фиктивное звено с передаточной функцией . Легко убедиться в одинаковости выходной величины в обеих схемах. 3. Точку присоединения звена 2 можно перенести с выхода звена 1 на его вход, добавив между новой точкой присоединения звена 2 и входом звена фиктивное звено с передаточной функцией . На рис. 67 звено присоединено к выходу звена (левая схема). Точка присоединения звена переносится на вход звена (правая схема). Для сохранения сигналов в преобразованную схему добавлено фиктивное звено. 4. Точку присоединения звена 2 можно перенести с входа звена 1 на его выход, добавив между новой точкой присоединения звена 2 и его входом фиктивное звено с передаточной функцией обратной передаточной функции первого звена. Это правило поясняется рис. 68. В исходной структуре звено присоединено ко входу звена . В преобразованной структуре точка присоединения перенесена на выход звена . Добавление фиктивного звена позволяет сохранить сигналы в системе неизменными. Передаточная функция замкнутой системы автоматического управления В системах автоматического управления наиболее распространён принцип управления по отклонению. На рис. 69 показана упрощенная принципиальная схема системы автоматического регулирования напряжения генератора постоянного тока, применяемая в системах электропровода. В этой системе поддерживается заданное значение выходного напряжения генератора Г при всех изменениях нагрузки. Задача управления решается путем сравнения величины выходного напряжения с заданным значением напряжения от опорного источника напряжения . Функциональная схема системы приведена на рис. 70. Выходной сигнал подается на вход системы по цепи отрицательно обратной связи и сравнивается с заданным значением . В результате сравнения определяется ошибка (или рассогласование) , сигнал ошибки поступает на вход усилителя и определяет напряжение управления для электромашинного усилителя ЭМУ. В зависимости от напряжения управления изменяется выходное напряжение ЭМУ, что ведёт к изменению напряжения возбуждения генератора Г и соответственно к изменению его входного напряжения. В результате ошибка в системе устраняется, и выходное напряжение генератора всегда будет равно заданному (с погрешностью регулирования, присущей системе). Электронный усилитель, ЭМУ и генератор опишем передаточными функциями и найдем общую передаточную функцию W(p) этих элементов. Тогда структурную схему системы автоматического регулирования напряжения генератора можно представить в виде, показанном на рис. 71. Получена структура замкнутой системы, в которой присутствует глобальная единичная обратная связь с выхода системы на её вход. Наличие глобальной обратной связи обеспечивает реализацию управления по ошибке, когда устройство управления постоянно сравнивает фактическое значение выходной управляемой величины с её заданным значением и вырабатывает управляющее воздействие таким образом, чтобы устранить возникающую ошибку. Свойства замкнутой системы автоматического управления описывает передаточная функция замкнутой системы . Для структуры на рис. 71 общая передаточная функция может быть найдена с использованием правила нахождения передаточной функции соединения звеньев с обратной связью при единичной обратной связи , где W(p) – передаточная функция разомкнутой системы. Передаточная функция замкнутой системы иногда называется в литературе главным оператором системы. Передаточная функция замкнутой системы в общем случае является дробной функцией вида . Поскольку передаточная функция W(p) разомкнутой системы является дробью: , то , . Полином C(p), стоящий в знаменателе выражения передаточной функции замкнутой системы, называется характеристическим полиномом замкнутой системы. Приравнивание нулю характеристического полинома даёт характеристическое уравнение замкнутой системы . Характеристическое уравнение замкнутой системы является алгебраическим уравнением степени n и имеет в общем случае n корней. Эти корни являются полюсами передаточной функции замкнутой системы. Решение уравнения, полученного приравниванием нулю полинома, стоящего в числителе передаточной функции, дает нули передаточной функции замкнутой системы автоматического управления. Подстановкой из передаточной функции замкнутой системы можно получить частотную передаточную функцию замкнутой системы . В статике передаточная функция разомкнутой системы вырождается в статический коэффициент передачи системы (для статической системы) , при этом коэффициент передачи для замкнутой системы Передаточная функция замкнутой системы по ошибке Для замкнутой системы существенной характеристикой является ее ошибка . Величину ошибки можно найти, зная входное воздействие и передаточную функцию разомкнутой системы: , откуда . С учетом ошибки системы (характеризует точность управления в системе) вводится характеристика замкнутой системы, называемая передаточной функцией замкнутой системы по ошибке: . Передаточная функция замкнутой системы по ошибке позволяет определить ошибку управления в замкнутой системе в том случае, когда необходимо обеспечить заданное значение управляемой величины с заданной точностью. Эта характеристика замкнутой системы позволяет оценивать точность обеспечения заданного значения управляемой величины (точность управления). Построение частотных характеристик системы Структура обыкновенной линейной системы автоматического управления всегда будет состоять из типовых звеньев, рассмотренных выше. Эти звенья будут входить в структуру в составе различных соединений: последовательного, параллельного, соединения с обратной связью. Передаточная функция системы, состоящей из различных соединений типовых звеньев, выразится зависимостью вида где K – коэффициент усиления системы. Сомножители вида , стоящие в знаменателе выражения, соответствуют инерционным звеньям, входящим в последовательные соединения. Сомножители в знаменателе соответствуют колебательным звеньям, соединённым последовательно. Предполагается, что в системе n инерционных звеньев и h колебательных звеньев. Параметр p в знаменателе передаточной функции появляется при наличии в структуре системы интегрирующих звеньев. Таких звеньев может быть в системе ν, поскольку при наличии в системе интегрирующего звена система становится астатической, то число интегрирующих звеньев ν называют степенью астатизма системы. Структура системы может содержать параллельные соединения звеньев. Пусть, например, в системе присутствует параллельное соединение усилительного и интегрирующего звена, тогда передаточная функция этого соединения . Из-за присутствия в системе параллельного соединения типовых звеньев в числителе передаточной функции появляются сомножители вида . Для обозначения таких сомножителей их условно приписывают форсирующим звеньям первого порядка. Форсирующее звено первого порядка имеет динамические свойства, обратные свойствам инерционного звена. Аналогично, сомножители вида приписывают форсирующим звеньям второго порядка, свойства которых противоположны свойствам колебательного звена. Таким образом, передаточная функция обыкновенной линейной системы будет состоять из произведений типовых сомножителей. Поскольку каждый сомножитель соответствует структурному звену с типовыми динамическими свойствами, то и динамические свойства системы в целом будут комбинацией типовых свойств. Это обстоятельство, в частности, позволяет упростить построение частотных характеристик линейной системы. Сделав подстановку в приведенное выше выражение для передаточной функции системы, можно перейти к частотной передаточной функции модуль которой Используя последнее выражение для амплитудной логарифмической частотной характеристики системы, можно записать В соответствии с последним выражением для нахождения суммарной амплитудной логарифмической характеристики системы необходимо построить ЛАХ для входящих в систему звеньев, а затем геометрически их суммировать. Исходя из общего выражения для частотной передаточной функции, можно записать выражение для фазового угла системы Сомножители числителя частотной передаточной функции обеспечивают положительные фазовые сдвиги, а сомножители знаменателя – отрицательные. Фазовая частотная характеристика системы получается суммированием фазовых частотных характеристик составляющих систему типовых звеньев. Асимптотическая ЛАХ строится ещё проще, и ее построение рассмотрим на примере. Пусть передаточная функция системы имеет вид тогда частотная передаточная функция запишется в виде а модуль частотной передаточной функции Логарифмическая амплитудная характеристика при этом слагаемое будет влиять на ход характеристики при , слагаемое  при и т.д. Частоты называются частотами сопряжения. Учет влияния каждого следующего звена при построении асимптотической характеристики ведется для частот, более высоких, чем соответствующая частота сопряжения, путем изменения наклона характеристики на , в зависимости от знака, стоящего перед слагаемым (на -20 дБ/дек для инерционного звена и +20 дБ/дек для форсирующего звена первого порядка). В результате суммарная асимптотическая логарифмическая амплитудная характеристика для рассматриваемого примера примет вид, изображенной на рис. 72, где для определенности принято . Если одно из звеньев системы колебательное, то на соответствующей ему частоте сопряжения наклон характеристики изменяется на (-40 дБ/дек для колебательного звена и +40 дБ/дек для форсирующего звена второго порядка). Общие правила построения асимптотической ЛАХ линейной системы следующие: • асимптотическая ЛАХ состоит из прямолинейных отрезков, имеющих разный наклон к оси частот, кратный 20 дБ/дек; • низкочастотный участок ЛАХ проходит через точку и имеет наклон 0 дБ/дек для статической системы и дБ/дек для астатической системы с астатизмом ν порядка; • влияние каждого звена на ЛАХ системы учитывается начиная с частоты сопряжения, определяемой постоянной времени звена; • учет влияния звена сводится к изменению наклона очередного отрезка ЛАХ на частоте сопряжения следующим образом: ◦ наклон увеличивается на –20 дБ/дек для инерционного звена, • наклон уменьшается на +20 дБ/дек для форсирующего звена первого порядка, • наклон увеличивается на –40 дБ/дек для колебательного звена, • наклон уменьшается на +40 дБ/дек для форсирующего звена второго порядка. Суммарная логарифмическая фазовая характеристика получается суммированием фазовых характеристик звеньев системы. Для рассмотренного примера фазовая частотная логарифмическая характеристика показана на рис. 73: 1 – ЛФХ интегрирующего звена, 2 – ЛФХ форсирующего звена первого порядка, 3 и 4 – ЛФХ инерционных звеньев, 5 – суммарная фазовая частотная характеристика. Суммарная фазовая характеристика 5 получена суммированием ординат (с учетом знака) фазовых характеристик звеньев. На рис. 73 положительная полуось фазовых углов направлена вниз. При построении частотных характеристик системы замена действительной ЛАХ асимптотической ЛАХ для колебательного звена даёт значительную погрешность при малой степени успокоения звена. Если для колебательного звена степень успокоения выходит за пределы , то асимптотическая ЛАХ нуждается в уточнении. Для этого строится точная характеристика путем расчета точек по формулам для колебательного звена (в пределах дек от частоты сопряжения). Учесть особенности характеристики можно также, используя график поправок для ЛАХ колебательного звена, который приводится в литературе по теории управления. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Понятие устойчивости Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться в состояние установившегося равновесия после устранения возмущения, нарушившего это состояние. Свойство устойчивости системы автоматического управления принято иллюстрировать состояниями равновесия шара, находящегося на разных поверхностях (рис. 74). На рис. 74а система устойчива и шар возвращается в начальное положение после исчезновения силы, сместившей его из этого положения, на рис. 74б система неустойчива, на рис. 74в изображено безразличное положение равновесия шара. При приложении к САУ внешних воздействий (управляющих воздействий или возмущений) в системе возникает переходный процесс у(t), который складывается из двух составляющих: свободные движения системы yc(t), определяемые начальными условиями и свойствами самой системы, и вынужденные движения yв(t), определяемые внешним воздействием и свойствами системы: y(t)=yc(t)+yв(t) . Система будет устойчива, если её свободные движения затухают со временем и в системе устанавливается вынужденный процесс Для неустойчивых систем это условие не выполняется, и практическое их использование является невозможным. Таким образом, свойство устойчивости САУ является весьма важным свойством, совершенно необходимым для обеспечения работоспособности системы. Поэтому исследование устойчивости САУ является важным элементом теории автоматического управления. Показателем устойчивости или неустойчивости системы служит вид переходной характеристики системы. Для устойчивой системы переходная характеристика сходится (т.е. стремится к установившемуся значению выходной величины (рис. 75а)). Свободный процесс в устойчивой системе затухает (1  колебательный процесс, 2 – апериодический процесс). Для неустойчивой системы переходная характеристика расходится (рис. 75б). При этом в системе не устанавливается постоянное значение управляемой величины в соответствии с задающим воздействием, а изменение этой величины будет происходить до некоторого предельного состояния системы, определяемого её свойствами. Неустойчивая система не обеспечивает адекватной реакции на задающее воздействие, поэтому такая система неработоспособна. В общем случае для получения переходной характеристики системы необходимо решить дифференциальное уравнение системы. По графику переходного процесса можно сделать заключение об устойчивости системы и об особенностях переходного процесса. Условия устойчивости системы автоматического управления Обыкновенная линейная система автоматического управления описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами Для устойчивости системы необходимо, чтобы свободный процесс в ней был бы сходящимся. Свободные движения системы описываются левой частью исходного дифференциального уравнения и, следовательно, уравнение свободного процесса в системе . Характеристическое уравнение замкнутой системы при этом запишется как . Характеристическое уравнение системы получается приравниванием к нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы. Общее решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения, имеющего порядок n: , где Ai – постоянные интегрирования, pi – корни характеристического уравнения, n – число корней. Корни характеристического уравнения могут быть как вещественными, так и комплексными (попарно сопряжёнными). Каждый комплексный корень порождает в решении уравнения слагаемое вида , где – начальная фаза, Аi – начальная амплитуда. При решении характеристического уравнения системы возможны различные случаи, в зависимости от соотношения его коэффициентов (т.е. в зависимости от параметров системы). 1. Корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. В этом случае для всех слагаемых и, следовательно, свободный процесс затухает. Система устойчива, а графики переходного процесса показаны на рис. 76 (для каждого слагаемого). На рис. 76а показан затухающий апериодический процесс, а на рис. 76б  затухающий колебательный процесс (пунктиром показана огибающая колебательного процесса). Апериодический процесс будет наблюдаться при чисто вещественном корне характеристического уравнения, колебательный – при комплексном корне. 2. Среди корней характеристического уравнения есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью. В этом случае в общем решении дифференциального уравнения для свободного процесса появится слагаемое, стремящееся к бесконечности с увеличением времени: и переходный процесс будет расходящимся (рис. 77). Графики показаны для одного слагаемого общего решения. Система в этом случае неустойчива. 3. Характеристическое уравнение имеет хотя бы одну пару комплексных корней с нулевой вещественной частью. В решении дифференциального уравнения появляется гармоническая составляющая , порождающая незатухающую гармоническую составляющую переходного процесса (рис. 78). При переходный процесс системы будет носить характер незатухающих колебаний. Принято считать, что в этом случае система находится на границе устойчивости. Этот случай представляет чисто теоретический интерес и в реальных системах не наблюдается. Рассмотренные случаи позволяют сформулировать математическое условие устойчивости для системы автоматического управления. Система автоматического управления будет устойчива, если все вещественные корни характеристического уравнения системы отрицательны, а все комплексные корни имеют отрицательные вещественные части. Если корни характеристического уравнения изобразить на комплексной плоскости, то для устойчивости системы необходимо, чтобы все они лежали бы в левой полуплоскости (рис. 79). На рис. 79 корни характеристического уравнения изображены кружками на комплексной плоскости. Границе устойчивости будет соответствовать нахождение хотя бы одной пары корней на мнимой оси (для них вещественная часть равна нулю). Поскольку корни характеристического уравнения определяются величиной и знаком коэффициентов дифференциального уравнения, то изменение коэффициентов, вследствие изменения параметров системы, может привести к нарушению условия устойчивости. Для исследования устойчивости системы автоматического управления необходимо проверить выполнение условия устойчивости для дифференциального уравнения системы. Система, для которой условие устойчивости выполняется, будет устойчивой (т.е. работоспособной). Теоремы Ляпунова об устойчивости линейной системы Полученное выше условие устойчивости справедливо для обыкновенных линейных систем автоматического управления. На практике приходится иметь дело с линеаризованными системами, и фактическая нелинейность характеристик системы может привести к неверным выводам о её устойчивости на основании исследования линеаризованного дифференциального уравнения. Границы применимости линеаризованных дифференциальных уравнений при исследовании устойчивости систем определяются общими теоремами устойчивости А.М. Ляпунова. Эти теоремы приводятся ниже без доказательств (с доказательством теорем можно ознакомиться в учебниках по теории управления или в трудах А.М. Ляпунова). 1. Реальная система устойчива «в малом», если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями. 2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система будет неустойчива. 3. При наличии корней характеристического уравнения с нулевой вещественной частью поведение реальной системы может не совпадать с поведением линеаризованной системы, и решение вопроса об устойчивости системы требует дополнительных исследований. Понятие "в малом" соответствует поведению системы при небольших начальных возмущениях, когда нелинейные зависимости между сигналами в системе не оказывают существенного влияния на её поведение. Критерии устойчивости системы Общие сведения Признаки, по которым можно судить об устойчивости системы автоматического управления без нахождения корней характеристического уравнения, в совокупности с правилами применения этих признаков, называются критериями устойчивости системы автоматического управления. Поскольку устойчивость системы определяется знаком вещественной части корней характеристического уравнения системы, то критерии устойчивости позволяют определить этот знак без нахождения самих корней. Применение критериев устойчивости упрощает задачу исследования устойчивости системы, а также позволяет выявить причину её неустойчивости и наметить пути для устранения неустойчивости системы (для приведения системы к устойчивости). Все критерии устойчивости делятся на алгебраические критерии, основанные на исследовании коэффициентов характеристического уравнения, и частотные критерии, основанные на исследовании амплитудно-фазовых частотных характеристик системы. В настоящее время известны алгебраические критерии А.И. Вышнеградского, Рауса и Гурвица. Критерий Вышнеградского и так называемая диаграмма Вышнеградского справедливы для систем регулирования, описываемых линейным дифференциальным уравнением третьего порядка. Критерий Рауса представляет собой алгоритм исследования коэффициентов характеристического уравнения. Наиболее распространен и удобен алгебраический критерий Гурвица. Критерии Рауса и Гурвица применимы для дифференциальных уравнений любого порядка. Из частотных критериев получили распространение критерии А.В. Михайлова и Найквиста. Критерий устойчивости Гурвица Критерий Гурвица использует для оценки выполнения условия устойчивости системы коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы. Следовательно, для применения критерия Гурвица необходим характеристический полином замкнутой системы . Первым условием устойчивости системы автоматического управления по Гурвицу является положительность всех коэффициентов ci характеристического уравнения. Если это условие не соблюдается, то система неустойчива. Для заключения об устойчивости системы условия положительности коэффициентов недостаточно. Вторым условием устойчивости системы по Гурвицу является положительность всех определителей, составленных из коэффициентов характеристического полинома на основе таблицы Гурвица. Для уравнения n-порядка таблица Гурвица имеет следующий вид: C1 C3 C5 C7 C9 C0 C2 C4 C6 C8 C1 C3 C5 C7 C0 C2 C4 C6 C1 C3 C5 … … … … …. … … … … …. Cn …. Cn-1 …. Cn-2 Cn При составлении таблицы по ее главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с c1 по cn. Затем каждый столбец таблицы, начиная с главной диагонали, дополняется коэффициентами: вверх  с возрастающим номером, вниз  с убывающим номером. Вместо отсутствующих коэффициентов ставятся нули. В результате получается таблица (матрица), содержащая нули и коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы. На основе таблицы составляются определители ; … Критерий Гурвица сводится к требованию положительности всех n определителей, составленных на основе таблицы, т.е. должно быть ,,… . Условием нахождения системы на границе устойчивости является равенство нулю последнего определителя или определяет границу устойчивости апериодического типа,  границу устойчивости колебательного типа. Например, для системы третьего порядка характеристический полином Таблица Гурвица для этого случая будет иметь следующий вид: Для устойчивости системы необходимо выполнение требований ;; ;, а также При исследовании устойчивости по Гурвицу достаточно рассмотреть знак главных определителей, которые определяют знак всех остальных (зависимых) определителей. В литературе по теории управления на основе раскрытия определителей приводятся конечные условия устойчивости для систем разного порядка. Используя критерий Гурвица, можно исследовать влияние того или иного параметра на устойчивость системы и определить допустимые границы изменения этого параметра. При исследовании находят зависимость для определителей от влияющего параметра x: , и затем строят графики функций этих зависимостей (рис. 80). По графикам можно видеть, что условие устойчивости соблюдается только при изменении влияющего параметра x в пределах от Хmin до Хmax, поскольку только в этих границах все определители остаются положительными одновременно. Следовательно, по графику необходимо определить область изменения влияющего параметра, в которой все определители положительны одновременно. Изменение влияющего параметра в установленных таким образом пределах не приводит к потере системой устойчивости. Подобное исследование может потребоваться при необходимости ответа на вопрос о возможности замены того или иного элемента системы (например, при ремонте) без потери системой работоспособности. Алгебраический критерий Гурвица удобно применять для исследования замкнутых систем автоматического регулирования, для которых известна передаточная функция замкнутой системы и, следовательно, известен характеристический полином замкнутой системы. При практическом применении критерия нет необходимости каждый раз составлять таблицу Гурвица и определители на её основе. Достаточно вычислить главные определители, выражения для которых применительно к системам разного порядка приводятся в учебной и справочной литературе по теории автоматического управления. Критерий устойчивости Найквиста Критерий Найквиста является частотным критерием и дает возможность судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы. Частотная передаточная функция разомкнутой системы может быть получена из передаточной функции разомкнутой системы Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы представляет собой годограф вектора на комплексной плоскости при изменении частоты в пределах . Об устойчивости замкнутой системы судят по виду этого годографа. Рассмотрим основы критерия Найквиста. Пусть разомкнутая система устойчива и её передаточная функция , где B(p)  характеристический полином разомкнутой системы. Так как система устойчива, то характеристический полином не имеет правых корней. Для замкнутой системы передаточная функция . Частотная характеристика замкнутой системы . Представим , где  характеристический полином замкнутой системы,  характеристический полином разомкнутой системы. Степень этих полиномов одинакова и равна n – порядку системы. Комплексы и можно представить векторами на комплексной плоскости. Если изменять частоту в пределах , то вектор повернется вокруг начала координат на угол , так как система устойчива и характеристический полином разомкнутой системы не содержит правых корней. Поворот вектора будет зависеть от устойчивости замкнутой системы. Если замкнутая система устойчива, то поворот того вектора относительно начала координат также будет равен . Рассмотрим поворот вектора , он равен приращению аргумента комплекса при изменении частоты : . Для устойчивой в замкнутом состоянии системы и, следовательно, . Если система неустойчива в замкнутом состоянии и ее характеристический полином имеет S корней в правой полуплоскости, то при . Если на комплексной плоскости построить годограф вектора , то годограф вектора будет соответствовать смещённой амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы. Для устойчивой системы результирующий угол поворота этого вектора относительно начала координат равен нулю, т.е. годограф вектора не будет охватывать начало координат. Выполнение этого условия возможно, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывает точку с координатами . Следовательно, для оценки устойчивости замкнутой системы достаточно построить АФЧХ разомкнутой системы и оценить её положение относительно контрольной точки с координатами . Пример построений показан на рис. 81, сплошной линией показана АФЧХ, соответствующая устойчивой в замкнутом состоянии системе, пунктирной – неустойчивой системе. Критерий Найквиста имеет следующую формулировку: если система устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости замкнутой системы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не должна охватывать на комплексной плоскости точку с координатами при изменении частоты в пределах . Примеры АФЧХ устойчивых систем показаны на рис. 82. Сплошной линией показана положительная ветвь АФЧХ (соответствующая ), пунктирной – отрицательная ветвь. U, V – вещественная и мнимая составляющие комплекса соответственно. В обоих случаях контрольная точка не попадает внутрь контура кривой, соответствующей годографу, что говорит об устойчивости исследуемой системы. Для исследования устойчивости по Найквисту можно строить амплитудно-фазовую частотную характеристику только для положительных частот , поскольку ветвь для отрицательных частот является зеркальным отображением положительной ветви. На рис. 83а показана амплитудно-фазовая частотная характеристика системы, находящейся на границе устойчивости. Признаком такого состояния системы является прохождение АФЧХ через контрольную точку . Пример АФЧХ для неустойчивой в замкнутом состоянии системы показан на рис. 83б, в этом случае контрольная точка охватывается кривой. Если система содержит интегрирующее звено, то она становится астатической и в знаменателе передаточной функции системы появляется сомножитель p. Степень сомножителя p определяется числом интегрирующих звеньев и, в свою очередь, определяет порядок астатизма системы. Для астатической системы с порядком астатизма передаточная функция примет вид где и  полиномы от p. Частотная передаточная функция в этом случае Можно видеть, что при A() будет стремиться к бесконечности. Минимальное значение фазового угла будет равно , следовательно, АФЧХ в этом случае будет представлена разомкнутой кривой. Когда АФЧХ разомкнута, однозначно решить вопрос об охвате этой кривой контрольной точки без дополнительных соображений невозможно. Для однозначного решения вопроса об устойчивости системы в этом случае амплитудно-фазовая частотная характеристика системы дополняется полуокружностью бесконечно большого радиуса () в кратчайшем направлении к положительной вещественной полуоси, как это показано на рис. 84. В результате этих действий кривая АФЧХ преобразуется в замкнутый контур и вопрос об охвате контрольной точки решается без затруднений. На рис. 84 замыкающая полуокружность радиуса R= показана пунктиром. Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, может стать устойчивой при замыкании отрицательной обратной связи. Причиной неустойчивости разомкнутой системы могут, например, быть неустойчивые местные положительные обратные связи. Для решения вопроса об устойчивости такой системы в замкнутом состоянии необходимо убедиться в наличии у знаменателя передаточной функции разомкнутой системы корней, лежащих в правой полуплоскости (т.е. с положительной вещественной частью), и определить их число k. Критерий Найквиста для таких систем формулируется следующим образом: если система неустойчива в разомкнутом состоянии и её характеристический полином имеет k корней, лежащих в правой полуплоскости комплексной плоскости корней, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы должна охватывать k раз точку при изменении частоты от . Пример амплитудно-фазовой частотной характеристики системы, которая неустойчива в разомкнутом состоянии при наличии двух правых корней характеристического полинома и становится устойчивой в замкнутом состоянии, показан на рис. 85. В рассматриваемом примере при изменении частоты вектор, проведённый из точки в текущую точку АФЧХ, поворачивается вокруг точки на угол , т.е. годограф охватывает точку два раза. Следовательно, в замкнутом состоянии система будет устойчивой. Основным достоинством критерия Найквиста является его наглядность и возможность использования экспериментальных амплитудно-фазовых частотных характеристик системы в том случае, когда получение дифференциальных уравнений для системы затруднено или невозможно. Применение критерия к логарифмическим характеристикам При использовании критерия Найквиста можно рассматривать не амплитудно-фазовую частотную характеристику системы, а ее логарифмические частотные характеристики. Пусть разомкнутая система устойчива, тогда устойчивость замкнутой системы по Найквисту определится положением годографа W(j) по отношению к контрольной точке (рис. 86). Если годограф W(j) не охватывает контрольную точку (кривая 1), то замкнутая система устойчива, если охватывает (кривая 2), – система неустойчива. В точке пересечения АФЧХ с отрицательным направлением вещественной оси (частота 1) угол фазового сдвига . Для устойчивой системы частота среза с (при этой частоте АФЧХ пересекает единичную окружность и при этом , а ) меньше частоты 1, при которой фазовый угол равен -. Для неустойчивой системы соотношение этих частот обратное: . Таким образом, для устойчивой системы частота среза меньше частоты для фазового угла в -, а для неустойчивой системы соотношение этих частот обратное. Это условие легко проверяется с использованием логарифмических частотных характеристик системы. На рис. 87 показаны логарифмические частотные характеристики для устойчивой (1) и неустойчивой (2) систем: L() – логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ), () – логарифмическая фазовая характеристика (ЛФХ), с – частота среза системы, 1 – частота фазового угла - (или -180). Для устойчивой системы и частота , при которой угол фазового сдвига , соответствует области отрицательных ординат логарифмической амплитудной характеристики L(). Для неустойчивой системы (логарифмическая амплитудная характеристика 2) и частота 1 соответствует области положительных значений ординат ЛАХ (т.е. на этой частоте коэффициент усиления системы больше единицы). Следовательно, система будет устойчива, если точка пересечения ЛАХ с осью частот лежит левее точки пересечения ЛФХ с прямой, соответствующей фазовому сдвигу . Для устойчивой системы величина угла (рис. 87) характеризует запас устойчивости системы по фазе, ордината ЛАХ  запас устойчивости системы по амплитуде. В том случае, когда АФЧХ системы имеет вид ("клювообразный" вид), показанный на рис. 88а, ЛФХ будет пересекать границу несколько раз (рис. 88б). В этом случае для устойчивости системы необходимо, чтобы число пересечений ЛФХ границы , лежащих левее частоты среза ,было бы четным. На рис. 88б левее частоты среза имеются два пересечения на частотах 1 и 2, следовательно, система устойчива. Логарифмический критерий устойчивости обладает большой простотой и наглядностью, что обуславливает его распространенность при исследовании устойчивости системы. Если использовать асимптотические логарифмические частотные характеристики системы, то простота применения критерия ещё более очевидна. Критерий устойчивости Михайлова Для применения критерия Михайлова необходимо иметь характеристический полином замкнутой системы. Если передаточная функция замкнутой системы , то характеристический полином . Характеристический полином преобразуется в характеристический комплекс подстановкой : . Критерий Михайлова формируется следующим образом: замкнутая система будет устойчива, если полное приращение аргумента характеристического комплекса при изменении частоты от 0 до равно , где n степень характеристического полинома . Для проверки выполнения требований критерия строится годограф характеристического комплекса на комплексной плоскости. Этот годограф называют также кривой Михайлова. При выполнении требований критерия Михайлова кривая Михайлова будет соответствовать следующим требованиям: • кривая имеет плавную спиралевидную форму, • последовательно проходит через квадранты комплексной плоскости, • уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени n характеристического полинома. Кривая Михайлова строится по точкам для разных частот . Вид кривых Михайлова для устойчивых систем порядков 2, 3 и 5 показан на рис. 89а. Любое нарушение требований к виду кривой Михайлова для устойчивой системы говорит о неустойчивости системы. Пример кривой Михайлова для неустойчивой системы третьего порядка показан на рис. 89б. В том случае кривая перескакивает из первого квадранта в четвёртый и нарушается последовательность прохождения кривой квадрантов комплексной плоскости. Условием нахождения системы на границе устойчивости по Михайлову является равенство нулю характеристического комплекса . Это условие можно записать в виде двух условий: и . В таком виде условие граничной устойчивости по Михайлову часто используется при анализе систем автоматического управления. Для систем, находящихся на границе устойчивости, кривая Михайлова будет проходить через начало координат. Примеры кривых Михайлова для систем, находящихся на границе устойчивости, показаны на рис. 90. Кривая 1, проходящая через начало координат, соответствует колебательной границе устойчивости, а кривая 2, начинающаяся в начале координат,  апериодической границе устойчивости системы. Применение критерия Михайлова требует специальных построений годографа характеристического комплекса системы, который для других исследований системы не используется. В этом отношении критерий Найквиста проще, поскольку использует АФЧХ разомкнутой системы, которая может быть использована и в других исследованиях. Однако условие граничной устойчивости системы по Михайлову применяется, например, при исследовании области устойчивости системы автоматического управления. Построение области устойчивости системы методом D-разбиения Рассмотренные критерии устойчивости позволяют ответить на вопрос, является ли рассматриваемая система устойчивой. Однако на практике часто приходится решать задачу о влиянии тех или иных параметров системы на ее устойчивость и о допустимых пределах изменения этих параметров без потери устойчивости системой. Изменение параметров может быть вызвано технологическими допусками при изготовлении системы, ее старением, заменой элементов системы при ремонтах и т.д. Построение области устойчивости может вестись в пространстве одного или двух параметров. При построении области устойчивости в зависимости от одного параметра обычно исследуется влияние на устойчивость коэффициента усиления системы, рассматриваемого как комплексная величина. Область устойчивости в этом случае строится на комплексной плоскости. Наиболее часто используется построение области устойчивости в плоскости некоторых двух параметров системы. Пусть представляет интерес оценка некоторых параметров Ti и kj звеньев системы с точки зрения их влияния на устойчивость. В этом случае можно, задавая разные значения этих параметров, многократно исследовать устойчивость системы при каждом заданном их сочетании. Если результаты таких исследований нанести на график (рис. 91), построенный в плоскости исследуемых параметров Ti и kj, используя разные обозначения случая устойчивой системы () и неустойчивой системы (○), то на графике можно будет выделить некоторую область сочетаний исследуемых параметров, которая будет соответствовать устойчивости системы. Эта область называется областью устойчивости системы. В соответствии с условием устойчивости САУ (левое расположение корней характеристического уравнения САУ на комплексной плоскости корней) граница области устойчивости будет отделять случай сочетания исследуемых параметров, дающий все левые корни характеристического уравнения, от случаев, когда среди этих корней могут быть и правые корни. Выделение на плоскости влияющих параметров областей их значений, которые соответствуют разным сочетаниям левых и правых корней характеристического уравнения, называется D-разбиением. Границы этих областей называют D-кривыми. При построении границы устойчивости мы имеем дело с частным случаем D-разбиений, когда нас интересует только одна D-кривая, отделяющая случай всех левых корней характеристического уравнения от других случаев. Задача построения области устойчивости в плоскости двух параметров сводится к последовательному выполнению двух действий: • построение линий, соответствующих граничной устойчивости системы в плоскости влияющих параметров, • определение расположения области устойчивости относительно построенных границ. Для определения границ области устойчивости можно использовать различные критерии устойчивости. Наиболее широкими возможностями обладает критерий Михайлова, при этом колебательной границе области устойчивости соответствует равенство нулю характеристического комплекса замкнутой системы: или и . Две другие границы устойчивости могут быть получены из условий где  первый и последний коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы. При построении области устойчивости в плоскости двух параметров системы определяется характеристический полином замкнутой системы, в котором исследуемые параметры kj и Ti представлены в виде переменных, а все остальные постоянные параметры  в виде констант . Затем подстановкой характеристический полином преобразуется в характеристический комплекс . Условию нахождения системы на границе устойчивости соответствует равенство нулю характеристического комплекса (кривая Михайлова при этом проходит через начало координат): . Комплексное выражение будет равно нулю при равенстве нулю его вещественной Х и мнимой Y частей, следовательно, уравнение распадается на два: Решая последние уравнения относительно исследуемых параметров , можно в результате получить параметрические уравнения границы устойчивости: и затем построить по точкам эту границу в координатах , задавая ряд значений параметра в пределах . Результаты вычисления значений параметров сводятся в таблицу, по которой затем строится график кривой, являющейся границей области устойчивости (колебательного типа) в плоскости параметров (рис. 92). Граница области устойчивости может иметь разрывы и пересекать оси координат. Для определения расположения области устойчивости относительно построенной границы колебательного типа используется правило штриховки. В соответствии с этим правилом вычисляется определитель вида и определяется знак определителя. Если , то при движении по границе устойчивости в направлении возрастания частоты следует штриховать левую сторону границы. При штриховка в тех же условиях ведется справа. При соблюдении этого правила штриховка всегда будет направлена внутрь области устойчивости. Правило штриховки будет корректным в том случае, когда параметр, по которому берется первая производная определителя (в нашем случае параметр ), на графике области устойчивости откладывается по оси абсцисс (рис. 92). Построенную границу области устойчивости при штриховке необходимо проходить в области изменения частоты . При этом отдельные участки границы области устойчивости могут иметь двойную штриховку. Граница, определенная на основе критерия Михайлова, является границей колебательного типа. На график следует нанести дополнительные границы области устойчивости, которые находятся путем приравнивания нулю первого и последнего коэффициентов характеристического уравнения системы: , . Из этих уравнений определяются уравнения дополнительных границ области устойчивости. Дополнительные границы наносятся на график области устойчивости. Штриховка дополнительных границ выполняется "по смыслу" в соответствии со штриховкой границы колебательного типа. Пример. Пусть имеется система, для которой известна передаточная функция разомкнутой системы , где K – коэффициент усиления разомкнутой системы. Необходимо построить область устойчивости системы в плоскости параметров: коэффициент усиления K – постоянная времени T2. Для решения задачи прежде всего найдём передаточную функцию замкнутой системы: и запишем характеристический полином замкнутой системы . Преобразуем характеристический полином в характеристический комплекс: . Запишем условия для граничной устойчивости системы: Из уравнений граничной устойчивости найдем параметрические уравнения границы области устойчивости: ; . Рассчитываем точки границы устойчивости, координаты которых сводим в таблицу.  1 …  - T2  … … K 1/T1 … …   Число точек в таблице должно быть достаточным для выявления всех особенностей границы устойчивости. Для применения правила штриховки найдем определитель , , , , . Таким образом, при . Следовательно, определитель положителен для положительных частот и штриховка должна вестись слева от кривой при движении по ней в сторону возрастания частот. Для отрицательных частот определитель отрицателен и штриховка должна вестись справа при движении по кривой в сторону увеличения частот. Кривые, соответствующие положительным и отрицательным частотам, совпадают, следовательно, граница устойчивости будет иметь двойную штриховку. Используем оставшиеся условия устойчивости: и , что дает и , откуда получаем дополнительные границы области устойчивости и . Построение области устойчивости в соответствии с полученными выражениями показано на рис. 93. Граница колебательного типа имеет двойную штриховку, поскольку её приходится при штриховке проходить дважды (для положительных частот и для отрицательных частот). Дополнительные границы совпадают с осями координат и штрихуются "по смыслу". Колебательная граница имеет асимптоту, проходящую на уровне 1/T1. Следует обратить внимание на то, что по горизонтальной оси графика откладывается параметр T2 в соответствии с принятым построением определителя для правила штриховки. Структурная устойчивость систем Если неустойчивую систему можно привести в устойчивое состояние изменением ее параметров, то такая система называется структурно-устойчивой. Если никакое изменение параметров системы не приводит ее в устойчивое состояние, то такая система называется структурно-неустойчивой. Поскольку задача конструктора системы сводится к созданию работоспособной системы (т.е. устойчивой системы), то необходимы способы обеспечения устойчивости структурно-неустойчивых систем. Рассмотрим пример системы, которая задана структурной схемой, приведенной на рис. 94. Система состоит из двух инерционных звеньев и одного интегрирующего звена. Все звенья соединены последовательно. Исследуем устойчивость этой системы, используя, например, критерий Найквиста. Передаточная функция разомкнутой системы , где  коэффициент усиления системы. Частотную передаточную функцию определим по передаточной функции и представим в виде выражений для модуля и аргумента: , . АФЧХ системы обладает следующими особенностями: при , , а при , . График АФЧХ показан на рис. 95. Пунктиром показана частотная характеристика при большом коэффициенте усиления системы K. Замкнутая система в этом случае неустойчива, поскольку годограф W(j) охватывает контрольную точку (-1,j0). При уменьшении коэффициента усиления системы K годограф "стягивается" к началу координат и можно выбрать такое значение коэффициента усиления K, при котором замкнутая система становится устойчивой (годограф, показанный сплошной линией на рис. 95). Следовательно, рассматриваемая система является структурно-устойчивой системой. Полуокружность, показанная пунктиром на рис. 95, необходима для условного замыкания АФЧХ астатической системы при использовании критерия устойчивости Найквиста. Другой пример замкнутой системы показан структурной схемой на рис. 96. Эта система состоит из инерционного звена и двух интегрирующих звеньев, включенных последовательно. Передаточная функция системы . Соответственно модуль и аргумент частотной передаточной функции , . При , и при , . АФЧХ системы показана на рис. 97. Такая система будет неустойчивой при любых значениях K, поскольку контрольная точка (-1,j0) всегда будет находиться внутри контура кривой. Не сможет изменить полученную картину и изменение постоянной времени T1. Рассматриваемая система является структурно-неустойчивой, поскольку привести её к устойчивости изменением параметров системы невозможно. Сделать структурно-неустойчивую систему устойчивой можно только путём изменения структуры системы. Приведение к устойчивости структурно-неустойчивой системы возможно двумя способами: • введением дополнительных обратных связей, охватывающих неустойчивые звенья. • введением дополнительных звеньев (стабилизирующих звеньев) в структуру системы. Если в рассматриваемую систему ввести дополнительно реальное дифференцирующее звено с передаточной функцией , то передаточная функция системы примет вид . Новая передаточная функция соответствует структурно-устойчивой системе, как это было видно из предыдущего примера. Дополнительно введённое реальное дифференцирующее звено выполнило функцию стабилизирующего звена. Сложная система автоматического управления, имеющая в своем составе несколько простых замкнутых систем, является многоконтурной системой. Многоконтурная система будет структурно-устойчивой, если структурно-устойчивы все простые составляющие ее системы. КАЧЕСТВО СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Показатели качества Устойчивость системы является весьма важной ее характеристикой, определяющей работоспособность системы. Однако система должна не просто работать, но и обеспечивать требуемое качество работы. Теория автоматического управления рассматривает процессы в системах автоматического управления. Поэтому показатели качества работы системы связываются с качеством переходных процессов в системе при внешних воздействиях на систему. Для полной характеристики системы автоматического управления применяют качественные показатели, характеризующие свойства системы. Качественные показатели системы можно разделить на следующие группы. 1. Оценки точности управления в системе, использующие величину ошибки системы. 2. Оценка запаса устойчивости системы, характеризующая склонность системы к потере устойчивости. 3. Оценка быстродействия системы. 4. Косвенные и интегральные оценки, косвенно характеризующие точность и быстродействие системы. При определении качественных показателей системы обычно рассматривается переходная характеристика системы в результате ступенчатого внешнего воздействия на систему. При рассмотрении переходной характеристики можно сделать ряд заключений о качестве системы. Следует иметь в виду, что оценка качества имеет смысл только для заведомо устойчивых систем. Неустойчивая система неработоспособна и невозможно обсуждать качество её работы. Прежде всего, во внимание принимается вид переходной характеристики: апериодическая характеристика или колебательная характеристика. Наиболее благоприятны плавные апериодические процессы в системах. При колебательных процессах в системе возникают перегрузки, динамика системы становится хуже и длительность переходных процессов увеличивается. Поэтому колебательные процессы в системах либо не допускаются, либо на такие процессы накладываются жесткие ограничения. В качестве примера для оценки качества системы на рис. 98 показана колебательная переходная характеристика в системе. Для оценки быстродействия системы используется величина длительности tп переходного процесса в системе. Длительность переходного процесса определяется временем tп установления выходной величины y(t), по истечению которого абсолютное отклонение выходной величины y(t) от её установившегося значения не будет превышать некоторое установленное допустимое значение : . В качестве допустимого отклонения часто используют отклонение от установившегося значения в 5 %. Целью управления в автоматической системе является обеспечение заданного значения управляемой величины в каждый момент времени. Реальное значение управляемой величины в каждый момент времени будет отличаться от заданного из-за ошибки системы управления. Эта ошибка в разные моменты времени переходного процесса различна и носит название динамической ошибки системы управления: . Динамическая ошибка описывается функцией времени, и использовать её для характеристики точности системы неудобно. Если переходный процесс в системе носит колебательный характер, то в системе возникает перерегулирование (или "заброс") выходной величины, которое характеризуется величиной перерегулирования: . Величина перерегулирования является составляющей характеристики точности системы. Статическая точность системы характеризуется наибольшим отклонением ее выходной величины в установившемся режиме от заданного значения: , где  заданное постоянное значение входной величины в системе. Требования, предъявляемые к перечисленным качественным показателям системы, можно сформировать графически в виде некоторой области, за пределы которой не должна выходить переходная характеристика системы (рис. 98). В общем случае для определения качественных показателей системы автоматического управления, вообще говоря, необходимо найти графическое изображение переходной характеристики и оценить полученный график. В теории управления существуют две группы методов оценки качества систем автоматического управления. 1. Прямые методы оценки качества. Основываются на непосредственном получении и оценке переходной характеристики системы. Переходная характеристика может быть получена путем аналитического или численного расчёта. 2. Косвенные методы оценки качества. Позволяют получить некоторые числовые характеристики для системы, косвенно связанные с её быстродействием и точностью. К косвенным методам относятся: а) метод оценки распределения корней характеристического полинома на комплексной плоскости, б) метод интегральных оценок, в) частотный метод. Последний имеет наибольшее распространение. Точность системы автоматического управления Статическая ошибка системы В системах автоматического управления часто приходится решать задачу стабилизации управляемой величины. Точность поддержания требуемого значения управляемой величины в такой системе можно оценить как разницу между заданным значением управляемой величины и её установившимся значением в системе после окончания переходного процесса: . Эта величина получила название статической ошибки системы. При вычислении статической ошибки предполагается, что система находится в статике и все сигналы в ней имеют постоянные величины. Статическая ошибка используется для оценки точности установления в системе заданной постоянной выходной величины после окончания переходного процесса. Используя передаточную функцию замкнутой системы по ошибке, для изображения ошибки в системе можно записать , где  передаточная функция замкнутой системы по ошибке,  изображение задающего воздействия. Для статики, когда все сигналы в системе неизменны, выражение для ошибки можно перенести в область оригиналов . Поскольку , где W(p) – передаточная функция разомкнутой системы, то статическую ошибку системы можно вычислить, зная передаточную функцию разомкнутой системы: , где . Вместо абсолютного значения статической ошибки часто используют относительную статическую ошибку . Если система статическая (т.е. не содержит интегрирующих звеньев), то передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в следующем нормированном виде: , где K – коэффициент усиления системы, A*(p), B*(p) – нормированные полиномы A(p) и B(p). При этом и . Тогда и статическая ошибка в статической системе . Статическая ошибка в статической системе уменьшается с увеличением коэффициента усиления системы. Статическая система всегда будет иметь некоторую ошибку. Физический смысл такой ошибки заключается в необходимости некоторого рассогласования между задающей и выходной величинами системы для получения сигнала управления. Если в системе управления имеются интегрирующие звенья, то система будет астатической. Для астатической системы первого порядка (содержащей одно интегрирующее звено) передаточная функция разомкнутой системы и передаточная функция замкнутой системы по ошибке . В этом случае всегда и, следовательно, статическая ошибка астатической системы будет равна нулю. Таким образом, статическая ошибка в астатической системе в принципе отсутствует, что обуславливает более высокую точность астатических систем, по сравнению со статическими системами. В астатической системе автоматического управления установившееся значение управляемой величины равно заданному значению этой величины. Вынужденная ошибка системы Процесс в системе складывается из свободного процесса и вынужденного процесса: . Для устойчивой системы свободный процесс по истечении времени tп затухает и в системе устанавливается вынужденный процесс Точность поддержания заданного значения управляемой величины в вынужденном режиме характеризуется вынужденной ошибкой системы . Вынужденная ошибка хорошо характеризует работу системы автоматического управления в том случае, когда изменения управляющего воздействия происходят существенно медленнее собственных переходных процессов в системе и последними можно пренебречь. Рассмотрим вычисление вынужденной ошибки системы автоматического управления. Изображение для вынужденной ошибки . В общем случае является дробно-рациональной функцией от p и ее можно разложить в ряд Тейлора по степеням р вблизи , тогда и выражение для вынужденной ошибки системы примет вид где  постоянные коэффициенты. Для полученного изображения вынужденной ошибки на основе свойств преобразования Лапласа легко находится выражение для оригинала ошибки где , , …  коэффициенты ошибок, полученные выше (C0 – коэффициент статической ошибки, C1 – коэффициент скоростной ошибки и т. д.). Коэффициенты ошибки могут быть также получены делением числителя передаточной функции на ее знаменатель. Полученное выражение для вынужденной ошибки позволяет оценить точность системы автоматического управления в установившемся режиме. Вынужденная ошибка, например, хорошо характеризует точность работы следящих систем автоматического управления. Прямые методы анализа качества системы Аналитическое решение дифференциального уравнения Прямые методы оценки качества системы автоматического управления основаны на получении тем или иным путём графика переходной характеристики системы с последующей оценкой качества переходного процесса по графику. Переходная характеристика может быть получена путем решения дифференциального уравнения системы автоматического управления или путем моделирования работы системы физическими методами. Переходная характеристика системы при аналитическом решении получается путём дифференциального уравнения замкнутой системы. Дифференциальное уравнение решается при входном воздействии в виде единичной ступенчатой функции . Полученное решение при этом описывает переходную характеристику системы. Замкнутая система автоматического управления описывается передаточной функцией замкнутой системы . Из выражения передаточной функции можно получить дифференциальное уравнение системы в операторной записи . При исследовании качества системы необходимо получить переходный процесс при единичном ступенчатом входном воздействии , в этом случае общее уравнение системы примет вид Решение дифференциального уравнения в виде функции описывает переходную характеристику системы. Полное решение складывается из общего решения однородного уравнения без правой части и частного (или вынужденного) решения, определяемого правой частью дифференциального уравнения, . Общее решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения порядка n имеет вид , где корни характеристического уравнения ,  постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. После получения решения строится по точкам график этой функции, который и будет графиком переходной характеристики системы. Показатели качества системы устанавливаются по виду графика . При этом используются рассмотренные выше оценки качества переходного процесса в системе. Достаточно часто передаточная функция замкнутой системы имеет более простой вид и дифференциальное уравнение переходной характеристики системы сводится к виду . В этом случае решение исходного дифференциального уравнения с правой частью может быть сведено к решению однородного уравнения без правой части введением новой переменной , при этом , … и дифференциальное уравнение примет вид . Решение нового дифференциального уравнения , где  корни характеристического уравнения. Соотношения между начальными условиями исходного и нового уравнений , , … Возвращение к исходной переменной осуществляется смещением решения на величину K. Нахождение корней характеристического уравнения. При решении дифференциального уравнения приходится искать корни характеристического уравнения, которое может иметь высокую степень и не решаться в радикалах. В радикалах решаются уравнения не выше четвертой степени. Для более высоких степеней уравнения применяют приближенные методы решения. Характеристическое уравнение степени n имеет вид . При приближенном решении его делением всех членов на коэффициент преобразуется к виду . Затем берутся три последние члена левой части и решается получившееся уравнение . Результат решения оценивается следующим образом. Если корни вещественные, то определяют первый вещественный корень исходного характеристического уравнения. Для этого задаются первым приближением корня и делят левую часть характеристического уравнения на разность до тех пор, пока не получится неделимый остаток вида . Затем находят второе приближение корня и снова делят левую часть исходного характеристического уравнения на разность до получения двучлена . Находят третье приближение корня . Обычно достаточно трех приближений. При необходимости процесс уточнения корня можно продолжать. После того как корень найден с достаточной точностью, степень характеристического уравнения понижается на единицу путем деления его левой части на и процедура повторяется для нахождения других корней. Если корни комплексные, то определяют первую пару комплексных корней исходного характеристического уравнения. Для этого левая часть характеристического уравнения делится на трехчлен до получения в остатке неделимого трехчлена вида , который преобразуется к виду . Деление повторяется и находится следующее приближение . При необходимости более точного приближения деление повторяется до тех пор, пока не будет найдено удовлетворительное приближение вида . При этом определяются два корня исходного характеристического уравнения и исходное характеристическое уравнение понижается на два порядка. Аналогичным путем находят остальные корни характеристического уравнения. Решение уравнения системы операционными методами Если известна передаточная функция замкнутой системы, то можно определить изображение выходного сигнала системы: . В случае исследования качества принимаем , откуда . Следовательно, . Полученное уравнение справедливо при нулевых начальных условиях системы, т.е. при , , … Для нахождения функции, описывающей процесс в системе, необходимо осуществить переход в область оригиналов: . Полученное решение позволяет построить график переходного процесса в системе и оценить ее качество. Если система находится при начальных условиях, отличных от нулевых, то изображение Лапласа для производной k-порядка , где содержит эти начальные условия. Уравнение системы в изображениях , . С учетом начальных условий . Обозначим , тогда или и . В полученном решении учтены ненулевые начальные условия системы. Численное решение дифференциального уравнения Использование ЭВМ сделало эффективным решение дифференциального уравнения численными методами. Дифференциальное уравнение переходной характеристики записывается на основе передаточной функции замкнутой системы и имеет следующий вид: . Полученному уравнению соответствует структура, показанная на рис. 99а. Однако при наличии в системе дифференцирования сигнала ступенчатая функция 1(t) в момент t=0 подвергается дифференцированию, что в ряде случаев ведет к ошибке вычисления. Чтобы обойти эту трудность, структуру целесообразно изменить в соответствии с рис. 99б. Новая структура эквивалентна предыдущей, однако свободна от ее недостатка, поскольку в этом случае ступенчатая функция вначале преобразуется инерционными, колебательными и интегрирующими звеньями, замедляющими скорость изменения сигнала при t=0. Новой структуре соответствует система уравнений При этом первое уравнение является дифференциальным, а второе  алгебраическим, т.к. содержит производные, находимые из первого уравнения. Полученная система уравнений может быть составлена непосредственно на основе передаточной функции системы. При численном решении дифференциального уравнения уравнение вида с начальными условиями , можно представить как или , откуда . Аналитическим решением уравнения является функция . Решить уравнение численным методом – это значит, для заданной последовательности аргументов и начального значения без определения найти такие значения , что , и . В результате получим таблицу решений исходного дифференциального уравнения для заданной последовательности значений аргумента. Величина  шаг интегрирования. Для нахождения переходной характеристики необходимо решить дифференциальное уравнение порядка n . Для численного решения это уравнение следует преобразовать в систему уравнений первого порядка, записанных в нормальной форме Коши, что обеспечивается выполнением подстановок , , … . В результате этих подстановок и с учётом связей между новыми переменными получим систему дифференциальных уравнений первого порядка: решение которой тем или иным численным методом на ЭВМ позволит получить таблицу значений величин z0(t), z1(t), z2(t)… Решение для уравнения переходного процесса (переходная характеристика системы) находится через эти переменные: . При численном решении дифференциального уравнения переходной характеристики необходимо указывать начальные условия для исследуемой системы, а также определять допустимую погрешность решения, шаг интегрирования и пределы интегрирования. При использовании ЭВМ и математического программного обеспечения численный метод оказывается наиболее простым методом. Моделирование переходной характеристики Исследование систем автоматического управления возможно с использованием метода моделирования. При этом исследуемой системе сопоставляется некоторая адекватная физическая модель системы. Переходные процессы исследуются на модели экспериментально. Полученные результаты (например, переходная характеристика) пересчитываются с использованием масштабных коэффициентов модели к исследуемой системе. Качественные характеристики системы определяются по полученным экспериментальным результатам. Для моделирования могут использоваться электронные, гидравлические или электромеханические модели. Наиболее распространено моделирование САУ с использованием электронных моделей. Широко распространен структурный метод моделирования, который заключается в представлении исследуемой системы в виде соединения типовых структурных звеньев , каждое из которых моделируется некоторой электронной схемой. В результате исследуемая система представляется в виде электронной модели, на которой и изучаются процессы в системе. Рассмотрим электронную схему на основе операционного усилителя, приведенную на рис. 100. Будем считать, что в схеме использован идеальный операционный усилитель с бесконечно большим коэффициентом усиления и бесконечно большим входным сопротивлением (, ). Тогда для входа усилителя можно записать следующее уравнение Кирхгофа: , где iвх – входной ток от источника Uвх, i0 – ток обратной связи через резистор R0, ic – ток обратной связи через конденсатор C. Выразим токи через известные параметры рассматриваемой схемы, имея в виду, что для идеального усилителя с бесконечным коэффициентом усиления напряжение в точке входа равно нулю: , , , . Подставим полученные значения токов в уравнение Кирхгофа: . Преобразуем дифференциальное уравнения к общепринятой в теории управления форме записи: , . Перепишем уравнение в операторном виде: , где , . На основе полученного дифференциального уравнения для рассматриваемой схемы можно записать передаточную функцию . Получена передаточная функция типового инерционного звена. Таким образом, с помощью рассмотренной схемы можно моделировать инерционное звено, а параметры звена задавать соответствующим выбором параметров элементов схемы. Структурное инерционное звено и его электронная модель показаны на рис. 101. Входной x(t) и выходной y(t) сигналы типового звена моделируются входным Uвх и выходным Uвых напряжениями электронной модели. Соотношения между сигналами и напряжениями задаются масштабными коэффициентами mx и my: , . Можно масштабировать и время процесса, введя модельное время  и масштабный коэффициент времени mt: . Выбранные масштабные коэффициенты и параметры k и T моделируемого звена задаются коэффициентами усиления операционного усилителя , . Для обеспечения этих коэффициентов при настройке модели устанавливаются необходимые значения сопротивлений резисторов и емкость конденсатора электронной схемы. При моделировании процесса ко входу модели подключается источник напряжения Uвх , а к выходу  осциллограф. При подаче на вход модели напряжения осциллограф зафиксирует переходный процесс. Этот процесс затем пересчитывается с учетом масштабных коэффициентов. Подобные модели используются и для других типовых звеньев. Структурная схема исследуемой системы собирается в виде соединения моделей типовых звеньев. Параметры моделей звеньев рассчитывают исходя из параметров моделируемого структурного звена, что обеспечивает соответствие между процессами в модели и процессами в исследуемой системе. В результате находится процесс в модели и пересчитывается к исследуемой системе. Возмущения моделируются подачей напряжений на вход модели. Для моделирования сложных возмущений применяются генераторы напряжения со сложной зависимостью выходного напряжения от времени. Электронные модели для электронного моделирование динамических систем получили название аналоговых вычислительных машин (АВМ). Аналоговые вычислительные машины позволяют решать дифференциальные уравнения высокого порядка и получать решение в виде аналогового сигнала, являющегося функцией времени. Косвенные методы анализа качества Оценка качества по распределению корней характеристического полинома системы Метод основан на установлении связи между показателями качества переходного процесса в системе и границами распределения корней характеристического уравнения (или полинома) на комплексной плоскости. Пусть характеристическое уравнение системы . Общее решение дифференциального уравнения системы для свободного процесса будет определяться корнями характеристического уравнения , где  корни характеристического уравнения (полинома), – постоянные интегрирования. Пусть для обеспечения необходимого быстродействия системы требуется, чтобы за время выходная величина уменьшилась бы в m раз по сравнению с начальным значением. Необходимо оценить выполнение этого требования при оценке качества исследуемой системы. Введённое ограничение означает, что корни характеристического уравнения должны не только удовлетворять условию устойчивости, но и иметь отрицательные вещественные части, по абсолютному значению не меньшие, чем величина , которая находится из условия или . Таким образом, для уменьшения отклонения параметра регулирования в m раз за время необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения системы лежали бы в левой полуплоскости на расстоянии, не меньшем, чем , от мнимой оси: . Проверить выполнение этого условия можно либо путём построения графика распределения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости корней, либо используя косвенные признаки. Первый способ связан с необходимостью вычисления корней характеристического полинома системы, что в ряде случаев затруднительно. Рассмотрим способ косвенной проверки выполнения требования к вещественной части корня. Введем новую переменную и подставим эту переменную в исходное характеристическое уравнение, что дает . Раскрыв все биномы и приведя подобные члены, получим новое характеристическое уравнение (смещенное уравнение) , где  коэффициенты, зависящие от и , и связанные с ними через биномиальные коэффициенты. Выполнение условия устойчивости для смещённого уравнения будет соответствовать расположению корней исходного характеристического уравнения в левой полуплоскости на удалении не меньшем, чем от мнимой оси. Решить же вопрос об устойчивости смещенного характеристического уравнения можно путем применения того или иного критерия устойчивости (например, критерия Гурвица). Величина характеризует быстродействие системы и называется степенью устойчивости системы. Можно ввести более строгие ограничения на распределение корней характеристического полинома исходя из качества системы. Так, соотношение мнимой и вещественной частей корней характеристического полинома связано с выраженностью колебательных процессов в системе (с колебательностью системы). Если колебательность системы необходимо ограничить, то следует наложить ограничения на допустимую величину соотношения мнимой части корней характеристического полинома и вещественной части корня. В этом случае следует ограничить угол , в пределах которого лежат комплексные корни на комплексной плоскости корней (рис. 102). Величину называют колебательностью системы. Чем меньше величина , тем более выражен колебательный процесс и больше величина перерегулирования в системе. Исследовать в этом случае вопрос о связи между параметрами системы и расположением корней на комплексной плоскости проще всего с использованием метода D-разбиений. Интегральные оценки качества процесса Интегральные оценки качества характеризует суммарное отклонение реального переходного процесса в системе от идеализированного переходного процесса. В качестве идеализированного процесса обычно принимается ступенчатый (скачкообразный) переходный процесс или экспоненциальный процесс с заданными параметрами экспоненты. На рис. 103 показан пример колебательного переходного процесса в системе при подаче на вход ступенчатого сигнала. Для системы с идеальными динамическими свойствами выходной сигнал также должен измениться мгновенно и принять новое значение yуст. Ступенчатый переходный процесс с изменением выходной величины от исходного (нулевого) значения до значения yуст можно рассматривать как идеальный процесс, к которому должна стремиться реальная переходная характеристика системы при улучшении качества последней. Отклонение реального процесса от идеального можно рассматривать как меру качества системы автоматического управления. Отклонение реального процесса в системе от идеального можно описать функцией отклонения (не путать с ошибкой системы) . Если построить график изменения во времени этого отклонения (рис. 104), то этот график будет отражать качество процесса в системе. Так, на рис. 104 процесс, показанный пунктиром, лучше процесса, показанного сплошной линией, поскольку новое состояние системы устанавливается быстрее и интегральное отклонение процесса в системе от идеализированного ступенчатого процесса меньше. Для численной характеристики качества процесса в системе можно принять площадь, заключённую под кривой зависимости x(t). Чем меньше эта площадь, тем выше качество процесса в системе. Описанный подход порождает первую интегральную оценку качества системы автоматического управления . Для вычисления интегральной оценки нет необходимости в решении дифференциального уравнения, описывающего систему, и в нахождении функции . Рассмотрим более простой способ вычисления первой интегральной оценки качества системы: . Изображение можно найти с использованием передаточной функции системы и где Передаточная функция замкнутой системы , при этом . Следовательно, тогда . Полученная формула позволяет вычислить первую интегральную оценку по последним коэффициентам полиномов передаточной функции замкнутой системы. Чем меньше интегральная оценка, тем ближе реальная переходная характеристика системы к идеальной переходной характеристике (тем выше качество системы). Первая интегральная оценка даёт адекватный результат только в случае апериодического переходного процесса в системе. В случае колебательного переходного процесса эта оценка даст заниженный результат, поскольку площадь под кривой x(t) будет содержать как положительные, так и отрицательные компоненты (рис. 105), что приведёт к занижению оценки. Для устранения указанного несоответствия наряду с первой интегральной оценкой используется и вторая интегральная оценка . Вычисляется вторая интегральная оценка через коэффициенты дифференциального уравнения процесса в системе или через коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе передаточной функции замкнутой системы (что одно и то же). Пусть уравнение системы , где  выходной параметр системы,  входное воздействие. Тогда вторая интегральная оценка может быть вычислена по следующим зависимостям: , где . Определители ∆к получаются из матрицы ∆ заменой столбца с номером столбцом вида , при этом . Коэффициенты Bi определяются по следующим формулам: Приведенные выше формулы для вычисления второй интегральной оценки применимы, если выполняется условие . В ряде случаев в качестве идеализированного процесса целесообразно принимать экспоненциальный процесс, а при вычислении интегральной оценки учитывать и скорость изменения ошибки. В этих случаях применяется третья интегральная оценка качества вида , где τ – показатель образцовой экспоненты Интегральные оценки применяются для заведомо устойчивых систем не выше 5 порядка. Интегральные оценки не являются абсолютной характеристикой качества системы, а применяются для сравнения систем и разных вариантов системы, т.е. для сравнительной оценки систем автоматического управления. Чем меньше величина интегральной оценки, тем выше качество системы. Поскольку свойства системы заранее могут быть неизвестными, то обычно вычисляются и первая, и вторая оценки одновременно. Для ограничения колебательности системы следует ограничивать соотношение этих оценок из следующих соображений: для систем второго порядка λ=0,8…0,9; для систем третьего порядка λ=0,7…0,8; для систем четвертого порядка λ=0,6…0,7. Оценка качества по частотным характеристикам Основы метода При воздействии на вход системы гармонического сигнала сигнал на выходе системы может быть определен через частотную передаточную функцию замкнутой системы . Если входной сигнал не является гармоническим, но представляет собой некоторую периодическую функцию, то ее можно разложить в ряд Фурье и рассматривать прохождение через систему каждой гармоники отдельно, а затем суммировать результаты. Периодическая функция (однозначная в пределах периода и имеющая ограниченное число разрывов и конечное число экстремумов (условия Дирихле)) раскладывается в ряд Фурье , где , , ,  постоянная составляющая, относительно которой совершаются колебания. В технических задачах бесконечный ряд Фурье заменяется конечным рядом, число членов которого выбирается из условия получения требуемой точности решения . В теории автоматического управления рассматриваются периодические функции времени с периодом . В этом случае ряд Фурье принимает вид , где , , Поскольку то ряд Фурье может быть записан в показательной форме . Оценка качества системы автоматического управления производится по переходному процессу при ступенчатом входном воздействии. Ступенчатая функция не является периодической. Непериодические функции можно разложить в бесконечный ряд гармоник, образующих непрерывный спектр частот. При этом и ряд Фурье переходит в интеграл Фурье: , где  изображение Фурье функции , называется также комплексным спектром функции . С учетом свойств преобразования Фурье интеграл примет вид . Если известна частотная функция замкнутой системы , то переходный процесс в системе при воздействии на ее вход непериодической функции . Примем  обобщенная частотная характеристика замкнутой системы, тогда Подставим в выражение значение и : . При нулевых начальных условиях при , следовательно: . Таким образом, переходный процесс в системе может быть найден по вещественной или мнимой составляющей обобщенной частотной характеристики системы автоматического управления. Найдем обобщенную частотную характеристику при единичном входном ступенчатом воздействии. Для этого определим интеграл Фурье для единичной ступенчатой функции . Поскольку единичная ступенчатая функция не отвечает условиям Дирихле, то представим при . Тогда , откуда . Каждая гармоническая элементарная составляющая входного воздействия будет вызывать на выходе системы элементарную гармоническую составляющую процесса . Переходный процесс будет складываться из всех этих составляющих: . Представим , где  вещественная частотная характеристика замкнутой системы,  мнимая частотная характеристика замкнутой системы. Учитывая нулевые начальные условия системы и преобразуя выражения, можно получить . Полученная формула устанавливает однозначную связь между вещественной частотной характеристикой замкнутой системы и видом переходного процесса в ней при единичном ступенчатом входном воздействии. Следовательно, вид переходной характеристики системы полностью определяется видом её частотной характеристики. Поскольку по частотной характеристике системы можно судить о её переходной характеристике, то оценку качества системы можно производить по её частотной характеристике. Оценка качества системы по частотной характеристике Поскольку переходная характеристика системы однозначно определяется вещественной составляющей частотной характеристики замкнутой системы , то по виду вещественной частотной характеристики замкнутой системы можно судить о её качестве. Для оценки качества системы необходимо построить график её вещественной частотной характеристики. Вид вещественной частотной характеристики определяется особенностями динамики системы. Для обыкновенной линейной системы частотная характеристика будет соответствовать одному из графиков, показанных на рис. 106. График 1 соответствует невозрастающей вещественной характеристике, график 2 – монотонно убывающей характеристике, график 3  характеристике, имеющей максимум, график 4 – знакопеременной вещественной характеристике. На основе рассмотрения вещественной частотной характеристики замкнутой системы можно сделать ряд заключений о качестве системы. Такое заключение делается на основе применения ряда правил, которые изложены ниже. 1. Приблизительно одинаковым процессам соответствуют приблизительно одинаковые частотные характеристики. Это дает возможность для оценки вида переходного процесса в системе использовать типовые характеристики. 2. При изучении системы можно ограничиться областью существенных частот (до ), для которых ординаты еще значительны. Отбрасывание высокочастотных участков искажает переходный процесс лишь вначале. 3. Установившееся значение выходного параметра в системе при единичном входном скачкообразном воздействии 4. Двум сходным вещественным частотным характеристикам, отличающимся масштабом по оси (рис. 107, верхние графики), соответствуют похожие переходные процессы, однако переходный процесс, соответствующий "растянутой" в m раз характеристике, протекает в m раз быстрее (рис. 107, нижние графики). Следовательно, быстродействие системы будет тем выше, чем больше область частот, в которой ординаты Rз() имеют существенную положительную величину (чем растянутее частотная характеристика вдоль оси частот). 5. Если вещественная частотная характеристика положительна и не возрастает: и (график 1 на рис. 106), то в системе будет наблюдаться колебательный процесс, а величина перерегулирования в системе будет не более 18 %. 6. Если зависимость монотонно убывает (график 2 на рис. 106): , , , то процесс в системе стремится к установившемуся значению без перерегулирования (апериодический процесс), а время переходного процесса . Время переходного процесса определяется по времени достижения выходной величиной значения, отличающегося не более чем на 5 % от установившейся величины. 7. Если зависимость меняет знак (график 4 на рис. 106), то время переходного процесса . 8. Если зависимость положительна и имеет выраженный максимум (график 3 на рис. 106), то в системе колебательный переходный процесс с перерегулированием , где  ордината характеристики , соответствующая максимуму. 9. Если при некотором значении частоты обращается в бесконечность (разрыв характеристики), то система является неустойчивой. 10. Длительность переходного процесса тем меньше и качество процесса тем лучше, чем более плавный характер имеет характеристика и чем сильнее она растянута вдоль оси частот. Оценка колебательности системы Качество системы автоматического управления зависит от ее склонности к колебательному переходному процессу. При колебательном переходном процессе в частности возрастает динамическая ошибка в системе из-за наличия перерегулирования. Для численной характеристики колебательных свойств системы используется показатель колебательности М. Показатель колебательности определяется по амплитудной частотной характеристике замкнутой системы . Амплитудная частотная характеристика замкнутой системы  это зависимость модуля частотной характеристики замкнутой системы от частоты  (рис. 108). Наличие максимума у амплитудной характеристики говорит о колебательном характере переходных процессов в системе. Показатель колебательности системы . При исследовании системы важно определить соответствие системы определённым требованиям по показателю колебательности. В этом случае задаётся предельное допустимое значение показателя колебательности системы и выполняется проверка условия непревышения фактическим показателем предельного значения. Метод проверки сводится к следующему. Поскольку частотная характеристика замкнутой системы связана с частотной характеристикой разомкнутой системы: , то можно записать . При этом , тогда показатель колебательности системы . Учитывая, что , можно записать . При уравнение для координат точек, соответствующих этому условию, примет вид (зависимость от не рассматривается, поскольку речь идет о координатах и комплексной плоскости ). Полученное уравнение есть уравнение окружности на комплексной плоскости частотной характеристики разомкнутой системы (рис. 109). Параметры окружности: . Каждому значению показателя колебательности будет соответствовать своя окружность. На плоскости частотной характеристики системы W(j) можно нанести сетку таких окружностей. Для определения показателя колебательности системы необходимо построить её АФЧХ и определить окружность с наибольшим значением , которой коснется АФЧХ, не пересекая эту окружность. Показатель колебательности для этой окружности приписывается системе. Пример построений приведен на рис. 110. Показатель колебательности системы в этом примере M1,9, поскольку годограф пересекает окружность с M=1,8 и не доходит до окружности с M=2. Чем ближе показатель колебательности к единице, тем меньше перерегулирование в системе. Для качественной системы величина показателя колебательности ограничивается значениями . Построение вещественной частотной характеристики При исследовании качества системы частотным методом возникает необходимость в построении графика вещественной частотной характеристики Rз() замкнутой системы. Для построения графика можно найти выражение для вещественной частотной характеристики замкнутой системы через передаточную функцию замкнутой системы и затем построить график по точкам. Для упрощения построения зависимостей используется метод круговых диаграмм, который позволяет построить эту зависимость по известной характеристике разомкнутой системы. Частотные передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы можно представить в виде комплексных выражений следующего вида: где  вещественные частотные характеристики разомкнутой и замкнутой системы соответственно;  мнимые частотные характеристики системы. Поскольку , то . Если принять , то полученное выражение для будет уравнением окружности в координатах . Эта окружность имеет радиус , и её центр расположен на оси вещественных чисел на расстоянии от начала координат. Задавая разные значения константы c, можно получить сетку окружностей на комплексной плоскости частотной характеристики W(j) разомкнутой системы. Семейство окружностей такого рода получило название круговых диаграмм. Поскольку с использованием круговых диаграмм по характеристике разомкнутой системы определяют характеристику замкнутой системы, то круговые диаграммы называют также номограммами замыкания системы. Когда годограф W(j) пересекает окружность с определённым значением c=ck при частоте k, то это означает, что для замкнутой системы . Таким образом, рассматривая точки пересечения АФЧХ разомкнутой системы с окружностями, можно получить последовательность значений координат точек характеристики . По полученным точкам строится вещественная частотная характеристика замкнутой системы. Круговые диаграммы целесообразно вычерчивать на прозрачной бумаге и при построении вещественной частотной характеристики замкнутой системы накладывать на график . Пример использования круговых диаграмм для определения точек вещественной частотной характеристики замкнутой системы показан на рис. 111. Можно определить по и без построения всех окружностей, используя их свойства пересекаться в точке с координатами . Необходимые для этого построения показаны на рис. 112. Для определения ординаты вещественной частотной характеристики замкнутой системы для некоторой частоты a на годографе помечаем точку A, соответствующую этой частоте. Затем соединяем точку с точкой и к середине получившегося отрезка (точка В) восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с вещественной осью в точке , тогда искомое значение ординаты вещественной частотной характеристики при частоте a . Аналогично выпол-няются построения для других точек АФЧХ, что позволяет получить ряд значений для разных частот. По полученным значениям строится график вещественной частотной характеристики замкнутой системы. Метод круговых диаграмм применим и для нахождения мнимой частотной характеристики замкнутой системы. В этом случае окружности располагаются вдоль оси мнимых чисел. Оценка качества САУ по логарифмическим характеристикам Для оценки качества системы автоматического управления используются и логарифмические частотные характеристики системы. Логарифмические частотные характеристики показаны на рис. 113: L() – логарифмическая амплитудная характеристика, () – логарифмическая фазовая характеристика. На характеристиках можно выделить две характерные частоты:  частота среза системы,  частота фазового угла, равного - (или -1800). Характер процесса в системе определяется среднечастотным участком ЛАХ, примыкающим к частоте среза системы. Плавный апериодический процесс без перерегулирования возможен только в том случае, когда наклон ЛАХ в пределах не менее  0,6 дек относительно частоты среза равен -20 дБ/дек. В остальных случаях переходный процесс в системе будет колебательным с большей или меньшей величиной перерегулирования в зависимости от степени устойчивости системы. Степень устойчивости системы характеризуют показатели, определяемые по логарифмическим характеристикам и называемые запасом устойчивости системы. Различают запас устойчивости по фазе з и запас устойчивости по амплитуде Lз . Запас устойчивости по фазе определяется через фазовый угол системы на частоте среза с: . Чтобы система обладала достаточным качеством, запас устойчивости по фазе должен быть не менее Запас устойчивости по амплитуде определяется как ордината ЛАХ на частоте фазового угла, равного - : . Эта величина связана с перерегулированием в системе. Перерегулиро-вание будет тем больше, чем меньше запас устойчивости по амплитуде. Связь между величиной перерегулирования и запасом устойчивости по амплитуде характеризуется графиком на рис. 114. При запасе устойчивости по амплитуде менее -10 дБ перерегулирование в системе может превысить 40 %. Для обеспечения перерегулирования в системе не более 20 % запас по амплитуде должен быть не менее -15 ∂Б. Частота среза системы определяет её быстродействие. Чем выше частота среза, тем меньше длительность переходного процесса в системе. Для системы удовлетворительного качества в первом приближении длительность tп переходного процесса связана с частотой среза системы следующей зависимостью: . По логарифмическим характеристикам можно оценить и колебательность системы с применением показателя колебательности . Пусть частотная передаточная функция разомкнутой системы . Тогда для некоторого значения модуля A связь между запасом устойчивости по фазе з и показателем колебательности системы M определится соотношением . Приведенное выше соотношение используется для значений модуля АФЧХ, лежащих в пределах , так как при иной амплитуде запас по фазе может быть любым. При оценке колебательности системы по логарифмическим характеристикам задается предельное значение показателя колебательности системы и проверяется условие отсутствия превышения фактического показателя колебательности системы введённого ограничения. Если условие не выполняется, то качество системы по колебательности считается неудовлетворительным. Для проверки условия при заданном показателе колебательности прежде всего вычисляются две ординаты ЛАХ, соответствующие ограничениям на модуль частотной характеристики: . Для этих ординат . Затем на графике ЛАХ определяется ряд ординат L(), лежащих между значениями и (берётся ряд частот в интервале от 1 до 2) и для каждой ординаты вычисляется требуемый запас устойчивости по фазе , . На графике логарифмических характеристик строится полученная зависимость (рис. 115). В результате формируется запретная область для ЛФХ системы. Чтобы система имела показатель колебательности не больше, чем заданная величина , ЛФХ системы не должна заходить в запретную область. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Постановка задачи синтеза системы Инженерная задача конструирования системы автоматического управления, обеспечивающей требуемые показатели качества процесса управления (быстродействие, точность, характер процесса), является задачей синтеза. При синтезе системы автоматического управления необходимо определить ее структуру и параметры, исходя из требуемых качественных характеристик управляемого процесса. Задача синтеза, как и большинство инженерных задач, многовариантна и носит эвристический характер. Для решения задачи синтеза САУ в широком смысле этого слова невозможно создать законченные алгоритмы, обеспечивающие решение. В теории автоматического управления задача синтеза понимается ýже и сводится к задаче выбора параметров системы и определения необходимых структурных изменений некоторой имеющейся системы, направленных на обеспечение требуемого качества системы. Решение задачи выбора параметров системы с целью обеспечения необходимого качества рассматривается как задача параметрического синтеза системы. В том случае, когда решается задача определения необходимых структурных изменений системы для обеспечения её заданного качества, говорят о структурном синтезе системы. При решении задачи структурного синтеза структурные изменения системы достигаются введением в систему некоторых дополнительных элементов, называемых корректирующими звеньями. Вид корректирующего звена и его параметры выбираются таким образом, чтобы качественные показатели системы после введения в нее корректирующего звена улучшились и достигли заданных значений. К структурному синтезу приходится прибегать в том случае, когда никакие изменения параметров системы не дают желаемого результата. При решении задачи синтеза обобщённую структуру системы автоматического управления следует рассматривать в виде, представленном на рис. 116, где УУ – устройство управления, Об – объект управления. Параметры объекта Об обусловлены свойствами объекта управления и изменению не подлежат. Возможность изменения параметров или структуры существует только для устройства управления УУ. Используя различные методы теории управления, в процессе решения задачи синтеза определяют требования к структуре и параметрам устройства управления. Если, например, для управления используется серийный промышленный регулятор, то при управлении конкретным объектом регулятор должен быть настроен на этот объект. При настройке регулятора определяются и устанавливаются такие его параметры, при которых обеспечивается требуемое качество системы автоматического управления. Решается вопрос о требуемых параметрах настройки регулятора с использованием методов синтеза системы автоматического управления. Задача синтеза – обеспечение такой структуры и параметров системы автоматического управления, при которых обеспечивается требуемое качество процессов в системе. Параметрический синтез системы При параметрическом синтезе структура системы автоматического управления известна. Эта структура определена техническими решениями системы, созданными проектировщиками в процессе её разработки. При решении задачи синтеза методами теории управления производится уточнение используемого закона управления и определение параметров настройки системы для обеспечения её качественной работы. В теории управления используются различные методы синтеза, которые позволяют определить необходимые параметры системы по задаваемым показателям её качества. Получил распространение метод синтеза с использованием логарифмических частотных характеристик системы. Логарифмические характеристики легко строятся (особенно асимптотические логарифмические характеристики) и достаточно полно отражают качество процессов в системе. Пусть структура проектируемой системы соответствует изображённой на рис. 117. В этой структуре объект управления задан и его динамические свойства описаны передаточной функцией . Необходимо при настройке системы выбрать тип регулятора и определить его параметры. В качестве первого приближения выберем наиболее простой пропорциональный регулятор (подробнее регуляторы будут рассмотрены в последующих лекциях), тогда его свойства можно описать коэффициентом усиления регулятора Kр. Задача синтеза в этом случае сводится к выбору такого коэффициента усиления Kр, при котором система была бы устойчивой и качество процессов в ней соответствовало бы требованиям. Для решения этой задачи построим логарифмические частотные характеристики для объекта управления (рис. 118, ЛАХо). При учете пропорционального регулятора изменится общий коэффициент усиления системы . Изменение коэффициента усиления приведёт к тому, что ЛАХ системы будет смещаться по высоте параллельно самой себе. Логарифмическая фазовая характеристика при этом будет оставаться неизменной. Выберем такое положение ЛАХс, при котором обеспечиваются требуемые запасы устойчивости по фазе з и по амплитуде Lз. В результате определится величина требуемого коэффициента усиления системы , где L1 – ордината единичной частоты для начального участка ЛАХс. Найденная величина коэффициента усиления системы позволяет определить требуемый коэффициент усиления регулятора (настройку регулятора): . Для проверки результатов синтеза следует построить переходный процесс в системе и оценить его качество. Если при использовании пропорционального регулятора требуемое качество системы обеспечить не удаётся, то следует выбрать регулятор с другим законом управления. Если настройкой регулятора обеспечить нужное качество не удастся, то применяют коррекцию системы – добавляют в ее структуру корректирующее звено, свойства которого выбирают так, чтобы качество работы системы улучшилось и удовлетворяло требованиям. Пример. Рассмотрим в качестве примера задачу синтеза системы автоматического управления колебательным объектом с использованием интегрального регулятора. Структура системы приведена на рис. 119. Интегральный регулятор описан передаточной функцией интегрирующего звена. При настройке интегрального регулятора необходимо установить его коэффициент усиления kp. Определение коэффициента усиления регулятора, необходимого для качественной работы системы, и является задачей параметрического синтеза в рассматриваемом примере. Для решения задачи синтеза прежде всего построим логарифмические характеристики системы без учёта коэффициента усиления регулятора (примем kp=1). Для упрощения воспользуемся асимптотической ЛАХ. Поскольку передаточная функция системы в рассматриваемом примере , то асимптотическая ЛАХ системы будет складываться из ЛАХ интегрирующего и колебательного звена. Частота сопряжения определится первой постоянной времени колебательного звена , ордината единичной частоты (при kp=1) . Асимптотическая ЛАХ Lo(), построенная по этим данным, показана на рис. 120. Здесь же построена фазовая частотная характеристика (), вид которой не зависит от настройки регулятора. Особенностью построенных характеристик является совпадение частот сопряжения и фазового сдвига - . Из выполненных построений видно, что для получения устойчивой системы необходимо понизить частоту среза с системы. Достичь этого можно, опуская ЛАХ вниз за счёт уменьшения коэффициента усиления регулятора. Поскольку наиболее благоприятный процесс обеспечивается при пересечении ЛАХ оси частот под наклоном -20 дБ/дек и при достаточной протяжённости этого участка ЛАХ, то выберем желаемую частоту среза системы cc так, чтобы она лежала левее частоты , и отрезок составлял бы не менее 0,6 дек. Проведём ЛАХ настроенной системы Lc() параллельно исходной ЛАХ Lo() так, чтобы характеристика проходила через частоту сс. В результате описанных построений определится ордината единичной частоты L2(1) для настроенной системы. Теперь можно определить коэффициент усиления разомкнутой настроенной системы и коэффициент усиления регулятора: , . Для проверки результатов синтеза можно построить переходный процесс в системе и оценить его качество. В соответствии с условиями настройки регулятора переходный процесс должен быть апериодическим и перерегулирование в системе должно отсутствовать. Структурный синтез системы Способы коррекции системы Если выбором параметров системы автоматического управления не удаётся обеспечить её требуемые показатели качества, то прибегают к структурным изменениям системы с целью улучшения качественных показателей системы. Структурные изменения осуществляются путем включения в структуру имеющейся системы дополнительных структурных (корректирующих) звеньев, основным назначением которых является улучшение динамики системы. Таким образом, задача синтеза в этом случае сводится к синтезу корректирующего звена. В процессе синтеза определяется вид корректирующего звена, способ и место включения звена в структуру системы, а также параметры звена. Исходными предпосылками для синтеза корректирующего звена являются характеристики исходной системы и ее желаемые характеристики. На основе этих предпосылок методами теории автоматического управления определяются требования к корректирующему звену. На основании определенных требований осуществляется физическая реализация корректирующего звена в виде преобразовательного элемента, включаемого в состав системы. В электромеханических САУ целесообразно выбирать электрические корректирующие звенья в виде пассивных четырехполюсников. Корректирующие звенья могут включаться в структуру САУ различным образом. Различают последовательную коррекцию, параллельную коррекцию и комбинированный способ. Последовательная коррекция При этом виде коррекции корректирующее звено включается в структуру корректируемой системы последовательно с другими структурными звеньями системы (рис. 121). Корректирующее звено описано передаточной функцией Wк(p) и включено в разрыв между остальными звеньями системы. В результате исходная структура системы делится на две части с передаточными функциями W1(p) и W2(p). Требуемая для улучшения системы передаточная функция корректирующего звена может быть найдена путем сопоставления требуемой передаточной функции замкнутой системы , которая, как известно, определяет процесс в системе и передаточных функций имеющихся элементов системы. Требуемая передаточная функция замкнутой системы , где  передаточная функция скорректированной разомкнутой системы. При последовательном включении корректирующего звена . Передаточная функция исходной разомкнутой системы до коррекции , следовательно, . С другой стороны, . Из последних двух выражений можно определить требуемую передаточную функцию корректирующего звена . Таким образом, найдено математическое описание корректирующего звена, по которому можно осуществить его физическую реализацию. При реализации выбирается некоторый преобразовательный элемент, имеющий требуемую передаточную функцию, и включается в разрыв тракта преобразования сигнала корректируемой системы. Общие свойства последовательной коррекции: 1) простота коррекции и расчета корректирующего звена; 2) снижение общего усиления системы в случае пассивного корректирующего звена, что требует дополнительного усиления сигнала в системе; 3) влияние нестабильности параметров корректирующего звена на качество системы; 4) необходимость согласования корректирующего звена по мощности и по входному и выходному сопротивлениям с параметрами корректируемой системы. Параллельная коррекция В этом случае корректирующее звено включается в обратную связь, охватывающую часть звеньев исходной системы (рис. 122). Введение обратной связи изменяет характеристики части системы, охваченной обратной связью и, следовательно, характеристики системы в целом. При параллельной коррекции исходная корректируемая система разбивается на две части: некорректируемая часть с передаточной функцией Wн(p) и корректируемая часть, охваченная обратной связью, с передаточной функцией Wo(p). Для структурной схемы системы с параллельной коррекцией можно записать , откуда . Так же как и в предыдущем случае, по математическому описанию корректирующего звена с помощью его передаточной функции можно осуществить его физическую реализацию. Общие свойства параллельной коррекции: 1) высокая эффективность коррекции, превосходящая эффективность последовательной коррекции; 2) возможность применения в системах любой мощности; 3) исключение влияния на параметры системы звеньев, охваченных обратной связью; 4) малая подверженность влиянию помех; 5) более сложная схема включения и более сложный расчет коррекции; 6) возможные перегрузки в цепи, охваченной обратной связью. Комбинированная коррекция Используется несколько корректирующих звеньев, которые включаются как последовательно, так и параллельно (рис. 123). Для упрощения на рис. показаны только два корректирующих звена: последовательное с передаточной функцией Wк1(p) и параллельное с передаточной функцией Wк2(p). На практике могут использоваться многие корректирующие звенья, включаемые как последовательно, так и параллельно. В случае комбинированной коррекции задача синтеза корректирующих звеньев решается последовательно с использованием приведенных выше основных положений. Комбинированная коррекция наиболее эффективна и позволяет существенно изменить динамику исходной системы. Выбор типа коррекции производится в конкретном случае с учетом достоинств и недостатков каждого способа коррекции и целей коррекции. В сложных случаях может потребоваться комбинированная коррекция с применением многих корректирующих элементов. Наиболее распространен способ синтеза корректирующих звеньев с помощью логарифмических частотных характеристик. В случае применения этого способа на основе требований к качеству системы автоматического управления строится желаемая логарифмическая характеристика системы. С этой характеристикой сравнивается фактическая логарифмическая характеристика и в результате такого сравнения устанавливаются требования к корректирующему звену, выраженные в виде его логарифмических характеристик. По этим характеристикам подбирается физическая реализация корректирующего звена. Построение желаемой логарифмической характеристики системы Желаемая логарифмическая характеристика системы строится на основе следующих желаемых показателей у синтезируемой системы: - необходимая точность (статическая или вынужденная ошибка системы); - необходимое быстродействие (длительность переходного процесса); - требуемый запас устойчивости системы. Необходимая точность системы характеризуется статической и вынужденной ошибкой системы. Статическая ошибка системы наблюдается в статических системах: , где – статический коэффициент усиления системы. Статическая ошибка статической системы будет тем меньше, чем выше коэффициент усиления системы. Для астатической системы при наличии в ней интегрирующего звена . Однако для астатической системы существенной является скоростная ошибка: . Следовательно, точность системы определяется ее статическим коэффициентом усиления и наличием астатизма системы. Быстродействие системы автоматического управления оценивается длительностью переходного процесса. Длительность переходного процесса связана с частотой среза системы и для систем удовлетворительного качества лежит в пределах , где  частота среза системы. Таким образом, . Исходя из этих основных положений и формируется желаемая логарифмическая частотная характеристика синтезируемой системы. Желаемая логарифмическая характеристика условно делится на три части: 1) низкочастотная часть – участок ЛАХ до частоты первого сопряжения асимптотической ЛАХ. Эта часть определяется требуемым коэффициентом усиления системы и ее показателем астатизма системы; 2) среднечастотная часть – участок логарифмических характеристик, лежащий в окрестности частоты среза. Этот участок главным образом определяет динамику системы и является весьма важным. Вид среднечастотного участка выбирается исходя из быстродействия системы, запаса устойчивости и допустимого перерегулирования; 3) высокочастотная часть мало влияет на переходный процесс и обычно не подвергается коррекции. Построение желаемой логарифмической характеристики ведется следующим образом. 1. На основе требований к точности системы определяем показатель астатизма и коэффициент усиления системы K. При этом во внимание принимается статическая и вынужденная ошибки системы. 2. Через точку с и ординатой проводитcя прямая с наклоном ∂б/дек, где  статический коэффициент усиления разомкнутой системы,  показатель астатизма системы. Таким образом, строится низкочастотная часть желаемой ЛАХ системы. 3. Определяется частота среза ср системы, исходя из желаемой длительности переходного процесса tпп: . Коэффициент выбирается в зависимости от допустимой величины перерегулирования при : . Для выбора можно руководствоваться графиком, приводимым на рис. 124. 4. Через частоту среза ср проводится центральный участок среднечастотной части в виде отрезка прямой с наклоном -20 ∂Б/дек. 5. Определяются границы центрального участка среднечастотной части: , . При этом следует учитывать дополнительные рекомендации. Так, при частоте ордината ЛАХ должна быть не менее величины, определяемой из допускаемого перерегулирования в соответствии с приведенным на рис. 125 графиком. Ордината ЛАХ L(3) должна быть отрицатель-ной. Также важны частотные интервалы среднечас-тотного участка. Необходимо соблюдать условие . Кроме того, длина каждого интервала должна лежать в пределах 0,5–0,9 дек. Чем больше интервал, тем более высокое качество процесса будет обеспечено и тем быстрее он затухает. Сравнивая все перечисленные ограничения, следует окончательно выбрать границы участка. 6. Осуществляется сопряжение средней части среднечастотного участка с низкочастотной частью. Это сопряжение производится отрезками прямых с наклоном ∂Б/дек. 7. Высокочастотная часть коррекции не подвергается, и образующие ее отрезки проводятся параллельно отрезкам высокочастотной части ЛАХ исходной системы. 8. На ЛФХ накладываются следующие ограничения: запас устойчивости по фазе должен лежать в пределах и при частоте запас по фазе должен быть не менее 400. Пример построенной по описанным рекомендациям желаемой логарифмической характеристики системы показан на рис. 126. При построении логарифмических характеристик можно ограничить и показатель колебательности синтезируемой системы, построив запретную область для ЛФХ. Построение запретной области рассмотрено выше при обсуждении оценки качества системы по логарифмическим характеристикам. Синтез последовательного корректирующего звена При последовательном включении корректирующего звена частотная характеристика скорректированной системы , где Wк(j) – частотная характеристика корректирующего звена, Wo(j) – частотная характеристика корректируемой системы. С учётом комплексного характера частотной характеристики . Логарифмическая частотная характеристика скорректированной системы . Следовательно, требуемая логарифмическая характеристика корректирующего звена . Если за L() принять желаемую логарифмическую частотную характеристику системы, построение которой было рассмотрено выше, то, зная исходную логарифмическую характеристику корректируемой системы, можно определить требуемую характеристику корректирующего звена. На основе рассмотренных зависимостей принимается следующий порядок синтеза последовательного корректирующего звена. 1. Строится ЛАХ исходной корректируемой системы . 2. По заданным требованиям к качеству переходного процесса строится желаемая ЛАХ скорректированной системы. 3. По ЛАХ строятся логарифмические фазовые частотные характеристики ЛФХ. 4. Вычитанием ЛАХ исходной системы из ЛАХ скорректированной системы получают разностную ЛАХ, которая смещается таким образом, чтобы её можно было реализовать с помощью пассивного (коэффициент усиления меньше единицы) корректирующего звена. 5. По полученной ЛАХ корректирующего звена определяют его передаточную функцию и выбирают наиболее простое по техническому исполнению корректирующее устройство. 6. Если ЛАХ выбранного корректирующего устройства отличается от расчетной, то следует построить фактическую ЛАХ скорректированной системы и проверить получившиеся показатели переходного процесса. Пример. Пример построений показан на рис. 127. Исходная ЛАХ корректируемой системы обозначена на рис. как , желаемая ЛАХ скорректированной системы  , ЛАХ корректирующего звена  . Ниже ЛАХ построены фазовые характеристики: о() – фазовая характеристика исходной системы, () – фазовая характеристика скорректированной системы. Путем вычитания ординат ЛАХ исходной системы Lo() из ординат желаемой ЛАХ L() построена разностная характеристика, показанная на рис. 127 штрих-пунктиром. Полученная разностная характеристика не может быть реализована с помощью реального физического элемента, поскольку, начиная с частоты 03, требует постоянной величины усиления сигнала до бесконечно больших частот. Такие свойства не могут быть обеспечены у реальных преобразовательных элементов. Для получения реальной частотной характеристики корректирующего звена смещаем разностную ЛАХ параллельно самой себе вниз до совмещения высокочастотной части характеристики с осью частот, что предполагает наличие единичного коэффициента усиления на высоких частотах (отсутствие влияния на преобразуемый сигнал). В результате смещения получаем реальную частотную характеристику корректирующего звена Lк(), которая отдельно показана ниже фазовых характеристик. Реальное корректирующее звено ослабляет сигналы с частотой, меньшей 2, с постоянным коэффициентом усиления, меньшим единицы. В диапазоне частот ослабление равномерно падает (коэффициент усиления возрастает до единицы). Начиная с частоты 3 корректирующее звено перестает влиять на преобразуемый сигнал (коэффициент усиления постоянен и равен единице). Такую частотную характеристику можно реализовать у пассивного (отсутствует активное усиление сигнала) преобразовательного элемента. Поскольку такой преобразовательный элемент будет ослаблять основной сигнал в области низких частот, то для сохранения усилительных свойств системы следует предусмотреть компенсацию потерь усиления при введении в состав системы корректирующего звена. По виду частотной характеристики можно определить передаточную функцию корректирующего звена: на низких частотах ЛАХ сформирована усилительным звеном с коэффициентом усиления , где Lк(1) – ордината единичной частоты ЛАХ корректирующего звена; начиная с частоты 2 ход характеристики определяется форсирующим звеном первого порядка с постоянной времени (наклон ЛАХ составляет +20 дБ/дек); начиная с частоты 3 на характеристику оказывает влияние инерционное звено (характеристика изламывается на -20 дБ/дек) с постоянной времени . Таким образом, передаточная функция корректирующего звена запишется в следующем виде (параметры будут иметь конкретные числовые значения): . Получена передаточная функция корректирующего звена для конкретного примера. Естественно, что в других случаях синтеза корректирующего звена эта передаточная функция будет иной. Практическая схема корректирующего элемента, обладающего нужной передаточной функцией, выбирается по справочным данным в виде RC-четырехполюсника, схема которого показана на рис. 128. Передаточная функция для этого электрического элемента , где ; , . Для схемы рассчитываются сопротивления резисторов и емкость конденсатора, а схема с расчётными значениями параметров включается в схему системы управления. При включении корректирующего элемента нужно учесть требования согласования по мощности и предусмотреть компенсацию уменьшения усиления системы. Синтез параллельного корректирующего звена При включении корректирующего звена в цепь обратной связи передаточная функция скорректированной разомкнутой системы будет иметь следующий вид: , при передаточной функции исходной корректируемой системы , где  передаточная функция части системы, неохваченной обратной связью;  передаточная функция части системы, охваченной обратной связью;  передаточная функция корректирующего звена. Соответственно частотная передаточная функция скорректированной системы . Когда , частотная передаточная функция скорректированной системы может быть записана как . При этом корректирующее звено не влияет на частотную характеристику системы, а частотные характеристики скорректированной системы и исходной практически совпадают. Поскольку смысл коррекции в изменении свойств системы, то необходимо обеспечить , при этом частотную передаточную функцию скорректированной системы можно записать как . Последнее выражение показывает, что в этом случае звенья исходной системы, охваченные обратной связью, практически не влияют на результирующую частотную характеристику системы. Охватывать обратной связью следует те звенья, которые существенно ухудшают динамику процесса. При переходе от частотной передаточной функции к логарифмическим частотным характеристикам получим . Это выражение порождает следующий порядок синтеза параллельного корректирующего звена. 1. Строится ЛАХ исходной корректируемой системы . 2. По требованиям к проектируемой системе и переходным процессам в ней строится желаемая ЛАХ . 3. Строятся соответствующие логарифмические фазовые характеристики. 4. Вычитанием ЛАХ скорректированной системы из ЛАХ исходной системы получают суммарную ЛАХ части системы, охваченной обратной связью: . 5. В структурной схеме системы намечают место включения корректирующего элемента и определяют и строят ЛАХ части системы, подлежащей охвату обратной связью, . 6. Строят логарифмическую характеристику корректирующего звена, используя зависимость . 7. По найденной ЛАХ корректирующего звена находят передаточную функцию корректирующего звена и его наиболее простое техническое исполнение, используя справочные материалы. 8. Если реальный корректирующий элемент имеет ЛАХ несколько отличную от требуемой, то строится фактическая ЛАХ скорректированной системы и проверяются результаты коррекции. Другие методы синтеза систем автоматического управления Задачу синтеза можно понимать как задачу выбора некоторых параметров системы, когда ее структура и часть параметров заданы. В этом случае целесообразно использовать методы, основанные на определении качества переходных процессов и рассмотренные выше. При этом оценивается влияние выбираемых параметров на показатели качества переходного процесса и выбираются оптимальные значения варьируемых параметров с точки зрения обеспечения наилучших показателей качества. В этом случае применяются в основном два метода: 1) метод оценки качества по распределению корней характеристического уравнения системы на комплексной плоскости; 2) метод интегральных оценок. В первом случае оценивают изменение распределения корней на комплексной плоскости вследствие изменения варьируемого параметра и находят такое значение параметра, при котором обеспечивается требуемая степень устойчивости и колебательность системы. При этом для нахождения корней характеристического уравнения используют различные как точные, так и приближенные методы. При использовании интегральных оценок чаще применяют квадратичную интегральную оценку. Интегральную оценку при этом выражают через варьируемые параметры и ищут такие значения варьируемых параметров, которые обеспечили бы минимум интегральной оценки. Для решения задачи используются аналитические и графические методы. Если при синтезе новой системы возникает необходимость улучшения ее динамических свойств путем корректирования структурной схемы системы или ее элементов, то возможно также применение метода D-разбиений, позволяющего, например, установить влияние изменения параметров системы на ее устойчивость. Реализация систем автоматического управления Промышленные регуляторы В промышленности для управления техническими устройствами и процессами широко используются серийные регуляторы. Широкое распространение получили регуляторы температуры для различных нагревательных объектов, регуляторы расхода газов и жидкостей, регуляторы давления и др. Несмотря на разнообразие принципов действия, вида используемой энергии, объектов регулирования и конструкций регуляторов, в их основе лежат единые основные законы регулирования. С точки зрения теории автоматического управления структура автоматической системы состоит из регулятора Р и объекта управления О (рис. 129). В замкнутой системе автоматического управления регулятор сравнивает текущее значение управляемой величины с её заданным на данный момент времени значением, определяет ошибку и по величине ошибки определяет управляющее воздействие на объект управления, необходимое для устранения ошибки:  ошибка в системе (отклонение управляемой величины),  управляющее воздействие на объект, где A – оператор регулятора, определяющий связь между ошибкой и управляющим воздействием. Оператор регулятора определяет закон регулирования и характеризует логику вычисления управляющего воздействия регулятором. В зависимости от выбранного закона регулирования обеспечивается разный результат управления. С точки зрения используемых законов регулирования промышленные регуляторы могут быть разделены на описанные ниже типы. П-регулятор Пропорциональный регулятор, для которого управляющее воздействие определяется как величина, пропорциональная ошибке: , где kп – коэффициент усиления пропорционального регулятора. Пропорциональный регулятор реализует пропорциональный закон регулирования. Передаточная функция пропорционального регулятора равна его коэффициенту усиления: , следовательно, в структуре системы пропорциональный регулятор представляется усилительным типовым звеном. При наличии пропорционального регулятора система автоматического управления будет статической, и системе присуща статическая ошибка , где  статический коэффициент усиления системы, ko – коэффициент усиления объекта. Скорость изменения управляющего воздействия пропорциональна скорости изменения ошибки, что обуславливает высокое быстродействие пропорционального регулятора. И-регулятор Интегральный регулятор, реализующий интегральный закон регулирования, для которого скорость изменения управляющего воздействия пропорциональна ошибке системы: , где kи – коэффициент усиления интегрального регулятора. Если перейти к управляющему воздействию, то получим интегральную зависимость между ошибкой системы и управляющим воздействием регулятора . Передаточная функция интегрального регулятора , где Tи – постоянная времени (постоянная интегрирования) регулятора: . Интегральный регулятор в структуре САУ представляется типовым интегрирующим звеном (рис. 130). Система с интегральным регулятором получается астатической. При этом в системе отсутствует статическая ошибка , что обуславливает более высокую точность управления интегрального регулятора по сравнению с пропорциональным регулятором. В системе с интегральным регулятором заданное значение управляемой величины устанавливается точно (без статической ошибки). В момент возникновения ошибки управляющее воздействие регулятора равно нулю и требуется некоторое время на интегрирование сигнала ошибки, чтобы управляющее воздействие достигло заметной величины, что снижает быстродействие регулятора. Пока в системе с интегральным регулятором есть ошибка, управляющее воздействие регулятора будет возрастать. Постоянство управляющего воздействия будет наблюдаться только при отсутствии ошибки в системе. Это обстоятельство приводит к тому, что любая ошибка в системе с течением времени будет устранена и система придёт в заданное состояние. ПИ-регулятор Пропорционально-интегральный регулятор (изодромный регулятор) реализует пропорционально-интегральный закон регулирования, когда управляющее воздействие на выходе регулятора содержит две составляющие: пропорциональную величине ошибки и пропорциональную интегралу от ошибки: , где kп – коэффициент усиления пропорционального канала регулятора, kи  коэффициент усиления интегрального канала регулятора. Передаточная функция ПИ-регулятора , где – постоянная времени ПИ-регулятора. ПИ-регулятор может быть представлен в структуре системы как параллельное соединение пропорционального канала регулирования и интегрального канала регулирования (рис. 131). Передаточная функция разомкнутой системы автоматического управления с ПИ-регулятором . Система в этом случае астатическая и статическая ошибка системы с ПИ-регулятором равна нулю (). ПИ-регулятор обладает свойствами форсирующего звена первого порядка, что обуславливает его повышенное быстродействие по сравнению с пропорциональным регулятором. При управлении от ПИ-регулятора инерционным объектом регулятор может компенсировать инерционные свойства объекта и существенно повысить быстродействие системы автоматического управления. На начальном этапе управления при большой ошибке работает в основном пропорциональный канал, устраняя ошибку до величины статической ошибки пропорционального канала. Эта малая величина ошибки устраняется за счет работы интегрального канала регулирования. ПИД-регулятор Пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор реализует пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования. Управляющее воздействие при этом формируется из трёх составляющих: , где kд – коэффициент усиления дифференциального канала регулятора. По сравнению с ПИ-регулятором добавляется составляющая, пропорциональная скорости изменения ошибки в системе. Передаточная функция ПИД-регулятора может быть представлена как сумма передаточных функций усилительного, интегрирующего и дифференцирующего звеньев: , где  первая постоянная времени регулятора,  вторая постоянная времени регулятора. Структура системы с ПИД-регулятором показана на рис. 132. Регулятор состоит из трёх каналов регулирования: дифференциальный, интегральный и пропорциональный. Как видно из передаточной функции, ПИД-регулятор обладает свойствами форсирующего звена второго порядка. При управлении от ПИД-регулятора колебательным объектом второго порядка регулятор может компенсировать колебательные свойства объекта управления и обеспечить плавные апериодические процессы в системе. При наличии в системе ПИД-регулятора система становится астатической и статическая ошибка системы равна нулю. При настройке ПИД-регулятора устанавливаются значения коэффициентов усиления каналов регулятора. Если какой-либо из коэффициентов принять равным нулю при настройке, то соответствующая составляющая управляющего воздействия исчезнет и регулятор превратится в более простой. Например, если принять , то ПИД-регулятор превратится в ПИ-регулятор. Поэтому ПИД-закон регулирования рассматривается как общий закон, из которого настройкой можно получить более простые законы регулирования. ПД-регулятор Пропорционально-дифференциальный регулятор реализует пропорционально-дифференциальный закон регулирования. Управляющее воздействие регулятора складывается из двух составляющих: составляющая, пропорциональная ошибке, и составляющая, пропорциональная скорости изменения ошибки: . Передаточная функция ПД-регулятора , где  постоянная времени регулятора. ПД-регулятор обладает свойствами форсирующего звена первого порядка и может быть представлен в структуре системы как параллельное соединение пропорционального и дифференциального каналов управления. При использовании ПД-регулятора степень астатизма системы будет определяться объектом управления. Если объект управления не является астатическим, то система управления будет статической и ей будет присуща статическая ошибка. Особенности реализации промышленных регуляторов В ряде случаев при реализации П-регулятора из конструктивных соображений в качестве исполнительного механизма используют двигатель (электродвигатель, гидроцилиндр и т.д.), который в динамическом отношении является интегрирующим звеном с передаточной функцией , где T – постоянная времени звена. Чтобы в этом случае получить пропорциональный закон управления, исполнительный механизм охватывают глубокой отрицательной обратной связью через усилительное звено. Структурная схема регулятора вместе с исполнительным механизмом для этого случая показана на рис. 133, где kос – усилительное звено в местной обратной связи. В этом случае передаточная функция регулятора может быть найдена следующим образом: , где , при и . При глубокой обратной связи и передаточная функция вырождается в коэффициент усиления, что и требуется для получения пропорционального регулятора. Для получения ПИ-регулятора при использовании интегрального исполнительного механизма также приходится прибегать к введению обратных связей в структуре регулятора. Структура такого регулятора приведена на рис. 134. Местная обратная связь через инерционное звено является отрицательной (для упрощения схемы сумматор отдельно не показан). Исполнительный механизм представлен в структуре интегрирующим звеном. Передаточная функция регулятора определится как передаточная функция структуры, изображённой на рис. 134: , где  балластная (не требуемая) постоянная времени регулятора. Полученная передаточная функция включает передаточную функцию усилительного звена, передаточную функцию форсирующего звена первого порядка и передаточную функцию инерционного звена. Эта передаточная функция отличается от передаточной функции ПИ-регулятора только наличием инерционного звена. Звено с передаточной функцией является балластным звеном, которое делит ПИ-регулятор неидеальным. В общем случае реальный регулятор можно представить в виде соединения идеального ПИ-регулятора с балластным звеном, которое учитывает реальные инерционные свойства регулятора. Настройка промышленных регуляторов При использовании регулятора с конкретным объектом управления необходимо регулятор настраивать, чтобы получить устойчивую систему автоматического управления с требуемым качеством переходных процессов. П-регулятор имеет только одну настройку – коэффициент усиления . Одна настройка и у И-регулятора – коэффициент усиления kи (или постоянная интегрирования). Для ПИ-регулятора необходимо настроить коэффициенты усиления пропорционального и интегрального каналов регулирования. Наиболее сложна настройка ПИД-регулятора – необходимо настроить коэффициенты усиления трёх каналов регулирования. Для реальных регуляторов вводят дополнительно понятие "зона нечувствительности" регулятора. Зоной нечувствительности называется максимальный диапазон изменения сигнала на входе регулятора, не вызывающий появление сигнала на его выходе. При ошибке в системе, не выходящей за пределы зоны нечувствительности, регулятор не оказывает влияние на объект управления. Зона нечувствительности ∆=2, где   порог чувствительности. Серийные регуляторы универсального назначения имеют органы настройки, позволяющие изменять значения параметров регулятора , , , ∆ при его настройке на конкретный объект. Для настройки регулятора необходимо знать параметры объекта и его передаточную функцию. Характеристика объекта обычно определяется аналитически или экспериментально, например, по переходной характеристике объекта. В качестве примера на рис. 135 показаны типичные переходные характеристики объектов с разными свойствами. На рис. 135а показана апериодическая переходная характеристика, типичная для объекта с инерционными свойствами. Такой объект может быть описан типовым инерционным звеном , где  коэффициент усиления объекта; uвх – входной ступенчатый сигнал, для которого снята переходная характеристика; To – постоянная времени объекта, определяемая по графику переходной характеристики (рис. 135а). На рис. 135б показана переходная характеристика объекта, обладающего колебательными свойствами. При ограничении порядка дифференциального уравнения объекта n=2 объект может быть описан колебательным звеном , где ko – коэффициент усиления объекта, определяемый так же, как и в предыдущем случае; T1, T2 – постоянные времени. Для определения постоянных времени используется график переходной характеристики (см. построения на рис. 135б). По графику определяются параметры , , по которым затем вычисляются постоянные времени , . На рис. 135в показана переходная характеристика для объекта, описываемого дифференциальным уравнением второго порядка, вырожденного в двойное апериодическое звено. Характерной особенностью характеристики является наличие пологого начального участка. Такой объект часто описывается как объект с запаздыванием. На рис. 135г приведена переходная характеристика объекта с чистым запаздыванием. Начало переходного процесса в объекте отстаёт на величину з (величина запаздывания) от момента приложения входного воздействия (нулевой момент). Апериодический вид переходной характеристики свидетельствует о наличии у объекта инерционных свойств. Поэтому передаточная функция для данного объекта должна учитывать запаздывание и инерционные свойства . Для определения настроек регулятора решается задача параметрического синтеза системы автоматического управления. В процессе синтеза можно варьировать закон регулирования для обеспечения требуемого качества полученной системы. При настройке регулятора стремятся обеспечить заданное качество процесса в системе управления. В зависимости от выбранного показателя качества используют тот или иной метод расчета настроечных параметров. Пример. Рассмотрим управление объектом с инерционными свойствами от ПИ-регулятора. Передаточная функция ПИ-регулятора , где  постоянная времени регулятора. Разомкнутая система автоматического управления будет иметь передаточную функцию , где  коэффициент усиления системы; ko – коэффициент усиления инерционного объекта; To – постоянная времени инерционного объекта. Если при настройке регулятора обеспечить , то форсирующие свойства ПИ-регулятора компенсируют инерционные свойства объекта управления и передаточная функция разомкнутой САУ примет вид . Для передаточной функции замкнутой системы получим , где . Величина коэффициента усиления K системы может быть выбрана, например, из условия ограничения ошибки системы. Поскольку для астатической системы (при использовании ПИ-регулятора система астатическая) скоростная ошибка , то можно принять , где  максимальная скорость изменения задающего воздействия в системе. В настроенной таким образом замкнутой системе будет наблюдаться плавный апериодический переходный процесс, который будет тем короче, чем больше коэффициент усиления K. Следовательно, предлагаемые настройки ПИ-регулятора позволяют получить в системе переходные процессы хорошего качества, обеспечивая выполнение требований к точности управления в системе. Управление по возмущению В замкнутых системах автоматического управления осуществляется управление по ошибке. Управление по ошибке  весьма распространённый способ управления, однако он не является единственным. Наряду с управлением по ошибке используется и управление по возмущению. Управление по возмущению применяется для компенсации возмущений, воздействующих на систему автоматического управления и выводящих объект управления из заданного состояния. Устройство управления при управлении по возмущению контролирует внешнее возмущение и создаёт управляющее воздействие на объект таким образом, чтобы компенсировать действие возмущения и сохранить требуемое состояние объекта. Структура системы автоматического управления по возмущению показана на рис. 136. На объект управления действует  возмущение. Действие возмущения на объект описывается передаточной функцией объекта по возмущению . На вход управления объекта поступает управляющее воздействие u(t) от устройства управления. Свойства объекта по входу управления описываются передаточной функцией объекта по входу управления . Возмущение f(t) контролируется устройством управления, которое при управлении по возмущению называется компенсатором, с передаточной функцией . Воздействие возмущения на объект управления в рассматриваемой системе можно описать в области изображений Лапласа следующим образом: , где F(p) – изображение возмущения f(t). Выходная величина объекта управления не будет изменяться при изменении возмущения, если выполняется условие , откуда . Таким образом, если свойства компенсатора будут соответствовать полученной передаточной функции , то объект управления перестанет реагировать на воздействие возмущения f(t), а рассматриваемая система автоматического управления станет инвариантной по отношению к этому возмущению. Каждый компенсатор может компенсировать только одно, вполне конкретное, возмущение, действие которого на объект полностью известно (детерменировано). Автоматические системы с компенсацией возмущения называют инвариантными системами. В них используется разомкнутое управление. Основным достоинством таких систем является то обстоятельство, что в них принципиально отсутствует ошибка управления, которая всегда должна возникать в системах управления по ошибке для создания управляющего воздействия. Комбинированное управление Поскольку управление по возмущению весьма ограничено в своих возможностях (один компенсатор может устранить действие только одного возмущения), то прибегают к комбинированному управлению. При таком управлении компенсатор устраняет воздействие главного возмущения на объект, а все остальные задачи управления решаются управлением по ошибке. Комбинированное управление может заметно повысить точность и быстродействие системы автоматического управления. Структура автоматической системы с комбинированным управлением показана на рис. 137. В этой системе два устройства управления: компенсатор Wk(p) для устранения воздействия возмущения на объект управления и регулятор Wp(p) для обеспечения заданного изменения управляемой величины во времени. Для изображения выходной величины в системе справедливо выражение . Система будет инвариантной к возмущению, если выполняется условие инвариантности . Для обеспечения инвариантности компенсатор должен иметь передаточную функцию . Поскольку достижение полной инвариантности не всегда возможно из-за невозможности полной реализации требуемой передаточной функции компенсатора, то часто используют приближенный выбор компенсатора по условию и , где  резонансная частота, при которой достигается максимум амплитудной частотной характеристики замкнутой системы без учета возмущения. Первое условие обеспечивает полную инвариантность системы в установившемся состоянии, а второе  частичную независимость переходного процесса от возмущения . Введение регулирования по возмущению не влияет на устойчивость и качество переходного процесса системы, так как характеристическое уравнение системы остается неизменным. Многосвязные системы регулирования При проектировании систем автоматического управления достаточно часто приходится решать задачу управления сложными многомерными объектами, характеризующимися многими управляемыми величинами на выходе. В этом случае приходится создавать многоканальную систему управления. Сложность решения задачи во многом зависит от особенностей многомерного объекта. При описании многомерного объекта возможны два случая: 1) выходные управляемые величины объекта не связаны между собой и изменение одной величины не влияет на другие; 2) выходные управляемые величины взаимосвязаны и изменение одной из них влечет изменение других. В первом случае каждая регулируемая величина объекта зависит от одного управляющего воздействия и не зависит (или слабо зависит) от других управляющих воздействий. Для таких систем второстепенными связями можно пренебречь и рассматривать систему автоматического регулирования как состоящую из отдельных подсистем (рис. 138). В системе на рис. 138 объект управления имеет n выходных управляемых величин и n соответствующих этим величинам входов управления. Связь между каждым входом и выходом объекта описывается соответствующей передаточной функцией . Для управления каждой выходной величиной объекта используется свой регулятор с передаточной функцией . Контур управления каждой выходной величиной в рассматриваемом случае полностью автономен и при исследовании может рассматриваться как самостоятельная система автоматического управления. Система автоматического управления в этом случае является многоканальной системой управления с независимыми каналами управления. Свойства объекта управления могут быть такими, что каждая его управляемая величина примерно в равной степени зависит от разных управляющих воздействий. В этом случае связями между управляемыми величинами пренебречь нельзя, и мы получаем многосвязный объект. Управление многосвязным объектом осуществляется в многосвязной системе автоматического управления. Пусть в некоторой системе с многосвязным объектом имеется управляемых величин и управляющих воздействий, а также действуют возмущений. Тогда для управляемых величин можно записать систему уравнений, которая опишет многосвязный объект: где  частные передаточные функции канала по управляющему воздействию ;  частные передаточные функции канала по возмущению . Структура многосвязного объекта, составленная в соответствии с приведенным математическим описанием, показана на рис. 139. Объект в этом случае описывается многими передаточными функциями, учитывающими связи между управляемыми величинами, управляющими воздействиями и возмущениями. Анализ многосвязных систем затруднен из-за сложности выражений. На практике многосвязным системам стремятся придать свойство автономности. Автономным называют такое регулирование, при котором изменение какой-либо одной регулируемой величины не приводит к изменению других. Системы могут быть автономными по отношению к задающим или по отношению к возмущающим действиям. Свойство автономности системы достигается введением корректирующих обратных связей. Регулятор в многосвязной системе будет многоканальным, в таком регуляторе предусматриваются специальные связи между каналами, которые приходится разрабатывать при проектировании многосвязной системы. Обеспечение автономности управления Основным принципом обеспечение автономности управления в многосвязной системе является введение между каналами управления обратных связей для компенсации взаимного влияния каналов. При проектировании обратных связей приходится учитывать характер взаимного влияния управляемых величин, а это возможно только в том случае, когда имеется детерминированное описание этого влияния. На рис. 140 показан пример многосвязной системы с двумерным объектом, в которой обеспечивается автономность управления выходными величинами и . В структуре системы учтены:  передаточная функция объекта управления по первому и второму каналам регулирования,  передаточные функции, описывающие взаимное влияние каналов регулирования,  передаточные функции корректирующих обратных связей, введенных для обеспечения автономности системы по управляющим воздействиям. Найдем условие автономности по отношению к задающим воздействиям. Для точки А первого контура регулирования влияние второго канала регулирования можно учесть следующим образом: - влияние связи ; - влияние корректирующей связи . Изображение суммарного сигнала влияния второго канала на первый для точки При автономности системы или , откуда условие автономности . Вследствие симметрии структурной схемы . Таким образом, при проектировании регулятора нужно предусмотреть обратные связи для компенсации взаимного влияния управляемых величин и в них использовать элементы с передаточными функциями L12(p)и L21(p). Сами регуляторы выбираются из условия обеспечения требуемого качества системы управления. Библиографический список 1. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. М.: Профессия, 2004. 747 с. 2. Теория автоматического управления: учеб. для вузов: В 2 ч / Под ред. А.А. Воронова. М.: Высш. шк., 1986. Ч.1. 367 с.; Ч. 2. 504 с. 3. Лукас, В.А. Теория автоматического управления: учеб. для вузов / В.А. Лукас. М.: Недра, 1990. 416 с. 4. Теория автоматического управления: учеб. / В.Н. Брюханов, М.Г. Косов и др.; Под ред. Ю.М. Соломенцева. М.: Высш. шк., 2000. 268 с. 5. Федотов, А.В. Анализ и синтез систем автоматического регулирования при проектировании средств автоматизации: учеб. пособие / А.В. Федотов. Омск: Изд-во ОмГТУ, 1995. 48 с. 6. Федотов, А.В. Лабораторные работы по теории автоматического управления / А.В. Федотов, В.В. Смирнов. Омск: Изд-во ОмГТУ, 1996. 32 с. 7. Куропаткин, П.В. Теория автоматического управления / П.В. Куропаткин. М.: Высш. шк., 1973. 528 с. 8. Егоров, К.В. Основы теории автоматического регулирования: учеб. пособие / К.В. Егоров. М.: Энергия, 1967 . 648 с. 9. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с. 10. Федотов, А.В. Анализ и синтез систем автоматического управления с использованием автоматизированных систем «MATLAB» и «CLASSIC»: сб. заданий / А.В. Федотов. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2006. 66 с. Предметный указатель А Адаптивное управление 16 Автоматическое управление 4 Автоматическое регулирование 4 Адаптивная система 28 Алгебраические критерии устойчивости 86 Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) 52 Аналоговая вычислительная машина (АВМ) 117 Апериодическое звено первого порядка 56 Асимптотическая ЛАХ 59 Астатическое звено 64 Астатическая система 64 Б Безынерционное звено 54 В Вектор состояния системы 24 Величина запаздывания 160 Величина перерегулирования 106 Вещественная частотная характеристика 125 Возмущения 14 Вторая интегральная оценка 121 Вынужденная ошибка 108 Г Гармоническая функция 47 Граф системы 32 Главный оператор системы 75 Д Двойное апериодическое звено 60 Декада 54 Дельта-функция 47 Динамическая ошибка 105 Дифференцирующее звено 65 Е Единичная ступенчатая функция 47 Единичная импульсная функция 47 Ж Желаемая характеристика 144 З Задающее воздействие 14 Закон регулирования 153 Запас устойчивости по амплитуде 133 Запас устойчивости по фазе 133 И И-регулятор 153 Измерительное устройство 15 Изображающая точка 25 Изображение преобразования 39 Импульсные системы 28 Инвариантная система 162 Инерционное звено 56 Интегрирующее звено 64 Исполнительный механизм 15 К Колебательное звено 59 Колебательность системы 118 Комбинированное управление 17 Комбинированная коррекция 143 Компенсатор 162 Комплексная частотная функция 52 Консервативное звено 60 Корректирующее звено 137 Кривая Михайлова 96 Круговые диаграммы 131 Л Логарифмическая амплитудно-частот-ная характеристика (ЛАХ) 53 Логарифмическая частотная характеристика (ЛХ) 53 Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФХ) 53 Логическое устройство 15 М Мнимая частотная характеристика 125 Многосвязная система 165 Многоканальная система 165 Н Нелинейные системы 28 Номограммы замыкания системы 131 Нули передаточной функции 75 О Обыкновенные линейные системы автоматического управления 27 Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение 33 Обратное преобразование Лапласа 41 Октава 54 Оператор функционального элемента 31, 38 Оптимальное управление 16 Оптимальные системы 28 Операционное исчисление 39 Оригинал преобразования 39 Особые линейные системы 27 П П-регулятор 153 ПИ-регулятор 154 ПИД-регулятор 155 ПД-регулятор 156 Параллельное соединение звеньев 69 Параллельная коррекция 142 Параметрический синтез 136 Первая интегральная оценка 120 Передаточная функция 46 Передаточная функция замкнутой системы 74 Передаточная функция замкнутой системы по ошибке 76 Передаточная функция разомкнутой системы 75 Переходная характеристика 48 Показатель колебательности 128 Полюса передаточной функции 75 Последовательное соединение звеньев 69 Последовательная коррекция 141 Программное управление 16 Пространство состояний 24 Процесс в САУ 19 Р Разложение Хевисайда 42 Реальное дифференцирующее звено 67 Регулятор Уатта 5 Регулируемая величина 14 С Свойство автономности 165 Системы фази-управления 28 Система устойчивая 81 Система неустойчивая 81 Слежение 16 Следящая система 11 Соединение с обратной связью 70 Стабилизация 15 Стабилизирующее звено 104 Статическая ошибка 106 Степенные функции времени 48 Степень астатизма системы 77 Степень устойчивости системы 118 Структурная схема 29 Структурный синтез 136 Структурно-устойчивая система 102 Структурно-неустойчивая система 102 Ступенчатая функция 47 Т Таблица Гурвица 87 Техническая кибернетика 4 Третья интегральная оценка 122 У Управление по возмущению 17 Управляемая величина 14 Управляющее воздействие 14 Уравнение САУ 22 Управление по отклонению 17 Управление по ошибке 17 Уравнение замыкания 70 Усилительное звено 54 Усилительно-преобразующее устройство 15 Ф Фазовая траектория 25 Фазовое пространство 24 Фазовые координаты системы 24 Формула Эйлера 51 Форсирующее звено первого порядка 77 Фиктивное звено 71 Форсирующее звено второго порядка 77 Функциональная схема 29 Функции веса 49 Х Характеристический полином с истемы 75 Характеристическое уравнение системы 75 Характеристический комплекс 96 Ч Частотные критерии 86 Частотная передаточная функция 51 Э Экстремальные системы 28 Экстремальное управление 16 Содержание Список сокращений 3 ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 4 Введение 4 Примеры систем автоматического управления 5 Классический регулятор Уатта для паровой машины 5 Система регулирования скорости вращения двигателей 8 Автоматизированный электропривод 9 Система терморегулирования 10 Следящая система автоматического управления 11 Система автоматического регулирования уровня 12 Обобщённая структура автоматической системы 13 Принципы автоматического управления 15 Задачи теории автоматического управления 19 Математическая модель автоматической системы 21 Пространство состояний системы автоматического управления 24 Классификация систем автоматического управления 25 Структурный метод описания САУ 29 ОБЫКНОВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 32 Понятие обыкновенной линейной системы 32 Линеаризация дифференциального уравнения системы 34 Форма записи линеаризованных дифференциальных уравнений 37 Преобразование Лапласа 39 Свойства преобразования Лапласа 40 Пример исследования функционального элемента 42 Передаточная функция 45 Типовые воздействия 46 Временные характеристики системы автоматического управления 48 Частотная передаточная функция системы автоматического управления 51 Частотные характеристики системы автоматического управления 52 Типовые звенья 54 Неустойчивые звенья 68 Соединения структурных звеньев 68 Преобразования структурных схем 71 Передаточная функция замкнутой системы автоматического управления 73 Передаточная функция замкнутой системы по ошибке 76 Построение частотных характеристик системы 76 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 81 Понятие устойчивости 81 Условия устойчивости системы автоматического управления 82 Теоремы Ляпунова об устойчивости линейной системы 85 Критерии устойчивости системы 86 Общие сведения 86 Критерии устойчивости Гурвица 87 Критерий устойчивости Найквиста 89 Применение критерия к логарифмическим характеристикам 93 Критерий устойчивости Михайлова 96 Построение области устойчивости системы методом D-разбиения. 97 Структурная устойчивость систем 102 КАЧЕСТВО СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 104 Показатели качества 104 Точность системы автоматического управления 106 Статическая ошибка системы 106 Вынужденная ошибка системы 108 Прямые методы анализа качества системы 109 Аналитическое решение дифференциального уравнения 109 Решение уравнения системы операционными методами 112 Численное решение дифференциального уравнения 113 Моделирование переходной характеристики 114 Косвенные методы анализа качества 117 Оценка качества по распределению корней характеристического полинома системы 117 Интегральные оценки качества процесса 119 Оценка качества по частотным характеристикам 123 Основы метода 123 Оценка качества системы по частотной характеристике 126 Оценка колебательности системы 128 Построение вещественной частотной характеристики 131 Оценка качества САУ по логарифмическим характеристикам 133 СИНТЕЗ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 136 Постановка задачи синтеза системы 136 Параметрический синтез системы 137 Структурный синтез системы 141 Способы коррекции системы 141 Построение желаемой логарифмической характеристики системы 144 Синтез последовательного корректирующего элемента. 147 Синтез параллельного корректирующего звена 150 Другие методы синтеза систем автоматического управления 151 РЕАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 152 Промышленные регуляторы 152 Особенности реализации промышленных регуляторов 157 Настройка промышленных регуляторов 159 Управление по возмущению 161 Комбинированное управление 163 Многосвязные системы регулирования 164 Обеспечение автономности управления 166 Библиографический список 169 Предметный указатель 170 Учебное издание Редактор Т.А. Москвитина Компьютерная верстка В.С. Николайчук ИД № 06039 от 12.10.2001 г. Сводный темплан 2007 г. Подписано к печати 31.01.07. Бумага офсетная. Формат 6084 1/16. Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. 11,0. Уч.-изд. л. 11,0 Тираж 100 экз. Заказ 123. Издательство ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр-т Мира,11 Типография ОмГТУ