Теория автоматического управления

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тульский государственный университет» Институт высокоточных систем им. В.П. Грязева Кафедра «Приборы управления» Утверждаю Декан САУ факультета __________________ А.Э.Соловьев “____”_________________ 201___ г. Конспект лекций дисциплины «Теория автоматического управления» Направление подготовки: 140400 «Электроэнергетика и электротехника» Профили подготовки: «Электрооборудование летательных аппаратов», «Электрооборудование и электрохозяйство предприятий, организаций и учреждений», «Электроснабжение», «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов» Квалификация выпускника: 62 бакалавр Тула 2011 г. 1 Конспект лекций составлен профессором, д.т.н. В.И. Родионовым и обсужден на заседании кафедры «Приборы управления» факультета систем автоматического управления протокол № _____________ от «____»________________________2011 г. Зав. кафедрой ______________________________ В. Я. Распопов Конспект лекций пересмотрен и утвержден на заседании кафедры ПУ факультета САУ протокол № ________ от «______» _________________________201 г. Зав. кафедрой ______________________________ В. Я. Распопов 2 СОДЕРЖАНИЕ Лекция 1 ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………….………….….….…6 В.1. Значение автоматического управления и задачи курса………..…………6 В.2. История развития теории автоматического управления….…...………....6 В.3. Основы построения САУ……………………………….…..….………..….8 В.4. Принципы регулирования………..…………………….……....…………...9 Лекция 2 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТАУ……………...................10 1.1. Функциональные элементы систем автоматического управления……...10 1.2. Классификация систем автоматического управления……………………12 1.3. Примеры САУ …………………………………………………….……….14 2. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ САУ 19 Лекция 3 2.1. Виды воздействий. Управляющие и возмущающие воздействия ……..19 2.2. Вынужденное движение и собственные колебания системы. Переходный и установившийся режимы..……….………………………19 2.3. Передаточные функции …………………………..………………………22 Лекция 4 2.4. Переходная характеристика и весовая функция …………………….….25 2.5. Типовые звенья САУ…………………………………...........................….25 2.6. Неустойчивые и неминимально-фазовые звенья ……….…………..…..29 Лекция 5 2.7. Структурные схемы САУ……………………………………………..…..32 2.8. Составление и преобразование структурных схем САУ…….….…........33 2.9. Передаточные функции замкнутой и разомкнутой системы…………...38 Лекция 6 3. УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ………………………………………………………..……….39 3.1. Точность САУ в установившемся режиме …………………….….….....39 3.2. Установившиеся ошибки следящих систем …………………………….41 Лекция 7 3.3. Частотные характеристики САУ……………………………………….…43 3.4. Логарифмические амплитудно-фазовые частотные характеристики…. 46 Лекция 8 3.5. Частотные характеристики типовых звеньев …………………………....50 3.6. Особенности частотных характеристик устойчивых и минимально-фазовых звеньев……………………………………….………55 4. УСТОЙЧИВОСТЬ САУ…………………………….………...………..……58 Лекция 9 4.1. Общие понятия об устойчивости заданного режима……………..……58 4.2. Определение устойчивости по Ляпунову………………………….....60 4.3. Критерий устойчивости Гурвица……………………………….……62 Лекция 10 4.4. Критерий устойчивости Михайлова……..…………………………64 3 4.5. Критерий устойчивости Найквиста …………………………………..67 Лекция 11 4.6. Суждение об устойчивости по ЛАФЧХ разомкнутой системы….…72 4.7. Выделение областей устойчивости ………………………………..…73 Лекция 12 4.7.1. Д–разбиение в плоскости двух действительных параметров…..…77 4.8. Суждение об устойчивости системы по ее линейной модели ….…78 Лекция 13 5. КАЧЕСТВО САУ …………………………………………………………...81 5.1. Основные показатели качества ……………….………………….…..81 5.2. Методы построения переходных процессов ……………..................83 Лекция 14 5.3. Построение вещественной частотной характеристики……………..88 5.4. Построение АФЧХ замкнутой САУ …………………………………89 Лекция 15 5.5. Косвенные оценки качества, связанные с распределением нулей и полюсов передаточной функции …..…….…………………………………93 5.6. Диаграммы качества ……………………………………..…………....96 Лекция 16 5.7. Интегральные оценки качества ……………………..…………….…100 5.8. Косвенные оценки качества, связанные с видом частотных характеристик…………………………..………………………………….…103 6. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ САУ….…....…......…106 Лекция 17 6.1. Общие понятия синтеза САУ……………………………….………..…..106 6.2. Этапы синтеза САУ……………………………………………..................107 6.3. Требования, предъявляемые к динамическим свойствам САУ………..108 6.4. Методы коррекции динамических свойств САУ……………………….109 Лекция 18 6.5. Динамический синтез САУ, основанный на построении желаемой ЛАФЧХ……………………………………………………………………..111 Лекция 19 6.6. Синтез последовательного корректирующего устройства……………..115 6.7. Синтез параллельного корректирующего устройства………………….117 Лекция 20 7. УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ…..……..119 Лекция 21 7.1. Коррекция системы в пространстве состояний……………..…………..125 7.2. Прямой корневой метод синтеза доминантного типа…………………127 7.3. Прямой корневой метод синтеза САУ по координатам пространства состояний…………………………………………………..…….…..…..……128 7.4. Прямой метод синтеза корректирующей обратной связи следящей системы………….…………………………………………………………..…129 Лекция 22 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ..131 4 Лекция 23 8.1. Метод возмущений (малого параметра). Метод вариации параметров137 Лекция 24 8.2. Метод минимизации невязки. Метод гармонического балансаюю….…145 Лекция 25 8.3. Метод описывающей функции….…………………..……………………151 Лекция 26 8.4. Метод припасовывания…………..……………………………………….155 Лекция 27 8.5. Метод точечного преобразования…………….………………………….161 Лекция 28 8.6. Примеры метода точечного преобразования ………………………..…..167 Лекция 29 8.7.Метод гармонической линеаризации ……………………………………..175 Лекция 30 8.8. Частотный способ определения симметричных автоколебаний…..…...182 Лекция 31 9.. Прохождение случайных воздействий через линейную систему………..189 Лекция 31 9.1. Интегральное уравнение связи между характеристиками процессов на выходе и входе линейных систем……………………………………………189 Лекция 32 9.2. Спектральное уравнение связи между характеристиками процессов на выходе и входе линейных систем….………………….………194 9.3. Определение динамических характеристик САУ по корреляционным функциями и спектральным плотностям………………………………….….196 Лекция 33 9.4. Методы определения ошибок линейных САУ, обусловленных стационарными случайными воздействиями………..……………………….198 9.5. Эквивалентное представление стационарного случайного процесса. Формирующий фильтр…….………………………………………………......……..….201 9.6. Расчет флуктуационных ошибок и ошибок от задающих воздействий 203 Лекция 34 9.7. Расчет дисперсии помехи с помощью корреляционной функции…………………….…………………………………………..……..…205 9.8. Вычисление среднеквадратической ошибки следящей сиситемы………208 Библиографический список………………………………………….…….…..210 5 1. 2. 3. 4. ВВЕДЕНИЕ ЛЕКЦИЯ 1 План лекции: Рассказать о значении автоматического управления и задачах курса. История развития ТАУ. Основы построения САУ. Принципы регулирования. Рекомендуемая литература [1, 2, 8]. В.1. ЗНАЧЕНИЕ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ И ЗАДАЧИ КУРСА Теория автоматического управления (ТАУ) – это наука, которая содержит общие принципы исследования и проектирования автоматических устройств – автоматических регуляторов, предназначенных для управления различными машинами или процессами без непосредственного участия человека. Автоматическое управление обладает целым рядом достоинств по сравнению с ручным. В частности, оно точнее и лишено субъективных ошибок, незаменимо в тех областях, в которых ручное управление невозможно или нецелесообразно. С помощью современной вычислительной техники осуществляется автоматизация всех основных видов производственной деятельности человека: 1) технологических процессов в самых различных отраслях, 2) проектных и конструкторских работ, 3) административно-организационной деятельности. Без знания теории автоматического управления нельзя не только спроектировать, но и понять принцип работы современных приборов и систем. Классические методы математики оказались недостаточными для решения практических задач теории управления. Поэтому при проектировании систем все чаще стали применяться методы теории автоматического управления. Современная теория автоматического управления располагает мощными методами анализа и синтеза, позволяющими создавать высококачественные автоматические системы. В.2. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТАУ Первые сведения об автоматах появились в начале нашей эры в работах Герона Александрийского «Пневматика» и «Механика», где были описаны автоматы: пневмоавтомат для открывания дверей храма при зажигании жертвенного огня, механический театр марионеток, прибор для измерения протяженности дорог, автомат для продажи священной воды. Идеи Герона значительно опередили свой век и не нашли промышленного применения в его эпоху. В средние века начинает развиваться «андроидная», то есть человекоподобная автоматика. В XIII в. немецкий философ и алхимик Альберт фон Больштадт построил «железного человека» - робота для открывания и закры6 вания дверей. Прекрасный «театр автоматов» был создан в XVIII в. русским механиком-самоучкой И.П. Кулибиным. Его «театр» помещен в «часах яичной формы», хранящейся в Государственном Эрмитаже. На рубеже XVIII-XIX в. эпоху промышленного переворота в Европе, начинается новый этап развития автоматики, связанный с ее внедрением в промышленность. К первым промышленным автоматическим устройствам относятся регулятор уровня воды в котле паровой машины И.И. Ползунова (1765г.), регулятор скорости паровой машины Уатта (1784 г.). По мере усложнения автоматических регуляторов встает вопрос о развитии их теории. Значительную роль в развитии теории автоматического управления сыграли работы выдающегося математика и механика П.Л. Чебышева, который в 1871 г. опубликовал работу «О центробежном уравнителе», где впервые поставлена задача о синтезе регулятора прямого действия. Основоположником ТАУ считается профессор И.А. Вышнеградский. Идеи И.А. Вышнеградского получили свое дальнейшее развитие в работах словацкого инженера А. Стодола, который разработал теорию регуляторов с жесткой обратной связью, исследовал устойчивость схем непрямого регулирования. Крупный вклад в теорию управления сделан Н.Е. Жуковским, автором труда «О прочности движения», и первого русского учебника «Теории регулирования хода машин». В 1892г. вышла в свет работа А.М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения», которая явилась существенной вехой в развитии теории устойчивости как линейных, так и нелинейных систем. Значительный вклад в развитие теории автоматического управления внесли зарубежные ученые Раус, Гурвиц, Максвелл, Винер и другие. К началу XX в. теория управления выходит из рамок прикладной механики и формируется в самостоятельную область науки. В 1954 г. в СССР впервые в мире была введена в постоянную эксплуатацию полностью автоматизированная атомная электростанция, а в 1957 г. – выведен на орбиту искусственный спутник Земли. В 1961 г. был совершен первый в истории человечества космический полет, а в 1966 г. осуществлена мягкая посадка на Луну. Большой вклад в развитие теории автоматического управления внесли советские ученые Е.Л. Николаи, И.Н. Вознесенский, В.С. Кулебакин и другие. Исключительно важную роль в развитии теории автоматического управления сыграли работы А.В. Михайлова, которые были опубликованы в 1938 г. и открыли новый этап в теории управления. А.В. Михайлов показал целесообразность применения частотных методов и предложил новый критерий устойчивости. Ему также принадлежат идеи типизации динамических звеньев систем автоматического управления и структурных методов анализа. Существенный вклад в направлении создания систем с заданным качеством регулирования внесли работы В.В. Солодовникова, А.А. Красовского, 7 А.А. Фельдбаума, М.А. Айзермана и др. Развитие нелинейной теории управления обязано выдающимся ученым Н.М. Крылову, Н.Н. Боголюбову, А.А. Андронову, А.А. Витте, С.Э. Хайкину, работы которых «Введение в нелинейную механику» и «Теория колебаний» получили мировую известность. Дальнейшее развитие нелинейная теория получила в работах Б.В. Булгакова, В.В. Петрова, Е.П. Попова, И.П. Пальтова, П.И. Кузнецова и др. В 1950 г. В.С. Пугачев разработал математический аппарат для анализа динамических систем, находящихся под влиянием случайных воздействий, не связанный с предположением об их стационарности. Теоретические основы дискретных систем автоматического управления (САУ) развиты Я.З. Цыпкиным. Существенный вклад в развитие теории автоматического управления в нашей стране внесли Б.Н. Петров, А.С.Шаталов, А.Г. Ивахненко, А. М. Летов и др. К основным научным результатам, достигнутым советским учеными в области линейной теории управления, следует отнести: принцип автономного регулирования, частотные методы анализа устойчивости, качества непрерывных и дискретных систем управления, интегральные оценки качества, принцип инвариантности, частотные методы синтеза систем при детерминированных и случайных воздействиях и многие другие. Значительное развитие получает и теория нелинейных автоматических систем. Здесь в первую очередь следует отметить: методы гармонической и статистической линеаризации, фазового пространства, точечных преобразований, развитие второго метода Ляпунова, принцип максимума и определение оптимальных законов управления, теорию синтеза нелинейных непрерывных и дискретных систем при регулярных и случайных возмущениях и т.д. В.3. ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ САУ Процесс поддержания или изменения по заданным условиям какойлибо величины в машинах или процессах, осуществляемый без непосредственного участия человека с помощью присоединяемых для этой цели автоматических регуляторов, называется автоматическим регулированием. Машина, аппарат или иное устройство, к которому присоединяется автоматический регулятор, называется регулируемым объектом, а часть регулируемого объекта, на которую воздействует регулятор, - регулирующим органом. Величина, подлежащая изменению по заданному закону, называется регулируемой величиной. Отклонением регулируемой величины в данный момент времени называется её отличие от некоторого фиксированного значения, принятого за начало отчета. Предписанное значение регулируемой величины называют управляющей величиной. Возмущающим называют всякое воздействие, которое стремится нарушить требуемую связь между управляющим воздействием и регулируемой 8 величиной. Совокупность автоматического регулятора и регулируемого объекта, взаимодействующих между собой, называется САУ. В каждой системе автоматического управления можно указать вход (входную координату, входной сигнал) и выход (выходную координату, выходной сигнал). Системы автоматического управления часто называют системами с обратной связью. Это объясняется тем, что во всякой системе автоматического управления должна иметься не только прямая связь между входом и выходом, при помощи которой производится управление регулируемой величиной, но и обратная связь между выходом и входом, служащая для сравнения обеих величин. Сигнал, поступающий с выхода системы на ее вход, назовем сигналом главной обратной связи хос, а разность между входным сигналом хвх и сигналом главной обратной связи – сигналом ошибки Δх = хвх- хос. Главная обратная связь любой системы автоматического управления должна быть отрицательной, т. е. выходной сигнал должен поступать на вход системы с противоположным знаком. Для отрицательной обратной связи Δх=хвх-хос , для положительной Δх= хвх+хос. Если входной сигнал и сигнал главной обратной связи имеют одну и туже физическую природу, то сигнал ошибки Δх можно считать ошибкой системы. Следует отметить еще одну характерную особенность систем автоматического управления, которая состоит в направленности их действия. Направленность действия заключается в том, что последующая часть системы, воспринимающая сигнал от предыдущей, оказывает ей пренебрежимо малое противодействие. На схемах направленность действия обозначается стрелками. С учетом принятых обозначений и определений принципиальную схему САУ в общем виде можно представить так, как показано на рис. В.1. Пунктиром на схеме обозначен автоматический регулятор. Рис. В.1 В.4. ПРИНЦИПЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ В основу построения автоматических регуляторов могут быть положены следующие принципы. 9 Принцип регулирования по отклонению предписывает закон изменения регулируемой величины, измеряет ее текущее значения, сравнивает предписанное (заданное) значение регулируемой величины с текущим, обнаруживает отклонение регулируемой величины от заданного значения и воздействует на регулируемый объект таким образом, чтобы устранить это отклонение. Принцип регулирования по возмущению выявляет причины отклонения регулируемой величины от заданного значения и воздействует на регулируемый объект таким образом, чтобы устранить или компенсировать эти причины. Регулирование по возмущению имеет ряд преимуществ. К ним относятся, в частности, как правило, больше быстродействие системы управления. Однако это регулирование имеет и недостатки. При регулировании по возмущению мы можем учесть действие лишь одного возмущения, а именно того, на которой регулирует автоматический регулятор. Регулирование по отклонению получило на практике наибольшее применение, так как оно позволяет устранить отклонение регулируемой величины от заданного значения независимо от того, каким причинами это отклонение вызвано, т.е. устраняет влияние любых возмущений без их измерения. Весьма эффективно применение комбинированного регулирования: по возмущению и по отклонению одновременно. Такие схемы объединяют преимущества обоих упомянутых принципов регулирования. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТАУ 1. 2. 3. 4. ЛЕКЦИЯ 2 План лекции: Функциональная схема САУ. Классификация САУ. Примеры автоматических систем. Рекомендуемая литература [1, 3, 7]. 1.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ САУ Любую САУ можно разбить на простые устройства направленного действия. Такие устройства в теории автоматического управления называют элементами. Причем, к основным элементам САУ относятся те элементы, без которых работа системы принципиально невозможна. Схемы, составленные из элементов, характеризующих функции, которые они призваны выполнять в общем контуре управления, называют функциональными схемами САУ. Функциональные схемы не следует смешивать с блок-схемами, характеризующими систему по составу входящих в нее отдельных конструктивных блоков (блоков питания, распределительный щит и т.д.) Функциональная схема САУ показана на рис. 1.1. 10 На схеме приняты следующие обозначения: ЗЭ - задающий элемент предназначен для выработки управляющей величины Хвх в соответствии с заданным законом управления; ЭС- элемент сравнения предназначен для сравнения управляющей величины с сигналом главной обратной связи; УЭ- управляющий элемент предназначен для формирования сигнала ошибки ΔХ по требуемому закону; ЧЭ - чувствительный элемент предназначен для измерения регулируемой величины ИЭ - исполнительный элемент непосредственно воздействует на регулируемый объект; РО - регулируемый объект. Кроме основных в систему могут входить дополнительные элементы преобразующие, усилительные и корректирующие. Преобразующие элементы служат для преобразования физической величины. Усилительные элементы служат для усиления сигналов по напряжению и мощности. Корректирующие элементы вводят в САУ для улучшения их динамических свойств. Иногда в системе отсутствует исполнительный элемент. Такие системы называются системами прямого действия. Если же мощность на выходе управляющего элемента недостаточна, то в систему вводится исполнительный элемент. Такие системы называются системами непрямого действия. f1(t) f2(t) Хвх зэ Хвых Х эс уэ иэ ро Хос чэ Рис.1.1 Кроме главной обратной связи САУ могут иметь одну или несколько местных обратных связей, которые охватывают отдельные элемент системы, чаще всего, усилительные или исполнительные. Местные обратные связи вводятся для улучшения динамических свойств отдельных элементов системы. В подавляющем большинстве случаев местные обратные связи – отрицательные. 1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Вследствие большого разнообразия САУ, различающихся функциональными возможностями, принципами построения и формой конструктив11 ной реализации, дать законченную классификацию не представляется возможным. Поэтому, проведем классификацию САУ лишь по некоторым основным признакам. 1. По принципу регулирования САУ делятся на разомкнутые, замкнутые, комбинированные. 2. По характеру изменения управляющей величины (или по характеру изменения установившегося значения регулируемой величины) САУ делятся на системы стабилизации, следящие системы и системы программного регулирования. В системах стабилизации управляющая величина должна быть постоянной или равной нулю. Регулируемая величина (напряжение, скорость, и т.п.) тоже должна быть постоянной, это условие вытекает из назначения системы. Однако под влиянием возмущений регулируемая величина может отклоняться от заданного постоянного значения. Это отклонение называется ошибкой стабилизации. В следящих системах управляющая величина (следовательно, и регулируемая величина) является неизвестной (чаще всего случайной) функцией времени и пространства. Например, антенна радиолокатора должна поворачиваться, следуя маневру самолета, и следить за ним. При этом координаты самолета заранее неизвестны и могут изменяться по случайному закону. В системах программного регулирования управляющая величина является заранее известной функцией времени или пространства, она вырабатывается программным устройством (или задающим элементом). Примером такого регулирования может служить автоматический полет беспилотного ЛА по заданной траектории. 3. В зависимости от отклонения регулируемой величины в установившемся режиме САУ делятся на статические и астатические. САУ называется статической по отношению к постоянному возмущающему воздействию, если отклонение регулируемой величины, вызванное этим воздействием, с течением времени стремится к постоянной величине. Астатическим регулированием называют такое регулирование, при котором в установившемся режиме при постоянной нагрузке поддерживается постоянное значения регулируемой величины, равное заданному значению, независимо от величины нагрузки. Установившаяся ошибка при астатическом регулировании равна нулю: практически вследствие неточности регулятора она возможна, но не будет зависеть от нагрузки. 4. По количеству обратных связей САУ можно разделить на одноконтурные и многоконтурные. Одноконтурные системы имеют только лишь одну главную обратную связь. Многоконтурные системы, кроме главной обратной связи, имеют одну или несколько местных обратных связей, которые вводятся для улучшения динамики САУ. 5. По количеству регулируемых величин САУ делятся на одноканальные и многоканальные (одномерные и многомерные). В одноканальных системах регулирование ведется только по одной вы12 ходной переменной. В многоканальных системах регулирование осуществляется одновременно по нескольким выходным переменным. 6. По характеру сигналов САУ делятся на системы непрерывного действия, с гармоническим модулированным сигналом и дискретные. Системой непрерывного действия называется такая система, в каждой из звеньев которой непрерывному изменению входной величины во времени соответствует непрерывное изменение выходной величины. Системой дискретного действия (импульсной, релейной, цифровой) называется такая система, в которой хотя бы в одном звене при непрерывном изменении входной величины выходная величина изменяется не непрерывно. 7. В зависимости от динамических свойств САУ можно разделить на линейные и нелинейные. Строго говоря, почти САУ нелинейные. Линейной системой называется такая система, динамика всех звеньев которой описывается линейными уравнениями (алгебраическими, дифференциальными или разностными). Для этого необходимо, прежде всего, чтобы статические характеристики всех звеньев системы были линейными, т. е. имели вид прямой линии. Нелинейной системой называется такая система, в которой хотя бы в одном звене нарушается линейность статической характеристики или же имеет место любое другое нарушение линейности уравнений динамики звена (произведение переменных или их производных, корень, квадратный или более высокая степень переменной, либо другая нелинейная связь переменных и их производных). В интересах простоты расчетов всегда желательно (там, где это допустимо) сводить задачу к такой форме, чтобы максимально использовать методы исследования линейных систем. Для этого системы стараются привести к линейным, и только для некоторых нелинейных звеньев учитывают их особые свойства. Однако это вовсе не значит, что при проектировании новых автоматических систем нужно стремится к обыкновенным линейным системам, которые обладают ограниченными возможностями. Введение особых линейных и нелинейных звеньев может придать системе лучшие качества. Особенно богатыми возможностями обладают системы со специально вводимыми нелинейностями и дискретные системы, в том числе с цифровыми вычислительными устройствами, также самонастраивающиеся, экстремальные и самоорганизующиеся системы. 8. По характеру параметров САУ делят на стационарные, нестационарные и с распределительными параметрами. Если параметры не изменяются при действии системы, то система стационарная. Если изменением параметров во времени пренебречь нельзя, то система нестационарная. Если какое – либо звено описывается уравнением в частных производных (например, имеют место волновые процессы в трубопроводе или в электрической линии), то система будет с распределительными параметрами, в отличие от 13 систем с сосредоточенными параметрами. 9. Все рассмотренные системы (вернее их математические модели) могут быть подразделены на детерминированные и статистические. Математическая модель системы называется детерминированной, если приложенные к ней воздействия и характеризующие ее параметры предполагаются постоянными или вполне определенными функциями переменных состояния и времени. Математическая модель системы называется статистической, если приложенные к ней воздействия и характеризующие ее параметры являются случайными функциями или случайными величинами. 1.3. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Пример 1. Система «Самолет – автопилот» (рис. 1.2). Здесь корпус самолета 1 является регулируемым объектом, гироскоп 2 с потенциометрической схемой служит измерительным устройством. Далее идут усилитель 3, двигатель 4 с редуктором 5 (рулевая машинка) и в качестве регулирующего органа - руль 6. Рис. 1.2 Гироскоп сохраняет неизменное направление в пространстве. Поэтому при отклонении самолёта на угол ∆ψ от заданного курса ψ0 движок, связанный с гироскопом, смещается с нулевой точки. В результате на усилитель подаётся напряжение, пропорциональное углу отклонения ∆ψ. Оно приводит в движение исполнительное устройство, состоящее из усилителя 3, рулевой колонки 4 и редуктора 5. При этом вследствие отклонения руля на угол δ самолёт возвратится в требуемое положение. Очевидно, что если с помощью автопилота надо поддерживать неизменный курс ψ0 или изменять по заданной программе, то данная система управления будет работать либо в режиме стабилизации постоянной вели14 чины, либо в режиме программного регулирования. Если же самолет надо наводить на какую-либо цель, визируемую дополнительным устройством (оптическим или радиолокационным) то данная система управления будет работать как следящая система. На рис.1.3 изображена функциональная схема рассмотренной системы, которая наглядно показывает взаимодействие элементов и позволяет оценить систему по различным признакам. Для улучшения устойчивости и качества стабилизации в систему вводятся различные корректирующие устройства и местные обратные связи 7. Uг Ψ0 ЧЭ (2) Uy U УЭ (3) ИЭ (4,5) РО (6) δ РО (1) Ψ Uoc ЧЭ(7) . 1.4. Рис. 1.3 Пример 2. Система автоматического управления напряжением генератора постоянного тока. Принципиальная схема изображена на рис. 1.4. Рис.1.4 15 Система работает следующим образом. Напряжение обратной связи Uoc, пропорциональное регулируемой величине – напряжению генератора Uг , сопоставляется с напряжением сравнения. Разность Uср - Uос поступает на вход электронного усилителя У, питающего обмотку управления ОУ электромашинного усилителя (ЭМУ), являющегося возбудителем генератора Г. Для повышения динамической устойчивости системы в ней предусмотрена стабилизирующая местная обратная связь по напряжению ЭМУ, осуществляемая при помощи конденсатора С и резистора Rс. Величина главной обратной связи устанавливается делителем Rо. При разделении системы автоматического управления на функциональные элементы (рис.1.5) генератор будем рассматривать как регулируемый объект РО. На него действует напряжение возбуждения Uвг , являющееся регулирующим воздействием, и возмущающее воздействие – ток нагрузки IH. Регулируемая величина Uг преобразуется в напряжение Uос элементом главной обратной связи ГОС и сравнивается с напряжением Uср при помощи элемента сравнения ЭС, который в данном случае является электрическим соединением. Стабилизирующий контур СRс представим как элемент местной обратной связи (MОC), входной величиной которого является напряжение усилителя Uу, а входной – напряжение Uо, вычитаемое из основного сигнала Uср Uос. Ucp Ucp-Uoc Uy У U0 Uoc Uг ИЭ UВг РО МОС IH чэ ГОС UГ Рис. 1.5 Пример 3. Система автоматического регулирования скорости двигателя постоянного тока. Из рассмотрения принципиальной схемы системы управления (рис. 1.6.) видно, что скорость вращения двигателя преобразуется с помощью тахогенератора ТГ в напряжение обратной связи Uос , сравниваемое с задающим напряжением Uз , изменяя которое можно задавать различную скорость двигателя. Разность Uз–Uос суммируется с напряжением Uо МОС, получаемым для повышения динамических свойств системы в стабилизирующем контуре RоСо , и подается на вход усилителя постоянного тока. При от16 сутствии сигнала на входе усилителя токи Iу1 и Iу2 равны между собой и результирующая МДС управления ЭМУ равна 0. Электромашинный усилитель нагружен на ОВ генератора, работающего на двигатель постоянного тока с независимым возбуждением по схеме генератор – двигатель. Рис.1.6 Функциональная схема САУ скорости двигателя постоянного тока представлена на рис. 1.7. В соответствии со схемой рассмотренная система представляет собой двухконтурную, одноконтурную, астатическую систему стабилизации непрерывного U3 Uoc Uвх Uв n дейУ ЭМС Г Д ствия . Uтг U0 M МОС ТГ 17 Рис.1.7 Пример 4. Следящая система с асинхронным двухфазным двигателем. Принципиальная схема системы изображена на рис 1.8. Рис. 1.8 Функциональная схема, составленная по принципиальной, показана на рис. 1.9. Входная и выходная оси следящей системы связаны соответственно с движками задающего потенциометра П1 и потенциометра П2. Разность снимаемых с них напряжений, пропорциональная ошибке Q = Qвх– Qвых, суммируется алгебраически с напряжением Uо отрицательной обратной связи от асинхронного тахогенератора ТГ и поступает на вход усилителя, выход которого через выходной трансформатор TV соединен с обмоткой управления ОУД асинхронного двигателя Д. Uв Uв Qвых Qвх УЭ ИЭ Р Qвых U0 ТГ Рис. 1.9 18 1. 2. 3. 4. 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ САУ ЛЕКЦИЯ 3 План лекции: Виды воздействий. Управляющие и возмущающие воздействия. Вынужденное движение и собственные колебания системы. Передаточные функции. Рекомендуемая литература [1, 2, 4]. 2.1. ВИДЫ ВОЗДЕЙСТВИЙ. УПРАВЛЯЮЩИЕ И ВОЗМУЩАЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ Отклонение регулируемой величины САУ может быть вызвано влиянием управляющих и возмущающих воздействий. Управляющие воздействия всегда приложены к входу системы, т. е. к автоматическому регулятору. Возмущающие воздействия могут быть приложены к любой точке САУ и делятся на нагрузку и помехи. Нагрузка – это воздействие, приложенное к регулируемому объекту при нормальной работе системы. В реальных системах, как правило, и управляющие и возмущающие воздействия являются функциями времени (детерминированные) или задаются вероятностными характеристиками (случайные). Чтобы упростить решение, реальные воздействия в теории автоматического управления заменяют идеальными или типовыми воздействиями. 1. Единичная скачкообразная функция (ступенчатое воздействие или единичный скачок). Это воздействие отражает мгновенное приложение или мгновенный сброс нагрузки или помехи. График единичной скачкообразной функции представлен на рис. 2.1, а. Аналитическая запись имеет следующий вид: 0 , 1(t )   1 , при t  0; при t  0. Ступенчатое воздействие с достаточной для практики точностью можно воспроизвести в лабораторных условиях с помощью низкочастотного генератора периодических колебаний или посредством механического воздействия на систему. 2. Единичная импульсная функция (единичный импульс, δ – функция). График δ – функции имеет вид, показанный на рис.2.1, б. Учитывая, что длительность функции h стремится к нулю, а высота 1/ h к бесконечности, δ – функцию можно представить себе в виде мгновенного импульса или удара. Единичная скачкообразная и единичная импульсная функции связаны между собой следующим соотношением: δ(t)  d 1(t) . dt (2.1) 19 а б Рис.2.1 Ступенчатое воздействие 1 (t) и δ(t)–функция применяются в основном при исследовании динамики САУ в переходном режиме, в частности, для построения графика переходного процесса и определения основных показателей качества. 3. Гармоническое воздействие. Имеет вид  0 , при t  0 ; f (t )    a sin  t , при t  0 , f ( t )  1( t ) a sin  t , (2.2) или где а и  - соответственно амплитуды и круговая частота гармонического воздействия. Применяются при исследовании ошибок САУ в установившихся режимах, при построении частотных характеристик и в других случаях. 4. Комплексное гармоническое воздействие. Имеет вид iωt f(t)=1(t) a (cos ωt + i sin ωt)= 1(t)a e . (2.3) Воздействие отражает вибрации, действующие на систему, иногда применяется для аналитического определения частотных характеристик. 5. Воздействия,возрастающие во времени.. Пропорциональное времени:  0 , при t  0 ; f (t )    q 1 t , при t  0 . (2.4) Характеризует изменение управляющий величины с постоянной скоростью. Пропорциональное квадрату времени:  0 , при t  0 ; f (t )   2  q 2 t , при t  0 . (2.5) Характеризует изменение управляющий величины с постоянным ускорением. Здесь q1 и q2 – постоянные коэффициенты. Воздействия (2.4) и (2.5) применяются при исследовании следящих систем. 2.2. ВЫНУЖДЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ И СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ. ПЕРЕХОДНЫЙ И УСТАНОВИВШИЙСЯ РЕЖИМЫ 20 В общем виде движение линейной САУ с постоянными параметрами описывается дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянным коэффициентами (n) (n-1) . anx +an-1x +…+a1 x +a0x =bm f (t)+ …+ b1 f (t)+b0 f (t). (2.6) Допустим, что при t=0 переменные уравнения (2.6.) имеют следующие значения x(0)= x (0) = ….=x(n-1)(0)=x(n)(0)=0; . f (0)= f ; f ( 0 ) = f 0 ;……; f (m-1)(0)= f (m-1); f (m)(0)= f (m) . (m ) При заданных начальных значениях переменных изображения отдельных слагаемых уравнения (2.6) можно записать в следующем виде: a0 x(t)←: a0X(p); a1 x (t)←: a1pX(p); …………………. an x (n) (t)←: anpnX(p); b0 f (t)←: b0F(p); b1 f (t)←: b1 (pF(p) - f 0 ); b2  f (t)←: b2( p2F(p) - p f 0 - f0 ); ……………………….. (2.7) m m-1 m-2 (m-2) (m-1) bm f (m ) (t)←: bm (p F(p) – p f0 – p f0 - …- p f 0 - f0 ). С учетом (2.7) уравнение (2.6), записанное в операторном виде, можно представить следующим образом: X(p) Д(р)= F(p) M(p) – MH(p) , (2.8) n n-1 где Д(р)=anp + an-1p +…+a1p +a0 - характеристический многочлен системы, представляющий собой изображение левой части уравнения (2.6) при нулевых начальных условиях; M(p)=bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0 – многочлен представляющий собой изображение правой части уравнения (2.6) при нулевых начальных условиях; MH(p)= f 0 (bmpm-1+bm-1pm-2+…+b2p+b1)+ f0 (bmpm-2+b1p3+…+b3p+ +b2)+…+ f 0 (m-2)(bmp+bm-1)+ f 0 (m-1)bm - многочлен, учитывающий начальные значения переменной f(t) и ее производных. На основании (2.8) изображение выходной переменной принимает вид M ( p) M ( р) X ( p)  F ( p)  H . (2.9) Д ( р) Д ( р) Изображения F(p) внешних типовых воздействий представляют собой правильные рациональные дроби F ( p) F ( p)  1 . F2 ( p ) Тогда, уравнение (2.9) можно представить следующим образом: M ( p ) F1 ( p ) M H ( p ) X ( p)  (2.10) Д ( р ) F2 ( p ) Д ( р ) Используя формулы обратного преобразования Лапласа, т.е. переходя 21 от изображения Х(р) к оригиналу х (t ) , можно записать решение уравнения (2.6). Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение Д(р)=0 и уравнение F2(p)=0 не содержат нулевых и кратных корней. Решение уравнения (2.6) с учетом (2.10) в этом случае можно представить в виде n x (t )   k 1 M ( pk ) F1 ( p k )  Д ( p ) F ( p ) / 2 M ( pi ) F1 ( pi ) p t n M H ( p k ) p t e  e , / / i 1  Д ( p ) F ( p )  k 1 [ Д ( p )] p  p 2 p p r ep t   k p  pk i i k k (2.11) где pk – корни уравнения Д(р) =0 ; pi - корни уравнения F2 (p) = 0; n - порядок многочлена Д(р); r - порядок многочлена F2(р); /  Д ( p )   dtd Д ( p ). Введем обозначения: n  M ( p k ) F1 ( p k ) M Н ( pk )  p t xcc (t )     (2.12) e , / / k 1  Д ( p ) F ( p ) p  p  Д ( p )  p  p   2 k k k r M ( p i ) F1 ( p i ) p t (2.13) x в (t )   e i . / i 1  Д ( р ) F 2 ( p ) p  p i C учетом этого получим общее решение уравнения (2.6) в виде х(t) = хcc(t) + хв (t) , (2.14) где х(t) - полное движение системы, вызванное внешним воздействием f(t); хcc(t) – собственное движение системы; хв (t) – вынужденное движение системы. Анализ полученного решения позволяет сделать следующие выводы: а) полное движение САУ можно условно разделить на две составляющие: собственное движение, не зависящее от внешнего воздействия f(t), и вынужденное движение, зависящее от него; б) если характеристическое уравнение имеет хотя бы пару комплексных корней, то собственное движение будет колебательным; в) если характеристическое уравнение имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то амплитуда собственных колебаний будет с течением времени неограниченно увеличиваться (система неустойчивая); г) если характеристическое уравнение имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то собственные колебания с течением времени будут затухать, т.е. если pk= - δk ± iωk , то при t→ ∞ хcc(t)→ 0, а х(t)→ хв(t) . Таким образом, после затухания собственных колебаний полное движение системы стремится к вынужденному. Такое состояние системы называют 22 установившемся. Процесс перехода системы из одного установившегося состояния в другое называется переходным режимом. В переходном режиме система совершает как собственное, так и вынужденное движение. Длительность переходного режима определяется временем затухания собственных колебаний. В общем случае начальные условия по всем переменным уравнения (2.6) отличны от нуля, т.е. при t  0 : x (0)  x0 , x (0)  x0 , ..., x (n ) (0)  x0(n ) , тогда в уравнении (2.8) появляется ещё один многочлен Д H ( p ) , учитывающий начальные значения переменной x (t) и её производных, т.е. начальные условия самой системы: X ( p )  Д ( p)  Д H ( p )  F ( p )  M ( p )  M H ( p ) , (2.15) где Д H ( p )  x 0 ( a n p n 1  a n 1 p n 2  ...  a 2 p  a1 )   х 0 ( a n p n  2  a n 1 p n 3  ...  a3 p  a 2 )  ...  x 0( n  2 ) ( a n p  a n 1 )  a n x 0( n 1) . На основании (2.15) можно записать Д ( p) M H ( p) M ( p) X ( p)   F ( p)  H  . (2.16) Д ( p) Д ( p) Д ( p) В соответствии с изображением (2.16) решение уравнения (2.6) будет иметь три составляющие: x(t )  x cc (t )  x cд (t )  x b (t ) , (2.17) n Д (p ) где xcд (t )   / H k ep t . k 1 Д ( p ) p p k k (2.18) Выражение (2.18) характеризует свободное движение системы, полностью определяется корнями характеристического уравнения и от внешнего воздействия f (t ) не зависит. Если характеристическое уравнение имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то свободное движение xсд (t ) системы с течением времени затухает, т.е. если p k   k  i k , то xcc ()  0 и xсд ()  0 , и полное движение САУ х(t ) стремится к вынужденному хв (t ) . Наступает установившийся режим. В частном случае установившемуся режиму САУ соответствует покой или равновесие. 2.3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ Передаточной функцией элемента или системы называют отношение преобразования Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входной величины элемента или системы при нулевых начальных условиях. 23 Для определения аналитического выражения передаточной функции в общем виде достаточно, таким образом, записать уравнение (2.6) в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях по всем переменным и X ( p) записать отношение . F ( p) Если при t  0 : x 0  x (0)  ...  x ( n ) (0)  0 , f 0  f (0)  ...  f ( m ) (0)  0 , то на основании (2.6) можно записать X ( p )( a n p n  a n 1 p n1  ...  a1 p  a0 )  (2.19)  F ( p )(bm p m  bm 1 p m 1  ...  b1 p  b0 ). В соответствии с определением выражение для передаточной функции САУ в общем виде можно записать из уравнения (2.19): X ( p ) bm p m  bm 1 p m 1  ...  b1 p  b0 ( p)   . F ( p ) an p n  bn1 p n1  ...  a1 p  a0 (2.20) Как видно из уравнения (2.20) передаточная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Знаменатель передаточной функции Д ( p)  an p n  ...  a1 p  a0 представляет собой характеристический многочлен системы, а числитель M ( p)  bm p m  ...  b1 p  b0 является изображением правой части уравнения (2.6) при нулевых начальных условиях. В САУ степень знаменателя в выражении (2.20) всегда больше или равна степени числителя, т.е. m  n . В ТАУ также используют передаточную функцию ошибки  x ( p ) , которую определяют как отношение преобразования Лапласа сигнала ошибки х к преобразованию Лапласа входной величины f (t) при нулевых начальных условиях, т.е. ΔX(p) . (2.21) Φх(p)  F(p) Используя передаточные функции (2.20) и (2.21), можно определить изображения регулируемой величины и ошибки САУ по формулам: X ( p)  Ф( p)  F ( p) . ΔX(p)  ΦΔx(p)  F(p); (2.22) 24 1. 2. 3. 4. ЛЕКЦИЯ 4 План лекции: Переходная характеристика и весовая функция системы. Типовые звенья САУ. Неустойчивые и неминимально–фазовые звенья. Рекомендуемая литература [1, 4, 7]. 2.4. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА И ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ Для исследования динамики САУ в переходном режиме используются переходные характеристики и весовые функции. Переходной характеристикой системы a(t) называют её реакцию (изменение во времени выходной величины) на единичное скачкообразное воздействие 1(t) . Весовой функцией wв(t) (функцией веса) системы называют её реакцию на единичное импульсное воздействие  (t) . В соответствии с этими определениями можно утверждать, что они связаны между собой так же, как единичное ступенчатое воздействие с дельта-функцией, т. е. da(t) wв(t)  ; (2.23) dt t a(t)   wв(t)dt . (2.24) Зная переходную характеристику или весовую функцию, можно определить реакцию системы или звена на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях. 2.5. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Деление САУ на функциональные элементы не отражает динамические свойства ни системы, ни элементов. Поэтому, САУ "разбивают" на отдельные устройства в зависимости от динамических свойств этих устройств, которые называют динамическими звеньями. Типовым динамическим звеном называет звено, для которого связь между входным и выходным сигналами описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типовые звенья. 1. Усилительное звено (безынерционное) характеризуется тем, что выходной сигнал xвых пропорционален входному xвх : a 0 xвых  b0 xвх , или xвых  kxвх , 25 b0 - коэффициент передачи усилительного звена (если размерности a0 коэффициентов a0 и b0 совпадают, то называют k коэффициентом усиления). На основании (2.25) при нулевых начальных условиях имеем X вых(p)  kX вх(p) , (2.26) или X (p) K(p)  вых  k , (2.27) X вх(p) где X вых(p) : xвых(t) ; X вх(p) : xвх(t ) . Для определения переходной характеристики a(t) необходимо определить реакцию звена xвых(t) на единичное скачкообразное воздействие 1(t) т.е, xвых(t)  a(t ) , если x вх (t)  1(t) . В соответствии с этим 1 (2.28) A(p)  K(p) , p где K (p) - передаточная функция звена. 1 A(p) : a(t) ; : 1(t) . p Для определения весовой функции wв(t) необходимо определить реакцию звена xвых(t) на единичное импульсное воздействие, δ(t) т.е. xвых(t)  wB(t) , если xвх(t)  δ(t ) . В соответствии с этим Wв(p)  K(p)  1  K(p) , (2.29) где Wв(p) : wв(t) ; δ(t) : 1 . Выражения (2.28) и (2.29) позволяют определить изображения переходной характеристики A(p) и весовой функции Wв(p) по передаточной функции K(p) звена. Так для усилительного звена на основании (2.28) и (2.29) с учётом (2.27) можно записать 1 Wв(p)  k , A(p)  k ; p т. е. a(t)  k  1(t); wв(t)  k  δ(t) . Изложенная методика может быть применена для определения переходных характеристик и весовых функций всех типовых звеньев. 2. Интегрирующее звено характеризуется уравнением 1t a1 x вых  b0 xвх или xвых(t)   xвх dt , (2.31) T0 a где T  1 - постоянная времени интегрирующего звена. b0 где k  26 Соответствующая (2.31) передаточная функция интегрирующего звена имеет вид X (p) 1 K(p)  вых  . X вх(p) Tp В соответствии с (2.28) и (2.29) 1 1 , A(p)  2 ;  d (t )  Tp Tp т. е. 1 1 a(t)  t  1(t), ωв(t)   1(t) . (2.33) T T 3. Дифференцирующее звено описывается уравнением a 0 xвых  b1 x вх или b где T  1 . a0 На основании (2.34) имеем xвых  Txвх , K(p)  X вых(p)  Tp ; A(p)  T ; X вх(p) (2.34) Wв(p)  Tp ; (2.35) т. е. 4. ет вид a(t)  T  δ(t); ωв(t)  T  δ(t) . (2.36) Апериодическое (инерционное) звено. Уравнение этого звена име- a1 x вых  a 0 xвых  b0 xвх , или T  xвых  xвых  k  xвх , b a где T  1 ; k  0 . a0 a0 Соответственно передаточная функция определяется выражением X (p) k K(p)  вых  ; (2.37) X вх(p) Tp  1 На основании (2.37) имеем: k A (p) A(p)   1 ; p(Tp  1 ) pA2(p) (2.38) k W (p) Wв(p)   1 ; Tp  1 W2(p) (2.39) Применяя формулу обратного преобразования Лапласа, будем иметь a(t)  A1( 0 ) n A1(p i ) p t  e , A2( 0 ) i 1 pi A2/ (pi ) i (2.40) 27 где n  1 ; A1( 0 )  k ; A2 ( 0 )  1 ; A1(p1 )  k ; A2/ (p)  T ; 1 p1   . T Тогда (2.40) примет вид  t a(t)  k( 1 -e T ) . (2.41) Выражение для весовой функции на основании (2.39) имеет вид n W1(pi ) p t 1 Tt w(t)   / e ; wв  k  e . T i 1 W2 (p i ) i (2.42) 5. Колебательное звено. Уравнение для этого звена имеет вид a 2 xвых  a1 x вых  a0 xвых  b0 xвх , или T2 xвых  2ξT x вых  x вых  kx вх , (2.43) b a2 a1 ; k 0; ξ - коэффициент относительного демпфиa0 a0 2 a0 a2 рования, причём для колебательного звена ξ  1 . Передаточная функция колебательного звена, соответствующая уравнению (2.43), имеет вид k . (2.44) K(p)  2 2 T p  2ξTp  1 Если  окажется больше единицы, то это звено называется апериодическим звеном второго порядка, а его передаточная функция записывается в виде k k K(p)   , 2 (T1 p  1 )(T2 p  1 ) T1T2 p  (T1  T2 )p  1 (2.45) a2 a где T1T2  T  ; T1  T2  2ξT  1 . a0 a0 На основании (2.44) имеем: k ; (2.46) A(p)  2 2 p(T p  2ξTp  1 ) k . (2.47) WB(p)  2 2 T p  2ξTp  1 Применяя формулы обратного преобразования Лапласа, можно показать, что выражения для переходной характеристики и весовой функции, соответствующие (2.46) и (2.47), имеют вид: ξt ξt    1 ξ 2 ξ 1  ξ 2  T a(t)  k 1 - e T  cos t  e sin t ; 2 T T 1  ξ   (2.48) где T 28 ξt T 1 ξ2 wв(t)  k  e sin t. T T 1 ξ 2 1  (2.49) Графики переходных характеристик и весовых функций типовых звеньев сведены в табл. 2.1. 6. Форсирующее звено 1-го порядка. Уравнение этого звена a 0 xвых  b1 x вх  b0 xвх , или xвых  k(Tx вх  xвх ) , (2.50) b0 b ; T 1. a0 b0 Передаточная функция, соответствующая уравнению (2.50), имеет вид X (p) K(p)  вых  k(Tp  1 ) . (2.51) X вх(p) На основании (2.51) 1 A(p)  k(T  );W в (p)  k(Tp  1 ) , p Таблица 2.1 Передаточная Переходная п/п Функция Весовая функция характеристика типового звена где k 1 k 2 1 Tp 3 Tp 29 4 k Tp  1 5 k T p  2Tp  1 2 2 т.е. a(t)  k[T(t)  1(t)] ; w (t)  k[Tδ(t)  δ(t)] . в 7. a 0 x вых Форсирующее звено 2-го порядка. Уравнение этого эвена  b2 xвх  b1 x вх  b0 x вх , или xвых  k(T 2 xвх  2ξTxвх  xвх ) , (2.52) (2.53) (2.54) b0 b b1 ; T 2 ; ξ . a0 b0 2 b0b2 Соответствующая (2.54) передаточная функция имеет вид X (p) K(p)  вых  k(T 2 p 2  2ξTp  1 ) . X вх(p) (2.55) На основании (2.55) запишем: 1 A(p)  k(T 2 p  2ξT  ) ; Wв(p)  k(T 2 p 2  2ξTp  1 ) ; p 2  a(t)  k[T δ(t)  2ξT (t )  1(t)] ; (2.56) 2  wв(t)  k[T δ(t)  2ξTδ(t)  δ(t)] . (2.57) В соответствии с определением типовых звеньев их классификация производится именно по виду дифференциального уравнения или передаточной функции. Одним и тем же уравнением могут описываться весьма разнообразные устройства (механические, электромеханические, электронные, гидравлические и др.). Один и тот же реальный элемент САУ может считаться усилительным, дифференцирующим, апериодическим, колебательным звеном в зависимости от допущений, принятых при его математическом описании, а также в зависимости от того, какие переменные принимаются за где k 30 входные и выходные (перемещения, скорости, ускорения, моменты и т.д.). В общем случае передаточную функцию любого реального элемента можно представить в виде произведения передаточных функций типовых звеньев. Тем не менее, в качестве примеров типовых звеньев при определённых допущениях можно привести реальные элементы САУ. Примерами усилительного звена могут служить электронные усилители, делители напряжения (потенциометры), безынерционные датчики углов и др. 2.6. НЕУСТОЙЧИВЫЕ И НЕМИНИМАЛЬНО–ФАЗОВЫЕ ЗВЕНЬЯ Рассмотренные выше звенья позиционного типа относятся к устойчивым звеньям. Существуют звенья, у которых ограниченное изменение входной величины или возмущавшего воздействия не вызывает прихода звена к новому установившемуся состоянию, а выходная величина имеет тенденцию неограниченного возрастания во времени. К таким звеньям относятся, например, звенья интегрирующего типа. Они были рассмотрены выше. Существуют звенья, у которых этот процесс выражен ещё заметнее. Это объясняется наличием положительных вещественных корней, или комплексных корней с положительной вещественной частью в характеристическом уравнении (знаменателе передаточной функции, приравненном нулю), в результате чего звено будет относиться к категории неустойчивых звеньев. Существенной особенностью неустойчивых звеньев является наличие больших по сравнению с устойчивыми звеньями фазовых сдвигов. В связи с этим неустойчивые звенья относятся к группе так называемых неминимально-фазовых звеньев. К неминимально-фазовым звеньям относятся также устойчивые звенья, имеющие в числителе передаточной функции (в правой части дифференциального уравнения) вещественные положительные корни или комплексные корни с положительной вещественной частью. Например, звено с передаточной функцией 1  T1 p 1  T2 p относится к группе неминимально-фазовых звеньев. К рассмотренным ранее минимально-фазовым звеньям относятся такие, у которых корни числителя и знаменателя передаточной функции находятся в левой полуплоскости. К неустойчивым звеньям относятся звенья, имеющие следующие передаточные функции: k k k k k ; ; ; ; и др. 2 2 2 2 Tp  1 1  Tp  1  2ξTp  T p 1  2ξTp  T p p(Tp  1 ) 31 ЛЕКЦИЯ 5 План лекции: 1. Структурные схемы САУ. 2. Составление и преобразований структурных схем САУ. 3. Передаточные функции замкнутой и разомкнутой системы. 4. Рекомендуемая литература [1, 3, 7]. 2.7. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ САУ Любую САУ можно рассматривать как комбинацию динамических звеньев с определёнными типовыми передаточными функциями. Схему САУ, составленную из динамических звеньев с указанием их передаточных функций, называют структурной. Структурные схемы САУ в наглядной форме отражают состав систем и связи между отдельными элементами. Динамические звенья, входящие в структурную схему, могут соединяться друг с другом различным образом. А. Последовательное соединение звеньев показано на рис. 2.2а. Передаточная функция такого контура равна произведению передаточных функций отдельных звеньев: X ( p) X вых ( p) X 1 ( p) X 2 ( p)...X n 1 ( p) K э ( p)  вых   K 1 ( p) K 2 ( p)...K n ( p) , X вх ( p) X вх ( p) X 1 ( p) X 2 ( p)...X n 1 ( p) или n K ( p)   K ( p) . (2.58) э i i 1 Следует подчеркнуть, что это справедливо только в том случае, если соединение выхода предыдущего звена с входом последующего не меняет исходных уравнений каждого звена и, следовательно, его передаточной функции. В подобной последовательной цепи звеньев сигнал проходит только в одном направлении. Если при соединении двух звеньев наблюдается влияние одного звена на другое, в результате которого меняются исходные уравнения какого-либо звена, то такое соединение двух звеньев должно рассматриваться как новое самостоятельное звено со своей передаточной функцией. Б. Параллельное соединение звеньев изображено на рис. 2.2б. Так как сигналы на выходе всех звеньев складываются, то результирующая передаточная функция такого контура равна сумме передаточных функций: X ( p ) X ( p )  X ( p )  ...  X ( p ) вых 2 n K ( p)   1  K ( p )  K ( p )  ...  K ( p ) э 1 2 n X ( p) X ( p) вх вх , или 32 n K ( p)   K ( p) . (2.59) э i i 1 Здесь остаются справедливыми замечания, сделанные выше относительно взаимного влияния звеньев. В. Соединение с помощью обратной связи изображено на рис. 2.2в. Обратная связь может быть положительной (в этом случае x  x вх  x ос ), и отрицательной ( x  x вх  x ос ). Определим эквивалентную передаточную функцию такого контура: X вых ( p ) X ( p) X вых ( p ) K ( p) X ( p ) K э ( p )  вых    . X вх ( p ) X ( p )  X ос ( p ) 1  X ос ( p ) 1  K ( p ) K ос ( p ) X ( p ) Для отрицательной обратной связи K ( p) K э ( p)  (2.60) 1  K ( p) K ос ( p) а б в Рис.2.2 Положительные обратные связи в САУ встречаются очень редко. Обратные связи подразделяют на жесткие и гибкие. Обратная связь называется жёсткой, если ее передаточная функция не содержит дифференцирующие и интегрирующие звенья и совпадает с передаточной функцией усилительного звена. Обратная связь называется гибкой, если она содержит хотя бы одно дифференцирующее или интегрирующее звено. 2.8. СОСТАВЛЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ САУ Составлению структурной схемы предшествует процесс составления дифференциальных уравнений в операторной форме, отвечающих функцио33 нальной схеме соединения устройств, по которым определяются передаточные функции звеньев. Каждое звено характеризуется на структурной схеме своей передаточной функцией. Структурные схемы САУ кроме главной могут иметь несколько местных обратных связей. Пользуясь формулами (2.58) – (2.60) для нахождения передаточных функций различных соединений звеньев, можно объединить группы звеньев и привести многоконтурную схему системы со многими местными связями к одноконтурной, характеризующейся наличием лишь одной главной обратной связи. Процесс преобразования структурной схемы к виду, удобному для анализа САУ, называется свёртыванием структурной схемы. При свёртывании структурных схем пользуются определёнными правилами (табл. 2.2). Все правила преобразования структурных схем, приведенные в табл. 2.2, соответствуют правилам выполнения алгебраических операций. Это соответствие вытекает из определения структурных схем, которые является своеобразной формой представления дифференциальных уравнений САУ в операторной форме при нулевых начальных условиях по всем переменным. Последние же можно рассматривать формально как алгебраические уравнения. Отмеченное обстоятельство исключает необходимость доказательства каждого правила преобразования в отдельности, которое можно заменить проверкой выполнения того иди иного алгебраического правила. Пользуясь приведёнными правилами, любую структурную схему можно преобразовать к желаемому виду, например, к виду схемы одноконтурной одноканальной САУ с передаточной функцией прямой цепи и передаточной функцией главной обратной связи. Таблица 2.2 ПРАВИЛО ИСХОДНАЯ ЦЕПЬ ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЦЕПЬ 1 2 3 1.Перестановка точек cуммирования (от перестановки слагаемых сумма не меняется) 2.Изменение знаков входных и выходных переменных сумматора (изменение знаков обоих частей уравнения на противоположные) 3.Порядок соединения cумматоров можно изменять (от перестановки мест и взаимной группировки слагаемых сумма не меняется) 34 4.Любой сигнал можно последовательно прибавить, а затем вычесть 5.Порядок операций можно менять (от перестановки мест сомножителей произведение не меняется) 6.Последовательное выполнение прямой и обратной операций не вносит изменений в схему (результат не изменится, если переменную умножить и поделить на одно и то же число) 7.Порядок выполнения операций и суммирования можно изменять 8.Порядок выполнения операций и точки разветвления можно менять 9.Перемещение динамического звена вперёд через сумматор или перемещение сумматора назад через динамическое звено (вынесение сомножителя за скобку) 10.Перемещение динамического звена назад через точку разветвления или перемещение точки разветвления вперед через динамическое звено (умножение и деление уравнений на одно и то же число) 11.Перестановка точек съема (прибавление или вычитание нуля) 35 12.Перенос точки суммирования с входа звена на его выход (умножение скобки на постоянный коэффициент) 13.Перенос точки суммирования с выхода звена на его вход (вынесение сомножителя за скобку) 14.Перенос точки съема с входа звена на его выход (см. правила 6 и 10) 15.Перенос точки съема с выхода звена на его вход (см. правило 14) 16.Применение усилителя с бесконечным усилением для инверсии операции. Число полюсов функции равно числу нулей этой функции К=у/х К = у/х 17.Исключение неединичной обратной связи (преобразование структурной схемы проведено на ( x  zk 2 )k1  z xk1  z  k1k 2 z основании правил 13 и 5)  k1  x z 1  k1k 2  18.Преобразование параллельной связи к единичной обратной связи  ( p)  Y ( p )  X ( p)  K 1 ( p )  K 2 ( p) обратная эквивалентная схема Y * ( p) 1 1   * X ( p) K1  K 2 ( p) Пример. На рис. 2.3а представлена структурная схема, которую необходимо преобразовать к простейшему виду рис.2.3б. Прежде чем объединять отдельные звенья, в данном случае необходимо освободиться от перекрестных связей, для этого можно перенести точку (а) в точку (б) (правило 14) и 36 объединить между собой звенья, соединённые последовательно, параллельно и с помощью обратной связи, пользуясь формулами. Рис.2.3 K ( p)   K1 ( p ) K 2 ( p ) K ( p)    K3 ( p)  5   K6 ( p) ; 1  K1 ( p ) K 2 ( p ) K 4 ( p )  K 2 ( p)  K ос ( p )  K 7 ( p ) . 37 2.9. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТОЙ И РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ Для любой САУ можно составить несколько передаточных функций. Их количество определяется количеством входных воздействий и интересующих выходных переменных. В ТАУ пользуются тремя основными видами передаточных функций. Основная передаточная функция X ( p) ( p)  вых (2.61) X вх ( p) определяется как отношение изображений выходной величины и входного воздействия при нулевых начальных условиях. Передаточная функция по ошибке X ( p )  x ( p )  (2.62) X вх ( p) определяется как отношение изображений сигнала ошибки и входного воздействия при нулевых начальных условиях. Передаточная функция по обратной связи X ( p)  0 ( p)  ос (2.63) X вх ( p) определяется как отношение изображений сигнала главной обратной связи и входного сигнала при нулевых начальных условиях. Кроме перечисленных передаточных функций замкнутой САУ в ТАУ пользуются передаточной функцией разомкнутой системы X ( p) W ( p)  ос  K ( p)  K ос ( p) , (2.64) X ( p) которая определяется как отношение изображений сигналов главной обратной связи и ошибки при нулевых начальных условиях и возмущающих воздействиях, равных нулю. Передаточная функция разомкнутой системы имеет большое значение в ТАУ, гак как многие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно этой функции. Установим связь между передаточными функциями замкнутой и разомкнутой системы. На основании (2.61), (2.62), (2.63) запишем X вых ( p) X ( p) X вых ( p ) K ( p) K ( p) X ( p ) ( p )  вых     ; X вх ( p ) X ( p )  X ос ( p ) 1  X ос ( p ) 1  K ( p ) K ос ( p ) 1  W ( p ) X ( p ) (2.66) X ( p ) X ( p ) 1 1  x ( p )     ; X вх ( p ) X ( p )  X ос ( p ) 1  X ос ( p ) 1  W ( p ) X ( p ) (2.67) 38 X ос ( p ) X ( p) X ос ( p ) W ( p) X ( p )  ос ( p )  ос    . (2.68) X вх ( p ) X ( p )  X ос ( p ) 1  X ос ( p ) 1  W ( p ) X ( p ) Формулы (2.66)–(2.68) позволяют по известной передаточной функции разомкнутой системы определить любую передаточную функций замкнутой системы. 1. 2. 3. 4. 5. 3. УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 6 План лекции: Понятие об установившемся режиме. Точность САУ в установившемся режиме. Установившиеся ошибки следящих систем. Коэффициенты ошибок. Рекомендуемая литература [1, 3, 7]. 3.1. ТОЧНОСТЬ САУ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ Установившимся называют режим работы системы управления после затухания собственных колебаний. При этом переменные величины САУ или остаются неизменными, или находятся в вынужденном движении, характер которого определяется видом внешнего воздействия. Математически в линейных системах этому соответствует обращение в нуль экспоненциальных составляющих решений дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, что имеет место при t   . Практически можно считать режим установившимся, когда экспоненциальные составляющие, характеризующие свободное движение системы, станут настолько малыми, что полное решение уравнений лишь незначительно (обычно на 5% от максимального значения соответствующей функции) будет отличаться от его частного решения, определяющего вынужденное движение системы. Точность САУ в установившемся режиме характеризуется ошибками системы при различных воздействиях - постоянном возмущающем (в частном случае, единичном), а также управляющих и возмущающих, изменяющихся по определённым законам. Необходимые расчётные соотношения для вычисления установившихся ошибок САУ могут быть определены при помощи теоремы операционного исчисления о предельном значении функции. Эта теорема утверждает, что если x(t ) есть оригинал операторного изображения X ( p ) , т. е. x (t )  X ( p ) и если pX ( p ) есть аналитическая функция комплексного переменного p на мнимой оси и в правой полуплоскости, то x уст  lim x(t )  lim pX ( p ) , (3.1) t  p0 39 где x уст - установившееся значение функции x(t ) . Передаточную функцию замкнутой САУ в общем виде можно представить следующим образом: X ( p ) p N ( p ) ( p)   , (3.2) F ( p) D( p ) где ( p ) может быть любая из рассмотренных в предыдущей главе передаточных функций замкнутой САУ; X ( p ) - изображение любой интересующей нас переменной, чаще всего регулируемой величины X вых ( p ) , сигнала ошибки X ( p ) или сигнала главной обратной связи X ос ( p ) ; F ( p ) - любое внешнее воздействие (управляющее или возмущающее) приложенное к любой точке системы; N ( p ) - полином числителя передаточной функции ( p ) , не содержащий нулевых корней; D ( p ) - полином знаменателя передаточной функции ( p ) (характеристический полином);  - порядок астатизма системы. Для статической системы   0 и передаточная функция (3.2) принимает вид N ( p ) bm p m  ...  b1 p  b0 ( p)   , (3.3) D( p ) a n p n  ...  a1 p  a 0 где a 0 , a1 ,..., a n ; b0 , b1 ,..., bn - постоянные коэффициенты; n - порядок характеристического уравнения D ( p )  0 , причём n  m . Пусть на САУ действует некоторое постоянное (или медленно изменяющееся по сравнению со временем протекания переходных процессов) воздействие f 0 (в частном случае f 0  1(t ) единичное скачкообразное воздействие); А. Для статических систем в соответствии с выражениями (3.1) и (3.3) можно написать N ( p) x уст  lim x ( t )  x  lim p  ( p ) F ( p )  lim p  F ( p)   t  p 0 p 0 D( p ) (3.4) bm p m  ...  b1 p  b0 f 0 b0  lim p    f 0  const. p 0 an p n  ...  a1 p  a0 p a0 Формулу (3.4) можно использовать для вычисления установившихся ошибок статических САУ вызванных постоянным воздействием f 0 . Б. Для астатических систем в соответствии с выражениями (3.1) и (3.2) можно записать p N ( p) f 0 p N ( p) x уст  x  lim p ( p) F ( p)  lim p   lim f 0  0. p 0 p 0 D ( p ) p p 0 D ( p ) (3.5) 40 Следовательно, в астатических системах установившаяся ошибка, вызванная постоянным воздействием, равняется нулю. Полученный вывод справедлив лишь для идеализированных систем, в которых не учитываются такие факторы, как зона нечувствительности, сухое трение, люфт и другие нелинейности. Следует иметь в виду, что одна и та же система может быть астатической по отношению к одному воздействию и статической по отношению к другому воздействию. В реальных системах учёт влияния этих факторов производится из условия компенсации соответствующего постоянного возмущения за счет увеличения статической (установившейся) ошибки системы. Так, статическая ошибка следящей системы при заданном статическом моменте M ст на валу исполнительного двигателя определяется из условия M ст  M тр , где M тр - момент трогания двигателя, развиваемый последним в заторможенном состоянии при определённой величине ошибки    ст . Считая M тр пропорциональным напряжению, подаваемому на двигатель, можно записать M тр  k д  U  k у  k д  k 4   cт , ( 3.6) где k у - коэффициент усиления усилителя по напряжению; k д - передаточный коэффициент двигателя по моменту; k 4 - передаточный коэффициент чувствительного элемента. Приравнивая M ст и M тр , получим  ст  M ст . k у  kд  k 4 (3.7) 3.2. УСТАНОВИВШИЕСЯ ОШИБКИ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ Следящие системы обычно являются астатическими системами с астатизмом первого порядка, работающими при переменном управляющем воздействии. Для таких систем в установившемся режиме наиболее характерным является изменение входной величины по линейному закону с постоянной скоростью x вх (t )  at , чему соответствует операторное изображение вида a (3.8) X вх ( p )  2 . p На основании выражений (3.1), (3.2), (3.8) при   1 будем иметь p  N ( p) a N ( p) b1 x уст  lim p   lim  a  a . (3.9) 2 p 0 p 0 D( p) p D( p) a0 41 Установившуюся ошибку следящей системы при входном сигнале, изменяющимся с постоянной скоростью, называют скоростной ошибкой. a Обозначив скоростную ошибку x уст , а отношение 0 через DV , на основаb1 нии (3.9), окончательно получим a x уст  . (3.10) DV Постоянная величина a DV  (3.11) x уст называется добротностью следящей системы по скорости и имеет размерность с-1 . Она показывает величину установившейся скорости выходной оси следящей системы, развиваемой на единицу скоростной ошибки. В следящей системе с астатизмом второго порядка (  2 ) скоростная ошибка равняется нулю, вследствие этого установившуюся ошибку определяют при изменении входной величины по квадратичному закону с постоян ным ускорением xвх (t )  t 2 . При этом 2  a х уст  ; Dw  0 , (3.12) b2 Dw где Dw – добротность следящий системы по ускорению, имеющая размерность с- 2. Величины DV и Dw зависят от параметров САУ. В одноконтурных системах без местных обратных связей они определяются как произведения передаточных коэффициентов звеньев системы. В более сложных САУ при определении установившихся ошибок удобнее пользоваться не готовыми формулами, а теоремой о предельном значении функции (3.1). Применяя её к операторному изображению ошибки следящей системы в каждом конкретном случае. В общем случае, если x вх (t ) имеет произвольную форму и имеет конечное число производных, то ошибку системы можно определить следующим образом. Найдём изображение ошибки 1 (3.13) X ( p )   x ( p )  X вх ( p )   X вх ( p ) , 1  W ( p) где  x ( p ) - передаточная функция замкнутой системы по ошибке; W ( p ) - передаточная функция разомкнутой системы; X вх ( p ) - изображение воздействия (задающего или возмущающего). Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд по возрастающим степеням комплексной величины p C C X ( p )  [C 0  C1 p  2 p 2  3 p 3  ...]  X вх ( p ) . (3.14) 2! 3! 42 Этот ряд сходится при малых значениях p , т.е. при достаточно большом t , что соответствует установившемуся процессу. Переходя от изображения (3.1) к оригиналу, получаем формулу для установившейся ошибки  C  C x уст  C 0 хвх (t )  C1 х вх (t )  2 х вх (t )  ...  m X вх( m ) (t ) . (3.15) 2! m! Величины C0 , C1 ,…,Сm называют коэффициентами ошибок. Они могут определяться согласно общему правилу разложения функции в ряд Тейлора по формулам:  d ( p )  C 0  [ x ( p)] p  0 ; C1   x ………;  ; dp   p0  d m  x ( p )  Cm    . m dp   p 0 Так как передаточная функция по ошибке представляет собой дробно-рациональную функцию, то коэффициенты ошибок можно более просто получить делением числителя на знаменатель и сравнением получающегося ряда с выражением (3.14). Коэффициент C 0 отличен от нуля только в статических системах. В системах с астатизмом первого порядка 1 C0  0 ; C1  . Dv В системах с астатизмом второго порядка C2 1 C0  0 ; C1  0 ;  . 2 Dw Если задающее воздействие имеет ограниченное число производных, то ряд будет иметь ограниченное число членов. Пример. Определить первые три коэффициента ошибки по задающему воздействию, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид k W ( p)  . p(1  T1 p)(1  T2 p) Найдем передаточную функцию по ошибке T1T2 p 3  (T1  T2 ) p 2  p 1 Ф x ( p )   1  W ( p ) T1T2 p 3  (T1  T2 ) p 2  p  k Делим числитель на знаменатель и получаем ряд T  T2 1  3 1  T  T2 1  2  Фx ( p)  p   1   p   T1T2  2 1  2  p  ... k k k k   k  T  T2 1 1 Таким образом, C 0  0 ; C1  ; C 2  1  2. k k k Если задающее воздействие в этой системе меняется по закону 43  x вх (t )  xвх  at  t 2 ; x вх (t )  a  t ; 2 то установившаяся ошибка будет равна a  t  x уст   2 (T1  T2 )k  1 . k k xвх (t )   , ЛЕКЦИЯ 7 План лекции: 1. Частотные характеристики САУ. 2. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики. 3. Рекомендуемая литература [1, 8]. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ САУ Частотные характеристики характеризуют установившиеся вынужденные колебания на выходе системы или звена, вызванные гармоническим воздействием на входе. Для аналитического определения частотных характеристик будем считать, что входное воздействие изменяется по следующему закону: f (t )  a  e it . (3.16) При заданном воздействии (3.16) решение линейного дифференциального уравнения a n  x ( n )  a n 1  x ( n 1)  ...  a1  x  a 0  x  (3.17)  b  f ( m ) (t )  ...  b  f (t )  b  f (t ) m 1 можно искать в следующем виде: x ( t )  b  e i ( t   ) . (3.18) где a и b - амплитуды входного воздействия и выходной величины;  - круговая частота воздействия;   - сдвиг по фазе выходного сигнала относительно входного. На основании (3.16) и (3.18) можно записать f (t )  a  e it x ( t )  b  e i ( t   ) f (t )  iai  e it x (t )  ibi  e i (t  ) 44 …………………………………… (3.19) f ( m ) (t )  a (i ) m  e it x ( n ) (t )  b(i ) n  e i (t  ) Подставив выражения (3.19) в уравнение (3.17), получим b  e it  e i a n (i ) n  a n 1 (i ) n 1  ...  a1i  a 0    a  e it bm (i ) m  bm 1 (i ) m 1  ...  b1i  b0  , или H ( )  e i ( ) bm (i ) m  bm 1 (i ) m 1  ...  b1i  b0  . a n (i ) n  a n 1 (i ) n 1  ...  a1i  a 0 (3.20) Выражение (3.20) представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) САУ. Сравнение её с передаточной функцией bm p m  bm 1 p m 1  ...  b1 p  b0 Ф( p )  a n p n  a n 1 p n 1  ...  a1 p  a 0 показывает, что аналитическое выражение АФЧХ получается путём формальной замены в соответствующей передаточной функции оператора p на i . Таким образом, имея передаточную функцию системы или звена, можно легко получить выражение для АФЧХ этой системы или звена: Ф(i )  H ( )  e i ( ) . (3.21) Выражение (3.21) иногда называют ещё комплексной или частотной передаточной функцией. Для экспериментального определения АФЧХ входное воздействие целесообразно изменять по гармоническому закону f (t )  a  sin t . Тогда частное решение линейного уравнения (3.17) необходимо искать в виде x (t )  b  sin(t   ) . (3.22) Нетрудно показать, что выражение для АФЧХ в этом случае получается точно такое же, как и в предыдущем. e it  e  it f (t )  a  sin t  a  f1 (t )  f 2 (t ) , 2i где e it e  it f 1 (t )  a ; f 2 (t )   a . 2i 2i Тогда i (t   )  i (t   ) e e x (t )  x (t )  x (t )  b b  b  sin(t   ) 1 2 2i 2i и выражение для АФЧХ Ф(i )  H ( )  e i ( ) принимает вид (3.20).   45 АФЧХ (3.20) представляет собой комплексную функцию, следовательно, m m  1  ...  b i  b i ( ) bm (i )  bm  1 (i ) 1 0  U ( )  iV ( ) H ( )  e  n n  1 a (i )  a (i )  ...  a i  a n n 1 1 , где U ( ) - действительная часть АФЧХ, V ( ) - мнимая часть АФЧХ. b Модуль H ( )  ( ) АФЧХ Ф(i ) называется амплитудной частотa ной характеристикой (АЧХ). АЧХ представляет собой зависимость отношения амплитуды входного и выходного сигналов от частоты внешнего воздействия. Она показывает степень искажения системой или звеном входного сигнала по амплитуде на различных частотах. Аргумент  0 ( ) АФЧХ Ф(i ) называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). ФЧХ представляет собой зависимость сдвига фаз входного и выходного сигналов от частоты входного воздействия. Она показывает степень искажения системой или звеном входного сигнала по фазе на различных частотах. АФЧХ строится на комплексной плоскости в координатах, U ( ) и V ( ) . Она представляет собой геометрическое место концов вектора H ( ) (годограф), соответствующее частотной передаточной функции при изменении частоты  от нуля до бесконечности (рис. 3.1,а) Ф(i )  U ( )  iV ( ) АФЧХ может быть построена как для положительных, так и для отрицательных частот. При замене в частотной передаточной функции   на   получается сопряжённая комплексная величина. Поэтому АФЧХ для отрицательных частот может быть построена как зеркальное изображение относительно вещественной оси АФЧХ для положительных частот. Из рис. 3.1,а следует зависимости, связывающие модуль H ( ) и аргумент  0 ( ) АФЧХ с действительной U ( ) и мнимой V ( ) частями частотной передаточной функции: H ( )  U 2 ( )  V 2 ( ) ; (3.24) V ( ) ;  0 ( )  arctg U ( ) U ( )  H ( )  cos   ; V ( )  H ( )  sin   . (3.25) Формулы (3.24) и (3.25) позволяют аналитически определить АЧХ и ФЧХ по передаточной функции системы или звена. 46 На рис. 3.1.б показаны примеры амплитудной и фазовой частотных характеристик обычных инерционных звеньев. У таких звеньев в силу их инерционности АЧХ по мере увеличения частоты приближается к оси частот. При этом, чем менее инерционно звено, тем длиннее его амплитудная характеристика, т.е. тем больше полоса пропускания. Теоретически АЧХ продолжается до бесконечности, но практически полоса пропускания оценивается b значением частоты, при котором отношение амплитуд становится меньше a определенного достаточно малого конечного значения. Это значение обычно берут равным 5%. Наличие максимума у АЧХ говорит о резонансных свойствах звена или системы. Частота, соответствующая максимуму АЧХ, называется резонансной частотой. Для получения частотных характеристик экспериментальным путём для каждого значения частоты определяют амплитуду гармонического входного воздействия, амплитуду выходной величины, а также фазовый сдвиг между обеими амплитудами. Ценность использования частотных характеристик заключается в том, что они позволяют косвенно, т.е. без решения дифференциального уравнения системы, судить о поведении САУ в отношении устойчивости и ряда показателей качества, а также определять и рассчитывать средства коррекции системы для получения заданных динамических показателей. Рис. 3.1 47 ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ АМПЛИТУДННЫЕ И ФАЗОВЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ В настоящее время наибольшее применение получили логарифмические частотные характеристики. Их применяют как для анализа, так и для синтеза линейных и нелинейных систем автоматического управления. Такое признание логарифмические характеристики получили благодаря своим достоинствам, которые, прежде всего, сводятся к простоте их построения и наглядности получаемых результатов. Построение ЛАФЧХ производится фактически без расчётов по известным логарифмическим характеристикам типовых звеньев с применением шаблонов этих характеристик. Структурная схема САУ должна быть сведена при этом к схеме, состоящей из последовательно соединённых типовых звеньев с единичными местными обратными связями. К указанному виду можно свести любую схему на основании правил преобразования структурных схем. Эквивалентная передаточная функция K э ( p ) последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев, т.е. K э ( p )  K 1 ( p )  K 2 ( p )  ...  K n ( p ) . Следовательно K э (i )  K 1 (i )  K 2 (i )  ...  K n (i ) , или H э ( )e i ( )  H 1 ( )e i ( )  H 2 ( )e i ( )  ...  H n ( )e i ( ) . (3.26) На основании (3.26) будем иметь: э 1 2 n n  э ( )    i ( ) ; (3.27) i 1 n H э ( )   H i ( ) . (3.28) i 1 В результате логарифмирования выражения (3.28) получим n lg H э ( )   lg H i ( ) , (3.29) i 1 т.е. в логарифмическом масштабе амплитудная частотная характеристика последовательно соединенных звеньев равна сумме амплитудных характеристик отдельных звеньев. Это позволяет строить логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики (ЛАФЧХ) разомкнутых систем путем геометрического сложения соответствующих характеристик типовых звеньев, на которые разбивается система. Это существенно сокращает время построения частотных характеристик сложных САУ. Для практических целей удобнее пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частотную ха48 рактеристику (ЛАХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФХ). Для построения ЛАХ находится величина L(ω)  20 lg W (iω)  20 lg H (ω) . (3.30) Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела - в 100 раз, 3 бела - в 1000 раз и т.д. Децибел равен одной десятой части бела. Если бы H ( ) было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части (3.30) должен был бы стоять множитель 10. Так как H ( ) представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, напряжений, токов и т.п.), то увеличение этого отношения в десять раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в сто раз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части (3.30) стоит множитель 20. Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ используется стандартная сетка (рис. 3.2). По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т.е. наносятся отметки, соответствующие lg  , и пишется само значение частоты  в рад/сек. Для этой цели можно использовать специальную полулогарифмическую бумагу. За единицу приращения lg  принимают декаду, соответствующую десятикратному изменению частоты. Применяется также деление оси абсцисс на октавы. Октава соответствует изменению частоты в два раза. Рис 3.2 По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дБ). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дБ , что соответствует значению модуля H ( )  1 (т.е. lg 1  0 ). Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка   0 лежит на оси частот слева в 49 бесконечности, т.к. lg 0   . Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход ЛАЧХ. Для построения ЛФЧХ используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах в линейном масштабе. Построение ЛАФЧХ ведется с помощью шаблонов, поэтому целесообразно придерживаться следующих масштабов: 1 дБ = 2 мм; 1° = 1 мм; 1 дек. = 50 мм. ЛЕКЦИЯ 8 План лекции: 1. ЛАФЧХ типовых звеньев. 2. Особенности частотных характеристик устойчивых и минимальнофазовых звеньев. 3. Рекомендуемая литература [1, 3, 8]. 3.5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ Выше было отмечено, что ЛАФЧХ любой, как угодно сложной САУ, можно построить практически без расчетов по известным ЛАФЧХ типовых звеньев, которые сведены в табл. 3.1. 1. Усилительное звено. Передаточная функция этого звена K ( p )  k . Амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет вид K(i)  k . (3.31) Согласно (3.24), (3.25) и (3.31) имеем: H ( )  U 2 ( )  V 2 ( )  k   (3.32)  V ( )  ( )  arctg 0  U ( ) . Логарифмическая амплитудная частотная характеристика H дБ  20 lg H ( )  20 lg k . (3.33) Анализ (3.32) и (3.33) показывает, что ЛАХ усилительного звена не зависит от частоты, а ФЧХ равна 0. 2. Интегрирующее звено. Передаточная функция этого звена имеет 1 1 вид K ( p)  . АФЧХ равна K (i )  . TP Ti (3.34) Согласно (3.34) имеем: 1 H ( )  ;  ( )  arctg ()  90 o . (3.35) T На основании (3.35) H дБ ( )  20 lg T  20 lg  . (3.36) ЛАХ пересекает ось частот при H дБ ( )  0 т.е. 50 1 . (3.37) T Найдем изменение ЛАХ (по амплитуде) при изменении частоты на одну декаду  20 lg T  20 lg   0 , или  H дБ  H дБ (10 )  H дБ ( )  20 lg T  20 lg   20  20 lg T  20 lg   20дБ .(3. 38) Таким образом, ЛАХ интегрирующего звена согласно (3.36), (3.37) и (3.38) представляет собой прямую линию с наклоном (-20) дБ/дек, пересе1 кающую ось частот при   . T 3. Апериодическое (инерционное) звено. Передаточная функция этого звена имеет вид k K ( p)  . Tp  1 АФЧХ равна k k  ikT K (i )    U ( )  iV ( ), (3.39) 1  iT 1   2T 2 где k kT U ( )  ; V ( )   . 2 2 1 T  1  T 2 2 Согласно (3.39) АЧХ и ФЧХ имеют вид: k H ( )  ; 1  T 2 2  0 ( )  arctgT . (3.40) ЛАЧХ апериодического звена H дБ ( )  20 lg k  20 lg 1  T 2 2 (3.41) может быть приближенно представлена ломаной линией. Эта приближенная характеристика называется асимптотической ЛАЧХ. Такое название связано с тем, что эта характеристика построена из двух асимптот, к которым стремится ЛАЧХ при   0 и   . Найдем эти асимптоты. При малых значениях  1/T в выражении (3.41) 1  T 2 2  1 т.е. H ( )  20 lg k . В этом случае характеристика представляет собой прямую, параллельную оси частот и проходящую на уровне 20 lg k. Это есть низкочастотная асимптота, к которой стремится ЛАЧХ при   0. С другой стороны, на больших частотах, когда  >> 1/T имеем 1  T 2 2  T , т. е. H дб ( )  20 lg k  20 lg T . В этом случае характеристика представляет собой прямую, имеющую наклон (-20) дБ/дек. Действительно, при увеличении  на 1 декаду, т.е. в 10 51 раз H дб (10 )  20 lg k  20 lg T  20 lg   20; H дб (10 )  H дб ( )  20дБ. Эта линия является высокочастотной асимптотой, к которой стремится ЛАЧХ при   . Обе асимптоты пересекаются на сопрягающей частоте   1/T. При  1/T согласно (3.41) имеем H дб ( )  20 lg k  20 lg 2  20 lg k  3дБ . Таким образом, максимальное расхождение между истинной и асимптотической ЛАЧХ равно всего 3 дБ. Поэтому при практических построениях используют обычно асимптотическую ЛАЧХ. Фазовая частотная характеристика, соответствующая выражению (3.40), при  изменяется от 0 до (–). При этом в точке   1/T фазовая характеристика  ( )     . Если частотные характеристики получены экспериментально, по ним нетрудно определить параметры звена Т и k, пользуясь описанной выше зависимостью между этими характеристиками и передаточной функцией. 4. Колебательное звено. Передаточная функция колебательного звена имеет вид k . (3.42) K ( p)  2 2 T p  2Tp  1 АФЧХ K (i ) , согласно (3.42), равна k . (3.43) K (i )  2 2 (1  T  )  2Ti Исходя из выражения (3.43) получим: k H ( )  ; (3.44) (1  T 2 2 ) 2  4 2T 2 2 2T  0 ( )  arctg . (3.45) 1  T 2 2 На основании (3.44) можно записать (3.46) H дб ( )  20 lg k  10 lg (1  T 2 2 ) 2  4 2 T 2 2  . Тогда ЛАЧХ можно представить в виде двух асимптот, к которым она стремится при   0 и   . Уравнение низкочастотной асимптоты получается из (3.46) при  1/T H дб( )  20 lg k . Уравнение высокочастотной асимптоты при   0 имеет вид H дб( )  20 lg k  40 lg T . (3.47) Из последнего выражения следует, что при увеличении частоты  на 1 декаду ЛАЧХ понижается на 40 дБ, что и определяет наклон высокочастотной асимптоты в (- 40) дБ/дек. В области средних частот (  1/T) асим52 птотическую ЛАЧХ корректируют с помощью готовых графиков поправок, дающих разность между истинной к асимптотической ЛАЧХ. Графики поправок (рис.3.3.) и фазовые частотные характеристики колебательного звена (рис.3.3.) существенно зависят от величины . Рис.3.3 Таблица 3.1 № п/п 1 Типовое звено Передаточная функция ЛАФЧХ 2 3 4 53 1 Усилительное k 2 Дифференцирующее Tp 3 Интегрирующее 1 / Tp 4 Апериодическое 1 / (Tp+1) 54 5 Форсирующее первого порядка Tp+1 6 Форсирующее второго порядка Т 2 p 2  2Tp  1 7 Колебательное 1 Т p  2Tp  1 8 Колебательное при   0 (демпфирование отсутствует) 1 Т p2  1 9 Форсирующее звено второго порядка при   0 2 2 2 Т 2 p2  1 55 10 Неустойчивое форсирующее звено первого порядка Tp-1 11 Неустойчивое форсирующее звено второго порядка Т 2 p 2  2Tp  1 12 Неустойчивое апериодическое 1  Тp  1 13 Фазоинверсное -1 14 Неустойчивое колебательное 1 Т 2 p 2  2Tp  1 56 5. Дифференцирующее и форсирующее звенья. ЛАФЧХ дифференцирующего и форсирующих (первого и второго порядка) звеньев можно получить зеркальным отражением относительно оси частот соответственно интегрирующего, апериодического и колебательного звеньев. 3.6. ОСОБЕННОСТИ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК УСТОЙЧИВЫХ И МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ ЗВЕНЬЕВ В общем случае исчерпывающее описание звена с помощью частотных характеристик требует знания АФЧХ W(i), либо любой пары функций: H() и () или U() и V(). Однако оказывается, что для некоторого класса звеньев существует однозначная связь между образующими эти пары функциями, и поэтому для полного описания таких звеньев достаточно иметь только одну из них. Остановимся вначале на связи между действительной U() и мнимой V() частотными функциями. Доказано, что в случае устойчивых звеньев эти функции однозначно связаны, т.е. по любой из них можно найти другую. Устойчивым звеном называется звено, все полюсы передаточной функции которого имеют отрицательные действительные части. Теперь обратимся к определению связи между амплитудной H () и фазовой  () частотными функциями. Доказано, что эти функции однозначно связаны у минимально-фазовых звеньев. Минимально-фазовым звеном называется звено, у которого все полюсы и нули передаточной функции имеют отрицательные или равные нулю действительные части. Свое название минимально-фазовые звенья получили в связи с тем, что они дают минимальный фазовый сдвиг  по сравнению с любыми звеньями, имеющими такую же амплитудную функцию H (), но у которых указанное выше условие в отношении полюсов и нулей передаточной функции не выполняется. Чтобы проиллюстрировать последнее, рассмотрим звено с уже знакомой нам передаточной функцией k . K ( p)  Tp  1 Согласно определению, это звено является минимально-фазовым, так как, его единственный полюс равен -1/Т, т.е. отрицательный действительный, а нулей вообще нет. Амплитудно-фазовая функция этого звена k k  ikT K (i )   1  iT 1  T 2 2 и, следовательно, амплитудная функция равна H ( )  U 2 ( )  V 2 ( )  k 1  T 2 2 , а фазовая 57 V ( )  arctgT . U ( ) При    значение  изменяется от 0 до (–) . Рассмотрим теперь звено с передаточной функцией  1 ( )  arctg K ( p)  k . Tp  1 Это звено не является минимально-фазовым, так как его передаточная функция имеет положительный действительный полюс (+1/Т). Заметим, что по этой причине данное звено является также и неустойчивым. Амплитуднофазовая функция этого звена имеет вид k  k  ikT K (i )   .  1  iT 1  T 2 2 Его АЧХ совпадает c АЧХ первого звена, а фазовая функция равна  () = arctgT – . При    значение  изменяется от (- ) до (–  ). Таким образом, второе звено создает большее фазовое запаздывание, чем первое, являющееся минимально-фазовым. Для графического описания минимально-фазовых звеньев применяют только АЧХ. В случае необходимости по ней может быть построена ФЧХ. Принципиально связь между этими характеристиками такова, что величина фазы  растет с увеличением наклона АЧХ. При этом в случае применения ЛАЧХ можно приближенно считать, что участку ЛАЧХ с наклоном ( - 20) дБ/дек соответствует фазовый сдвиг, близкий к (– ), а участку ЛАЧХ с наклоном (- 40) дБ/дек – сдвиг (- ). Конкретно взаимосвязь между ЛАЧХ и ЛФЧХ можно проследить на примере характеристик, приведенных в табл. 3.1. 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 1. 2. 3. 4. ЛЕКЦИЯ 9 План лекции: Понятие об устойчивости заданного режима. Определение устойчивости по Ляпунову. Критерий устойчивости Гурвица. Рекомендуемая литература [1, 2, 7]. 4.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАДАННОГО РЕЖИМА В САУ одним из основных является понятие устойчивости заданного режима. Заданным режимом может быть состояние равновесия, при котором обобщенные координаты САУ имеют заданные постоянные значения. САУ всегда подвергается действию внешних возмущений, которые стремятся вывести ее из состояния равновесия. Если САУ устойчива, она 58 противостоит этим внешним воздействиям, а будучи выведенной из состояния равновесия, с определенной точностью возвращается к нему. На рис.4.1а изображен шар, лежащий на вогнутой поверхности. При всяком отклонении его от состояния равновесия возникает сила, которая стремится вернуть шар в положение равновесия. Это положение равновесия называется устойчивым. Рис. 4.1 На рис.4.1б шар лежит на выпуклой поверхности, и любое отклонение его от положения равновесия вызовет силу, которая будет стремиться еще дальше увести его от положения равновесия. Это неустойчивое положение. На рис. 4.1в состояние равновесия А0 устойчиво лишь до тех пор, пока отклонения не вышли за границу, определяемую точкой В. Выйдя за эту границу, шар уже не вернется в точку А0 . В этом случае мы называем точку А0 устойчивой в малом (т.е. при малых отклонениях от равновесия) и неустойчивой в большом, если при больших отклонениях. Из возможных состояний равновесия бывают еще полуустойчивые (рис. 4.1г) и безразличные (рис. 4.1д) состояния равновесия. Кроме устойчивости равновесия, существует и устойчивость движения. Пусть на систему действуют внешние силы, в результате чего ее движение совершается по некоторой обобщенной траектории, определяемой решением уравнений движения, т.е. функциями у1(t), у2(t), … , уn(t). Можно указать то движение, которое надо сообщить системе. Назовем его заданным движением у*1(t), у*2(t), … , у*n(t). Заданное движение называется невозмущенным движением. Но если на систему, кроме заданных, подействуют дополнительные внешние воздействия, которые затем перестанут действовать, то под их влиянием САУ перейдет в новое, возмущенное движение. Заданное невозмущенное движение называется устойчивым, если в результате действия возмущений возмущенное движение с течением времени войдет в некоторую заданную область, определяемую величинами 59  i  yi (t )  yi* (t ). После этих предварительных замечаний перейдем к определению устойчивости, которое было дано А. М. Ляпуновым. Примем, что рассматриваемая система описывается нелинейными дифференциальными уравнениями вида dy k  Fk ( y1 , y 2 ,..., y n ); k  1,2 ,...,n, (4.1) dt где ук – обобщенные координаты системы, Fk – нелинейная функция. Пусть в начальный момент t = t0 начальные значения координат равны у10 , у20 , у30 , … , ук0 , а каждой совокупности начальных значений соответствует единственное решение уравнений (4.1) для всех t > t 0 : у к = у к ( у10 , у20 , у30 , … , у n0 ,t). (4.2) Установившиеся процессы описываются тривиальными решениями уравнений (4.1): Fk ( y1 , y 2 ,..., y n )  0 , (4.3) * * * решая которые, найдем у 1, у 2, … , у n . Введем отклонения хк координат от установившихся значений ук : х к = у к – у *n . (4.4) Подстановка отклонений (4.4) в уравнения (4.1) приводит к системе уравнений dyk  f k ( x1 , x2 ,..., xn ); dt k  1,2,...,n, (4.5) где fk – нелинейная функция. fk (x1, x2 ,...,xn )  Fk ( x1  y1* ,..., xn  y n* ); Уравнения (4.5) называются уравнениями возмущенного движения. Их тривиальные решения: х1= 0 , … , х n = 0, (4.6) * при которых, как видно из (4.4), ук= у к, называются уравнениям невозмущенного движения. Начальные значения отклонения х к = х к0 называют возмущениями. Решение системы уравнений (4.5) при некоторой заданной совокупности начальных условий называется возмущенным движением системы. х к = fк (x10 , … , x n0 , t) . (4.7) 4.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО А.М. ЛЯПУНОВУ Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к переменным ук , если при всяком заданном числе А, как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число λ(А) так, что для всех возмущений хк0 , удовлетворяющее условию n x 2 k0 (t )   , K 1 60 возмущенное движение (4.7) будет удовлетворять неравенству n x 2 k (t )  A . K 1 На рис. 4.2 показано геометрическое изображение условия устойчивости в пространстве трех переменных х1 ,х2 , х3 .геометрическая трактовка условия устойчивости по Ляпунову: если при возмущениях, выведших точку В0 (х10 , х20 , х30) за границу сферы λ, возмущенное движение будет таково, что точка не выйдет за границу сферы А, то оно устойчиво. Если с течением времени возмущенное движение стремится к началу координат, то система асимптотически устойчива. При том lim x k (t)  0. t  Рис. 4.2 Определение устойчивости по Ляпунову относится к движению, а не к системе. САУ может быть устойчива по отношение к одному движению и неустойчива по отношению к другому. Например, система регулирования скорости вала машины, устойчивая к изменению скорости, будет неустойчивой к изменению угла поворота. Но для краткости в дальнейшем будем говорить об устойчивых и неустойчивых САУ. Под устойчивостью САУ по существу подразумевается устойчивость процесса регулирования, т.е. устойчивость равновесия, или в более общем случае устойчивость частного решения дифференциального уравнения. На практике при исследовании устойчивости реальных САУ часто пользуются линейными уравнениями, полученными в результате линеаризации, т.е. в результате отбрасывания членов, содержащих вторые и высшие степени, а также произведения отклонений переменных и их производных. В связи с этим возникают вопросы о возможности определения устойчивости реальных систем по их линеаризованным уравнениям. Приведем интерпретацию теорем Ляпунова для линейных систем. 1. Линейная система устойчива, причем асимптотически, если все корни ее характеристического уравнения имеет отрицательные вещественные части. 2. Линейная система неустойчива, если среди корней ее характеристического уравнения есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью. 61 3. Линейная система не асимптотически устойчива, если среди корней ее характеристического уравнения один нулевой, а у остальных отрицательные вещественные части. С точки зрения дифференциальных уравнений в устойчивой линейной системе собственные колебания с течением времени затухают и полное движение стремится к вынужденному, т.е. решение дифференциального уравнения, определяющее возмущенное уравнение системы, стремится к частному решению. Это будет только в том случае, если корни рk характеристического уравнения Д(р)= 0 будут иметь отрицательные вещественные части, т.е. рk= – k  ik . (4.8) Наличие одного нулевого корня в характеристическом уравнении приводит к тому, что с течением времени собственное движение стремится не к нулю, а к некоторой постоянной величине, зависящей от начальных условий. Математическая формулировка условий, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения устойчивой системы, или другие формы выражения условий устойчивости, называется критериями устойчивости. На практике применяет в основном алгебраические и частотные критерии устойчивости, в том числе критерии Рауса, Гурвица, Вышнеградского, Михайлова, Найквиста и др. Все эти критерии позволяют исследовать устойчивость линейных замкнутых систем регулирования, не прибегая к решению уравнений и к определению корней характеристического уравнения. 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА Алгебраический критерий Гурвица позволяет судить об устойчивости линейной системы по коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы Д (р)= аnрn+ аn-1 рn-1+…+ а1 р+ а0=0 (4.9) Нетрудно показать, что левым корням характеристического уравнения (4.9) соответствуют положительные коэффициенты, аn, аn-1, ... , а1, а0. Для этого уравнение (4.9) можно представить в виде произведения простых сомножителей Д (р)= аn(р – р1)(р – р2)…(р – рn)=0, (4.10) подставить в него корни рk= – k  ik (4.11) и, раскрыв скобки, привести его к виду (4.9). Таким образом, необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения системы. Однако это условие не является достаточным. Критерий Гурвица позволяет сформулировать необходимое и достаточное условие устойчивости. 62 Для того, чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы старший определитель Гурвица n и все его диагональные миноры были бы положительные. Правило образования определителя Гурвица сводится к следующему. В верхней строке записываются по порядку коэффициенты с нечетными индексами, начиная с аn-1.. Всего заполняется n элементов строки, взамен недостающих коэффициентов ставятся нули. Вниз от элементов i-ой строки столбцы определителя заполняются коэффициентами с индексами, возрастающими каждый раз на единицу. Старший определитель Гурвица, составленный по этому правилу на основании уравнения (4.9) , имеет вид a n 1 a n3 a n 5 0 an Δn  0 an 2 a n 1 an  4 an 3 ..... ..... ..... ..... a0 0 . Для обеспечения устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение следующих условий: Δn  0   Δn1  0   a n1 a n3 an 5  Δ3  a n a n 2 a n 4  0  0 a n1 a n3 (4.12)   an 1 a n3  Δ2  0  an an 2  Δ1  a n 1  0   an  0  Подучим условия устойчивости по критерию Гурвица для некоторых частных случаев. 1. Система 1-го порядка. Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид Д (р)= а1 р + а0=0 . Условия устойчивости (4.12) сводятся к выполнению следующих неравенств:  1  a 0  0; a1  0 . 2. Система 2-го порядка. Старший определитель Гурвица, составленный по характеристическому уравнению Д (р)=а2р2+ а1 р+ а0=0, принимает вид 63 a1 0  a1 a 0 . (4.13) a 2 a0 Условия устойчивости (4.12) сводятся к выполнению следующих неравенств: Δ2  a1a0 ; Δ1  a1  0; a2  0, т.е. система будет устойчива, если а20; а10; а00. Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости систем 1-го и 2-го порядков является положительность коэффициентов их характеристических уравнений. 3. Система 3-го порядка. Старший определитель Гурвица, составленный по характеристическому уравнению Д (р)=а3р3+ а2 р2 + а1 р+ а0, принимает вид a 2 a0 0 2   3  a3 a1 0  a0  2 , a2 a0 где a 2 a0  a 2 a1  a 0 a3 . (4.14) a 3 a1 Условие устойчивости (4.12) в этом случаев сводится к выполнению следующих неравенств: Δ3  a0 Δ2 ; Δ2  a1a2  a0 a3  0; Δ1  a 2  0; a3  0. 2  Таким образом, кроме положительности коэффициентов а30; а20; а10; а 0 0 для обеспечения устойчивости системы 3-го порядка необходимо выполнение следующего дополнительного условия: а2а1– а0а3  0. (4.15) Для уравнений более высоких степеней пользоваться критерием Гурвица нецелесообразно, так как процесс раскрытия определителей высокого порядка становится неоправданно трудоемким, а дополнительные условия устойчивости получаются громоздкими. При неоднократных попытках предложить более простые методы раскрытия определителей авторы приходили к алгоритму Рауса или очень близкому к нему алгоритму. ЛЕКЦИЯ 10 План лекции: 1. Критерий Михайлова. 2. Критерий Найквиста. 3. Рекомендуемая литература [1, 4, 8]. 64 4.4. КРИТЕРИЙ МИХАЙЛОВА Критерий Михайлова относится к графическим критериям. Он позволяет судить об устойчивости САУ любого порядка по годографу характеристического многочлена Д(р)=аnрn+…+а1р+а0=аn(р-р1)(р-р2)…(р-рn), (4.16) который при p=i можно представить в виде n Д (i )  an (i  p1 )(i  p2 )...(i  pn )  an П (i  pk ) . k 1 (4.17) Каждый сомножитель (i - рk) многочлена Д(i) можно представить на плоскости комплексного переменного в виде вектора. Рис. 4.3 Из рис. 4.3. видно, что если корни рk имеет отрицательные вещественные части pk=-k ik , т.е. векторы рk расположены слева от мнимой оси комплексной плоскости, то при изменении частоты  = -   каждый из векторов (i  p k ) опишет угол против часовой стрелки (в положительном направлении), равный 1800. Следовательно, вектор характеристического уравнения n Д (i )  a n П (i  p k ) k 1 в этом случае опишет угол (180n)°. Это и есть критерий устойчивости Михайлова. Чтобы воспользоваться этим критерием, годограф характеристического уравнения, который описывает вектор Д(i), целесообразно строить в координатах V() и U(): Д (i )  U ( )  iV ( ) . Учитывая симметричность годографа относительно действительной оси (функция U() – четная), можно ограничиться построением лишь одной его половины, например, при изменении  от 0 до . Условие устойчивости в этом случае можно сформулировать следующим образом: чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор характеристиче65 ского уравнения Д(i) при изменении  от 0 до  повернулся в положительном направлении на угол (90n)° (рис. 4.4). При =0 нечетная функция V()=0, а U()=а0, причем а00. Учитывая это, критерий Михайлова можно сформулировать следующим образом. Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического уравнения Д(i), начинаясь при =0 на положительной полуоси U(), при возрастании частоты от 0 до  прошел последовательно в положительном направлении n квадрантов координатной плоскости. Рис. 4.4 На рис.4.5 показаны кривые Михайлова (годографы вектора Д(i)) для устойчивых систем от 1-го до 5-го порядка. Рис. 4.5 На рис. 4.6 показаны кривые Михайлова неустойчивых систем: а) а0<0; б) вектор Д(i) поворачивается по часовой стрелке; в) порядок уравнения n=5, а кривая Михайлова находится в одном квадранте; г) нарушается последовательность прохождения квадрантов; д) система находится на границе устойчивости, т.к. кривая Михайлова проходит через начало координат; е) система неустойчива, т.к. кривая Михайлова проходит через начало координат и не последовательно пересекает квадранты. 66 Рис. 4. 6 Рассмотрим одно из следствий критерия Михайловаусловие перемежаемости корней действительной U() и мнимой V() частей функции Д(i) . При последовательном прохождении кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости действительная U() и мнимая V() оси пересекаются поочередно. Отсюда следует, что действительная и мнимая функции при возрастании  обращаются в нуль поочередно, т.е. корни их вещественны и перемежаются. На рис. 4.7а приведен пример графиков для устойчивой системы (кривые U и V пересекают ось  поочередно); на рис. 4.7б для неустойчивой системы (очередность пересечения кривыми U и V оси  нарушена). Условие перемежаемости корней показывает, что для суждения об устойчивости системы не обязательно точно вычерчивать всю кривую, достаточно определить ее ход лишь вблизи точек пересечения с координатными осями. а б 67 Рис. 4.7 4.5. КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА Частотный критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы W(i), которая строится в координатах действительной ReW ( )  U р ( ) и мнимой ImW (i )  V p ( ) частей АФЧХ (рис.4.8). Чтобы определить условие устойчивости по критерию Найквиста, необходимо найти связь между функциями W(i) и Д(i). Для этого рассмотрим функцию W * ( p)  1  W ( p) , (4.18) представляющую собой знаменатель передаточных функций замкнутой системы. Передаточную функцию разомкнутой системы W(р) можно представить в виде отношения двух многочленов R( p) , W ( p)  T ( p) (4.19) где Т(р) часто называют характеристическим многочленом разомкнутой системы. С учетом (4.19) выражение (4.18) можно представить в следующем виде: R ( p ) T ( p )  R( p ) Д ( p ) , W * ( p)  1  W ( p)  1    T ( p) T ( p) T ( p) (4.20) где Д(р)=Т(р)+R(р) - характеристический многочлен замкнутой системы, причем порядок многочлена Д(р) определяется порядком многочлена Т(р) и равен n. Заменяя р на i, будем иметь W * (i )  1  W (i ) , (4.21) Д (i ) . (4.22) W * (i )  T (i ) Анализ (4.21) показывает, что вектор W*(i) смещен на единицу по отношению к вектору W (i). Причем, они описывают один и гот же годограф – АФЧХ разомкнутой системы W(i) (рис. 4.9). Эго позволяет условие устойчивости связать как с поведением вектора W(i) , так и вектора W*(i). 68 Рис. 4.8 Рис. 4.9 На основании (4.22) можно записать arg W*(i)= arg Д (i)-arg Т (i). (4.23) При изменении частоты  от - до  для обеспечения устойчивости системы в соответствии с критерием Михайлова arg Д (i)=180оn . (4.24) Следует иметь в виду, что устойчивая замкнутая система может оказаться неустойчивой в разомкнутом состоянии, поэтому характеристическое уравнение разомкнутой системы Т(р)=0 может иметь корни с положительными действительными частями (правые корни). Положим, что уравнение Т (р)=0 имеет r правых корней и (n-r) левых, тогда в соответствии c рис. 4.4. вектор Т (i) при изменении частоты от - до  опишет угол в положительном направлении 180о(n-r) и в отрицательном -180or, т.е. arg Т (i)=180о(n-r)-180or=180оn-360or . (4.25) С учетом (4.24) и (4.25) уравнение (4.23) принимает вид arg W*(i)=180оn-180оn+360or=360or. (4.26) Учитывая симметричность АФЧХ относительно действительной оси (Up() – функция четная), условие (4.26) можно переписать в виде 69 argW * (i )  0  1800 r . (4.27) Отсюда вытекает формулировка критерия Найквиста. Для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты  от 0 до  вектор W*(i) повернулся в положительном направлении на угол 1800r, где r - число правых корней характеристического многочлена разомкнутой системы, т.е. чтобы АФЧХ разомкнутой системы W(i) охватила точку (-1, 0i) в положительном направлении r/2 раз. Если разомкнутая система устойчивая, то r=0 и условие (4.27) принимает вид arg W * (i )   0  0 , (4.28) т.е. суммарный угол поворота вектора W (i) вокруг начала координат должен равняться нулю. Это будет в том случае, когда АФЧХ не охватывает точку (-1, 0i) т.е. пересекает действительную ось в диапазоне (0 -1). Условие устойчивости в этом случае можно сформулировать следующим образом. Для того чтобы замкнутая система была устойчива в случае устойчивой разомкнутой системы, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывала точку (-1, 0i), т.е. пересекала бы действительную ось правее этой точки (рис. 4.10а). Если АФЧХ пересечет действительную ось в точке (-1, 0i), то соответствующая ей система будет находиться на границе устойчивости (рис.4.10в). Случай показанный на рис. 4.10г, соответствует неустойчивой системе. Для систем высокого порядка могут возникнуть затруднения при определении угла, на который поворачивается вектор W*(i). В этом случае для суждения об устойчивости, можно рекомендовать следующую интерпретацию критерия Найквиста, предложенную Я.З. Цыпкиным. * а б 70 в Рис. 4. 10 г Система будет устойчивой, если разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ W(i) через отрезок действительной оси (- -1) при изменении  от 0 до  будет равна r, где rчисло правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. При этом переход АФЧХ через действительную ось сверху вниз считается положительным, снизу вверх - отрицательным. Разность положительных и отрицательных переходов АФЧХ действительной оси Up в диапазоне (- -1) (рис.4.10б) равна нулю, следовательно, замкнутая система, соответствующая этому случаю, будет устойчива. Для астатических систем характеристический многочлен разомкнутой системы Т(р) имеет нулевые корни Т (р)=рТ*(р), т.е. передаточная функция разомкнутой системы в этом случае принимает вид R( p) , W ( p)   * p T ( p) (4.29) где  - порядок астатизма. Заменяя в выражении (4.29) р на i , получим R(i ) W (i )  (i ) T * (i ) (4.30) Анализ (4.30) показывает, что при =0 АФЧХ разомкнутой системы W(i) терпит разрыв. Чтобы избежать неопределенности в точке разрыва при построении АФЧХ разомкнутой системы, условились обходить начало координат в плоскости комплексного переменного справа по дуге бесконечно малого радиуса  (рис.4.11). 71 Рис 4.11 Рис. 4.12 Из выражения (4.30) следует, что при изменении частоты  в окрестности нуля (=-  ) АФЧХ разомкнутой астатической системы можно представить в виде дуги, которую описывает бесконечно большой радиус R. При этом в диапазоне  = +   АФЧХ разомкнутой астатической системы строится обычным методом, а затем дополняется дугой, которую должен описать радиус, вращаясь по часовой стрелке на угол (90ν)° . Определение устойчивости по АФЧХ разомкнутой астатической системы, дополненной дугой бесконечно большого радиуса, ведется точно так же, как и для статических систем. На рис. 4.12. показана АФЧХ устойчивой системы при наличии астатизма второго порядка. Рассмотренные особенности применения критерия Найквиста для астатических систем можно распространить и на случай, когда характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет чисто мнимые корни  i1. В отличие от предыдущего случая наличие в уравнении Т(р)=0 мнимых корней связано с разрывом W(i) при  = i1. ЛЕКЦИЯ 11 План лекции: 1. Определение устойчивости по ЛАФЧХ. 2. Д - разбиение в плоскости комплексного параметра. 4. Рекомендуемая литература [1, 3, 8]. 4.6. СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛАФЧХ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ По построенным логарифмическим амплитудным и фазовым характеристикам разомкнутой системы также можно судить об устойчивости замкнутой системы. Для этого надо установить соответствие между некоторыми свойствами ЛАЧХ и амплитудно-фазовой характеристики. Рассмотрим только системы, устойчивые в разомкнутом состоянии. Как установлено выше, "опасным" для устойчивости САУ является отрезок отрицательной вещественной полуоси от – до –1. 72 Когда амплитудно-фазовая характеристика пересекает отрицательную вещественную полуось, логарифмическая фазовая характеристика пересекает одну из линий –,  и т.д. Переходы через эти линии не опасны, если они совершаются справа от точки (–1, i0), т.е. если модуль W (i )  1 и, следовательно, если ординаты ЛАЧХ L  20 lg A  0 , т.е. отрицательны при   – . Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок (–, –1) характеристик W (i ) соответствует переход фазовой характеристики  ( ) через одну из линий –, ,... снизу вверх (тоже положительный переход). Отрицательному переходу W (i ) также соответствует отрицательный переход ЛФЧХ. Отсюда вытекает следующее положение: если разомкнутая система устойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы во всех областях положительных ЛАЧХ разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через линии –, ,... равнялась нулю. Очевидно, если разомкнутая САУ неустойчива и ее характеристическое уравнение имеет r правых корней, то для устойчивости замкнутой САУ разность между положительными и отрицательными переходами ЛФЧХ через (–180)° на тех частотах, на которых ЛАЧХ положительна, должна равняться r / 2. На рис. 4.13 показаны примеры АФЧХ и соответствующие им ЛАФЧХ разомкнутой системы. При этом предполагается, что разомкнутая система устойчива. Исследование проводится в области положительных ординат ЛАЧХ. Пересечение АФЧХ W (i ) с кругом единичного радиуса соответствует пересечение ЛАЧХ с осью частот. На рис. 4.13а,в показаны характеристики систем, устойчивых в замкнутом состоянии, на рис. 4.13б,г - характеристики неустойчивых систем. На рис. 4.14а показаны запасы устойчивости по амплитуде L и по фазе  . Запас устойчивости по амплитуде определяется значением ЛАЧХ на частоте пересечения ЛФЧХ прямой, проходящей через (-180)°. Запас устойчивости по фазе  определяется как превышение ЛФЧХ над прямой (180)° на частоте среза. Частотой среза называют частоту, на которой ЛАЧХ пересекает ось частот, т.е. L( c )  0 (на частоте среза САУ не искажает входной сигнал по амплитуде). Если запасы устойчивости L и  равны нулю, то система находится на границе устойчивости. Чем больше значения L и  , тем дальше от границы устойчивости находится система. Тем не менее, стремиться к неограниченному увеличению L и  не следует, так как увеличение запасов устойчивости обычно связано с уменьшением коэффициента передачи системы и, следовательно, с увеличением статических ошибок и ухудшением качества регулирования (в частности, с увеличением времени переходного процесса). 73 Рис. 4.13 Поэтому при проектировании САУ запасы устойчивости необходимо выбирать таким образом, чтобы исключить возможность потери устойчивости при случайном изменении параметров и режимов работ системы, и в то же время обеспечить требование к качеству и ошибкам регулирования. Например, рекомендуют выбирать запасы устойчивости по амплитуде L  3  12дБ и по фазе   25  40 . 4.7. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ Рассмотренные выше критерии устойчивости позволяют решать в основном задачи анализа, связанные с определением устойчивости систем при всех известных параметрах. Их можно использовать и для выбора неизвестных параметров из условия устойчивости САУ. Необходимо выбирать такое значение неизвестных параметров, при котором система будет устойчивой. Однако такой подход к решению поставленной задачи связан с громоздкими вычислениями. Эта задача проще решается путем выделения в пространстве коэффициентов характеристического уравнения областей, соответствующих устойчивому состоянию системы. 74 Метод разбиения пространства (плоскости) коэффициентов характеристического уравнения Д(р)=0 на области устойчивости и неустойчивости называется методом Д–разбиения. Положим, что все коэффициенты характеристического полинома Д(p)  a n p n  ...  a1 p  a o известны, кроме двух аi и aj. Требуется определить диапазон изменения этих коэффициентов, соответствующий устойчивому состоянию системы. Для этого в плоскости неизвестных коэффициентов ai, aj можно выделить n областей, каждая из которых соответствует определенному количеству корней характеристического уравнения с отрицательными действительными частями Д(n-r) (рис. 4.14а). Рис. 4.14 Среди этих областей можно найти область Д(n), соответствующую n левым корням, т.е. устойчивому состоянию системы. Переход из области Д(n) в область Д(n - 1) связан с переходом одного левого корня через граничную кривую, разделяющую эти области. На плоскости комплексного переменного р (рис.4.15в) это соответствует переходу одного из корней из левой полуплоскости в правую через мнимую ось. Таким образом, граничную кривую в плоскости коэффициентов ai и a j можно представить себе как отображение мнимой оси плоскости р и, следовательно, записать ее уравнение в виде Д(i)=0. (4.31) 75 Уравнение (4.31) позволяет построить граничную кривую в плоскости коэффициентов характеристического уравнения. 4.7.1. Д–РАЗБИЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОДНОГО КОМПЛЕКСНОГО ПАРАМЕТРА Положим, что неизвестный параметр Z системы входит в характеристическое уравнение линейно. Тогда характеристическое уравнение можно представить в виде Д(p)  an p n  ...  a1 p  ao  S(p)  ZN(p)  0 , (4.32) где S(p) и N(p) многочлены, зависящие от комплексной переменной p. На основании (4.31) и (4.32) можно записать уравнение граничной кривой S(i)+ZT(i)=0 . (4.33) Решая (4.33) относительно Z и выделяя в полученном выражении действительную Uz() и мнимую Vz() части, получим S (iω) (4.34) Z   U Z (ω)  iVZ (ω) . T (iω) На основании (4.34) можно построить граничную кривую в плоскости Z при изменении частоты =-+. Учитывая четность функции Uz(), можно ограничиться построением лишь одной ее половины при изменении частоты  =0, а затем дополнить ее симметричной половиной (рис.4.14б). Граничная кривая разделила плоскость Z на три области I, II, III. Среди них необходимо определить область, соответствующую устойчивому состоянию системы. Для определения этой области применяет правило штриховки, которое сводится к следующему. Мнимая ось в плоскости p и ее отображение в плоскости Uz,Vz – граничная кривая, штрихуются слева по отношению к направлению движения в сторону увеличения частоты  от - до +. Можно предположить, что область 1, имеющая внутреннюю штриховку, соответствует левой полуплоскости p, т.е. является областью Д(n). Чтобы проверить это предположение, достаточно любое значение параметра Z, соответствующее области 1, подставить в исходное характеристическое уравнение и проверить устойчивость системы по одному из критериев. Если система окажется устойчивой для одного значения параметра Z, то она будет устойчивой и для всех остальных значений Z, лежащих внутри области Д(n). Если с физической точки зрения параметр Z является действительным, т.е. его мнимая часть равна нулю Vz(), то область устойчивости Д(n) вырождается в отрезок прямой, совпадающей с действительной осью (рис.4.14б). Полученный отрезок показывает, что система будет устойчива при изменении Z в диапазоне 0Zг система становится неустойчивой. Выбор конкретного значения параметра в диапазоне 0Zг производят с учетом того, как влияет этот параметр на качество и ошибки регулирования. Например, при определении общего коэффициента передачи системы выбирают его наибольшее значение, соответствующее устойчивой области, но не равное граничному значению. При этом необходимо обеспечить некоторый запас устойчивости, исключающий потерю устойчивости при изменении параметров САУ в реальных условиях. Кроме случая, отраженного на рис 4.14б, граничные кривые в плоскости одного параметра часто принимают вид, показанный из рис. 4.14г,д. ЛЕКЦИЯ 12 План лекции: 1. Д–разбиение в плоскости двух действительных параметров. 2. Суждение об устойчивости системы по ее линейной модели. 3. Рекомендуемая литература [1, 4]. Д–РАЗБИЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ДВУХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассмотрим методику Д–разбиения плоскости двух действительных параметров для системы второго порядка. Положим, что неизвестные параметры  и  входят в характеристическое уравнение линейно Д(р)=S(p)+Q(p)+N(p). (4.35) Уравнение граничной кривой в этом случае принимает вид Д(i)=S(i)+Q(i)+N(i)=0. (4.36) Выделяя действительную и мнимую части в уравнении (4.36) и приравнивая их к нулю, получим S1()+Q1()+N1()=0; (4.37) S2()+Q2()+N2()=0, где S1(),S2() и Q1(),Q2() – полиномы от . Уравнения (4.37) решаем относительно неизвестных параметров  N 1 ( ) Q1 ( )  N 2 ( ) Q2 ( )  1   ; (4.38) S 1 ( ) Q1 ( )  S 2 ( ) Q2 ( )  S1 ( )  N 1 ( )  S 2 ( )  N 2 ( )  2   , (4.39) S1 ( ) Q1 ( )  S 2 ( ) Q2 ( ) 77 1=-N1()Q2()+N2()Q1(); 2=-N2()S1()+N1()S2(); (4.40) =S1()Q2()-S2()Q1(). Уравнения (4.38) и (4.39) является уравнениями граничной кривой в плоскости [;], которая строится при изменении частоты  oт - до +. При этом уравнения (4.38) и (4.39) является уравнениями прямых на плоскости [;]. Их совместное решение соответствует точке пересечения этих прямых, т.е. точке граничной кривой при фиксированном значении частоты. Совокупность этих точек при различных значениях частоты и образуют граничную кривую. Если при каком-то значении частоты один из определителей (4.40) обращается в нуль, то это говорит о том, что уравнения (4.38) и (4.39) являются следствием одно другого. В этом случае вместо точки граничной кривой получается прямая, которую называют особой прямой. На плоскости параметров  и  можно построить еще две особые прямые. Уравнения этих прямых получаются путем приравнивания коэффициентов ао и аn , если они зависят от параметров  и . т.е. Рис. 4.15 Таким образом, в разметке областей в плоскости двух действительных параметров участвуют граничная кривая и особые прямые. Для разметки областей используют следующее правило штриховки. В направлении изменения частоты от - до + граничную кривую штрихуют слева, если >0 и справа, если <0. При =0 определитель , как правило, принимает нулевое значение и меняет свой знак. Через эту же точку обычно проходит особая 78 прямая. Особые прямые штрихуют таким образом, чтобы заштрихованные стороны граничной кривой и особых прямых лежали бы друг против друга (рис. 4.15б). Область, имеющая внутреннюю штриховку, должна соответствовать устойчивому состоянию системы. Проверку этого предположения можно выполнить так же, как и в предыдущем случае. Некоторые особые случаи: 1. Если при =0,  принимает нулевое значение, но не изменяет свой знак, и если через эту точку на плоскости проходит особая прямая, то она не штрихуется и при разметке областей не принимается во внимание. 2. Если при 0  принимает нулевое значение и изменяет свой знак, и если через эту точку на плоскости проходит особая прямая, то она штрихуется дважды (рис.4.15,в). 3. Если  тождественно равняется нулю, то Д–разбиение плоскости двух параметров производят только особыми прямыми. Особые прямые, участвующие в Д–разбиении, часто совпадают с осями координат (рис.4.15г). СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ ПО ЕЕ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ Рассмотренные выше критерии позволяют исследовать устойчивость САУ "в малом", так как они связаны с линейными уравнениями, полученными путем линеаризации исходных нелинейных уравнений. При этом линеаризация проводилась в предположении, что переменные, характеризующие систему, имеют малые приращения. С помощью указанных критериев мы не можем судить об устойчивости системы "в большом" или о "неограниченной устойчивости". Рассмотрим один из методов, который позволяет судить об устойчивости систем "в большом". Положим для простоты, что уравнение возмущенного движения исследуемой системы содержит всего одну однозначную нелинейную функцию n dxi   a i xi  f ( x k ) . (4.41) dt i 1 Производя линеаризацию функции f(xk), ее можно заменить линейной функцией f(xk)cxk, (4.42) где c – постоянный коэффициент. C учетом (4.42) уравнение (4.41) принимает вид n dxi   a 1i xi  cxk . (4.43) dt i 1 Методом Д–разбиения можно определить диапазон изменения с*>1 в выражении Ф(iω)  единицей в знаменателе 1  W(iω) можно пренебречь, тогда Ф(iω) ≈ 1, т.е. МдБ ≈ 0 и ψ° ≈ 0 . Учитывая это, приходим к выводу, что продолжать номограмму вверх за значения НдБ =25 ÷ 30 дБ не имеет смысла, т.к. для значений НдБ > 25 дБ можно считать, что МдБ = 0 и ψ° = 0. При H<<1 будем иметь Ф(iω) ≈ W(iω), т.е. при больших по абсолютному значению отрицательных НдБ частотные характеристики разомкнутой и замкнутой систем совпадают, поэтому продолжать номограмму вниз за значение (25÷30) дБ также не имеет смысла, т.к. для значений НдБ < – 25дБ МдБ ≈НдБ , а ψ° ≈ φ°. Представленные на номограмме кривые симметричны относительно вертикальной оси, проходящей через точку с координатой φ°= – 180°, причем индексы симметричных половин кривых МдБ совпадают как по величине, так и по знаку, а индексы симметричных кривых ψ°, будучи одинаковыми по величине, различаются знаком (например, кривой с индексом ψ° = – 60° соответствует в левой половине номограммы симметричная кривая с индексом ψ° = 60° = – 300°). В силу этой симметрии полную номограмму можно заменить ее половиной, соответствующей значениям φ° от 0 до –180°. Для удобства некоторые номограммы снабжены шкалой φ° с двойной индексацией. 91 Рис.5.6 Номограмма может быть применена для построения характеристик передаточной функции по ошибке 1 Ф (i )  . 1  W (i ) Для этого достаточно иметь в виду следующую зависимость: 1/W (i ) 1  . 1  1/ W (i ) 1  W (i ) Действительная часть АФЧХ замкнутой системы (вещественная частотная характеристика) U(ω) связана с модулем (АЧХ) М(ω) и аргументом (ФЧХ) ψ°(ω) замкнутой системы следующим выражением: U ( )  M ( )  cos  ( ). (5.26) Таким образом, имея ЛАФЧХ замкнутой системы, можно легко построить вещественную характеристику. Для этого достаточно перейти от логарифми92 ческого масштаба МдБ (ω)=20lgМ(ω) к обычному М(ω) и воспользоваться формулой (5.26). Характеристику М(ω) используют для анализа вынужденных колебаний САУ при гармоническом внешнем воздействии. В самом деле, АЧХ замкнутой системы а x ВЫХ M ( )  а . ( ) , х ВХ . а а т.е. x ВЫХ ( К )  М ( К ) х ВХ ( К ) , . (5.27) а где x ВЫХ - амплитуда выходной величины; а x ВХ - амплитуда входной величины; ωк - фиксированное значение частоты воздействия. а а Таким образом, если x ВХ = x ВХ sin ωt, то x ВЫХ = x ВЫХ sin(ωt+ ψ° ), а где x ВЫХ определяется по выражению (5.27), а ψ° – по ФЧХ замкнутой системы. ЛЕКЦИЯ 15 План лекции: 1. Оценки качества, связанные с распределением нулей и полюсов передаточной функции. 2. Степень устойчивости и колебательность САУ. 3. Диаграмма качества. 4. Рекомендуемая литература [7, 1, 6 ]. 5.5. КОСВЕННЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА, СВЯЗАННЫЕ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ Косвенные оценки качества позволяют определить основные показатели качества без построения кривой переходного процесса, т.е. косвенными методами. Являясь приближенными оценками, они позволяют существенно сократить время исследования САУ. В общем случае дифференциальное уравнение линейной САУ имеет вид a x n ( n) ( m) (t )  ...  a x(t )  a x(t )  b f (t )  ...  b f (t )  b f (t ) . 1 o m 1 o Изображение Х (р) можно записать в виде M ( p ) F1( p ) Д H ( p )  M H ( p ) X ( p)    , Д ( p ) F2 ( p ) Д ( p) или 93 X ( p)  b ( p   1 )( p   2 )  ( p   m ) m a ( p   )( p   2 )  ( p   n ) n  1  fo ( p   1 )( p   2 )  ( p   q ) ( p  1 )( p   2 )  ( p   r )  (5.28) Д H ( p )  M H ( p) , a ( p  1 )( p   2 )  ( p   n ) n где 1,2,...,n – корни характеристического уравнения Д(р) называются полюсами передаточной функции; 1,2,...,m – корни уравнения М(р) - нули передаточной функции; 1,2,...,q – корни уравнения F1(p)=0 - нули воздействия; 1,2,...,r – корни уравнения F2(p)=0 - полюсы воздействия. Выражение (5.28) показывает, что в общем случае движение системы в переходном режиме зависит от нулей и полюсов передаточной функции, нулей и полюсов воздействия, начальных условий по всем переменным. Переходя к оригиналу, в соответствии со второй теоремой разложения будем иметь x(t)=xc(t)+xв(t), где xc(t)=xcc(t)+xcд(t): n Д ( ) x (t )   Н k ek t ; (5.29) cд k 1 Д ( k )  M (k )  F1 (k ) M H (k )   t x (t )     e ; cc    Д (  )  F (  ) Д (  ) k 1 2  k k k   r M ( )  F ( )   t 1  x (t )   e . в  1 Д (  )  F  (  ) n k  (5.30) (5.31) 2 Анализ выражений позволяет сделать следующие выводы: 1. Свободное движение хсд(t), вызванное начальным состоянием системы, не зависит от нулей и полюсов воздействия и полностью определяется корнями характеристического уравнения и начальными условиями переменной х(t) и ее производных. Чем дальше расположены полюсы передаточной функции от мнимой оси на плоскости комплексного переменного р, тем быстрее затухают свободные колебания. 2. Составляющая собственного движения хсс(t) зависит oт относительного расположения нулей и полюсов передаточной функции М(к)= bm(к-1)(к-2)(к-m), (5.32) от относительного расположения полюсов передаточной функции и нулей воздействия F1 ( К ) : ( k   1 )( k   2 )...(k   q ) (5.33) и от относительного расположения полюсов передаточной функции и полюсов воздействия. / F 2 (К ) : (k  1 )( k   2 )...(k   r ) . 94 Выражения (5.32) и (5.33) позволяют так выбрать соотношение нулей и полюсов передаточной функции и воздействия, чтобы амплитуда собственных колебаний была бы минимальна. Так, чем ближе нули воздействия к полюсам передаточной функции и чем дальше расположены полюсы воздействия от полюсов передаточной функции, тем меньше величина первого слагаемого в выражении (5.30). Так же целенаправленно можно уменьшать и второе слагаемое в этом выражении. 1. Вынужденное движение хв(t) зависит от относительного расположения полюсов воздействия и нулей передаточной функции М()= bm (-1)(-2)(-m) , (5.34) от взаимного расположения нулей и полюсов воздействия F1() = f0 (-1)(-2)(-q) и от относительного расположения полюсов воздействия и полюсов передаточной функции Д() = an (-1)(-2)(-n). Если f(t) представляет собой возмущающее воздействие, то вынужденные колебания, вызванные этим воздействием, необходимо исключить или хотя бы уменьшить амплитуду этих колебаний. Для этого нули передаточной функции и нули воздействия должны располагаться на плоскости р как можно ближе к полюсам воздействия, а полюсы передаточной функции должны находиться как можно дальше от полюсов воздействия. Если f(t) представляет собой управляющее воздействие, то система должна воспроизводить его, как можно точнее, т.е. xв(t) f(t). В этом случае при выборе структуры и параметров САУ необходимо стремиться к тому, чтобы М()Д() Решение поставленной задачи в общем виде для систем высокого порядка связано с большими трудностями, поэтому на практике ограничиваются рассмотрением частных случаев. Полагают, например, что начальные условия по всем переменным нулевые, т.е. ДН(р)=0 и МН(р), внешнее воздействие принимается в виде f(t)=c1(t), т.е. F ( p )  c , считают, что многочлен М(р) не зависит от р. В этом p случае уравнение (5.28) принимает вид X ( p)  c Д ( p)  p и движение системы в переходном режиме полностью определяется полюсами передаточной функции, т.е. корнями уравнения Д(р) = 0. Таким образом, о качестве регулирования можно судить по расположению полюсов передаточной функции λ1 , λ2,…, λn на плоскости комплекс95 ного переменного р=  i . О характере расположения полюсов передаточной функции на плоскости р судят, по координатам трапеции (рис.5.7), внутри которой расположены все корни k, а ближайшие к мнимой оси и наиболее удаленные от оси корни лежат на сторонах трапеции. Рис.5.7 На рис.5.7 приняты следующие обозначения:  - абсолютная величина действительной части полюса, ближайшего к мнимой оси;  - наибольший угол, внутри и на границе которого расположены все полюсы передаточной функции. Величина  называется степенью устойчивости САУ. Если ближайший к мнимой оси корень действительный, то степень устойчивости называется апериодической, если ближайший к мнимой оси корень комплексный, то степень устойчивости называется колебательной. Величина   tg   называется колебательностью системы. Если все  корни действительные, то колебательность равна нулю, если имеется чисто мнимый корень, то колебательность равна бесконечности, т.е. в линейной системе возникают незатухающие колебания, Для определения степени устойчивости  мнимая ось на плоскости р переносится влево на величину . Тогда характеристическое уравнение a n p n  ...  a1 p  a0  0, записанное для новой переменной (5.37) z = p + , (5.38) принимает следующий вид: an(z  η)n  ...  a1(z  η)  a0  an ( z n  An1 z n1  ...  A1 z  A0 )  0, где Ak - постоянные коэффициенты. (5.39) 96 Уравнение (5.39) называется смещенным характеристическим уравнением. Оно имеет, по крайней мере, один мнимый корень. При этом система находится на границе устойчивости, следовательно, старший определитель Гурвица, составленный по этому уравнению, должен быть равен нулю: ∆n = ∆n-1∙A0 = 0. (5.40) Равенство (5.40) возможно в двух случаях. 1. ∆n-1 = 0; A0>0 и все остальные диагональные миноры определителя ∆n положительны. В этом случае степень устойчивости – колебательная. 2. А0 = 0; ∆n-1 > 0 и все остальные условия устойчивости выполняются. В этом случае уравнение (5.39) имеет один нулевой корень, следовательно, уравнение (5.37) имеет ближайший к мнимой оси корень действительный, т.е. степень устойчивости в этом случае будет апериодической. В качестве примера рассмотрим диаграмму Вышнеградского для уравнений третьего порядка a3 p 3  a 2 p 2  a1 p  a0  0. Приведя его к нормированному виду, получим (5.41) U 3  AU 2  BU  1  0 , a a2 a1 где U  p3 3 ; A  ; B  . 2 3 3 a a a0 a32 a0 3 0 Введем новую переменную z = U + η. Смещенное характеристическое уравнение принимает вид z 3  A2 z 2  A1 Z  A0  0 . Коэффициенты А0, А1 и А2 определяются по формулам: A0   η 3  Aη 2  B  1  A1  3η 2  2 Aη  B   A2  3η  A  (5.42) Определитель Гурвица, составленный по уравнению (5.42), имеет вид A2 A0 ... 0 Δ3  1 ... A1 ... ... ...  A0(A1 A2  A0 ). ... 0 A2 ... A0 В случае апериодической устойчивости А0 = 0; А1>0; А2>0, A0   η 3  Aη 2  Bη  1  0  т.е. A1  3η 2  2 Aη  b  0 .  A2  3η  A  0  97 (5.43) Система (5.43) представляет собой параметрическое уравнение прямой. Задаваясь различными значениями η на плоскости А,В можно построить линии равной степени устойчивости. Эти линии наносятся в тех областях, для которых справедливы неравенства системы (5.43). Для определения границ этих областей можно воспользоваться следующими равенствами: A0   η 3  Aη 2  Bη  1  0; (5.44) A2  3η  A  0. Система (5.44) представляет собой уравнения граничной кривой в неявном виде. На основании (5.44) запишем уравнения граничной кривой в параметрической форме А  3η; (5.45) 1 B   2η 2 . η Уравнение (5.45) справедливо, если 3η 2  2 Aη  B  0 . (5.46) Граничная кривая p , построенная по уравнениям (5.45) при 0 < η < 1, показана на рис. 5.8. Для построения второй граничной кривой воспользуемся следующими уравнениями системы (5.43) A0   η 3  Aη 2  Bη  1  0; (5.47) A1  3η 2  2 Aη  B  0; A2  3η  A  0. (5.48) Уравнения (5.47) граничной кривой в параметрической форме принимает вид 2 1 (5.49) B  2; A  2  2.   При А2 = -3η + А >0 , т.е. при η < 1 граничная кривая, построенная на плоскости А,В по уравнениям (5.49), имеет вид Q , показанный на рис. 5.8. Граничные кривые Р и Q полностью определяют область апериодической степени устойчивости. Вышнеградский доказал, что при η  1 можно построить кривую R, которая делит область апериодической степени устойчивости на две области: область между кривыми R и Q соответствует монотонному переходному процессу, все корни уравнения (5.41), соответствующие этой области, – действительные. Область между кривыми Р и R соответствует монотонному переходному процессу, в котором присутствует колебательная составляющая, вызванная комплексным корнем, наиболее удаленным от мнимой оси. В случае колебательной степени устойчивости 2 = 0; А0 >0; A1 >0, т.е. Δ2  A2 A1  A0  (A  3η)( 3η 2  2 Aη  B)  η 3  Aη 2  Bη  1  0 (5.50) 98 A1  3η 2  2 Aη  B  0; A2  A  3η  0. Рис. 5.8 Уравнение (5.50) в сочетании с неравенствами позволяет построить линии равных значений в области колебательной степени устойчивости. Нетрудно показать, что граничными кривыми этой области (рис.5.8) являются гиперболы. Наибольшая степень устойчивости =1 имеет место в точке с координатами А=3 и В=3, следовательно, эта течка соответствует наилучшим значениям параметров с точки зрения величины степени устойчивости и затухания переходного процесса. При определении колебательности  мнимая ось поворачивается вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (/2-). Диаграммы Вышнеградcкого строятся с нанесенными линиями равного затухания  = соnst или линиями равной колебательности  = соnst. Колебательность и затухание связаны между собой следующими формулами: 2π  2π ξ 1  е μ ; . μ 1 ln 1 ξ  δt Покажем это. Если x  t   Ce sin(ωt   ) , то для t = t1 имеем x1  Ce δt1 sin  ωt1     C1 sin  ωt1    . Через период T = 2/ : x2  Ce  δ(t1  2π ) ω sin ωt1     C 2 sin t1    99 Показатель затухания 2π 2π  δ С1  С 2 С2  1 1  e ω 1  e μ . С1 С1 Обычно в CAУ допускается затухание за один период не менее, чем 90 – 98%. Так, например, если ξ = 98%, то допустимая колебательность составит 2π π μ   1,57 . ln 50 2 Соответственно при ξ = 90% получим  = 2,73. По известным значениям  и  можно определить другие показателя качества, например, время переходного процесса х(t ) x  t ПП   Ce  ηtПП ; e  ηtпп  пп  Δ . C Откуда при ∆= 5% получим 1 1 3 t ПП  ln  . η Δ η ЛЕКЦИЯ 16 План лекции: 1. Интегральные оценки качества САУ. 2. Оценки качества САУ по виду частотных характеристик. 3. Рекомендуемая литература [1, 2, 6]. 5.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА Интегральные оценки относятся к аналитическим косвенным методам исследования качества САУ. В основе метода лежат интегральные показатели, характеризующие отклонение переходного процесса реальной системы от идеализированного переходного процесса. В качестве идеального принято считать ступенчатый (скачкообразный) переходный процесс, протекающий мгновенно и без пере- регулирований, или процесс, представляемый экспонентой с заданными параметрами. Интегральные оценки имеют вид определенных интегралов с пределами 0  ∞ от некоторых функций отклонения регулируемой величины. Наибольшее применение находят линейные и квадратичные оценки. Простейшей линейной интегральной оценкой может служить величина  __ I 0   х (t )dt , (5.51) __ где х (t ) – отклонение регулируемой величины x(t) от установившегося значения xуст. 100 __ В устойчивой системе х (t ) → 0 при t → ∞ и этот интеграл имеет конечную величину. Геометрически это площадь под кривой переходного процесса, построенного для отклонения (рис.5.9). Площадь будет тем меньше, чем быстрее затухает переходный процесс и чем меньше величина отклонения. Поэтому параметры системы рекомендуется выбирать таким образом, чтобы добиваться минимума этой интегральной оценки. __ Для вычисления интеграла (5.51) нет необходимости находить х (t ) , так как его можно легко вычислить, используя изображение Лапласа. Действительно, изображение Лапласа определяется выражением  X (P)   x(t)  e  pt  dt . Отсюда следует, что интеграл (5.51) может быть найден посредством предельного перехода (р → 0):    pt  x(t)  dt  lim  x(t)  e  dt  lim X (р) . p 0 p 0 Неудобством интегральной оценки вида (5.51) является то, что она годится только для монотонных процессов, когда не меняется знак отклонения __ х . Если же имеет место колебательный процесс (рис .5.9), то при вычисле- нии интеграла (5.51) площади будут складываться алгебраически и минимум этого интеграла может соответствовать колебаниям с малым затуханием или вообще без затухания. Так как форма переходного процесса при расчете систем регулирования может быть неизвестна, то применять интегральную оценку вида (5.51) оказывается практически нецелесообразным. Поэтому предлагается другая интегральная оценка:  (5.52)  x(t)  dt т.е. сумма абсолютных величии всех площадей под кривой переходного процесса. Оказалось, что вычисление ее по коэффициентам уравнения затруднительно. В связи с этим целесообразно перейти к квадратичной интегральной оценке вида  I 1   [ x(t )] 2 dt , (x→0 при t→∞) (5.53) которая не зависит от знаков отклонений, а значит, и от формы переходного процесса (монотонной или колебательной). Рис. 5.9 Величина I1 будет тем меньше, чем меньше сумма заштрихованных на 101 рис. 5.9 площадей (взятых для квадратов ординат), т.е. чем лучше переходный процесс приближается к идеальному скачку регулируемой величины вслед за скачком управляющего или возмущающего воздействия. Кроме простейшей квадратичной интегральной оценки иногда применяют более сложные, которые позволяют учесть не только характер измене__ ния х (t ) , но и его производных:  I 2   x 2  τ 12 x 2   dt;    I n    x 2  τ 12 x 2  τ 22 x2  ...  τ n2 ( x ( n ) ) 2   dt. (5.54) 0   Оценки (5.54) являются более полными оценками качества, однако их применение связано с громоздкими преобразованиями и вычислениями. Поэтому на практике обычно ограничивается применением простейшей квадратичной интегральной оценки. Любая интегральная оценка зависит от коэффициентов передаточной функции (коэффициентов характеристического уравнения). Вычисление линейной оценки вида I0 можно выполнить следующим образом. Пусть имеется дифференциальное уравнение an x (n)  a n1 x (n1)  ...  a1 x  a0 x  0 (5.55) с произвольными начальными условиями x 0 , x 0 ,...,x Интегрируя уравнение (5.55), имеем: an x (n 1 )   a n1 x (n  1 ) (n2 )  .   ... a0  x(t) dt  0 . (5.56) В устойчивой САУ в установившемся режиме, т.е. при t→ ∞ , производные всех порядков равны нулю, следовательно, из (5.66) можем записать:  1 I 0   x(t)  dt  a n x 0(n  1)  a n  1 x 0(n  2)  ...  a 1 x 0  . (5.57) a0 Из (5.57) видно, что линейная интегральная оценка I0 определяется коэффициентами дифференциального уравнения системы и начальными условиями. При проектировании системы по минимуму интеграла I1 система может оказаться обладающей слишком большой колебательностью. В силу I этого вводится дополнительная оценка   1 . Считается допустимым для I0 систем второго порядка  = 0,80,9, для систем третьего порядка  = 0,70,8, для систем четвертого порядка  = 0,60,7 . Определение косвенных показателей качества по интегралу вида I2 дает удовлетворительные результаты для систем, склонных к повышенной 102 колебательности. Интегральные оценки можно использовать при выборе оптимального значения какого-либо параметра системы, обеспечивающего минимум такой оценки. 5.8. КОСВЕННЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА, СВЯЗАННЫЕ С ВИДОМ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 5.8.1. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ПО АЧХ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ При анализе качества переходного процесса можно воспользоваться амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) замкнутой системы. Если система неустойчива, то амплитуда колебаний на выходе системы достигает бесконечно большой величины. В этом случае АЧХ замкнутей системы М() терпит разрыв (рис. 5.10а). АЧХ устойчивой САУ либо имеет пик, либо является убывающей функцией частоты в зависимости от соотношения параметров (кривые 1- 4, рис. 5.10а). Уменьшение пика характеризует снижение амплитуды и числа колебаний, совершаемых системой в переходном режиме (рис.5.10,б). Если характеристика М() имеет несколько пиков, то наибольшее влияние не переходный процесс оказывает первый пик при низкой частоте. С уменьшением максимума М() процесс затухает быстрее. При невозрастающей характеристике (кривая 4) переходный процесс является монотонным (без перерегулирования). 103 Рис. 5.10 Следовательно, пик характеристики М() может служить косвенной оценкой величины перерегулирования и колебательности процесса. При этом отношение максимума характеристики М() к значению амплитуды при  = 0 называется показателем колебательности М. Для обеспечения малой колебательности и большого быстродействия системы желательно выбрать ее структуру и параметры так, что бы амплитудная характеристика М() имела малый пик и широкую полосу пропускания частот. Однако наличие в системе помех, частота которых обычно велика, делает нецелесообразным стремление к чрезмерному расширению полосы пропускания частот. По техническим требованиям величина М должна выбираться в пределах 1,2  1,5, а  находиться по заданному tпп например, 2π t ПП  n, ω где n –число колебаний (обычно n = 12). 5.8.2. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА САУ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ Для исключения колебательности при единичном входном воздействии необходимо, чтобы частота среза  ср соответствовала участку ЛАХ с наклоном (-20) дБ/дек. Чем шире участок ЛАХ с наклоном (- 20) дБ/дек, пересекающий ось абсцисс, тем ближе переходная характеристика к экспоненте. В общем случае время подходного процесса определяется неравенством π t ПП  . (5.58) ωср Как показали исследования, вид участка ЛАХ при низких частотах мало влияет на характер переходного процесса. Следовательно, при оценке переходного процесса по ЛАХ разомкнутой системы низкочастотный участок 104 можно не учитывать (низкочастотный участок ЛАХ характеризует ошибки САУ). Аналогичный вывод можно получить относительно высокочастотного участка ЛАХ. Для астатических систем с астатизмом 1-го порядка добротность равна коэффициенту усиления, поэтому точка пересечения начальной линии ЛАХ с осью ординат при  =1, определяет добротность следящей системы. Запасы устойчивости также определяют качество САУ. Чем меньше запасы устойчивости, тем ближе система к границе устойчивости, тем больше колебательность. Увеличение запасов устойчивости приводит к уменьшению колеба-тельности, однако, неограниченное увеличение запасов устойчивости может привести к недопустимо большим статическим ошибкам регулирования, система становится "вялой", неуправляемой. 5.8.3 ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ВИДА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПО ВЕЩЕСТВЕННОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ Известно, что переходный процесс выражается через действительную частотную характеристику замкнутой системы и при помощи интеграла 2  U(  ) (5.59) x(t)   sinωt  dω . π0 ω Анализ выражения (5.59) позволяет высказать некоторые предварительные соображения о характере и особенностях переходного процесса x(t) по виду действительной характеристики U() без построения самого процесса. Интервал частот, ограниченный частотой 0, назовем полосой пропускания системы автоматического управления. На частоты, лежащие за пределами полосы пропускания, система практически не реагирует 1. Значение вещественной характеристики при =0 равно значению координаты в конце переходного процесса, т.е. U0=x()=xуст. 2.. Для того, чтобы в статической системе величина перерегулирования (%) не превосходила 18%, достаточно, чтобы вещественная характеристика представляла собой невозрастающую функцию частоты. 3. Для того, чтобы переходный процесс протекал монотонно, достаточно, чтобы вещественная характеристика была положительной функцией  с отрицательной и убывающей по абсолютной величине производной. 4. Процесс заведомо немонотонный и имеется перерегулирование, если выполняется условие U ( )  U (0) при всех . 5. Если выполнено условие монотонности (признак 3), то время регулирования tпп, т.е. время достижения координатой x значения 95% x(), будет заведомо больше 4/П, т.е. tпп >4/П. Из этого признака следует, что чем круче проходит кривая U(), тем больше время регулирования tпп. В общем случае время регулирования tпп 105 заведомо больше /п. 6. Чем более полого протекает вещественная характеристика, тем быстрее заканчивается переходный процесс. 7. Если вещественная характеристика имеет высокий и острый пик на частоте ω0, то переходный процесс содержит медленно затухающие колебания с частотой ω0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. ДИНАМИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ САУ ЛЕКЦИЯ 17 План лекции: Определение и общие понятия синтеза САУ. Этапы синтеза. Требования к динамическим свойствам САУ. Методы коррекции динамических свойств САУ. Рекомендуемая литература [1, 2, 4, 6 ]. 6.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ СИНТЕЗА САУ Теория автоматического управления призвана решать задачи двух типов: задачи анализа САУ, которые сводятся к исследованию динамики систем, и задачи синтеза САУ, которые можно свести к выбору схемы взаимодействия регулируемого объекта с автоматическими регуляторами и автоматических регуляторов между собой, к определению схем автоматических регуляторов, выбору и расчету элементов и параметров автоматических регуляторов. Решение задачи синтеза не является однозначным, так как одни и те же требования, предъявляемые к САУ, можно удовлетворить различными путями. Эти требования иногда противоречат друг другу, поэтому при выборе структуры и параметров проектируемой системы возникает необходимость компромиссного решения задачи, что усложняет синтез. В силу указанных причин задача синтеза систем автоматики часто ставится ограниченно, что облегчает ее решение. Обычно определенная часть проектируемой системы задана. Требуется выбрать общую структурную схему и значения параметров дополнительной части системы. Естественно, что дополнительная изменяемая часть системы должна быть технически осуществима. Поэтому чаще всего рассматривается не синтез системы в целом, а лишь синтез корректирующих устройств, т.е. динамический синтез. Существует несколько инженерных расчетных методов синтеза систем. Достаточно эффективен частотный метод, использующий обыкновенные и особенно логарифмические частотные характеристики. Применяются и другие методы, например, метод требуемых передаточных функции, метод корневых годографов или исследования распределения корней, метод Д-разбиения про106 странства параметров систем и коэффициентов нения, метод модального управления, методы, гральных оценок качества и другие. Кроме аналитических методов синтеза САУ большое методы, использующие ЭВМ. характеристического уравоснованные на базе интеаналитических и графораспространение получают 6.2. ЭТАПЫ СИНТЕЗА САУ Для большого класса САУ можно определить основные этапы синтеза и их последовательность. 1. Изучение и исследование свойств регулируемого объекта, определение его статических и динамических характеристик, формулировка и обоснование требований, которым должна удовлетворять система автоматического регулирования. 2. Выбор функциональной схемы CAP, расчет и выбор основных элементов (чувствительных, исполнительных и др.). 3. Определение порядка астатизма и коэффициента передачи системы. Проводят, исходя из требовании к точности в установившихся режимах при детерминированных воздействиях. Коэффициент передачи системы определяют по требуемой величине астатизма или добротности (в случае статических САУ). Если коэффициент оказывается настолько большим, что затрудняет обеспечение устойчивости системы, то целесообразно повысить порядок астатизма и тем самым свести до нуля заданную установившуюся ошибку вне зависимости от значения коэффициента передачи системы. При этом становится возможным величину коэффициента выбирать, исходя только из соображений устойчивости и качества переходных процессов. На этом, же этапе решается вопрос о применении воздействии по основному возмущению (или по нескольким из них), т.е. о переходе к комбинированной САУ. Это целесообразно, если, во-первых, имеется возможность достаточно просто измерить данное возмущение, и, во-вторых, когда в результате введения компенсации этого возмущения существенно упростится замкнутый контур САУ. Последнее будет иметь место, если при отсутствии компенсации для получения нужной точности требуется достаточно большой коэффициент передачи в контуре, а введение компенсации позволяет его значительно уменьшить. 4. Синтез корректирующих устройств. На этом этапе синтеза САУ определяются характеристики, схемы, передаточные функции и параметры корректирующих устройств, исходя из требований к динамическим свойствам системы. 5. Анализ спроектированной системы с целью проверки расчетным или , экспериментальным путем удовлетворения требований, предъявленных к системе. На этом этапе строится переходный процесс, и определяются основные показатели качества. Для исследования спроектированной системы и уточнения ее параметров часто применяют методы моделирования на компьютерах. 107 6.3. ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К ДИНАМИЧЕСКИМ СВОЙСТВАМ САУ Требования, предъявляемые к динамическим свойствам САУ, включают, как правило, требования к устойчивости, точности и качеству регулирования. Основные из этих требовании следующие: 1. Запасы устойчивости по фазе и амплитуде. 2. Статическая ошибка. 3. Порядок астатизма. 4. Максимальное время переходного процесса при единичном скачкообразном воздействии. 5. Максимальное значение перерегулирования, вызванное единичным скачкообразным воздействием. 6. Коэффициенты ошибки по скорости С1 и ускорению С2. Кроме перечисленных могут задаваться и другие требования, например, требования к степени устойчивости, колебательности, полосе пропускания, максимальному отклонению регулируемой величины и др. МЕТОДЫ КОРРЕКЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ САУ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА Для улучшения динамических свойств САУ могут применяться последовательные, параллельные и смешанные схемы включения корректирующих устройств (КУ) (рис. 6.1). Рис. 6.1 Выбор схемы включения корректирующих устройств решается, исходя из преимуществ и недостатков, свойственных каждому из приведенных вариантов. Последовательное включение КУ, при введении производных в основную цепь регулирования, увеличивает скорость управляющего воздействия, но одновременно усиливается вредное воздействие высокочастотных возмущений. Кроме того, повышение скорости воздействия требует повышения мощности системы и ее прочности. 108 Введение интегралов в закон регулирования делает систему астатической и устраняет статическую ошибку. Вместе с тем, для обеспечения устойчивости астатических систем приходится значительно усложнять схему САУ. Обратные связи имеют преимущества по сравнению с последовательными. Они менее чувствительны к внешним воздействиям и изменениям параметров основной цепи регулирования и не усиливают помех. Основным преимуществом обратных связей является то, что они уменьшают влияние нестабильности параметров и характеристик шунтируемых элементов на динамические характеристики системы. В связи с этим в таких системах могут применяться более простые и дешевые элементы. Недостатки параллельной коррекции: а) более сложная схема включения и сами, параллельные КУ, как правило, сложнее последовательных; б) возникает необходимость применения согласующих элементов; в) возможны перегрузки цепи, охваченной корректирующим контуром. Последовательные корректирующие элементы выгодно отличаются от параллельных простотой и возможностью расширения полосы пропускания частот при включении дифференцирующего элемента в цепь регулирования. Однако они обладают следующими недостатками: а) ослабляют основной сигнал в цепи управления, что требует дополнительного усиления; б) увеличивают чувствительность системы к помехам (при расширении полосы пропускания); в) качество работы САУ существенно зависит от стабильности характеристик и параметров системы; г) в интегрирующих элементах приходится применять конденсаторы большой емкости; д) требуются большие входные сигналы постоянного тока; е) необходимость согласования входов и выходов КУ с блоками системы. Несмотря на сказанные недостатки, последовательные КУ нашли широкое применение в силу своей простоты. В качестве последовательных КУ чаще всего применяют пассивные электрические или активные четырехполюсники. На рис. 6.2 показаны возможные схемы включения корректирующих устройств в системе стабилизации летательного аппарата (ЛА) по одной из угловых координат, например, по тангажу. При этом в качестве последовательных корректирующих устройств могут применяться не только электрические цепочки (схема А), но и более сложные элементы, например, гироскопические датчики угловых скоростей (схема Б), гиротахоакселерометры (схема В) и др. В качестве местных обратных связей чаще всего применяются потенциометры, выполняющие функции жесткой обратной связи или тахогенераторы, обеспечивающие гибкую обратную связь. 109 Рис. 6.2 5. МЕТОДЫ КОРРЕКЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СИСТЕМЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРЕОБРАЗОВАНИИ СИГНАЛОВ ОШИБКИ Как известно, принцип автоматического управления связан с воздействием автоматического регулятора на регулируемый объект в зависимости от величины сигнала ошибки. В общем случае управление можно осуществлять не только по сигналу ошибки, но и в зависимости от производных и интегралов от ошибки. Закон управления в этом случае можно представить следующим образом: R y(t)  C j  p j  Δx(t) , (6.1) j R y(t)- закон управления; x(t)- сигнал ошибки; p j - символ дифференцирования или интегрирования в зависимости от знака j; C j - постоянные коэффициенты. Закон регулирования (6.1) в общем виде практически реализовать нельзя, также, как нельзя создать идеальную САР. Поэтому на практике ограничиваются реализацией частных случаев закона регулирования, оставляя в выражении (6.1) 2-3 слагаемых. Например, в системах стабилизации ЛА по угловым координатам применяют законы управления по углу, угловой скорости, угловому ускорению и интегралу от угла отклонения ЛА. На рис.6.3 приведены графики изменения угла тангажа при действии постоянного возмущающего момента для различных законов регулирования в автопилоте (АП). При отсутствии АП (кривая 1) колебания ЛА затухают под действием где 110 аэродинамических моментов, возникающих при вращении ЛА вокруг его поперечной оси. Применение АП с законом регулирования по углу отклонения ЛА (кривая 2) несколько увеличивает колебательность системы, однако установившаяся ошибка существенно уменьшается. Регулирование по углу и угловой скорости (кривая 3), не уменьшая установившуюся ошибку, дает более интенсивное затухание колебании ЛА. При соответствующем выборе параметров АП, переходный процесс может быть апериодическим. Астатический автопилот, осуществляющий регулирование по углу, угловой скорости и угловому ускорению (кривая 4), обеспечивает необходимое затухание колебании и ликвидирует установившуюся ошибку. ЛЕКЦИЯ 18 План лекции: 1. Построение желаемой ЛАХ. 2. Желаемые ЛАХ следящих систем. 3. Рекомендуемая литература [1, 8, 5, 3 ]. 6.5. ДИНАМИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ САУ, ОСНОВАННЫЙ НА ПОСТОРОЕНИИ ЖЕЛАЕМОЙ ЛАЧХ Широкое применение при синтезе САУ нашел метод логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ). Этот метод обладает достаточной простотой и наглядностью. Идея метода основана на известной связи между переходным процессом и логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). Зная желаемый вид переходного процесса, легко построить соответствующую такому процессу желаемую ЛАЧХ. Далее к виду желаемой ЛАЧХ приближают исходную ЛАЧХ некорректированной системы. Желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы строится исходя из требовании, предъявляемых к системе. Основными из них считаются: коэффициент усиления (определяемый точностью ее работы), порядок астатизма системы, время переходного процесса, запас устойчивости по фазе (определяемый величиной перерегулирования). Желаемая ЛАЧХ может быть разделена на три части: низкочастотную, 111 среднечастотную и высокочастотную ( рис. 6.4). 1. Низкочастотная часть ЛАЧХ определяется требуемой точностью работы системы, которая зависит от коэффициента усиления системы в разомкнутом состоянии и порядком ее астатизма. Частотный интервал низкочастотной части характеристики лежит в пределах от минимальных начальных частот до частот первого сопряжения аппроксимированной характеристики. Наклон начального низкочастотного отрезка характеристики определяется величиной (– 20ν дБ/дек), где ν - порядок астатизма системы. Указанный начальный отрезок характеристики должен переходить через точку с ординатой 20lgk , и абсциссой, равной 1, где k - требуемый коэффициент усиления системы. 2. Среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ определяет качество CAP. Установлено, что удовлетворительное качество регулирования получается в том случае, если наклон ЛАЧХ в области частоты среза  с составляет (- 20 дБ/дек). Частота среза определяется требуемым временем переходного процесса tпп и перерегулированием  % : ωс  k0 π , t ПП где k0 выбирается в зависимости от допустимой величины перерегулирования. Так, при допустимом перерегулировании  % =15… 30% выбирается k0=1,3…2,5. Рис. 6.4 Частоты сопряжения центрального отрезка среднечастотной части ЛАЧХ, пересекающего ось абсцисс при частоте  с, с предыдущим и последующим отрезками могут быть выбраны в соответствии с обозначениями, приведенными на рис. 6.4, исходя из следующих соображений. Величину центрального отрезка можно определять также по частотным интервалам, так, чтобы интервалы ( 2- с ) и ( с- 3 ) были равны 0,5…0,9 декады. Здесь следует брать интервалы тем больше, чем более высокое качество требуется от переходного процесса чем больше величины интерва112 лов ( 2- с) и ( с- 3) быстрее затухает переходной процесс, поэтому окончательный выбор этих интервалов должен быть согласован с требованиями к переходному процессу. Сопряжение центрального отрезка ЛАЧХ с низкочастотной частью производится прямой с наклоном - ( 40  60) дБ/дек. Так как высокочастотная асимптота ЛАЧХ мало влияет на вид переходного процесса, то для того, чтобы не усложнять КУ, она выбирается аналогичной ЛАЧХ исходной нескорректированной системы, обычно ее наклоны составляют - ( 40  60) дБ/дек. В литературе известны и другие подходы к выбору и построению желаемой ЛАЧХ в зависимости от типа проектируемой системы и от требовании к ее динамическим свойствам. Так, выбор желаемых запасов устойчивости по фазе  и амплитуде Н дБ в зависимости от допустимого перерегулирования % можно производить по графикам, приведенным на рис. 6.5. Частоту среза можно выбирать таким образом, чтобы выполнялось следующее неравенство: с min ≤ c ≤ c opt , где  c opt =2/Tmin - частота среза, соответствующая оптимальному переходному процессу, т.е. процессу с наименьшим временем переходного процесса Tmin. Время оптимального переходного процесса Tmin определяется по формуле: xmax 2 Tmin  g max 4 (6.2) , где gmax -максимальное значение второй производной от регулируемой величины x, соответствующее оптимальному переходному процессу; хmax - максимальное допустимое значение регулируемой величины. На рис. 6.6 приняты следующие обозначения: max - максимально допустимое перерегулирование; t max - максимально допустимое время переходного процесса; Umax - максимальное значение вещественной частотной характеристики. t max  kπ ω c.min , k = 0, 1, 2, 3, ... Графики функции t max и max ( рис. 6.6) справедливы для случая, когда вещественная частотная характеристика имеет вид, показанный на рис. 6.7 при определенном соотношении координат U(0), Umin ,Umax и ωi . 113 Рис. 6.5 Минимальное значение частоты среза  с min определяют по графикам, показанным на рис. 6.6. Выполнение неравенства (6.1) гарантирует перерегулирование и время переходного процесса не выше заданных. При построении желаемой ЛАХ следящих систем первого порядка астатизма можно использовать следующие рекомендации. Низкочастотная асимптота проводится так, чтобы она имела наклон (20) дБ/дек, соответствующий астатизму первого порядка. Продолжение асимптоты должно пересечь ось частот при частоте, равной желаемой добротности по скорости: 1 DV  , (6.3) C1 где С1 - заданный коэффициент ошибки. . При однократном изломе в точке В (рис. 6.8 ) первая сопрягающая частота определяется по формуле ω1  2C1 DW  С2 DV (6.4) , где DW= 2/С2 - добротность системы пo ускорению, а при двукратном изломе - по формуле ω1  1.0 1.1 1.2 1.3 Рис. 6.6 1.4 4С1 2DW  С2 DV 1.5 (6.5) . Umax Рис.6.7 114 Рис.6.8 Для облегчения построения желаемой ЛАЧХ вводятся типовые передаточные функции и им соответствующие ЛАЧХ. При построении желаемой ЛАЧХ нужно следить, чтобы она, как можно меньше отличалась от располагаемой ЛАЧХ, что необходимо для упрощения КУ. Это замечание особенно относится к низкочастотной и высокочастотной частям ЛАЧХ. Желательно делать так, чтобы, по крайней мере, первая низкочастотная и последняя высокочастотная асимптоты обеих ЛАЧХ сливались вместе. Совпадение низкочастотных асимптот ЛАЧХ достигается за счет выбора соответствующего коэффициента усиления, равного требуемому. Совпадение высокочастотных асимптот достигается, соответствующим выбором желаемой ЛАЧХ в высокочастотной области. После формирования всей желаемой ЛАЧХ необходимо проверить, выдерживается ли требуемое значение запаса по фазе, определяемое из графика на рис. 6.5 для модулей, лежащих в пределах: Н1  Н( )  Н2. Для этой проверки необходимо подсчитать фазовый сдвиг в двух крайних точках среднечастотной асимптоты, имеющей наклон (- 20) дБ/дек, т.е. при частотах  2 и  3 Подсчет фазового сдвига делается на основании принятой желаемой передаточной функции. Так, например, для передаточной функции типа (20…40…20…40) он равен  = -90- arctgT1 + arctgT2 - arctgT3. Если требуемый запас по фазе не выдержан, то необходимо расширить среднечастотный участок и произвести вновь проверку. Чтобы окончательно убедиться в приемлемости сформированной ЛАЧХ, можно по известной желаемой передаточною функции построить любым методом переходный процесс и проверить величины % и tпп. Далее из ординат желаемой ЛАЧХ вычитаются ординаты располагаемой ЛАЧХ. Получившаяся ЛАЧХ соответствует передаточной функции последовательного корректирующего звена. При необходимости это звено может быть пересчитано на эквивалентную обратную связь или эквивалентное параллельное корректирующее звено. 115 1. 2. 3. ЛЕКЦИЯ 19 План лекции: Синтез последовательного корректирующего устройства. Синтез параллельного корректирующего устройства. Рекомендуемая литература [1,3,4,5 ]. 6.6. СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА Включение корректирующего устройства (КУ) в основную цепь системы последовательно с основными элементами системы показано на рис. 6.9. Рис. 6.9 Применительно к принятым на рисунке обозначениям можно написать: Wc(р) = Kп(р)K0(р), или Wc(i)= Kп(i)K0(i), (6.6) где Wc(i) выражение для АФЧХ разомкнутой скорректированной системы. На основании (6.6) имеем 20lgWc(i) = Hc()дБ = Нж.дБ() = Нп.дБ()+ Но.дБ(), (6.7) где Нс.дБ() - ЛАЧХ скорректированной системы, которая должна совпадать с желаемой ЛАЧХ. Из выражения (6.7) следует,что Нп.дБ ()=Нж.дБ () - Но.дБ () . (6.8) Из приведенных соотношений вытекает следующий порядок выполнения расчетов при синтезе САУ с последовательным КУ: 1. Строится ЛЧАХ исходной нескорректированной системы (располагаемая ЛАХ). 2. По заданным требованиям к качеству переходного процесса и к точности САУ строится ЛАЧХ скорректированной системы, т.е. желаемая ЛАЧХ. 3. Учитывая, что в минимально-фазовых системах (какими являются в основном системы регулирования) имеется однозначная связь между амплитудными и фазовыми характеристиками, по имеющимся ЛАЧХ строят соответствующие ЛФЧХ и определяют запасы по фазе и по амплитуде. 4. Вычитанием ЛАЧХ исходной системы из ЛАЧХ скорректированной системы получают ЛАЧХ, корректирующего устройства Нп.дБ(). 116 5. По полученной ЛАЧХ корректирующего устройства подбирается наиболее простое по техническому исполнению корректирующее устройство. 6. Если ЛАЧХ выбранного корректирующего устройства будет несколько отличаться от расчетной, то необходимо построить окончательную ЛАЧХ скорректированной системы и по ней проверить полученные показатели переходного процесса. 6.7. СИНТЕЗ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА Задана передаточная функция разомкнутой цепи K0(p). Требуется ввести корректирующую обратную связь Z(p) так, чтобы система в целом (рис. 6.10) обладала желаемой частотной характеристикой. Рис. 6.10 Передаточная функция разомкнутой цепи с коррекцией равна К ж (p)  K0 (p) . 1  Z(p)  K0 (p) (6.9) Следовательно 20lg K Ж iω   20lg K 0 (i )  20lg 1  Z (i ) K 0 iω . Чтобы избавиться от суммы под знаком логарифма, запишем приближенное выражение 20lg K 0 iω , при Z iωK 0 iω  1;  20lg K Ж iω   (6.10) 1     20lg , при Z iω K iω  1.  Z iω  Построим ЛАЧХ неизменной части системы с передаточной функцией К0, имеющей желаемый коэффициент усиления, а также желаемую ЛАФЧ Кж (рис. 6.11). . В качестве искомой характеристики 1/Z(p) примем характеристику, обозначенную на рис. 6.11 точечным пунктиром и совпадающую в средней части с Кж. Вычтем 1/Z из характеристики К0 . Получим 1 20lg K 0 (i )  20lg  20lg Z(i )K 0 (i ) . Z(i ) Этот результат показан на рис. 6.11 штрихпунктирной линией. Из 117 графика видно, что на участке CD характеристикаZK0>1, а до точки С и после точки D характеристика ZK0<1 так как ось абсцисс соответствует значению амплитуды, равному 1 (20 lg А=0). Рис.6.11 Следовательно, при принятом очертании исходной характеристики 1/Z удовлетворяются написанные выше приближенные равенства (6.10). Таким образом, найдено параллельное корректирующее устройство в виде обратной связи, которое создает для системы в целом близкую к желаемой частотную характеристику. Согласно рис.6.11 логарифмическая характеристика Z (i ) получит вид, представленный на рис. 6.12, что соответствует следующей передаточной функции искомой корректирующей обратной связи: kр 2 Z(р)  . Tр  1 Это есть гибкая инерционная обратная связь с двойным дифференцированием (т.е. обратная связь по угловому ускорению исполнительного привода следящей системы). 1/T  Рис. 6.12 118 7. МЕТОДЫ СИНТЕЗА, ОСНОВАННЫЕ НА ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ ЛЕКЦИЯ 20 План лекции: 1. Рассказать о составлении уравнений САУ в пространстве состояний. 2. Рассмотреть пример. 3. Рекомендуемая литература [4, 6]. 7.1. УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ При исследовании динамических свойств САУ классическими методами после составления дифференциальных уравнений для отдельных элементов системы обычно переходят к передаточным функциям. Далее составляют общую структурную схему САУ, в которой отдельные элементы представляются блоками с соответствующими передаточными функциями. Затем определяют передаточную функцию замкнутой системы, характеризующую связь между изображениями по Лапласу входной и выходной величины САУ. Поведение системы во времени можно характеризовать не только выходной величиной САУ, но и промежуточными переменными в цепи системы, число которых равно порядку системы n. Таким образом, получается nмерный вектор состояния, множество возможных положений которого образует векторное пространство, называемое пространством состояний системы. Рис. 7.1 Будем рассматривать общий случай обыкновенных линейных САУ (рис. 7.1), описываемых системой дифференциальных уравнений в нормальной форме в векторно-матричной записи X  AX  BG ; (7.1) Y = CX , где X - вектор состояния системы, Y - вектор выходных величин, G - вектор внешних воздействии (задающих и возмущающих), т.е:  x1   y1   g1  X   ...  , Y   ...  , G   ...  .        x n   y k   g m  Через А, В, С обозначены: 119  a11 A   ... a n1  b11 B   ... bm1 ... a1n  ... ...  ... a nn  - собственная параметрическая матрица САУ; ... b1m  ... ...  ... bmm  - входная матрица САУ; c11 ... c1n  C   ... ... ...  сk 1 ... с kn  - выходная матрица САУ. Процессы в системе при свободном движении (без внешних воздействий) согласно (7.1) описываются векторно-матричным уравнением вида X  AX , (7.2) которое имеет следующее характеристическое уравнение: D (  )  A  E  0 . (7.3) В развернутой форме векторное уравнение (7.2) записывается следующей системой дифференциальных уравнений: x1  a11 x1  a12 x 2  ...  a1n xn ,  x n  a n1 x1  a n 2 x2  ...  a nn xn , (7.4) Характеристическое уравнение (7.3) в развернутой форме имеет вид a11   D    a 21 a12 ... a 1n a 22   ... a 2n ... ... ... ... a n1 an2 ... ann    0. (7.5) В качестве примера рассмотрим вывод уравнений состояния электромеханической следящей системы, принципиальная схема которой приведена на рис. 7.2. 120 Рис. 7.2 В этой системе введены обратные связи по углу поворота, скорости вращения и току в цепи якоря двигателя. Обозначение переменных ясны из чертежа. Для электродвигателя постоянного тока имеем: 1) уравнение электрической цепи LЯ diЯ  RЯ i Я  е Д  U У ; dt (7.6) 2) уравнение механической цепи J d  MC  M Д , dt (7.7) где МС=γΩ - момент сопротивления ; МД=kМ iЯ - момент двигателя; еД=kE Ω – противо-э.д.с двигателя . Через γ, kМ, kE обозначены соответствующие коэффициенты. Преобразуя выражения (7.6) и (7.7), получим уравнения двигателя в виде di Я R K 1   Я iЯ  Е   Uу ; (7.8) dt LЯ LЯ LЯ d  kM   iЯ  ; dt J J  1  . J TM (7.9) Для входной цепи усилителя напряжения имеем U 1  k П 0     kТ  0    , где  о , Ωо – внешние входные воздействия (угол и угловая скорость поворота задающего вала);  , Ω – выходные величины системы (угол и угловая скорость 121 поворота выходного вала). Для входной цепи усилителя мощности запишем U2 = K1U1 - KocUoc, где Uoc=Rш iЯ . Выходное напряжение усилителя мощности УМ, с учетом предыдущего выражения, будет равно Uу = KумU2=КумК1U1 - KумKосRшiЯ. После подстановки получим Uу = KумK1[КП( о -  )+КТ(Ωо-Ω)]-KумKосRшiЯ. (7.10) Совместно (7.8) и (7.10) дают уравнение diЯ 1  K1 K ум K П 0     K Т 0    K ос K у RшiЯ  RЯ iЯ  К Е , dt LЯ LЯ LЯ которое может быть представлено в виде K1KумKП R   K1KумKТ КЕ  K1KумKП K1KумKТ diЯ  RЯ    KосKу ш iЯ     0  0.( dt  LЯ LЯ   LЯ LЯ  LЯ LЯ LЯ 7.11) Скорость вращения d  . dt (7.12) Систему из трех уравнений (7.11), (7.9) и (7.12) запишем в векторноматричной форме:   RЯ kосkумRш   kE k1kумkT  k1kумkП       k1kумkТ k1kумkП     L L L L L Я   Я Я  Я  i   iЯ    Я Я L LЯ     d   kМ 1    Я    0    0 0   0 .    dt   J TМ  0     0   1 0         Введем обозначения iЯ=x1; Ω=x2;  =x3 – координаты вектора состояний следящей системы. Обозначим также : RЯ  kос k yм Rш k  k1k yм kT  a11 ;  E  a12 ; LЯ LЯ k k k k  y1 y 2 П  a13  b12 ; M  a21 ; LЯ J k1k yм kT 1   a22 ,  b11 ;  0  g1 ; 0  g 2 . TМ LЯ  В результате получим уравнение состояний следящей системы в стандартной векторно-матричной форме X  AX  BG , (7.13) 122 где X – вектор состояний системы, G – входной вектор, причем  x1  X   x 2 ;    x 3   g1  G   . g 2  Параметрическая матрица состояния системы А и входная матрица В имеют вид:  a11 a12 a13  b11 b12  A  a 21 a 22 0 ; B   0 0 .  0  0 0  1 0  Соответствующая структурная схема cистемы представлена на рис. 7.3. Рис. 7.3 Она составлена по уравнениям вида x1  a11 x1  a12 x2  a13 x3  b11 g1  b12 g 2 ; x2  a21 x1  a22 x2  0 x3 ; x3  0 x1  1x2  0 x3 . Дополним уравнение (7.13) уравнением выхода. Y=CX. Поскольку в наших обозначениях выходные величины Ω=x2,  =x3, то в этом уравнении координатами выходного вектора системы  y1  Y   y 2   y3  будут величины y1=0, y2=x2= Ω, y3=x3=  , поэтому выходная матрица системы будет иметь вид 0 0 0 С  0 1 0 . 0 0 1  Таким образом, при введении в систему корректирующих фильтров за счет дополнения основных уравнений системы уравнениями цепей коррекции, пространство состояний корректируемой системы расширяется. Порядок системы увеличивается, однако число свободно подбираемых пара123 метров увеличивается еще больше. В качестве примера составим уравнения состояния интегродифференцирующего корректирующего звена (рис. 7.4 и 7.5). Рис. 7.4 В качестве координат состояния целесообразно выбрать напряжения на конденсаторах, характеризующие накопление количества электричества. Получим 1 1 U C1  ic1 ; U C 2  ic 2 . C1 C2 Но, так как U U  U c2 ic1  i2  iR1 ; i2  ic 2  iR 2 ; iR1  c1 ; i2  2 , R1 R2 то после подстановки и простых преобразовании будем иметь следующие уравнения состояния:   1 1  1   1      U   U    C1 R 2  C1 R 2  c 1  c1     C1 R1 C1 R2    U . 1 1  U c 2   1  1 U c 2       C 2 R2  C 2 R2 C 2 R2   Структурная схема в пространстве состояний, составленная по уравнениям данного корректирующего звена, приведена на рис. 7.5 Рис. 7.5 Выходная величина U2=U1-UC1. Включение последовательно подобранного корректирующего звена расширяет пространство состояний на две координаты, однако число свободных варьируемых параметров С1, С2, R1, R2 равно четырем. 124 ЛЕКЦИЯ 21 План лекции: 1. Коррекция системы в пространстве состояния. 2. Корневой метод синтеза САУ по координатам пространства состоянии. 3. Прямой метод синтеза корректирующей обратной связи следящей системы. 4. Рекомендуемая литература [4]. 7.2. КОРРЕКЦИЯ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ При расчете систем управления в пространстве состояний надо иметь в виду, что не все координаты состояния могут быть технически измеряемыми. Это часто является или чрезвычайно затруднительным, или технически невозможным. Пусть А0 обозначает матрицу нескорректированного объекта управления. Положим, что r координат вектора x0 технически измеряемы, a h координат - неизмеряемы. Для коррекции системы так называемым методом "расширения пространства состояний" введем блочную, окаймленную рядами нулей, матрицу 0 0  An     .    0  A 0  (7.14) Теперь уравнение объекта управления в векторно-матричной форме будет Х  An X  PU ;   CX , где U и Y - векторы соответственно управления и выхода, Р и С - матрицы соответствующих порядков. Закон управления запишем в виде U  F  F   HG , где Fμ и Fν - матрицы, которые являются функциями параметров последовательных корректирующих устройств (корректирующих фильтров) μ={μ1, …, μn-τ} и параметров отрицательных обратных связей ν={ν1, …, νγ}, H – входная матрица управления. Для замкнутой системы получим  X  An X  P F CX  F CX  HG   ( An  PF C  PF C ) X  PHG , или  X  AX  BG , где A  An  PF C  PF C  An  A  A ; B  PH , т.е. последовательная коррекция определяется матрицей Aμ=PFμC, запол125 няющей нулевые места блочной матрицы (7.14), т.е.  A'  A''    A       .  A'''  0  Корректирующее влияние обратных связей несет в себе матрица Aν=PFνC, входящая в основную часть блочной матрицы (7.14), т.е. 0  0  A      .    0  A'  Свободное движение скорректированной системы описывается векторно-матричным уравнением вида  X  A , X , которому соответствует характеристическое уравнение D   A ,   E  0 . В развернутом форме характеристическое уравнение имеет вид n  a1n 1  ...  a n 1  a n  0 , где коэффициенты есть функции от параметров объекта и параметров корректирующих цепей: ai  ai  , , i  1,2,..., n . 7.3. ПРЯМОЙ КОРНЕВОЙ МЕТОД СИНТЕЗА ДОМИНАНТНОГО ТИПА О качестве процесса управления можно судить по расположению корней характеристического уравнения (т.е. полюсов передаточной функции замкнутой системы), учитывая также еще и операторный многочлен в правой части дифференциального уравнения (т.е. нули передаточной функции замкнутой системы). В настоящее время разрабатываются различные корневые методы расчета, автоматических систем. Наиболее перспективным из корневых методов сейчас является прямой корневой метод синтеза, называемый модальным методом синтеза системы по заданному качеству процесса управления. Заданное качество системы будем определять желаемым расположением нулей и полюсов ее передаточной функции. Пусть задана передаточная функция замкнутой системы KW ( S )  KN ( S ) L( S ) (7.15) где К - общий коэффициент усиления, N(s) и L(s) - многочлены, имеющие единичные коэффициенты при младших членах. Передаточная функция замкнутой системы для управляемой величины по задающему воздействию g(t) имеет вид 126 Ф( S )  KW ( S ) KN ( S )  1  KW (S ) L( S )  KN (S ) (7.16) Ф( S )  C ( S  N 1 )(S  N 2 )...(S  N m ) . ( S  1 )(S   2 )...(S   n ) (7.17) или Задача синтеза состоит в том, чтобы, опираясь на ряд качественных показателей системы, найти соответствующее расположение величин λ1, λ2, … , λn на комплексной плоскости, а затем найти параметры корректирующих цепей, обеспечивающих заданное расположение указанных корней. При этом исходными качественными показателями могут быть, например, вид переходного процесса (апериодический, колебательный), время затухания, колебательность, частота колебании, интегральная квадратичная ошибка и т.д. Указанные требования на одновременное выполнение различных качественных показателей создаваемой системы приводят к задаче выделения на комплексной плоскости соответствующих областей допустимого расположения полюсов и нулей передаточной функции замкнутой системы. 7.4. ПРЯМОЙ КОРНЕВОЙ МЕТОД СИНТЕЗА САУ ПО КООРДИНАТАМ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ Пусть характеристическое уравнение, системы имеет вид D   n  a1n 1  ...  a n 1  a n  0 (7.19) Каждый коэффициент ai (i=1, …, n) является функцией от некоторых параметров объекта управления и параметров корректирующих цепей, т.е. ai  ai q , i  1,..., n , (7.20) T где q=[q1, q2, …] - искомый параметрический корректирующий вектор. Для решения задачи модального синтеза введем желаемый характеристический многочлен D *      *1   *2 ...  *n . После раскрытия скобок получим D *    n  b1n 1  ...  bn1  bn  0 (7.21) * где λ i - желаемые значения корней характеристического многочлена, лежащие в заданных пределах: 'i  *i  'i' , i  1,2,.., n, (7.22) bi  bi (1* , *2 ,..., *n ). Приравнивая соответствующие коэффициенты (7.20) и (7.22), получим a1 (q )  b1 (1* ,..., *n )  * 1 (7.23) * n a n ( q)  bn ( ,...,  ) Здесь имеем n уравнений с n неизвестными, решая которые непосредственно или численными интерационными методами, можно определить все n численных значении параметров корректирующего вектора q=[q1, q2, …]T. 127 Очевидно, что полная коррекция, т.е. независимое назначение всех коэффициентов характеристического уравнения ai (i=1, …, n) возможно только при числе корректирующих параметров не меньше n. Это обстоятельство дает возможность предписанного назначения желаемых корней λ*i (i=1, …, n). Пример. Для следящей системы, рассмотренной в 8.1, собственная скорректированная параметрическая матрица имеет вид   RЯ   k   q1    E  q 2   q3      LЯ    LЯ  kM 1   A  0 , J TM   1 0     где q1  kос k yм Rш LЯ  k y1k yм kT С2 k y1k yм k П С3 С1 , q2   , q3   . LЯ LЯ LЯ LЯ LЯ Характеристическое уравнение системы будет 1    T  q1 Я  k D (  )  E  A    M  J    kE  q2 LЯ 1  TM 1  q3   0   0.     После раскрытия определителя получим +a1λ2+a2λ+a3=0, где a1  1 1 1   q1 , a 2  TM T Я TM  1  k   q1   M  TЯ  J  kE  k   q 2 , a 3  M q 3 . J  LЯ  Задаемся спектром матрицы А:    1  j 1 , *3   3 . После подстановки этих значении в уравнение * D      1*   *2   *3   0 , получим желаемое характеристическое уравнение D *    3  b12  b2   b3  0, где b1  2 1   3 , b2   12  12  2 1 3 , b3   12   12  3 . В результате приравнивания коэффициентов характеристических уравнений проектируемой и желаемой систем будем иметь следующие функции реализации: * 1, 2 128 a1  С 1 1   1  b1 , TM T Я L Я  1 С   1  TЯ L Я k С a 3  M 3  b3 . J LЯ a2  1 TM  kM    J  k E С2    LЯ L Я    b2 ;  Отсюда следует возможность непосредственного решения задачи модального синтеза в виде  1 1  LЯ ; C1   b1   TM T Я   L J b 1  C 2  Я  b2  1  2   k E ; kM  TM TM  b JL C3  3 Я , kM где C1, C2, C3 - определяемые при синтезе коэффициенты передачи от измеряемых координат пространства состояний системы, т.е. от тока в цепи якоря, от скорости вращения, от угла поворота исполнительного двигателя до входного напряжения цепи якоря. 7.5. ПРЯМОЙ МЕТОД СИНТЕЗА КОРРЕКТИРУЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ Пусть задана структурная схема следящей системы (рис. 8.8) и желаемое расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы (рис. 7.9). Передаточные функции неизменной части системы имеют вид W1 ( S )  k1 k 1 , W2 ( S )  2 2 2 , W3 ( S )  . T1S  1 T2 S  T3 S  1 S Требуется найти значения коэффициентов k3 и k4 дополнительной об129 ратной связи, приводящие к желаемому расположению корней (рис.3.9), и коэффициент усиления прямой цепи системы k= k1 k2. Согласно схеме имеем W (S )  W1 ( S ) W2 (S ) W3 ( S ) 1  W1 ( S ) W2 (S ) (k 3 S  k 4 ) Следовательно Ф( S )   W1 ( S ) W2 ( S ) W3 ( S ) W (S )   1  W (S ) 1  W1 (S ) W2 ( S ) [k 3 S  k 4  W3 ( S )] k . S (T1 S  1)(T S  T3 S  1)  k (k 3 S 2  k 4 S  1) 2 2 2 Отсюда характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид S4  T1T3  T22 3 T1  T3  kk 3 2 1  kk 4 k S  S  S 0 2 2 2 T1T2 T1T2 T1T2 T1T22 (7.24) Желаемому расположению корней соответствует следующее уравнение с заданными коэффициентами: ( S 2  a1 S  a 22 ) ( S  a3 ) (S  a 4 )  0 или S 4  (a1  a 3  a 4 ) S 3  (a 22  a1 a3  a1 a 4  a 3 a 4 ) S 2  (a1a 3 a 4  a 22 a3  a 22 a 4 ) S  a 22 a3 a 4  0 Приравнивая коэффициенты этого уравнения и уравнения 8.24, получаем соотношение a1  a3  a 4  T1T3  T22 T1T22 (7.25) и значения искомых коэффициентов k  a 22 a3 a 4T1T22 T1T22 2 T  T3 k3  a 2  a1a 3  a1 a 4  a3 a 4  1 k k 2 TT 1 k 4  1 2 a1 a3 a 4  a 22 a3  a 22 a 4  k k     Условие (7.25) накладывает одну связь на произвольный выбор расположения корней – условие физической реализуемости в данной системе. 130 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 22 План лекции: 1.Отличительные особенности нелинейных систем. 2.Методы исследования нелинейных систем. 8.1. Отличительные особенности нелинейных систем В природе процессы, описываемые линейными уравнениями, не встречаются. Любой элемент САУ можно считать линейным и описывать его поведение линейным уравнением лишь в определенной области изменений контролируемых переменных величин if внешних возмущающих воздействий. Например, на простейшем элементе — проволочном сопротивлении — пропорциональная зависимость между током и напряжением наблюдается лишь при малых рассеиваемых мощностях, а при значительном увеличении тока сопротивление увеличивается и эта пропорциональность нарушается. Кроме того, величина сопротивления зависит от внешних воздействий: окружающей температуры, давления, влажности и т. д. Широко применяемые в современных САУ вакуумные лампы, транзисторы, туннельные диоды, детектирующие диоды и так далее имеют существенно нелинейные характеристики и лишь в весьма узкой области изменения переменных могут считаться линейными. Однако очень многие САУ построны так, что в нормальном режиме работы их нелинейности не оказывают существенного, качественного влияния на поведение систем, а вносимые нелинейностями количественные отклонения настолько малы, что их можно в инженерной практике не учитывать. Процессы в таких системах с удовлетворительной точностью описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, а сами системы называются линейными. Хорошо разработанная теория линейных дифференциальных уравне131 ний, удобный математический аппарат линейного анализа (ряды Фурье, операторный метод и т. д.) обусловили развитие эффективных методов анализа и синтеза линейных САУ. Многие САУ не могут быть с достаточной точностью, а иногда даже качественно правильно описаны линей* ными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Например, невозможно с помощью линейных методов исследовать системы, работающие в колебательном или релаксационном режиме, учесть влияние ограничения, люфтов, насыщения и многих других явлений, имеющих место в реальных системах и оказывающих существенное влияние на их работу. В современной практике по мере усложнения и усовершенствования САУ все чаще приходится сталкиваться с системами, функционирование которых описывается дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, уравнениями в конечных разностях и чаще всего с нелинейными дифференциальными уравнениями. Системы, поведение которых описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, будем называть нелинейн ы м и САУ. С математической точки зрения наиболее существенным отличием линейных систем от нелинейных является то, что в последних неприменим принцип суперпозиции, на котором основаны методы анализа линейных систем: гармонический анализ, операторный метод, представление полного решения в виде суммы общего и частного решений, критерии устойчивости и т. д. При анализе нелинейных уравнений нет единого математического метода; различные методы исследований (в основном приближенные) применяются в зависимости от характера уравнений и требуемых результатов. Наиболее часто на практике встречаются системы с нелинейными безреактивными элементами, т. е. с элементами, в которых связь между переменными, описывающими поведение элемента, функциональна (а не дифференциальна). У таких систем выходная величина зависит только от входной величины (входных величин) и не зависит от производных (или интегралов) 132 входной величины. Если входная величина одна, то поведение безпеактивного нелинейного элемента можно описатьфункциейy=f(x)и изобразить графиком на плоскости (у, х). 8.1 Отметим, что функцияf(x)может иметь точки разрыва, неоднозначные (гистерезисные) области, точки излома и другие нерегулярности. На рис. 10.1 приведены наиболее распространенные виды нелинейных безреактивных характеристик (сплошными линиями) и обычно применяемые линейноломаные аппроксимации этих характеристик (пунктирными линиями). Явление ограничения (насыщения) (рис. 10.1,а, б) встречается в большинстве реальных устройств: вакуумной лампе и транзисторе (усилителях, детекторах, автогенераторах, дискриминаторах и т. п.), ферромагнитных материалах (трансформаторах, магнитных усилителях, сельсинах, двигателях, электромашинных усилителях, индуктивностях с сердечниками и т. п.), газонаполненных электронных эле133 ментах (тиратронах, газотронах, стабилитронах и т. п.) и др. Зона нечувствительности (рис. 10.1,е, г) также встречается весьма часто: в реле, тиратронах,стабилитронах, двигателях, электромашиниых усилителях и т. п. Гистерезисные области (рис. 10.1,а, е) встречаются в устройствах иаферромагнитных материалах, газонаполненных приборах, любых триггерных устройствах, электромагнитных реле, механических передачах с люфтом и т. п. Релейные характеристики (рис. 10.1,ж, з) присущи различным электромеханическим и электронным реле, применение которых в ряде случаев значительно упрощает САУ. Другим распространенным типом нелинейных элементов являются реактивности (индуктивности, емкости), поведение которых описывается дифференциальным уравнением первого порядка или более общим уравнением нелинейного инерционного звена 8.1 В этих уравненияхf(x), Г (у) могут быть нелинейными, возможно гистерезисными, функциями. Обычно при рассмотрении систем с нелинейными реактивностями пользуются разложением функцийf(x) иТ(у) в степенные ряды. Примерами нелинейных реактивностей могут служить любые устройства с обмотками на ферромагнитных сердечниках, любые схемы, содержащие р-п переходы (полупроводниковые диоды, транзисторы и т. п.), так как ферромагнитные материалы обладают нелинейной зависимостью В(Н), а р-п переходы — нелинейной емкостью С (и). Математика не предлагает общих методов решения нелинейных диф134 ференциальных уравнений, аналогичных методам линейного анализа. Точное решение известно только для очень малого числа нелинейных уравнений, имеющих специальные названия, большинство же нели- » нейных систем исследуется приближенными методами. Методы исследования нелинейных систем Методы исследования нелинейных систем можно разбить на три группы: аналитические, графические и численные. Аналитические и графические методы удовлетворительно разработаны в основном для систем не выше второго порядка с «малыми» нелиней-ностями. Уравнения высших порядков обычно приходится исследовать более громоздкими и менее общими численными методами с применением аналоговых или цифровых вычислительных устройств. Функционирование нелинейных систем может сопровождаться физическими явлениями, которые не могут иметь места в линейных системах. К таким явлениям следует отнести колебательный (релаксационный или гармонический) режим работы с мягким или жестким возбуждением колебаний; возможность существования нескольких устойчивых и неустойчивых равновесных состояний; параметрический резонанс на гармониках или субгармониках внешних воздействий и т. д. Наличие отличительных физических явлений привело к появлению специальных категорий для нелинейных систем: различных видов устойчивости САУ (абсолютная, асимптотическая, устойчивость в малом и в большом, устойчивость цикла), различных параметров колебательного режима (время релаксации, период основной частоты, форма колебаний) и т. д.& Преимущество аналитических методов по сравнений) с другими в том, что окончательным результатом являются весьма общие для рассматриваемого класса нелинейных систем формулы и аналитические соотношения, которые можно применять для инженерных расчетов при проектировании. 135 Первым шагом при исследовании САУ является математическое описание поведения отдельных элементов и всей системы. При этом широко применяется аппроксимация реальных нелинейных зависимостей простейшими аналитическими функциями: полиномами, тригонометрическими функциями и др. Если аппроксимацию одной функцией во всем диапазоне изменений переменных применить не удается, то применяют кусочно-ломаную аппроксимацию по отдельным участкам диапазона изменений переменных. Следует подчеркнуть важность правильного выбора аппроксимирующих функций; иногда от этого зависит успех дальнейших исследований. В ряде случаев соответствующий подбор аппроксимирующих функций и надлежащий выбор переменных Возволяют свести уравнение нелинейной системы к одном} из немногих дифференциальных уравнений, имеющих точное решение (например, к уравнению Риккатти, Бер-нулли. Бесселя и др.). Если это не удается, то применяют один из приближенных методов нахождения решения. Из всего многообразия приближенных методов рассмотрим наиболее часто применяющиеся в практике радиоинженеров. Представление решения в виде степенногого ряда . Это один из наиболее универсальных, но наиболее трудоемких и громоздких приближенных методов. Значения Щ находятся подстановкой ряда в исходное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степеняхt. Основным недостатком этого метода является то, что коэффициенты щ находятся в зависимости от параметров системы, и по виду решения трудно определить влияние отдельных параметров на поведение си-стемы. Особым вопросом данного метода является исследование сходимости ряда. Несколько приближенных методов (метод возмущений, метод вариации параметров и их различные модификации) основаны на определении порождающего решения. Эти Методы применяются- тогда, когда дифференциальное уравнение системы можно разбить на две такие составные 136 части (два слагаемых): Что для одной из них, основнойf 1 (у, у',..уп,t) =0, решение может быть найдено (это и есть порождающее решение), а остальные члены, входящие в малы по сравнению с основной частью уравнения. Обычно малость второго слагаемого определяется малым параметром е<1, а сами функции f1иf2гут быть соизмеримы. Малость второго слагаемого определяет малые отличия полного решения от порождающего и возможность различных разложений в функциональные ряды относительно порождающего решения. ЛЕКЦИЯ 23 8.1МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ (МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА). МЕТОД ВАРИАЦИИ ПАРАМЕТРОВ План лекции: 1. Метод возмущений (метод малого параметра) 2. Метод вариации параметров 3. Рекомендуемая литература [9]. 8.2Метод возмущений (метод малого параметра) Этот метод основан на разложении решения уравнения в ряд по степеням параметра е относительно порождающего решенияyo(t): 8.2 Коэффициенты этого ряда y0(t), y1(t), … находятся подстановкой y(t) в исходное дифференциальное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях е в левой и правой частях уравнения. Если порождающее решениеyo(t) оказывается периодической функцией времени, то в функцияхy1(t), y2(t)… появляются беспредельно растущие так 137 называемые «вековые» члены видаtsinωt Для их устранения следует учитывать реально существующую зависимость частоты колебаний от амплитуды, т. е. представлять частоту колебаний также в виде ряда 8.3 где А1(а), А2(а)—функции амплитуды колебаний а, выбираемые таким образом, чтобы «вековые» члены отсутствовали. Метод возмущений наиболее эффективен при нахождении стационарных решений с высокой точностью, однако его можно использовать также при исследовании неустановившихся режимов. Пример. Следящая система с насыщающимся усилителем. Пусть в следящей системе, состоящей из линейной и нелинейной частей (рис. 10.2,а), линейная часть (ЛЧ) описывается линейным дифференциальным уравнением а нелинейная часть (НЧ) безреактивна и имеет «малую» нелинейность С учетом этого можно записать 138 Подставив это выражение в уравнение линейной части, получим дифференциальное уравнение системы В этом выражении Если система устойчива, а изменение х происходит настолько медленно, что всеми производными можно пренебречь из-за их малости, то уравнение системы значительно упрощается: Это уравнение стационарных состояний системы. В соответствии с методом возмущений ищем решение в виде Для дальнейших выкладок нужно уточнить характер нелинейности. Допустим, что нелинейными свойствами обладает усилитель с насыщением. Наиболее просто его характеристику можно аппроксимировать функцией z=ky—ty3 (рис. 10.2,6). В этом случае С учетом этого постановка решении в уравнение стационарных состояний дает 139 Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е в право» н левой частях уравнения, получим Итак, окончательно получаем решение С помощью этого выражения получаем ошибку квазистационарного слежения и выходную величину 140 Если система астатическая, то в линейной части имеется по крайней мере одно интегрирующее звено и, следовательно, ао=0. При этом, как и в линейной системе е=0, z=x. Введя обычные для линейных статических систем обозначении получим уравнение в более знакомой записи: Как следует из анализа этого уравнения, з статической системе с насыщением с увеличением входного воздействия ошибка слежения енарастает быстрее, чем в линейной системе, а выходная величина отстает от входной нелинейной (рис. 10.2,в). Первая зависимость соответствует астатической системе, вторая — статической линейной и третья — статической нелинейной. Отметим характерную особенность системы с нелинейными элементами. Если линейную и нелинейную части в схеме на рис. 10.2,а поменять местами, то изменится дифференциальное уравнение, а следовательно, и свойства системы. Метод вариации параметров Этот метод основан на предположении, что «малые» члены производят медленные изменения порождающего решения. Как и в предыдущем методе, сначала находят порождающее решение, а затем предполагают, что постоянные интегрирования в этом решении являются «медленными» функциями времени. С учетом этого предположения решение подставляют в исходное уравнение и отыскивают такие зависимости постоянных интегрирования от времени, при которых решение удовлетворяет уравнению. Иногда 141 метод вариации параметров позволяет получить точное решение уравнения, а в большинстве случаев — приближенное. В частности, если поведение системы описывается уравнением второго порядка вида (10.4) или, что то же самое, системой уравнений первого порядка тo порождающее решение находится при е=0: Затем предполагают, что постоянные интегрирования — амплитуда и фаза колебаний (а и 0) — медленные функции времени:a = a(t), 0—0(/). При этих предположениях получаем систему уравнений: которая разрешается относительно и Обычно проинтегрировать эти уравнения и определить а и 0 не удается; как правило, переменные в них не разделяются. Но если е достаточно мал, 142 то а и 0 можно считать неизменными в течение периода и провести усреднение и за период: После интегрирования правых частей уравнений (10.5) получаем так называемое укороченное уравнение. Укороченное уравнение в некоторых случаях удается решить аналитически, а в большинстве случаев — численно с помощью ЦВМ или на модели. Метод вариации параметров удобен при определении переходных процессов в системе; стационарные состояния находятся с помощью этого метода не очень точно— с точностью первого приближения. 8.3 Пример. Отработка постоянного рассогласования в астатической нелинейной системе второго порядка. Предполагая, что нелинейная часть системы, блок-схема которой приведена на рис. 10.3,а, имеет «малую» нелиие^ость, можно записать у=кне+εφ(е). 143 Будем считать, что линейная часть системы состоит из одного интегрирующего и одного инерционного звена, так что Учитывая, что вычитающее звено описывается уравнением х— =2, можно записать уравнение системы Для рассматриваемого случая отработки начального рассогласования x=X=const, . Следовательно, уравнение можно записать в виде Где Для определенности дальнейшего рассмотрения положим, что Пользуясь выражениями (10.5), находим Первое из этих уравнений легко интегрируется: Подста- вив полученное решение во второе уравнение и проинтегрировав его, получим Последнее выражение показывает, что затухание колебании в системе происходит с переменной частотой. Если е>0, то мгновенная частота колебаний 144 уменьшается (график 3 на рис. 10.3,б) с течением времени; если е<0, то частота колебаний увеличивается (график 2 та рис. 10.3,0) и, наконец, при f=0 частота колебаний остается неизменной. Этот эффект может быть использован для нелинейной коррекции переходных процессов в системе. ЛЕКЦИЯ 24 8.2. МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ НЕВЯЗКИ. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА ПЛАН ЛЕКЦИИ 1. Методы минимизации невязки 2. Метод гармонического баланса Метод гармонического баланса Этот широко распространенный из-за своей простоты метод непосредственно вытекает из методов минимизации невязки и применяется тогда, когда приближенное решение имеется в виде суммы нескольких гармоник (в простейшем случае — одной): 8.8 При этом система уравнений (10.7) будет выполняться, если р(/) не будет содержать в качестве слагаемых гармоник, учтенных в приближенном решении (могут быть более высокие гармоники). Иными словами, если коэффициенты Сь С2,...,Dui)2> • • • в приближенном решении y(t) выбрать так, что при подстановке этогоприближенного решения в исходное дифференциальное уравнение коэффициенты при всех гармониках, учтенных в прибли- 145 женном решении, будут равны нулю, то такое приближенное решение менее всего отличается от точного решения. 8.4 Это и есть принцип гармонического баланса. В соответствии с принципом гармонического баланса коэффициенты в решении (10.8) находятся из системы уравнений: 8.9 Пример. Система автоматического управления с нелинейной реактивностью. Рассмотрим САУ (рис. 10.4,а), состоящую из нелинейного инерционного звена 1, описываемого уравнением (10.1), и интегрирующего звена 2, 146 предполагая, что все остальные звенья системы безынерционны, а зависимость Т\ (у) определяется соотношением Т1(у) = Т1+ау2. Дифференциальное уравнение такой системы находится из следующих уравнений звеньев: Исключаяиз этих уравнений е и yt, получаем дифференциальное уравнение второго порядка Для принятой зависимостиТ(у) получим Исследуем режим вынужденных (стационарных) периодических колебании при гармоническом входном воздействии Решение будем искать в виде одной гармоники предполагая, что нелинейность системы достаточно мала, чтобы можно было не учитывать искажение формы колебаний . Подстановка х, ув дифференциальное уравнение дает после приравнивания коэффициентов при cosωt и sinωt 147 С помощью замены переменных перейдем к полярным координатам где относительная расстройка системы - резонансная частота системы при нулевой амплитуде. Так как sinif> и cos О входят в эти уравнения линейно, это позволяет разделить переменные и построить ам-плитудно-фазо-частотиую характеристику системы: 8.10 Задавая амплитуду колебаний У (при данном X), определяем из второго уравнения относительную расстройку, после чего определяем из первого уравнения фазу колебаний Графики частотных характеристик приведены на рис. 10.4,6. 148 Устойчивые и неустойчивые стационарные состояния. Релаксации. При малых внешних воздействиях (и малых величинах амплитуды У) влияние нелинейности сводится к некоторому искажению формы амплитудно-фазочастотных характеристик по сравнению с характеристиками линейной системы (график, соответствующий Х\ на рис. 10.4,6). Это несущественное влияние нели-нейностей. При увеличении амплитуды внешних воздействий частотные характеристики могут качественно отличаться от характеристик линейных систем. Так, на участке Г)1-г-7|2 графика, соответствующего значению амплитуды х2, появилось три стационарных состояния. Два из них устойчивы, а третье (участок а + Ь амплитудно-частот-ных характеристик) неустойчиво. Появление бистабиль- ной зоны обусловлено кривизной скелетной кривой |о(у), определяющей зависимость резонансной частоты системы (частоты, при которой фазовый сдвиг Ф равен нулю) от амплитуды (пунктирная кривая на амплитудно- частотной характеристике на рис. 10.4,6), определяемой из второго уравнения (10.10) при £i=0. Переход системы нз одного устойчивого стационарного состояния в другое происходит скачком, лавинообразно н называется релаксацией. Причиной, вызывающей релаксацию могут быть либо плавное, либо импульсное воздействие на систему, после снятия которого система остается в другом устойчивом состоянии. Например, если плавно увеличивать относительную расстройку т) при амплитуде дг2, то сначала точка состояния системы будет перемещаться по верхней ветви ампли-тудно до точки а, а затем скачком, релаксационно, переместится на нижнюю ветвь характеристики. При обратном изменении tj релаксация произойдет в точке Ь. Наличие нескольких стационарных состояний и релаксационные переходы — это свойства существенно нелинейных систем. В линейных системах эти явления встречаться не могут 149 Методы минимизации невязки Эти методы применяются, если приближенное решение на данном интервале изменений аргументаa29. Асимптотические методы Разработанные советскими учеными Крыловым Н. М., Боголюбовым Н. Н., Митропольским Ю. А. асимптотические методы являются комбинацией, дальнейшим углубленном н развитием методов возмущений и вариации параметров. Решение в этих методах ищем в виде где — частота, равная резонансной частоте контура или мало отличающаяся от нее; а, -0-—амплитуда и фаза колебаний — медленные функции времени. Законы изменения амплитуды и фазы колебаний определяются уравнениями 154 Функции учитывают высшие гармоники и не должны содержать основной частоты ω. Зависимости кой определяются подстанов- в исходное дифференциальное уравнение системы и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях в, как и в методе возмущений. Более подробно с асимптотическими методами можно познакомиться в специальной литературе. ЛЕКЦИЯ 26 8.4. МЕТОД ПРИПАСОВЫВАНИЯ. План. 1. Понятие кусочно-линейной системы. 2. Метод припасовывания. 3. Определение переходного процесса. 4. Определение периодического решения (автоколебаний). Часто нелинейные системы представляются как кусочно-линейные, т. е. их динамические свойства описываются линейными дифференциальными уравнениями, разными для разных участков процесса управления. Таковыми, например, были все нелинейные системы, рассмотренные в предыдущей главе. Метод припасовывания состоит в том, что линейные дифференциальные уравнения решаются в общем виде отдельно для каждого участка процесса, на котором они справедливы. Затем на каждом участке в полученных 155 решениях произвольные постоянные определяются таким образом, чтобы все соседние участки правильно состыковывались друг с другом. Это делается следующим образом: по заданным начальным условиям процесса определяются произвольные постоянные в общем решении для первого участка. Значения фазовых координат в конце первого участка служат начальными условиями для второго участка и т. д. Вообще говоря, описанная схема метода припасовывания может быть применена и тогда, когда какой-либо участок описывается нелинейным дифференциальным уравнением при условии, что известно его общее решение. Проиллюстрируем на простом примере использование метода припасовывания для определения переходного процесса и для определения периодического решения (автоколебаний). Дана система, схема которой изображена на рис. 3.1, а, нелинейная характеристика F(х) регулятора представлена на рис. 3.1, б. Уравнение объекта: уравнение регулятора: Общее уравнение замкнутой системы имеет вид Определение переходного процесса. Представим себе примерно возможный качественный вид процесса Рис. 8.6. (рис. 3.2). Он разбивается на участки AB,BD и т. д., внутри которых в соот156 ветствии с нелинейной характеристикой функция F(x) принимает постоянные значения +с или -с. Изобразим отдельно участки АВ и BD (рис. 3.3), отсчитывая время t на каждом из них от нуля. Рис. 8.7. На участке АВ, согласно (3.1), уравнение системы имеет первый интеграл в виде а второй — Рис. 8.8 Начальные условия: t=0, х =b, dx/dt= х А . По ним из (3.2) и (3.3) нахо157 дим На участке BD, согласно (3.1), имеем Первый интеграл этого уравнения а второй Начальные условия для участка BD (в точке В) определяются на основании решения относительно точки В уравнения для предыдущего участка АВ. Из (3.2) находим где С1 известно из (3.4), а величина tв определяется из уравнения (3.3) при условии хв=-b, т. е. где С2 известно из (3.4). Отсюда определяем tв и полученное значение подставляем в формулу (3.7). Таким образом, начальные условия для участка BD имеют вид и, согласно (3.5), (3.6), получаем На следующем за точкой D участке снова, как и на АВ, будет решаться уравнение 158 при этом произвольные постоянные определятся с учетом координат конца предыдущего участка BD и т. д. Определение периодического решения (автоколебании). В этом случае расстояние AD по оси времени (рис. 3.2) является периодом автоколебаний. Вся кривая ABD после точки D должна повторяться в точности в том же виде. Вследствие нечетной симметрии характеристики (рис. 3.1, б) должна иметь место нечетная симметрия и полупериодов АВ н BD. Поэтому для определения периодического решения (автоколебаний) достаточно рассмотреть один полупериод — участок АВ. Обозначим через Т полупериод искомых автоколебаний. В силу периодичности решения начало и конец участка АВ должны удовлетворять равенствам Первое условие, согласно (3.2), принимает вид откуда Второе условие (3.8), согласно (3.3), запишется в виде или Подставив сюда выражение для С1 из (3.9), придем к уравнению 159 с одной неизвестной величиной — полупериодом Т. Трансцендентное уравнение (3.10) легко решается графически. Обозначим Кривые z1 и z2, согласно этим равенствам, изображены на рис, 3.4. Решением уравнения (3.10) будет точка z1=z2 т. е. точка пересечения кривых 21 и 22 (рис. 8.9). Рис. 8.9. Отсюда находим полупериод Т автоколебаний. Частота автоколебаний Амплитуда автоколебаний определится как хmax на участке АВ (рис. 3.2), т. е. из условия dx/dt == 0. При этом из (3.2) где С1 определяется формулой (3.9), a tm - время t в точке максимума попа неизвестно. Из (3.11) с учетом (3.9) находим откуда Далее по формуле (3.3) определим амплитуду автоколебаний: где C1 известно из (3.9). В результате формула позволяет вычислить и амплитуду автоколебании. ЛЕКЦИЯ 27. 8.5. МЕТОД ТОЧЕЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. План. 1. Основные положения метода точечного преобразования. 2. Функция последования. 3. Закон точечного преобразования. 4. Условие устойчивости предельного цикла. 5. Диаграммы точечного преобразования. 6. Параметрическая форма точечного преобразования. Изложенный выше метод припасовывания связан со сложностями увязывания начальных условий каждого участка с получаемыми данными в конце предыдущего участка. Метод точечного преобразования представляет собой усовершенствование метода припасовывания с привлечением геометрических представлений в фазовом пространстве. Запишем в общем виде уравнения динамики нелинейной системы второго порядка без внешнего воздействия: На фазовой плоскости (х,у) возьмем какой-нибудь отрезок линии АВ, ко161 торый пересекается фазовыми траекториями в одном направлении (рис. 3.5). Обозначим через s координату произвольной точки Q па отрезке АВ, отсчитываемую вдоль дуги АВ от начала А. Пусть решение уравнений (3.12) x=x(t), y=y(t) дает фазовую траекторию, проходящую через точку Q, Допустим далее, что с увеличением t эта фазовая траектория снова пересечет отрезок АВ в некоторой другой точке Q' (рис. 3.5). Координату точки Q' по дуге АВ обозначим s'. Точка Q' (первого следующего пересечения отрезка АВ той же фазовой траекторией) называется последующей по отношению к исходной точке Q. Зависимость соответствующая ходу фазовой траектории в силу решения уравнений (3.12), называется функцией последования. Функция исследования определяет закон точечного преобразования для данной нелинейной системы. Определение последующих точек по заданным исходным на отрезке АВ и называется точечным преобразованием отрезка АВ самого в себя. Ввиду непрерывности Рис. 8.10. расположения фазовых траекторий исходные и последующие точки за- 162 полняют весь отрезок. Однако каждая точка отрезка АВ не обязательно имеет последующую внутри. этого отрезка. Фазовые траектории, пересекающие отрезок, могут и не возвращаться к нему. Возможен такой случай, что последующая точка Q' совпадает с исходной Q, т. е. При этом мы получаем замкнутую фазовую траекторию (рис. 3.5): предельный цикл или кривую, соответствующую особой точке типа «центр», и т. п. Последнее выясняется из хода соседних фазовых траекторий. Случаи (3.14) называется точечным преобразованием точки Q самой в себя. Это неподвижная точка в общем точечном преобразовании отрезка АВ. Изобразим графически функцию исследования s'=f(s) (рис.3.6). Проведем из начала координат наклонную прямую под углом 45° (биссектрису координатного угла). Если она пересечется с кривой f(s), то эта точка пересечения даст координату s* (рис. 3.6) замкнутой фазовой траектории. Ход точечного преобразования прослеживается на этом графике следующим образом. Возьмем исходную точку s правее точки s* (рис. 3.6). Точке s соответствует определенное значение s' (точка N) на кривой f(s). Таким Рис. 8.11. образом, мы нашли координату последующей точки. Теперь примем ее 163 за новую исходную точку. Для этого достаточно снести полученную точку N по горизонтали NM (рис. 3.6) на биссектрису. Проведя далее из точки М вертикаль ML, найдем значение координаты s' новой последующей точки и т. д. Из этого простого построения видно, что в данном случае процесс сходится к предельному циклу s*. Возьмем теперь исходную точку s левее s* и точно тем же способом проследим ход точечного преобразования, как показано стрелками на рис. 3.6. Очевидно, этот процесс тоже сходится к тому же предельному циклу s*. Следовательно, здесь мы имеем устойчивый предельный цикл (автоколебания). Отсюда условие устойчивости предельного цикла имеет вид В противном случае, изображенном на рис. 3.7, а (где стрелками показан ход точечного преобразования), получается неустойчивый предельный цикл. На других графиках рис. 3.7 показаны: б) случай двух предельных Рис. 8.12. 164 циклов, из которых один неустойчивый, а второй устойчивый; в} случай расходящихся колебаний; г) случай затухающих .колебаний. Такого типа графики (рис. 3.6, 3.7) называются диаграммами точечного преобразования. Изображение хода точечного преобразования на такой диаграмме эквивалентно сопряжению начальных и концевых условий соседних участков в методе припасовывания. Но производится это специальным и довольно простым геометрическим построением.. Основным в методе является нахождение функции доследования s' = f(s) на основе решения уравнений динамики системы (3.12). Найти эту функцию в явной форме не всегда легко. В большинстве случаев бывает легче представить функцию последования в параметрической форме. Параметрическая форма точечного преобразования в качестве параметра содержит время т прохождения изображающей точки по фазовой траектории от исходной точки Q (рис. 3.5) до ее последующей Q'. Через этот параметр  на основании решения уравнений (3.12) выражаются координаты точек Q н Q', а именно Рис. 8.13 Строятся графики этих функций (рис. 3.8). Точка пересечения их дает 165 координату s'= s = s* замкнутой фазовой траектории (предельного цикла), причем абсцисса этой точки определяет период Т соответствующих колебаний системы. Условие устойчивости предельного цикла сохраняется в виде (3.15), но с дифференцированием s' и s по параметру  в (3.16). Изображенный на рис. 3.8 случай соответствует устойчивому предельному циклу. Ход точечного преобразования на такой параметрической диаграмме прослеживается следующим образом. Берем некоторую исходную точку на кривой s (рис. 3.8). Перемещаемся по вертикали до кривой s', находя тем самым последующую точку при том же значении параметра =1 (это будет время движения изображающей точки по фазовой траектории от Q до Q' на рис. 3.5). Затем найденную последующую точку принимаем за новую исходную, для чего по горизонтали (рис. 3.8) переносим ее на кривую s. После этого переходим снова на кривую s уже при новом значении =2 и т. д. Весь ход точечного преобразования показан на рис. 3.8 стрелками. Рис. 8.14. 166 Рис. 3.9 иллюстрирует параметрические диаграммы точечного преобразования для тех же четырех случаев, что и на рис. 3.7. ЛЕКЦИЯ 28: 8.6. ПРИМЕРЫ ТОЧЕЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. План. 7. Математическое описание системы. 8. Получение закона точечного преобразования. 9. Диаграмма точечного преобразования. 10. Построение графиков переходных процессов. 11. Применение метода точечного преобразования для системы с релейной характеристикой общего вида. В качестве первого примера рассмотрим ту же систему, что и при разборе метода припасовывания (лекция 9). Уравнения объекта и регулятора имеют вид где F(x) — гистерезисная релейная характеристика (рис. 3.10). Эту систему уравнений перепишем в виде На фазовой плоскости (х, у) нанесем линии переключения, соответствующие заданной нелинейной характеристике (рис. 3.10): х=b при у > 0, х = -b при у < 0. Это будут полупрямые П0 и П1 (рис. 3.11). 167 Рис. 8.15 Ввиду нечетной симметрии характеристики F (х) можно рассматривать только участок фазовой траектории QQ1, идущий от полупрямой П0 до П1,так как закон возвращения этой траектории к линии П0 будет аналогичен. Таким образом, будем рассматривать точечное преобразование полупрямой П0 в полупрямую П1 (а не саму П0 в себя, как ранее). При этом исходная точка Q имеет последующую Q1. Пусть в точке Q будет t=0, а в точке Q1 обозначим t=. На участке фазовой траектории QQ1 имеем F(x)= с. Поэтому уравнения (3.17) принимают вид Интегрирование их дает Используем здесь параметрический способ точечного преобразования. Обозначим ординаты точек Q и Q1 через у0 и y1 соответственно. Закон точечного преобразования будем искать в виде функций у0() и у1(). При начальных условиях (точка Q) t=0, х=b, у=у0 определяются произвольные постоянные в (3.18) и (3.19): В точке Q1 имеем t=, х= -b, у= у1. Подставляя эти величины в уравнение (3.18), получаем 168 Рис. 8.16. А подстановка в уравнение (3.19) даёт Из последнего уравнения непосредственно находим Тогда из (3.20) с учетом (3.21) получим Формулы (3.21) и (3.22) и являются искомым законом точечного преобразования в параметрической форме. Построим диаграмму (рис. 3.12) точечного преобразования в виде кривых у0() и у1() - (Переменная у1 берется по абсолютному значению, так как она отрицательна). Здесь в одном графике отражено все протекание переходного процесса (обозначено стрелками) и периодическое решение - точка пересечения кривых. При этом в переходном процессе найдены последовательные значения ординат у0 и у1, а также времена  движения на 169 Рис. 8.17. Рис. 8.18. каждом участке, а в периодическом режиме — амплитуда у* и полупериод Т. На рис. 3.13 показаны точки образующей переходных колебаний, взятые из диаграммы точечных преобразований (рис. 3.12). Дальше эти точки соединяются экспонентами (рис. 3.14) согласно уравнению (3.18). Таким образом, в виде единого простого геометрического построения здесь решается вся задача припасовывания решений по 170 Рис. 8.19. Рис. 8.20. участкам для переменной у. Затем, имея длины участков 1, 2, 3, ... и зная, что на границах участков х= ±b, легко по уравнению (3.19) построить также и кривую переходного процесса для переменной х (рис. 3.15, где х*— амплитуда автоколебаний). Аналогично получается и затухающий процесс (выше точки у*, рис. 8.17). В качестве второго примера возьмем ту же систему (8.22), но с релейной характеристикой общего вида (рис. 8.21). Здесь на фазовой плоскости получаем четыре линии переключения (рис. 8.22). 171 Рис. 8.21. Рис. 8.22. Ввиду нечетной симметрии характеристики F(x) достаточно рассмотреть участок фазовой траектории QQ1Q2, идущий от линии П0 через П1 до линии П2. При этом часть Q1Q2 фазовой траектории будет прямолинейная, так как там F(х)=0, и в силу (3.17) Итак, будем рассматривать точечное преобразование полупрямой П0 в полупрямую П2 при условии, что последующая точка Q2 находится на линии П2. Но существуют фазовые траектории Q' Q1'Q2' у которых последующая точка Q2' находится не на линии П2, а на отрезке –b2<х 0 колебания затухают, а при а < 0 — расходятся. Следовательно, при а > 0 характеристика W(j, а) должна деформироваться (рис. 4.25) так, чтобы при а > 0 критерий устойчивости Найквиста соблюдался, а при а < 0 — нарушался. Итак требуется, чтобы на данной частоте  было Рис. 8.31. Отсюда следует, что на рис. 4.22 положительный отсчет амплитуды а вдоль кривой -1/Wн (а) должен быть направлен изнутри вовне через кривую 186 Wл (j), как там и показано стрелкой. В противном случае периодическое решение неустойчиво. Рассмотрим примеры. Пусть в следящей системе (рис. 4.13, а) усилитель имеет релейную характеристику (рис. 4.17, а). Па рис. 4.17, б для нее показан график коэффициента гармонической линеаризации q(а), причем q’(а) =0. Для определения периодического решения частотным способом, согласно рис. 4.22, надо исследовать выражение Из формулы (4.24) получаем для данной нелинейности График этой функции изображен па рис. 4.26. Передаточная функция линейной части имеет вид Рис.8.32. Амплитудно-фазовая характеристика для нее приведена на рис. 4.27. Функция же -1/Wн (а), являясь в данном случае вещественной (рис. 4.26), укладывается вся на отрицательной части вещественной оси (рис. 4.27). При этом на участке изменения амплитуды b  a  b 2 амплитуда отсчитывается слева из- 187 вне внутрь кривой Wл(j), а на участке а > b 2 — в обратную сторону. Следовательно, первая точка пересечения (а1) дает неустойчивое периодическое решение, а вторая (а2) — устойчивое (автоколебания). Это согласуется с прежним решением (пример 2 лекция 15, 16). Рассмотрим также случай петлевой характеристики реле (рис. 4.28, а) в той же следящей системе (рис. 4.13, а). Амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части та же (рис. 4.28, б). Выражение же для кривой – 1/Wн(а), согласно (4.52) и (4.23), принимает вид или Это—прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 4.28, б), с отсчетом амплитуды а справа налево. Пересечение даст устойчивое периодическое решение (автоколебания). Чтобы получить графики зависимости амплитуды и частоты Рис. 8.37. 188 Рис. 8.38. от kл, представленные на рис. 4.20, нужно на рис. 4.28 построить серию кривых Wл(j) для каждой величины kл и найти в их точках пересечения с прямой – 1/Wн(а) соответствующие значения а и . 9.. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ ЛЕКЦИЯ 31 План лекции: 1. Интегральное уравнение связи между процессами на выходе и входе линейных систем. 2. Рекомендуемая литература [9]. 9.1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ПРОЦЕССОВ НА ВЫХОДЕ И ВХОДЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Спектральная плотность и корреляционная функция ошибки управления зависят от спектральной плотности и корреляционной функции входного сигнала, а также от структуры и параметров системы. Поэтому для определения среднего квадрата ошибки z 2 следует найти корреляционную функцию RZ ( ) или спектральную плотность S Z ( ) ошибки по известным статистическим характеристикам входного сигнала R X ( ) или S X ( ) и характеристикам (структуре и параметрам) системы. Чтобы решить данную задачу, необходимо рассмотреть уравнение связи между статистическими характеристиками на входе и выходе линейных систем. Для этого определим связь корреляционной функции на выходе RY ( ) с 189 корреляционной функцией на входе при воздействии на стационарную систему одной реализации случайного процесса xT (t). Если задан сигнал на входе системы x(t) и известна импульсная переходная функция системы k yx t  , то выходную величину находят с помощью интеграла свертки:   y (t )   x( )kYX (t   )d   x (t   )kYX ( )d .  (9.53)  Пусть x T (t) — реализация некоторой случайной функции на входе системы. Тогда сигнал на выходе согласно интегралу свертки  yT (t )   x(t   1 )k YX ( 1 )d 1 (9.54)  Соответственно  yT (t   )   xT (t     2 )k yx ( 2 )d 2 . (9.55)  Имея в виду, что корреляционная функция на выходе системы может быть записана в виде выражения 1 T RY ( )  lim  yT (t ) yT (t   )dt . T  2T T и, подставляя сюда найденные значения (8.54) и (8.55) получим 1 T RY ( )  lim    xT (t   1 )kYX ( 1 ) xT (t     2 )kYX ( 2 )dtd 1 d 2 . T  2T T   Меняя порядок интегрирования, найдем   1 T RY (t )    kYX ( 1 )k YX ( 2 )d 1 d 2 lim  xT (t   1 ) xT (t     2 )dt . T  2T T  Выражение 1 T lim  xT (t   1 ) xT (t     2 )dt  R X ( 1   2   ) T  2T T представляет собой корреляционную функцию сигнала на входе системы, т. е. R X (t 2  t1 )  R X [(t     2 )  (t   1 )]  R X ( 1   2   ) . Итак, связь корреляционной функции выходной величины RY ( ) с корреляционной функцией входной величины R X ( ) и импульсной переходной функцией kyx(t), характеризующей динамические свойства системы, можно представить интегральным выражением вида   RY ( )    k ( YX 1 )k YX ( 2 ) R X ( 1   2   )d 1d 2 . (9.56)    В ряде случаев бывает нужно определить не корреляционную функцию на выходе системы, а только средний квадрат выходной величины или при тy=0 ее дисперсию. Подставляя в выражение (8.56) значение   0 , получим 190   RY (0)    k ( YX 1 )k YX ( 2 ) R X ( 1   2 )d 1 d 2  y 2 (t )   Y2  DY . (9.57)    Данное выражение упрощается, если воздействие будет иметь характер белого шума, корреляционная функция которого имеет вид R X ( )  a 2  ( )  S ( ) , (9.58) 2 где S =а =const. Подставляя (8.58) в выражение (8.57), получим  2 DY  y  a 2   k ( )d  k ( ) (   YX  1 YX 1 2 1 2 ) d 2 . (9.59)  Согласно основному свойству  -функции имеем:   f (t ) (t  t )dt  f (t ) (9.60)  Следовательно,   k ( ) ( YX 2 1   2 )d 2  kYX ( 1 ) . (9.61)  Итак,  2 DY  y  a 2   k ( YX 1 )kYX ( 1 )d 1  a  2 2 YX  k ( )d 1 1 . (9.62)  Имея в виду, что k YX (-t)=0 , можно принять нижний предел равным нулю. Тогда  2 DY  y  a 2 k  2 YX (t )dt  S  k YX2 (t )dt . (9.63) Таким образом, установившееся значение дисперсии на выходе системы при подаче на вход белого шума характеризуется интегральной квадратической оценкой импульсной переходной функции системы. Полученное выражение лежит в основе определения СКО аналитическим путем и с помощью ЭВМ. Когда случайная функция не является центрированной, т. е. математическое ожидание т x случайной функции x(t) на входе системы отлично от нуля, то, помимо дисперсии на выходе D y , необходимо найти математическое ожидание my по формуле  mY (t )   kYX (t   )m X ( )d . (9.64) Для стационарного процесса mY  K YX 0 m X , где K YX 0  - передаточная функция системы при нулевой частоте. Это означает, что математические ожидания при прохождении случайных функций через линейные системы преобразуются как неслучайные функции. Если на систему действует п входных сигналов x 1 (t),..., x n (t), то на основании принципа суперпозиции выходную величину можно представить выражением n  y (t )    kYXK ( ) x K (t   )d . (9.65) k 1   Соответственно корреляционную функцию выходного сигнала RY ( ) при 191 всех п статистически независимых стационарных случайных сигналах (аддитивная смесь) и известных их корреляционных функциях R XK ( ) можно найти как сумму корреляционных функций, обусловленных каждой из составляющих сигналов:   n RY ( )     kYX ( 1 )kYX ( 2 ) RXK ( 1   2   )d 1d 2 (9.66) k 1    Дисперсия для случая статистически независимых выходных сигналов определяется из выражения (8.66): 2 y n        kYX ( 1 )kYX ( 2 ) R XK ( 1   2 )d 1 d 2 , (9.67) k 1    или  y2   y2   y2  ...   yn2 , (9.68) т. е. дисперсия выходной величины равна сумме дисперсий, обусловленных каждым входным воздействием в отдельности. Если на входе САУ имеется несколько статистически связанных сигналов, то интегральное уравнение связи значительно усложняется. Появляются члены, которые содержат взаимные корреляционные функции. Ранее приведены соотношения (8.56, 8.57, 8.63, 8.64) для определения характеристик стационарных случайных сигналов на выходе системы. В общем случае при приложении на вход системы с постоянными параметрами стационарного случайного сигнала выходной случайный процесс до наступления установившегося режима будет нестационарным (математическое ожидание и дисперсия его изменяются во времени). Определение реакции системы на случайный входной сигнал с учетом нестационарности выходного случайного процесса можно производить при известной импульсной переходной функции по следующим формулам: 1 2 t m y (t )   k YX (t   )m X ( )d ; t t R y (t )   k YX (t   )d  kYX (t    ) R X ( , )d  ; t t DY (t )    k YX (t   )k YX (t   ) R X ( , )dd  , 0 0 где t и t’— значения двух моментов времени. В случае действия белого шума дисперсия выходного сигнала определяется по формуле t DY (t )  S  kYX2 ( )d . Из (8.63) следует, что для уменьшения дисперсии выходного сигнала, вызванного белым шумом на входе, необходима минимизация площади под кривой квадрата импульсной переходной функции в интервале времени от 0 до  . Это достигается соответствующим подбором параметров системы. Пример 1. Система представляет собой апериодическое звено, для которо192 го импульсная переходная функция имеет вид: k  Tt k YX (t )  e , T а входной сигнал имеет постоянное математическое ожидание m X t   m X и дисперсию DX(t)=DX. Корреляционная функция  R X (t , t )  DX e  t t . Необходимо определить математическое ожидание и дисперсию на выходе апериодического звена. Математическое ожидание m Y (t) можно найти из уравнения (8.64): t t  k  t  k t t  mY (t )   e T m X d  m X e T  e d  m X k (1  e T ) . T T 0 T Полученное выражение сходно с выражением, определяющим реакцию апериодического звена на постоянный входной сигнал, роль которого в данном случае играет математическое ожидание m X . случайного входного сигнала x(t). Для определений корреляционной функции на выходе апериодического звена заметим, что по условиям задачи k  t T k YX (t   )  e , T k  t T    k YX (t   )  e T  D X e  (   ) , при        R X ( , )  D X e  .  (   )  D e , при     X Интегрирование корреляционной функции R X ( , ) в пределах изменения от    0 до    t  можно разбить на два интервала: от    0 до     и от     до    t  . Итак, t t RY (t , t )   kYX (t   )d  kYX (t    ) RX ( , )d   t t   T t t     T k k    e d  e D X e    d   0T 0T 2  t t  t  t   k  T  T  DX 2 e e d  e T e    d    T k 2  t t  t       D X 2 e T  e T d   e T e  (   ) d   T  0 t/    e T e  (   ) d    /  1 t (  )  k 2   tTt  t T    T ( T1  )  T T    DX 2 e e d  e e e d   e e e d  0 0    T   / / 193 2  DX k e T2   1   e    1     T1        e  T  T  e    e d  e  1    e 0  1      1       T    T   t t \ t T  T t   .      После преобразований будем иметь t  t t   t   1   t     t      t t   t t   k2 T T   T T RY (t , t )  D X  Te  (1  T )e e e e . 1  (T ) 2   При t  t ' из последнего выражения получим дисперсию выходного сигнала t   t    k2  e T  t T DY (t )  RY (t , t )  D X 2e  (1  T )e   . 1  1  T  1  t     Как следует из данного выражения, дисперсия сигнала на выходе апериодического звена пропорциональна дисперсии входного сигнала, пропорциональна квадрату коэффициента преобразования звена k и является функцией времени. По истечении достаточно большого промежутка времени ( t   и t    ,но t  t     0 ) выражение для корреляционной функции будет иметь вид 1    k2    T RY ( )  D X e  Te  , 1  (T ) 2   а установившееся значение дисперсии (  0 ) k2 DY  D X . 1  T Таким образом, с течением времени дисперсия выходного сигнала принимает постоянное установившееся значение. Дисперсия на выходе DY тем меньше, чем больше постоянная времени Т апериодического звена. Следовательно, с помощью апериодического звена можно ослабить действие помехи. ЛЕКЦИЯ 32 План лекции: 1. Спектральное уравнение связи между процессами на выходе и входе линейных систем. 2. Определение динамических характеристик САУ по корреляционным функциям и спектральным плотностям. 3. Рекомендуемая литература [9]. 9.2. СПЕКТРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ ПРОЦЕССАМИ НА ВЫХОДЕ И ВХОДЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Использование при расчетах соотношений, содержащих интеграл (8.56), неудобно в связи с необходимостью двойного интегрирования. Поэтому целесообразно перейти от соотношений между корреляционными функциями во 194 временной области к соотношениям между спектральными плотностями в частотной области. Для этого воспользуемся переходом к изображениям Фурье от корреляционных функций и импульсных переходных функций в формуле (8.56) и получим выражение, связывающее спектральные плотности стационарных входной и выходной величин. Переходя к изображениям Фурье в (8.56), получим  2 S Y ( )   RY ( )e  j d  K YX ( j ) S X ( ) , (9.69)  где K YX ( p )  K YX ( j ) p  j - передаточная функция (преобразование Лапласа от импульсной функции k YX ( ) ), S x ( ) и S y ( ) — спектральные ной и выходной величины. В результате плотности вход- 2 2 S  ( )  K  ( j ) S  ( )  K  S  ( ) . (9.70) Это же выражение можно получить из формулы (8.32). Реализация выходной величины YT ( j )  X T ( j ) K  ( j ) , где K   j  — частотная характеристика системы. Спектральная плотность сигнала на выходе системы в соответствии с выражением (8.32) имеет вид: 1 1 S  ( )  lim Y K  ( j ) X T ( j ) K  ( j ) X T ( j ) . T ( j )YT (  j )  lim   2T 2T Так как 1 lim X T ( j ) X T ( j )  S  ( ) ,  2T то окончательно получим S  ( )  K  ( j ) K  ( j ) S  ( ) или 2 S  ( )  K  ( j ) S  ( ) . Следовательно, спектральная плотность случайной функции на выходе линейной системы равна произведению квадрата амплитудно-частотной характеристики этой системы на спектральную плотность случайной функции на входе. Простота формулы (8.70 ) свидетельствует об удобстве спектрального метода исследования стационарных процессов. Из формул (8.44) и (8.70) следует, что дисперсия выходной величины в этом случае определяется по формуле: 1  1 2 (9.71) D  R (0)  S  ( )d   K  ( j ) S  ( )d .  2   0 Рассмотрим процесс прохождения случайного сигнала через дифференцирующее и интегрирующее звенья. Спектральная плотность случайного сигнала на выходе идеального диффе- 195 ренцирующего устройства (производной от входной величины) с передаточной функцией K   p   p равна произведению спектральной плотности входной величины на  2 : S     S    2 , т. е. дифференцирующее звено ослабляет сигналы низких частот и усиливает сигналы высоких частот. Если помехи содержат составляющие высоких частот, то ошибки системы могут быть существенно увеличены. Соответственно спектральная плотность сигнала на выходе идеального ин1 тегрирующего звена с характеристикой K  ( p )  равна: p S ( ) S      2 .  Введение интегрирующего звена уменьшает амплитуды высокочастотных составляющих и увеличивает низкочастотные составляющие. Ошибки системы от воздействия помех, имеющих широкий спектр, при наличии интегрирующего звена уменьшаются. В случае прохождения стационарного случайного сигнала через линейную систему иногда необходимо знать, как изменяется плотность вероятности. При стационарном нормальном сигнале на входе сигнал на выходе системы также будет нормальным. Практически довольно часто «ширина» кривой спектральной плотности входного сигнала значительно превышает полосу пропускания системы. В этих случаях независимо от вида кривой плотности вероятности входного сигнала выходной сигнал будет иметь плотность вероятности, близкую к нормальной. Это означает, что при прохождении стационарного случайного сигнала через узкополосную систему этот процесс нормализуется, т. е. приближается к нормальному. 9.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК САУ ПО КОРРЕЛЯЦИОННЫМ ФУНКЦИЯМИ И СПЕКТРАЛЬНЫМ ПЛОТНОСТЯМ Знание корреляционных функций и спектральных плотностей сигналов, действующих на входе и выходе системы, позволяет определить характеристики системы: передаточную функцию и импульсную переходную функцию. Подставляя в выражение 1  R ( )  lim  y(t ) x(t   )d  2T  значение  y (t )   x(t   )k  ( )d , 196 найдем 1  R ( )  lim x(t   ) x(t   )k  ( )dt .  2T  Изменив в последнем выражении порядок интегрирования, можно найти связь между корреляционной и взаимной корреляционной функциями в виде интегрального уравнения, которое называют уравнением Винера - Хинчина:  1    R ( )   k  ( )lim x ( t   ) x ( t   ) dt d .    2T   Так как 1  lim  x(t   ) x(t   )dt  R (   ) ,   2T  то  R ( )   k  ( ) R (   )d . Сравнивая полученное выражение с выражением  y (t )   x (t   )k yx ( )d , легко заметить, что у них аналогичная структура. Таким образом, если на вход линейной системы подать сигнал x(t)=R  (t), то на выходе этой системы должен появиться сигнал y(t), совпадающий по форме с взаимной корреляционной функцией y(t)=R  (t). Если возможно определение корреляционных функций R  t  и R t  , то, решая полученное интегральное уравнение, можно найти импульсную переходную функцию k  ( ) . В тех случаях, когда входной сигнал имеет полосу частот значительно более широкую, чем полоса пропускания системы, справедливо приближенное выражение R (t )  k  (t ) ,т. е. взаимная корреляционная функция R t  может считаться оценкой импульсной переходной функции. Для определения характеристик системы можно воспользоваться и знанием спектральных плотностей сигналов. Стохастический процесс на входе САУ, описываемый обыкновенным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами d n y (t ) dy (t ) dx (t )  d m x (t )  cn  ...  c1  c0 y (t )  k bm  ...  b1  b0 x (t ) , n m dt dt dt dt   вызывает на ее выходе стохастический процесс y(t). Если подать на вход САУ сигнал x1 t   R t  , то на выходе возникнет процесс y1 t   R t  . Подставим значения x=x1 и у=у1 в уравнение системы. Осуществляя преобразование Фурье в левой и правой частях данного уравнения, его можно привести к виду S  ( )[cn ( j ) w  ...  c0 ]  S  ( )[bm ( j ) m  ...  b0 ] . bm ( j ) m  ...  b0 Учитывая, что  K ( j ) - амплитудно-фазовая характериc n ( j ) n  ...  c0 197 стика, найдем связь между спектральными плотностями и амплитудно-фазовой характеристикой системы: S ( ) K ( j )   . S  ( ) Имея в виду, что для некоторой частоты  k a 2  bxk2 C xk2 S  ( k )  xk  , T T где a, b, c —коэффициенты разложения случайного процесса x(t) в ряд Фурье, полученные для случая, когда этот процесс представлен реализацией в интервале времени от 0 до T, для входного x(t) и выходного y(t) сигналов можно записать: C   TS  ( k ) и C   TS  ( k ) . Поделив правую и левую части последнего уравнения на предпоследнее, получим приближенное выражение для частного значения амплитудночастотной характеристики системы при частоте  k : S  ( k ) C   . C S  ( k ) При увеличении Т точность приведенной зависимости повышается и в пределе становится точной S  ( ) A( )  . S  ( ) A( k )  9.4. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОШИБОК ЛИНЕЙНЫХ САУ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ СТАЦИОНАРНЫМИ СЛУЧАЙНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ЛЕКЦИЯ 33 План лекции: 1. Методы определения ошибок линейной САУ, обусловленных стационарными случайными воздействиями. 2. Эквивалентное представление стационарного случайного процесса в виде формирующего фильтра. 3. Расчет флуктуационных ошибок и ошибок от задающих воздействий. 4. Рекомендуемая литература [9]. В зависимости от характера задающих воздействий и помех возможны два основных подхода при расчете ошибок САУ. Первый из них основан на предположении, что задающее воздействие x(t) — детерминированная функция времени, а помеха f(t)— стационарная случайная функция с известными статистическими характеристиками. При втором подходе задающее воздействие и по- 198 меха, а следовательно, и ошибка z(t), являются случайными функциями времени и для их определения необходимо применение статистических методов. Рассмотрим первый метод. Задающее воздействие и помеху, действующие на САУ, а также ошибку представим в виде суммы их математических ожиданий и центрированных случайных функций:  x(t )  m x (t )  x(t ) ;  f (t )  m f (t )  f (t ) ;  z (t )  m z (t )  z (t ) . Поскольку система линейна, ошибку воспроизведения можно считать состоящей из суммы составляющих ошибок от задающего воздействия и от помехи. Эти составляющие называют ошибкой от задающего воздействия и ошибкой от помех или флуктуационной ошибкой. Математические ожидания задающего воздействия и помехи можно рассматривать как регулярные функции времени. Поэтому изображения ошибок, вызванных неслучайными составляющими задающего воздействия и возмущения, равны: K zx  p m x  p  и K zf  p m f  p  . Эти воздействия могут быть приложены к одним и тем же или к разным элементам системы, например, x(t) — к входу, a f(t)— к объекту управления. Математическое ожидание ошибки называют систематической ошибкой. Центрированную составляющую ошибки z (t) называют случайной ошибкой. Установившееся значение ошибки mz(t) при медленно меняющемся воздействии как и составляющие ошибки, вызванные неслучайной составляющей, обычно определяют с помощью ряда ошибки. Определение составляющих ошибок, обусловленных случайными составляющими воздействий и помех, требует специальной методики (определения средних значений, дисперсий) и применительно к центрированным случайным сигналам рассматривается в данном параграфе. Для оценки качества САУ на основе критерия минимума СКО определяется математическое ожидание квадрата ошибки или средний квадрат ошибки системы M [ z 2 (t )]  z 2 (t )  mz2 (t )  Dz (t ) . Положительный корень квадратный из этой величины называют средней квадратической ошибкой Z CK (t )  z 2 (t )  M [ z 2 (t )] . Средний квадрат ошибки объединяет математическое ожидание, и дисперсию и характеризует качество системы в целом. Напомним, что для центрированных случайных сигналов средний квадрат ошибки равен ее дисперсии. В этом случае критерием качества иногда можно считать дисперсию ошибки в некоторый момент времени. При статистическом анализе точности системы отдельно определяются и 199 суммируются алгебраически математические ожидания каждой ошибки и геометрически (под корнем квадратным) суммируются среднеквадратические ошибки в случае их независимости. Средние квадраты ошибок, обусловленных стационарными случайными воздействиями, могут определяться как с помощью корреляционных функций (8.57), так и с помощью спектральных плотностей (8.41) соответствующих воздействий. В первом случае ошибка от воздействия f(t) определяется подстановкой  =0 и интегрированием выражения   RZ (0)    k ( zf 2 1 )k zf ( 2 ) R f ( 1   2 )d 1d 2  z f .    Во втором случае ошибку от такого же воздействия находят интегрированием по всем частотам спектральной плотности ошибки, т.е. 2 1  (9.72) z f  Rzf 0    S zf  d . 2   Последнюю же определяют исходя из известной спектральной плотности входного случайного сигнала и характеристик системы. Обычно нахождение ошибок в установившемся режиме путем использования спектральных плотностей оказывается более простым. Спектральные плотности входных сигналов могут быть заданы аналитически или в виде графиков, в связи с этим имеются аналитический и графоаналитический методы. При графическом задании спектральной плотности входного сигнала ее можно аппроксимировать и аналитическим выражением. 9.5. ЭКВИВАЛЕНТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА. ФОРМИРУЮЩИЙ ФИЛЬТР Вычисление СКО наиболее просто, если случайный входной сигнал имеет вид белого шума. При воздействии на вход замкнутой системы белого шума f(t) с единичной спектральной плотностью ошибка системы может быть определена выражением  2 f z   k yf2 ( )d , (9.73) где k yf   - импульсная переходная функция замкнутой системы. Воспользовавшись теоремой Парсеваля, выражение (8.73) можно записать в виде:  2 1 j z f   k yf2  d  K 0  p   K 0  p dp , (9.74)  2  j  j где K 0  p   K yf  p   изображение по Лапласу импульсной переходной функции, т.е. передаточная функция замкнутой системы. В реальных условиях на САУ действуют сигналы, отличные от белого шума. Поэтому для определения СКО при реальных возмущениях необходи- 200 мо сформировать сигнал со спектральной плотностью, соответствующей реально действующему на САУ сигналу, для чего белый шум надо предварительно пропустить через линейный формирующий фильтр. Положим, что воздействие f t  на входе САУ является реакцией некоторого формирующего фильтра с передаточной функцией Fф(p), возбуждаемого белым шумом  единичного уровня S    a 2  1 . Тогда согласно формуле (8.70) на выходе фильтра и на входе САУ имеем 2 S f    Fф  j   Fф  j   Fф  j  ; (9.75) откуда передаточная функций формирующего фильтра Fф ( p )  S x ( p ) . Подключая фильтр в единую схему с системой, получаем эквивалентную передаточную функцию Y  p (9.76)  K ф 0  p   Fф  p   K 0  p  .   p В результате любой стационарный случайный процесс можно представить эквивалентным ему процессом на выходе формирующего фильтра при воздействии на его вход белого шума. Такое представление реального сигнала облегчает определение СКО, так как позволяет анализировать САУ методами для входного белого шума. 9.6. РАСЧЕТ ФЛУКТУАЦИОННЫХ ОШИБОК И ОШИБОК ОТ ЗАДАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ Предположим, что на вход системы (рис.8.12) поступает помеха f(t), а полезный сигнал x(t)=0. Требуется определить флуктуационную ошибку, вызываемую отработкой системы помехи на ее входе. Спектральная плотность помехи равна S f   . Передаточная функция системы известна. Рис. 8.12. К определению флуктуационной ошибки Поскольку в этом случае весь сигнал на выходе системы представляет собой сигнал ошибки, спектральная плотность ошибки равна S zf    K 02    S f   , (9.77) где K 02    квадрат амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы. Для облегчения вычисления интеграла (8.74) и приведения его к табличному спектральную плотность входного сигнала представляем в виде 201 S f    Fф  j   Fф  j  . (9.78) Подставляя (8.78) в (8.77) и обозначая j  p , получим S zf  p   K 0  p   K 0  p   Fф  p   Fф  p  . (9.79) Обычно К0(Р) — рациональная дробь, Fф  p  также может быть представлено в виде рациональной дроби. Учитывая (8.72) и (8.74), получим выражение для среднего квадрата ошибки в виде табличного интеграла: 1  1 j c ( p) c (  p ) 2 zf  (9.80)  S z ( )d  2j j d ( p)d ( p)dp , 2   где многочлены под интегралом c p   c0  c1 p  c2 p 2  ...  cm p m , d  p   d 0  d1 p  d 2 p 2  ...  d n p n , причем n  m . Таблицы интегралов до п = 6 приведены в литературе [9]. Если помеха действует не на входе системы, то вместо К0(р) берется передаточная функция Kyf(p), соответствующая месту приложения воздействия f. Рассмотрим более общий случай, когда на систему помимо задающего воздействияx(t) действует одновременно помеха f(t)/ Суммарная ошибка Z T ( p)  K zx ( p) X T ( p)  K zf ( p) f T ( p) . Спектральная плотность ошибки 1 S z ( )  lim ZT ( j ) ZT ( j )  T  2T 1 K zx ( j ) X T ( j )  K zf ( j ) f T ( j )  lim T  2T  K zx ( j ) X T ( j )  K zf ( j ) f T ( j )   K zx2 ( ) S x ( )  K zx ( j ) K zf ( j ) S fx ( )   K zf ( j ) K zx ( j ) S xf ( )  K zf2 ( ) S f ( ), (9.81) где 1 X T ( j ) f T ( j ) 2T 1 и S xf ( )  lim f T ( j ) X T ( j ) T  2T представляют собой взаимные спектральные плотности полезного сигнала и помехи, а K zx ( j ) и K zf ( j ) — частотные характеристики ошибки от полезного сигнала и помехи. При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой S fx ( )  lim T  202 S fx ( )  S xf ( )  0 и формула (8.81) упрощается: S z ( )  K zx2 ( ) S X ( )  K Zf2 ( ) S f ( ) . (9.82). Для помехи, приложенной совместно с задающим воздействием, когда K Zf ( p )  K 0 ( p ) и при отсутствии корреляции между ними получим S z ( )  K zx2 ( ) S x ( )  K 02 ( ) S f ( ) Средний квадрат ошибки 1 2 1 2 2 z   K zx ( ) S x ( )d   K 0 ( ) S f ( )d  z x2  z 2f ,  0  0 (9.83). (9.84) где 1 2 (9.85) K zx ( ) S x ( )d  0 - составляющая дисперсии ошибки, вызываемая задающим воздействием xt  ; 1 2 1 2 2 (9.86) z f   K 0 ( ) S f ( )d   K yf ( ) S f ( )d  0  0 - составляющая дисперсии ошибки, вызываемая возмущающим воздействием f(t). Среднеквадратическое значение суммарной ошибки системы z X2  z СК  z 2  z X2  z 2f . (9.87) Среднеквадратическую ошибку системы, определяемую по формуле (8.87), не следует смешивать со среднеквадратическим отклонением  Z , которое равно положительному квадратному корню из дисперсии  Z  DZ (t ) . Как следует из формулы (8.84) среднее значение квадрата ошибки зависит от структуры системы (вида ее передаточной функции и параметров) и от спектральных плотностей входного сигнала и помехи. Для минимизации соответствующей составляющей ошибки системы необходимо уменьшать площадь под кривой произведения спектральной плотности входного сигнала на квадрат амплитудно-частотной характеристики. Заменяя в выражении (8.85) передаточную функцию ошибки на передаточную функцию замкнутой системы K0(p), получим средний квадрат выходной величины y 2 . Если в задающем сигнале x(t) можно выделить воздействие в виде неслучайной составляющей mx(t), представляющей собой медленно меняющуюся функцию времени, и стационарный центрированный случайный процесс, т. е.  x(t )  m x (t )  x(t ) , то точность системы можно оценить средним квадратом ошибки, равным сумме квадратов динамической и случайной ошибок: 2 2 z  z 2Д  z x или 203 z 2    z 2Д  z x2 . Здесь  — коэффициент, определяющий удельный вес динамической ошибки;  x (t )  ... , z Д (t )  D0 m X (t )  D1m x (t )  D2 m где D0, D1,D2,... — коэффициенты ошибки. Для случая, когда можно предположить, что скорость изменения задающего воздействия постоянна в течение рассматриваемого интервала времени, т. е. xt   m x t     t , а помеха - белый шум, в соответствии с (8.84) получим для систем с астатизмом 1-го порядка 2 z 2  z 2Д  z 2f  2  z 2f . k Пример. Определить средний квадрат суммарной ошибки САУ с передаk точной функцией K ( p )   , если на входе системы действует задающее возp 2a 2 действие со спектральной плотностью S x ( )  2 и помеха со спектральa 2 ной плотностью S f ( )  a 2 . Ошибка системы определяется формулой (8.84). Вторая доставляющая ошибки уже была определена. a 2 k 2 zf  . 2 Вычислим первую составляющую ошибки (от задающего воздействия). Передаточная функция ошибки Q( p) p  . D ( p ) p  k Представим спектральную плотность через сопряженные составляющие: 2a 2  2a  2a S x ( )  2    Fx ( p ) Fx ( p ) . a   2 a  j a  j K zx ( p)  Находим K zx ( p ) Fx ( p)  p  2a  2a p   2  p  k a  p p  ( k  a ) p  k a c0  c1 p  ...  . d 0  d1 p  d 2 p 2  ... . Табличный интеграл c12 d 0  c 02 d 2  2a I    z X2 . 2d 0 d 1 d 2 k  a Окончательно получим 2 204  2 a a 2 k z   . kv  a 2 Из данного выражения следует, что для уменьшения составляющей ошибки от полезного сигнала необходимо увеличение k , а для уменьшения составляющей ошибки от помех k нужно уменьшать. Основным достоинством аналитического метода является возможность установления связи между величиной СКО и параметрами системы, что позволяет определять значения параметров системы, при которых СКО оказывается минимальной. 2 9.7. РАСЧЕТ ДИСПЕРСИИ ПОМЕХИ С ПОМОЩЬЮ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ ЛЕКЦИЯ 34 План лекции: 1. Расчет дисперсии помехи с помощью корреляционной функции. 2. Вычисление среднеквадратической ошибки следящей системы. 3. Рекомендуемая литература [9]. 9.8. РАСЧЕТ ДИСПЕРСИИ ПОМЕХИ С ПОМОЩЬЮ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ Для определения дисперсии помехи можно воспользоваться соотношением (8.25), согласно которому D f  R f ( )  R f (0) . (9.94)  0 Если наряду с двусторонним преобразованием Фурье (8.27) и (8.29) рассмотреть односторонние преобразования:  S ( j )   R[ )e  j d , (9.95) 1  (9.96) R[ )  S ( j )e j d ,  2   где R[ )  R ( )  1[ ) — правая полуветвь двусторонней четной корреляционной функции; S ( j ) — ее комплексный спектр, то расчеты по формуле (8.94) могут быть осуществлены, как у Шаталова А. С., в области изображений на основе предельного перехода: D f  R f (0)  R f [0)  lim jS ( j )   (9.97) Вследствие четности корреляционной функции R f ( )  R f ( ) и спектральной плотности S f ( )  S f ( ) между односторонним и двусторонним 205 преобразованиями Фурье устанавливается зависимость: S ( )  2 Re S ( j ) , (9.98) причем 1 1 S ( j )  [ S ( )  jT ( )]  {S ( )  jTS [ S ( )]} , (9.99) 2 2 1 1 где S ( ) — вещественная часть комплексного спектра; T ( ) — его мнимая 2 2 T часть;  S — символическая запись операции определения по вещественной части комплексного спектра его мнимой части. Учитывая (8.99), формулу (8.97) можно представить в виде 1 T D f   lim {  (9.100) S [ S ( )]} 2   Помимо определения одной точки корреляционной функции (  =0), часто требуется нахождение полной корреляционной функции по ее полуветви (  >0), т. е. R[ )  1 1 F {S ( )  jTS [ S ( )]}, 2 (9.101) где F 1 — операция обратного преобразования Фурье. Пример. Определить корреляционную функцию на выходе системы при входном белом шуме единичного уровня. Передаточная функция системы P( p ) b2 p 2  b1 p  b0 K 0 ( p)   (9.102) D ( p ) c3 p 3  c2 p 2  c1 p  c0 или частотная характеристика b0  b2 2  jb1 K 0 ( j )  . (9.103) c0  c2 2  j (c1  c3 3 ) Учитывая, что S f ( )  1 , имеем (b0  b2 2 )2  b12 2 S y ( )  K 0 ( j )  (c0  c2 2 ) 2  (c1  c3 3 )2 2 (9.104) В соответствии с (8.99) нетрудно установить, что комплексный спектр корреляционной функции на выходе системы должен иметь тот же знаменатель, что и ( 8.103). Поэтому  2 ( j ) 2   1 ( j )   0 2 S ( j )  c0  c 2 2  j (c1  c3 3 ) (9.105) Раскрывая соотношение (8.98), определим неизвестные коэффициенты  0 , 1 ,  2 : (b0  b2 2 ) 2  b12 2 0  2 2  j1  Re (9.106) (c0  c2 2 ) 2  (c1  c3 3 )2 c0  c2 2  j (c1  c3 3 ) 206 Из (8.106) следует тождество: b02  (b12  2b0b2 ) 2  b22 4  (0  2 2 )(c0  c2 2 )  1 (c1  c3 3 ) (9.107) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  в левой и правой частях тождества (8.107), получаем систему уравнений: c 2 2  c 3 ( 1 )  0  b22 , c 0 2  c1 ( 1 )  c 2 0  2b 2 b0  b12 , c 0 0  b02 ; откуда v2  b 22 c3 2b0 b2 b02 2 1 (b c1 ) c 2 c0 c2 c0 c3 c1 c2 c0  c 0 c1 b 22  c 0 c 3 (b12  2b0 b 2 )  c 2 c 3 b02  , c 0 (c 1 c 2  c 0 c 3 ) c2 b 22  1  c0 (2b0 b 2  b12 ) c 2 b 02 c0 c 0 (c 1 c 2  c 0 c 3 ) c 0 c 2 b12  (c 0 b 2  c 2 b0 ) 2  , c 0 ( c1 c 2  c 0 c 3 ) b02 0  . c0 Таким образом, определен комплексный спектр корреляционной функции (8.105). В преобразованной по Лапласу форме его можно записать как 2 p 2  1 p  0 2 L{Ry [ )}  c3 p 3  c2 p 2  c1 p  c0 Путем обратного преобразования Лапласа находят всю правую полуветвь корреляционной функции: 3 ( p ) P i R y [ )   e i 1 c ' ( p ) i i для некратных полюсов p1  p 2  p 3 . 207 На основе предельного перехода (8.97) можно определить только выходную дисперсию 2  R y [0) . 2c 3 Аналогичным путем можно произвести расчет выходной корреляционной функции при произвольной стационарной помехе. При этом входная спектральная плотность формируется из белого шума единичного уровня некоторым формирующим фильтром с передаточной функцией FФ ( j ) , определяемой из уравнения: 2 FФ ( j )  S x ( ) . Полученные ранее формулы для частного вида передаточной функции (8.102) могут быть обобщены на передаточную функцию произвольного порядка. Предложенная методика преобразования корреляционных функций помех позволяет однотипным методом на основе одних и тех же определителей с различными замещенными столбцами рассчитывать не только дисперсию, но и все свойства корреляционной функции на выходе системы при заданном стационарном случайном воздействии. В ряде случаев это дает некоторые расчетные преимущества по сравнению с непосредственными расчетами по формуле (8.41) даже при использовании табличных интегралов. Dy  9.9 ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ Найдем среднеквадратическую ошибку следящей системы автосопровождения цели радиолокационной станцией. На вход системы поступает задающее воздействие x (t )   (t ) (азимут цели) совместно с помехой f(t). Сигнал ошибки равен разности входного полезного сигнала x(t) и сигнала на выходе y t  (азимут антенны) следящей системы РЛС: z t   xt   yt   xt   y x t   y f t   xt   y x t   y f t  . Задающее воздействие и помеха — стационарные случайные не коррелированные сигналы. Такой сигнал поступает на усилительное устройство системы. Передаточная функция разомкнутой системы P( p) k (1  pT2 ) K ( p)   . Q( p) p(1  pT1 ) Спектральная плотность ошибки S z ( )  K zx2 ( ) S x ( )  K 02 ( ) S f ( ) . d     x . Спектральная dt плотность его найдена в формуле (8.50). В качестве помехи примем случайный Задающим воздействием системы будем считать 208 процесс типа белого шума: S f ( )  N 2  const . Подставив в выражение спектральной плотности ошибки ее составляющие, получим: 2 (T1 j  1) 2  a 2 k (T2 j  1) S z ( )   N2, 2 2 2 2 T1 ( j )  (1  kT2 ) j  k    T1 ( j )  (1  kT2 ) j  k где K z ( p ) Q( p ) , p p[ P( p )  Q ( p )] т. e. среднее значение квадрата ошибки можно представить в виде суммы составляющих: z 2  z 2  z 2f . Пользуясь выражением для табличного интеграла, значение квадрата СКО z 2 найдем в виде K z ( p )     1   a 2 T12  (1  kT2  T1 ) k   z 2  . (1  kT2  T1 )(kT2    k )  T1k Аналогично можно определить квадрат СКО: 1 j kT2 p  k k N 2 (kT22  T1 ) z 2f  N 2 dp  .  2j  j T1 p 2  (1  kT2 ) p  k 2T1 (1  kT2 ) Если известны параметры системы и помехи k  100сек 1 ;T1  1сек;T2  0,2сек , N 2  0,36  106 рад 2  сек , то среднеквадратическая ошибка: 100(1  0,04  100)  2,1  10  3 рад. 2  1(1  20) Выражения для дисперсии флуктуационной ошибки, определенной через параметры передаточной функции разомкнутой системы К(р), при постоянной величине спектральной плотности помехи на входе, системы, приведены в табл. 8.2. z CR  0,6  10  3 Таблица 8.2 Передаточные функции К(р) Дисперсия DZf  Z 2f k (1  T2 p) (1  T1 p)(1  T3 p) k 2 [T1T3  (1  k )T22 ]N 2 2T1T3 (1  k )[T1  T3  kT2 ] 209 k (1  T2 p) p(1  T1 p)  T22  2 k 1  k  N T1   2(1  kT2 ) (1  2 kT22 ) N 2 2(T2  T1 ) k (1  T2 p) p 2 (1  T1 p) B заключение отметим, что приведенные соотношения для статистического анализа в частотной области удобны в установившемся режиме. Анализ во временной области более сложен, но целесообразен для моментов времени, близких к моменту приложения воздействия. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Основной 1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического управления: [Учебное издание] / В.А.Бесекерский, Е.П.Попов .— 4-е изд.,перераб.и доп. — СПб. : Профессия, 2004 .— 752с. 2. Пупков К.А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.1, Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления/К.А.Пупков [и др.];под ред. К.А. Пупкова Н.Д. Егупова : учебник для вузов: в 5 т. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : МГТУ им. Баумана, 2004 .— 656с. (12 экз.) 3. Пупков К.А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.2, Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления/К.А.Пупков [и др.]; под ред.К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова: учебник для вузов: в 5 т. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : МГТУ им. Баумана, 2004 .— 640с. (12 экз.) 4. Пупков К.А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.5, Методы современной теории автоматического управления/К.А.Пупков [и др.];под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова : учебник для вузов: в 5 т. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : МГТУ им. Баумана, 2004 .— 784с. (12 экз.) 5. Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления. Линейные системы : учеб. пособие для вузов / Д. П. Ким, Н. Д. Дмитриева .— М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007 .— 168 с Дополнительный 1. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы: учебное пособие для вузов / И.В.Мирошник: Питер, 2006 .— 272с. 2. Петров Ю.П. Новые главы теории управления / Ю.П.Петров.— СПб., 2000.— 156с. 210 3. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики в теории автоматического управления: Цикл лекций: Учеб. пособие для втузов / П.Д.Крутько.— М. : Машиностроение, 2004 .— 576с. 4. Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем : учеб. пособие для вузов / Е.А.Никулин .— СПб. : БХВ-Петербург, 2004 .— 640с. 5. Романов В.А. Управление техническими системами : учеб. пособие для вузов / В.А.Романов; ТулГУ.— Тула : Изд-во ТулГУ, 2005 .— 126с. 211