Теория автоматического управления

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ" Содержание Введение ....................................................................................................................................... 3 §1. Содержание и задачи курса................................................................................................ 3 §2. Основные понятия и определения. .................................................................................... 3 §3. Принципы регулирования.................................................................................................. 3 §4. Классификация замкнутых САР. ....................................................................................... 5 Элементы линейной теории автоматического регулирования................................................ 6 Тема 1............................................................................................................................................ 7 Математическое описание САР в статике и динамике ......................................................... 7 §1. Модели статики. Понятие о линейных элементах. Линеаризация реальных элементов САР, её способы и предпосылки. ............................................................................................. 7 Метод кусочно-линейной линеаризации применим для нелинейных объектов, статические характеристики которых могут быть представлены в виде отдельных отрезков прямой линии (1, 2, 3, 4, 5).................................................................................................................................... 8 §2. Динамические характеристики линейных элементов и систем: переходные и весовые функции; частные характеристики, их применение и получение. .......................................... 8 Тема 2.......................................................................................................................................... 13 Типовые динамические звенья САР ...................................................................................... 13 §1. Безинерционные (усилительные или статические) звенья. ............................................ 13 §2. Инерционное звено первого порядка............................................................................... 15 §3. Идеальное дифференцирующее звено........................................................................... 17 §4. Идеальное интегрирующее звено. .................................................................................. 18 §5. Инерциальное звено второго порядка. Колебательное звено......................................... 19 Тема 3.......................................................................................................................................... 21 Структурные схемы САР. Правила структурных преобразований .................................. 21 §1. Последовательное соединение звеньев. ......................................................................... 21 §2. Параллельное соединение звеньев................................................................................... 21 §3. Звено, охваченное обратной связью. .............................................................................. 22 §4. Определение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы.................... 23 §5. Статика САР. Способы уменьшения статизма................................................................ 24 Тема 4......................................................................................................................................... 25 Устойчивость систем автоматического регулирования...................................................... 25 §1. Физическое и математическое определение устойчивости............................................. 25 §2. Алгебраический критерий Гурвица. .............................................................................. 28 §3. Частотный критерий Михайлова. .................................................................................. 30 §4. Частотный критерий Найквиста. ..................................................................................... 33 §5. Структурно-неустойчивые (устойчивые) системы ......................................................... 34 автоматического регулирования............................................................................................. 34 Тема 5.......................................................................................................................................... 36 Качество САР ............................................................................................................................ 36 Устойчивость является необходимым, но не достаточным показателем САР. При исследовании систем автоматического регулирования приходится решать задачу обеспечения требуемых показателей качества переходного процесса: быстродействия, колебательности, перерегулирования, характеризующих точность и плавность протекания процесса....................................................................................................................................... 36 Тема 6.......................................................................................................................................... 37 Обеспечение устойчивости, повышение качества регулирования .................................... 37 А. Последовательная коррекция......................................................................................... 38 § 1. Введение производной в прямую цепь регулирования................................................. 38 1 Влияние этого звена на динамику системы рассмотрим на амплитудно–фазо–частотных характеристиках, исходной и скорректированной систем. ....................................................... 39 §2. Введение интеграла в прямую цепь регулирования................................................ 40 §3. Введение в прямую цепь регулирования безинерционного звена................................. 41 В. Параллельная коррекция................................................................................................ 43 §4. Охват инерциального звена жёсткой отрицательной обратной связью......................... 43 §6. Охват интегрирующего звена жёсткой отрицательной обратной связью...................... 44 §7. Охват инерциального звена первого порядка положительной гибкой .......................... 45 обратной связью...................................................................................................................... 45 §8. Преобразовательные элементы....................................................................................... 45 2 Введение §1. Содержание и задачи курса. Основная задача автоматизации состоит в осуществлении автоматического управления технологическими или производственными процессами. Изучение законов управления технологическими процессами составляет предмет области автоматического управления (регулирования). Управление, имеющее своей задачей изменение по заданному закону или поддержание в установленных пределах физической величины, называется регулированием. Теория автоматического управления (регулирования) ставит своей задачей познакомить студентов с общими принципами построения систем автоматического управления, с правилами и методами исследования процессов в этих системах. §2. Основные понятия и определения. При решении любой задачи управления необходимо рассматривать объект управления. Объектом управления может быть техническое устройство, технологический процесс или более простая система управления. Состояние объекта управление определяется рядом величин, характеризующих как воздействия на объект внешней среды и управляющих устройств, так и протекание процессов в нутрии объекта. Внешнее влияние на объект – воздействие. Воздействие, вырабатываемое управляющим устройством - управляющее воздействие. Воздействие, не зависящее от системы управления – возмущение. Контролируемые величины, характеризующие состояние объекта, по которым ведётся управление, называется управляемыми (регулируемыми). Блок схема объекта управления представлена на рисунке: f(t) ОУ – объект управления; x(t) – управляющее воздействие; f(t) – возмущение; y(t) – регулируемые величины. y(t) x(t) ОУ При изображение системы управления (регулирования) применяются два принципа: функциональный и структурный. Функциональная схема – блок-схема системы, заданная функциональным назначением элементов. Структурная схема – блок-схема системы, заданная математическими характеристиками элементов. §3. Принципы регулирования. В зависимости от способов формирования регулирующего воздействия различают следующие принципы регулирования: - принцип по возмущению; - принцип по отклонению регулируемой величины от заданного значения; - комбинированный принцип регулирования. 3 Функциональная схема систем автоматического регулирования (САР) с принципом регулирования по возмущению имеет вид: П f(t) ИЭ Связь по возмущению  СУ Зд УУ ИМ  (t ) α(t) ± ОР δ(t) μ(t) регулятор δ(t) - действительное значение регулируемой величины; α(t) - заданное значение регулируемой величины; f(t) - возмущение; μ(t) - управляющее воздействие; П - преобразователь; ИЭ - измерительный элемент; СУ - суммирующее устройство; Зд - задатчик; УУ - управляющее устройство; ИМ - исполнительный механизм; ОР - объект регулирования. Принцип регулирования по возмущению состоит в том, что для уменьшения или для устранения отклонения регулируемой величины от требуемого значения, вызываемого возмущающим воздействием, это воздействие измеряется с помощью измерительного элемента, преобразуется с помощью П, СУ, УУ и ИМ в регулирующее воздействие [μ(t)], которое будучи приложено ко входу объекта регулирования, вызывает компенсирующее отклонение регулируемой величины противоположного знака по сравнению с отклонением, вызываемым возмущающим воздействием. Связь по возмущению [ ИЭ и П ], суммирующее устройство (СУ), управляющее устройство (УУ) и исполнительный механизм (ИМ) образуют автоматическое регулирующее устройство- регулятор. Достоинство принципа по возмущению состоит в том, что возмущающее воздействие может быть устранено до того, как возникает рассогласование. Однако регулятор в таких системах реагирует только на один вид возмущения, поэтому возникает необходимость иметь на одном объекте столько регуляторов, сколько возмущений вызывают отклонение регулируемой величины. Принцип регулирования по отклонению реализуется следующей функциональной схемой: f(t) ЭС Зд α(t) ЭС - элемент сравнения (t ) δoc(t) УУ ИМ μ(t)  ОР δ(t) ИЭ Принцип регулирования по отклонению состоит в том, что измеряется регулируемая величина [δoc(t)], сравнивается с требуемым значением (задающим воздействием) [α(t)] и выявляющееся при этом отклонение [Δ(t)] преобразуется в регулирующее воздействие [μ(t)]. 4 Последнее, влияя на объект регулирования, стремится уменьшить или устранить это отклонение. ИЭ, ЭС, УУ, ИМ образуют регулятор. В отличие от САР с принципом по возмущению здесь регулирующее воздействие является функцией не возмущающего или задающего воздействия, а отклонения регулируемой величины, вызванного этим воздействием. Измерительный элемент, который измеряет регулируемую величину на выходе объекта и подает её на элемент сравнения (вход системы) образует главную обратную связь. Как видно из рисунка, в САР с принципом по отклонению регулируемая величина через главную обратную связь поступает на элемент сравнения (вход системы), т.е. САР с принципом по отклонению является замкнутой. Замкнутые САР реагируют на любые возмущения, приводящие к изменению регулируемой величины, и в этом их достоинство. Недостатком замкнутых САР является то, что при определенных условиях они могут оказаться неустойчивыми. Принцип комбинированного регулирования сочетает принцип регулирования по отклонению и по возмущению. В комбинированных системах принцип по отклонению реализуется с помощью главной обратной связи, а принцип регулирования по возмущению - с помощью связи по возмущению. Связь по возмущению П α(t) Зд f(t) ИЭ1  ± УУ - ИМ δ(t) ОР δoc(t) ИЭ2 регулятор В комбинированных системах одновременно возможно достижение полной компенсации отклонений, вызываемых основными возмущающими воздействиями, а также уменьшение отклонений, вызываемых второстепенными возмущениями. Первые системы применяют, когда на объект действует 1-2 возмущения. Замкнутые САР - когда на ОР действует большое количество приблизительно одинаковых по величине возмущений. Наконец, комбинированные САР - когда среди большого количества возмущений можно выделить 1-2 максимальных по амплитуде. §4. Классификация замкнутых САР. Замкнутые САР по характеру изменения задающего воздействия принято делить на: I. Системы стабилизации – системы поддержания постоянства управляемой величины. σ(t) = const f(t)= var 5 II. Системы программного регулирования – системы, у которых задан алгоритм функционирования или задан закон изменения регулируемой величины. σ(t)=F(t) f(t)= var III. В следящих системах алгоритм функционирования заранее неизвестен, регулируемая величина в таких системах должна воспроизводить изменение некоторого внешнего фактора, следить за ним. σ(t) = var f(t)= var IV. Системы с поиском экстремума показателя качества. В ряде процессов показатель качества или эффективность процесса может быть выражен в каждый момент времени функцией текущих координат системы, и управление можно считать оптимальным, если оно обеспечивает поддержание этого показателя в точке max(min). Элементы линейной теории автоматического регулирования После выбора элементов функциональной схемы требуется произвести ее расчет с целью обеспечения заданных показателей качества работы САР. Этим занимается линейная теория автоматического регулирования (ЛТАР). С точки зрения ЛТАР безразлично, из каких элементов составлена САР, важно лишь математическое описание этих элементов. Для получения математического описания системы обычно составляют описание её отдельных элементов. В частности, для получения уравнения системы, составляют уравнения отдельных элементов. Совокупность этих уравнений и даёт уравнение системы. Уравнения, а также структурные схемы автоматической системы называют ее математической моделью. Математические модели описывают элементы и системы автоматического регулирования в двух режимах: установившемся – статике и переходном – динамике. 6 Тема 1 Математическое описание САР в статике и динамике §1. Модели статики. Понятие о линейных элементах. Линеаризация реальных элементов САР, её способы и предпосылки. Статикой называется установившийся режим звена или системы, при котором входной и выходной сигналы звена (или системы) постоянны во времени. Поведение звена (системы) в статике наглядно отражается его статической характеристикой, под которой понимается зависимость между установившимися значениями выходной и входной величин. y вых. уст. = f (x вх. уст. ) По виду статической характеристики различают линейные и нелинейные звенья. Статическая характеристика линейного звена представляет собой уравнение прямой линии: y вых = kx + y вх o , yвых где k = tg α  y0 xвх Звенья, статические характеристики которых не являются прямыми линиями, называются нелинейными. В основном все звенья в природе являются нелинейными. Вопрос линейности статических характеристик имеет чрезвычайно важное значение. Дело в том, что в динамике САР описываются дифференциальными уравнениями. И если в САР входит нелинейное звено, дифференциальное уравнение получается нелинейным. Решение нелинейных дифференциальных уравнений – процесс трудоёмкий и сложный. Поэтому на практике нелинейные элементы заменяют их линейными моделями для облегчения их описания. Этот процесс называется линеаризацией. Итак, линеаризация нелинейного звена – замена его линейной моделью с сохранением основных свойств нелинейного звена. Простейшими методами линеаризации являются метод касательной, метод секущей и кусочно–линейная линеаризация. При линеаризации касательной полагают, что в процессе работы объекта рабочая точка статической характеристики будет совершать лишь незначительные колебания вокруг номинального режима и, следовательно, характеристику можно заменить касательной к характеристике в точке А (системы стабилизации). Для получения уравнения касательной перенесем начало координат в точку А и запишем уравнение касательной в отклонениях от точки номинального режима: у = kх yвых y  y0 А  x tg = k xвх x0 7 Величина k  y - отношение выходной величины к входной – статический x коэффициент передачи. Для нелинейных звеньев “к” – величина не постоянная и зависит от положения рабочей точки А. Метод секущей, может быть, применим к объектам, имеющим нелинейную статическую характеристику, кососимметричную относительно начала координат. 4 yвых Характеристику такого типа можно заменить линейной секущей АА, причём провести её нужно так, чтобы ошибки ∆ 1, ∆ 2, А 2 3 xвх ∆ 3, ∆ 4 были минимальными. 1 А Метод кусочно-линейной линеаризации применим для нелинейных объектов, статические характеристики которых могут быть представлены в виде отдельных отрезков прямой линии (1, 2, 3, 4, 5). Для каждого отрезка характеристики справедливо линейное дифференциальное уравнение. Переход от одного участка к другому осуществляется «припасовыванием» отдельных решений. При этом решение для конца одного участка является начальным условием для следующего и т.д. 5 yвых 3 2 4 xвх 1 В статике все звенья можно разделить на два больших класса: статические и астатические. Статические звенья – звенья, поведение которых в статике описывается статической характеристикой типа yвых = kxвх Существует большой класс звеньев, для которых статическую характеристику не удается получить, т.е. в зависимость yвых = f (xвх) входит время. Такие объекты называются астатическими. Условно в качестве статической характеристики для астатических звеньев считают зависимость: dy вых  f ( xвх ), т.е. в астатических объектах каждому значению dt входного сигнала соответствует определенная скорость входного сигнала. §2. Динамические характеристики линейных элементов и систем: переходные и весовые функции; частные характеристики, их применение и получение. Динамика – в общем, философском смысле слова, движение. В динамике выходная величина звена (системы) изменяется во времени вследствие изменения входной величины. Связь между входным и выходным параметрами в отдельном элементе (или системе) в динамике описывается дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение 8 аналитически выражает характер изменения во времени выходного параметра при определенном виде входного параметра. В общем виде дифференциальное уравнение может быть записано следующим образом: d n y вых ( t ) d n  1 y вых ( t ) dy вых ( t ) an  an 1    a1  a 0 y вых ( t )  dt n dt n  1 dt d m x вх ( t ) dx вх ( t )  bm    b1  b0 x вх ( t ), m dt dt где m≤ n (условие физической реализуемости). Решение дифференциальных уравнений высоких порядков представляет известные трудности, поэтому сделаны попытки упростить, решение дифференциальных уравнений. Для этого применяют операторный метод, основанный на преобразовании Лапласа. Смысл преобразования Лапласа заключается в том, что функции действительного переменного х(t) ставится в соответствие функция комплексного переменного x(p), т.е. x(t) x(p), где x(t)- оригинал; x(p)- изображение. Операция преобразования записывается так: L{x(t)}=x(p).  Соответствие выражается интегралом Лапласа: x( p )   x( t )e  pt dt , где p    j . Таким образом, с помощью этого интеграла можно от функции x(t) перейти к функции (p). Для того, чтобы записать дифференциальное уравнение в операторной форме, найдем преобразование производной: L {x'(t)} = ?  L x ' ( t )   x ' (t ) e  pt dt . Воспользуемся формулой интегрирования по частям: b  b f ( x ) dx  a  udv a b  uv b a   vdu . a По формуле интегрирования по частям: -pt U = e ; dV = x’(t)dt; dU = -pe-ptdt; V = x(t),  тогда    pt  pt dt  x( t )e  p  x( t )e  pt dt  px ( p )  x ( 0 ),  x' ( t )e 0      x( p ) где х( 0 )  начальные условия, которые будем считать нулевыми. При нулевых начальных условиях справедливо утверждение: Дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на оператор p: 9 Это свойство Лапласа позволяет свести дифференциальное уравнение к алгебраическому и ввести понятие передаточной функции линейного элемента (системы): αnpnyвых(p) + αn-1pn-1yвых(p) + …. + α1pyвых(p) + α0yвых(p)=bmpmxвх(p) + …. + b1pxвх(p) + +b0x(p) Далее уравнение решается как обыкновенное алгебраическое: ( bm p m  ....  b1 p  b0 )xвх ( p ) yвых ( p )  a n p n  ....  a1 p  a0 Операции нахождения оригинала выходной величины по изображению, называется обратным преобразованием Лапласа: yвых ( t )  L 1 y вых ( p ) Обратное преобразование совершается с помощью следующего интеграла: L 1 y 1 вых ( p )  2 c  j  x( p )e  pt dp c  j Для облегчения задачи нахождения оригинала по изображению созданы таблицы преобразования Лапласа, позволяющие не решая интеграла, находить оригинал по изображению и обратно. Оригинал f(t) Изображение f(p) 1  0, t  0 1( t )   p 1, t  0 t 1 p2 k p2 kt e-αt 1 p  sinαt  p2   2 Отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией: yвых( p ) bm p m  ..... b1 p  b0 W( p )   xвх ( p ) an p n  ..... a1 p  a0 Статистический коэффициент передачи тоже есть отношение выхода ко входу, но в y вых . уст . k  установившемся режиме, т. е. x вх . уст . , следовательно, k – частный случай W(p), т.к. в статике k  W ( p) 10 p 0 d  0 , то и p=0, следовательно: dt Временные характеристики звена (системы) представляют собой изменение выходной величины во времени при передаче на ее вход типового апериодического воздействия. В качестве последнего используют единичное ступенчатое воздействие или единичный импульс. При единичном ступенчатом воздействии входная величина мгновенно возрастает от 0 до 1 и далее остается неизменной, т. е. xвх(t) + 0, t  0 1(t )   1, t  0 1 t Реакция звена на единичную ступенчатую характеристикой звена (обозначается h(t)) функцию называется переходной h( t )  yвых( t ) xвх ( t )1( t ) Очевидно h(t) представляет решение дифференциального уравнения для единичного ступенчатого входного сигнала. Выражение для h(t) может быть получено из передаточной функции W(p). По определению: y ( p) W ( p )  вых , т. е. xвх ( p ) y вых ( p )  W ( p )  x вх ( p ); xвх ( t )  1( t ); L{ 1( t )}  1 ; p y вых ( t )  h( t ); L{ h( t )}  h( p ); h( p ) 1 W( p )  W ( p );h( p )  W ( p )   1/ p p p Оригинал переходной характеристики находится из таблицы: W ( p) h(t )  L1{ } p Реакция звена на единичный импульс [δ(t) – дельта - функция] называется импульсной переходной характеристикой (весовой функцией). Дельта – функцию [δ(t)] определяют как импульс, длительность которого равна 0, амплитуда -  , а площадь 1, т. е. δ(t) можно определить как производную от 1(t): , t  0  (t )  1(t )   0, t  0 δ(t) ' t Весовую функцию (обозначают ω(t)) также можно найти из передаточной функции звена (системы). 11 x вх ( t )   ( t ); L {  ( t )}   ( p )  1 ; y вых ( t )   ( t ); L {  ( t )}   ( p ); ( p )  W ( p );  ( p )  W ( p ); 1 Оригинал весовой функции находится из таблиц преобразования Лапласа: (t )  L1{W ( p)} Частотные характеристики определяют поведение звена (системы) при подаче на его вход гармонического (синусоидального) сигнала. Пусть xвх(t)=Aвхsin ωt, где Авх=const, ω – круговая частота входного сигнала. На выходе звена (системы) тоже появится гармонический (синусоидальный) сигнал, амплитуда и фаза которого будут другими, зависящими от частоты входного сигнала. yвых(t)=Aвых(ω)sin[ωt+φвых(ω)] Зависимость отношения выходного сигнала к входному от частоты входного сигнала называется комплексной передаточной функцией звена (системы). Нас интересует одновременная зависимость 2-х величин: Авых и φвых, поэтому входной и выходной сигналы удобно рассматривать в комплексной плоскости, а для их описания применить аппарат теории функций комплексного переменного. Синусоидальный входной сигнал можно изобразить вектором ОА на комплексной плоскости, вращающимся вокруг начала координат. j A xвх(t)=Aвхsint; j  1 Aвх Jm Aвх  OA  Re 2  Jm 2 ;  Jm +  t   , tg   . Re Re  Тогда  xвх ( t )  Re(  )  jJm(  )  Aвх e j t ; j  t   вых (  ) По аналогии: y вых ( t )  Aвых (  )e ; По определению комплексная передаточная функция [K(jω)] может быть записана как K( j )  Aвых( )e jtвых( ) Aвхe jt A ( )  вых e jвых( ) Aвх1  Aвых( )e jвых( ) ; Aвх Выражение K(j) можно найти из дифференциального уравнения системы: j t xвх(t) = Авх e dx вх ( t )  j Aвх e j t ; dt ; d m x вх ( t )  ( j  ) m A вх e j   t ; m dt увых(t) = Авых()e j[t + вых()] ; dy вых ( t )  j  A вых (  ) e j [  t   ] ; dt d n y вых ( t )  ( j  ) n Aвых (  )e j [  t   ] . dt 12 Подставив эти выражения в дифференциальное уравнение, найдем К(j) A e j  t    bm ( j )m    b1 j  b0 K ( j )  вых  j t Aвх e a n ( j )n    a1 j  a0 Сравнив это выражение с выражением передаточной функции будем определять комплексную передаточную функцию звена (системы) из передаточной функции, заменив в ней оператор «р» на оператор «j», K( j)  W( p) p j Из выражения K(j) видим, что каждой частоте  соответствует вектор K(j), который при изменении частоты от 0 до  описывает в комплексной плоскости кривую (годограф), называемую амплитудно-фазо-частотной характеристикой звена (системы) (АФЧХ). АФЧХ показывает одновременно, как изменяется амплитуда и фаза выходного сигнала при изменении частоты входного сигнала. Можно построить отдельно амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики, показывающие как изменяется амплитуда и фаза в функции от частоты (). Тема 2 Типовые динамические звенья САР По виду динамических характеристик звенья САР делятся на §1. Безинерционные (усилительные или статические) звенья. К безинерционным звеньям относят элементы, которые в динамике описываются дифференциальным уравнением нулевого порядка вида yвых(t) = kхвх(t), (1) где k-статический коэффициент передачи звена. Для получения выражения передаточной функции запишем уравнение (1) в операторной форме (на основании основного свойства преобразования Лапласа: ) yвых(p) = kxвх(p) По определению передаточная функция находится как отношение выхода ко входу в операторной форме при нулевых начальных условиях: y ( p) W ( p)  k (2) x( p ) Из передаточной функции найдем статический коэффициент передачи звена (в статике все производные равны 0) kст  W ( p ) p0  k Выражение передаточной функции совпадает со статическим коэффициентом передачи, поэтому звено называют статическим. 13 Из передаточной функции находят переходную и весовую функции в операторной форме: W ( p) k h( p)   (3) p p Оригинал переходной характеристики находят из таблиц преобразования Лапласа. k  h(t )  L1    k  1(t )  p Переходная характеристика безинерционного звена имеет вид: h(t) x(t) k 1 t t Весовая функция в операторной форме ω(p)=W(p) Оригинал весовой функции ω(t) = L-1 {k } = k (t) (4) (t) x(t) t t δ(t)- дельта-функция импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды, площадь которого равно 1. Частотные характеристики звена найдем из выражения комплексной передаточной функции: K( j) W( p) p j  k  k  j0  kej0 АФЧХ .. (5) Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики звена имеют вид: АЧХ: Aвых (  )  K ( j ) Aвх  1  K ФЧХ:  вых (  )  arg K ( j  )  0  Графическое изображение частотных характеристик представлено на рисунках: j Aвых() вых() АЧХ АФЧХ ФЧХ +  k(=) 14  АФЧХ- годограф вектора K(j) в комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до . §2. Инерционное звено первого порядка. В динамике описывается дифференциальным уравнением первого порядка, которое может быть приведено к виду: T dyвых( t )  yвых( t )  kxвх( t ) dt (1) где T - постоянная времени звена; k – статический коэффициент передачи звена; В операторной форме уравнение имеет вид: Т py(p) + y(p) = kx(p) А передаточная функция находится как: W ( p)  y( p) k  x( p) Tp  1 Статический коэффициент передачи звена: kñò  W( p) | p0  k Переходная характеристика в операторской форме: h( p)  W ( p) k  p p(Tp  1) (3) Оригинал переходной характеристики: h(t )  L1{ k }  k (1  e t / T ) p(Tp  1) Графическое изображение переходной характеристике имеет вид: h(t) x(t) 1 k T t t Касательная к начальной точке переходной характеристики отсекает на линии установившегося режима отрезок, равный Т. T – время, за которое выходная величина достигает установившегося значение, если изменяется с начальной постоянной скоростью. h()  k(1et / T ) |t  k Весовая функция инерционного звена первого порядка в операторной форме ( p )  W ( P )  K Tр  1 15 (4) Оригинал весовой функции находит из таблиц преобразования Лапласа: t  K K ( t )  L1{ }  e T Tр  1 T (t) x(t) k/T t t T Частные характеристики звена находим из выражения К(j): K( j )  W( p ) p j   k T 2 2  1 k k( 1  jT ) k kT   j  Tj  1 ( 1  jT )(1  jT ) T 2 2  1 T 2 2  1 e jarctgT  АФЧХ. Амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристи находим следующим образом: Авых(  )  K( j ) А 1  вх k 2 2 ; T  1 вых(w) = arg K(j) = – arctg Графический вид характеристик показан на рисунки: j k( = 0) k/2 = + -k/2  Re() Jm() k 1/T k/2 -k/2  =1/T АФЧХ вых() Авых()  К -/2  16  Идеальное дифференцирующее звено. §3. Дифференциальное уравнение звена: y вых ( t )  K dx вх ( t ) dt (1) Уравнение в операторной форме: yвых(р) = kpxвх(p) Передаточная функция: y( p)  kp; x( p) W ( p)  kст  увых .уст хвх. уст (2)  W( p ) p0  0, т.е. в статике идеальные дифференцирующие звенья отсутствуют. Применяются такие звенья при реализация гибких обратных связей (в статике характеристики равны 0, динамические характеристики отличаются от 0). Переходная характеристика звена в операторной форме: h( p )  W ( p) kp  k p p (3) Оригинал переходной характеристики находим из таблиц: h(t) = L-1 {k} = k(t). h(t) хвх(t) 1 t t Частотные характеристики звена определим из выражения K(j): K( j)  W ( p) p  j  k j  k  e j / 2 (4) АЧХ: Aвых() = K(j)Aвх=1 = k , ФЧХ: вых() = arg K(j) = +/2, то есть дифференцирующее звено вносит в систему опережение по фазе, равное 90о. Графический вид характеристик дифференцирующего звена: вых Авых  tg=k +/2 АФЧХ  =0  t 17  §4. Идеальное интегрирующее звено. Дифференциальное уравнение звена: dyвых ( t )  kxвх ( t ). dt ( 1) Уравнение в операторной форме: pyвых(p) = kxвх(p) Передаточная функция и статический коэффициент передачи: (2) y ( p) k W ( p )  вых  xвх ( p ) p k ст  W ( p ) p  0   , то есть интегрирующее звено не имеет статической характеристики в явно выраженной форме, она не определена. В статике такое звено является астатическим. Условная статическая характеристика (статический коэффициент) может быть определена: dyвых ( t ) dt py ( р ) уст k ст   вых р  0  рW ( p ) p  0  k . хвх уст хвх ( р ) Переходная характеристика в операторной форме h( p )  (3) W ( p) k  2. p p Оригинал переходной характеристики: k h ( t )  L1  2   kt p  h(t) x(t) tg = k 1  t t Частотные характеристики звена определяются из К( j )  W( p ) p j  Авых() = | K(j) |Авх=1 = k/ j k k k   j  e j / 2  АФЧХ; j   вых() = arg K(j) = – /2 Aвых вых()   +  AФЧХ 0 18 -/2 §5. Инерциальное звено второго порядка. Колебательное звено. Дифференциальное уравнение инерционного звена второго порядка: ( 1) T22 d 2 yвых ( t ) dt 2  dyвых ( t )  yвых( t )  kxвх ( t ) dt в операторной форме: Т22p2yвых(p) + T1pyвых(p) + yвых(p) = kxвх(p) Передаточная функция: (2) y ( p) k W ( p )  вых  x вх ( p ) T22 p 2  T1 p  1 k ст  W ( p ) p  0  k . Переходную характеристику звена можно найти классическим способом, решая дифференциальное уравнение звена, когда в правой части 1(t)=xвх(t) Решение однородного уравнения определяются корнями характеристического уравнения звена, которое имеет вид: Т 2 2 p2 + T 1 p + 1 = 0 p1, 2  T1  T12  4T22  2T22 Возможно два случая: 1) Т12Т2 (Т1/2Т2 = d  1); p1,2 = - 1,2 В этом случае полное решение уравнения, т.е. переходная характеристика, может быть записана следующим образом:  h(t )  k 1  c1e  1t  c2 e 2 t  где С1, С2 – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Характеристика звена в этом случае имеет вид: h(t) x(t) k 1 t t Звено в этом случае называется инерционным второго порядка. 2) T1 < 2T2 (T1/2T2 = d < 1) p1,2 = -   j . В этом случае в общем виде переходную характеристику можно записать как: –t h(t) = k [1 + Ae sin(t + )], где А и  определяются из начальных условий. h(t) x(t) 1 k t t 19 Переходная характеристика в этом случае представляется затухающими колебаниями, и звено в этом случае называется колебательным звеном. Переходные характеристики звена второго порядка можно определить также в операторной форме из передаточной функции, а оригинал найти из таблиц преобразования Лапласа. Уравнение звена второго порядка для случая T1/2T2<1 переписывается через параметры колебательного звена в виде: d 2 y вых ( t ) dy (t )  2 d 0 вых   02 y вых ( t )  k 02 x вх ( t ), 2 dt dt где 0 - частота собственных колебаний звена; d-коэффициент затухания. Параметры колебательного звена связаны с параметрами инерционного звена второго порядка соотношениями:  1 2  T 2   0 2 T  12  2 d  0 .  T 2 Частотные характеристики звена определяются из комплексной передаточной функции: K  j   W ( p)  p  j k k  2 T22  j   T1 j  1 (1  T  )  jT1  2 2 2 k (1  T22 2 ) kT1   j  (1  T22 2 ) 2  T12 2 (1  T22 2 )  T12 2 k  2 2 2 2 2 1 (1  T  )  T  АЧХ : Aвых(  )  K  j  A 1  вх ФЧХ: 2 e T  jarctg 12 2 1T2   ÀÔ×Õ; k ( 1  T22 )2  T12 2 вых(  )  arg K( j )  arctg T1 1  T2 2 2 j d<1 Авых k d=1 t T1/2T2>1 вых d>1 0   T1/2T2=1 –2(/2) T1/2T2<1 20 Тема 3 Структурные схемы САР. Правила структурных преобразований При математическом описании САР обычно изображают в виде блок-схемы и для каждого “блока” (элемента) записывают уравнения, исходя из физических законов, которым подчиняются процессы в нём. Структурную схему можно составить на основании этой блоксхемы и полученных уравнений (передаточных функций). И дальнейшие преобразования, необходимые для получения уравнений и передаточных функций системы, проще и нагляднее производить по структурной схеме. §1. Последовательное соединение звеньев. При последовательном соединении выходная величина каждого предшествующего звена является входным воздействием последующего звена. x(p) W1(p) x1(p) W2(p) xn-1(p) x2(p) Wn(p) y(p) При преобразовании структурных схем цепочку из последовательно соединенных звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией Wэкв(p), которую находят следующим образом: y(p) x(p) Wэкв(p) Записывают уравнения последовательно соединенных звеньев: x1(p)= x(p)∙W1(p); x2(p)= x1(p)∙W2(p), …; y(p)=xn-1(p)∙Wn(p). Исключив из этой системы x1, x2, … ,xn-1, получим: y(p)= W1(p)∙W2(p)∙ … ∙Wn(p)∙x(p); откуда y( p ) n Wэкв( p )   Wi ( p ), x( p ) i 1 т.е. передаточная функция последовательного соединения звеньев определяется как произведение передаточных функций звеньев, включенных последовательно. §2. Параллельное соединение звеньев. При параллельном соединении на вход всех звеньев подается один и тот же сигнал, а выходящие величины алгебраически складываются: x1(p) W1(p) x(p)  x2(p) W2(p)  xn(p) W32(p) 21  y(p) Эту цепь нужно заменить одним звеном с передаточной функцией Wэкв(p): y(p) x(p) Wэкв(p) Составим уравнения для каждого из звеньев цепочки: x1p)= x(p)∙W1(p); x2(p)=x(p)∙W2(p); … ; xn(p)=x(p)∙Wn(p); y(p)=  x1 (p)  x2(p)  …  xn(p) Исключив из этой системы x1, x2,…,xn, получим: y(p)=  x(p)[W1(p)+W2(p)+…+Wn(p)], откуда n y( p ) Wэкв( р )    Wi ( p ), x( p ) i 1 т.е. передаточная функция параллельного соединения звеньев определяется алгебраическая сумма передаточных функций звеньев, включенных параллельно. как §3. Звено, охваченное обратной связью. Звено охвачено обратной связью, если его выходной сигнал через какое-либо другое звено подается на выход. х(р) у(р) (р) Wпр(р)   Хос(р) Wос(р) Необходимо заменить эту цепочку эквивалентным звеном с передаточной функцией Wэкв (p). x(p) y(p) Wэкв(p) Уравнения, описывающие эту цепочку звеньев: y(p) = (p)  Wnр(p); xос(p) = y(p)  Wос(p);  (p) = x(p)  xос(p). Отсюда уравнения, связывающие выход и вход системы: y(p)=[x(p)  y(p)∙Wос(p)]∙Wпр(p) или o.o.c y( p )  y( p )Woc ( p ) Wпр ( p )  x( p )  Wпр ( р ) п.о.с Wэкв( р )  Wпр ( р ) у( р )  . о.о.с х( р ) 1  Woc( p )Wпр ( р ) п.о.с Передаточная функция замкнутой цепи равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс (о.о.с.) или минус (п.о.с.) передаточная функция цепи обратной связи, умноженная на передаточную функцию прямой цепи. 22 §4. Определение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы. Пусть исследуемая система имеет следующую структурную схему: W6 x(p) W1 - - W2 W4 W3 W5 + + W7 y(p) Используя правила структурных преобразований, приведем исходную систему к одноконтурной: W1 экв  W2 , 1  W 2W 3 W 2 экв  W 4  W 5 ; W2W4  W2W5 ; 1  W2W3 W W  W2W5  W6  W2W5W6 W4экв W3экв  W6  2 4 ; 1  W2W3 W3экв  W1экв  W2экв  W W W W W2W5W1W7 W6W1W7 W2W5W6W1W7 W5экв  W1W4эквW7  2 4 1 7 ; 1 W2W3 Замкнутая система называется одноконтурной, если при её размыкании в какой-либо точке получается цепь, не содержащая параллельных и обратных связей. х(р) (р) – W5экв(р) у(р) Рассмотрим полученную одноконтурную систему. Найдём передаточную функцию по входу x(p) и выходу y(p). Участок по ходу сигнала от точки приложения входного воздействия до точки съёма выходного сигнала назовем прямой, а цепь при отсутствии обратной связи – разомкнутой цепью. y( p )  W W раз ( р )  5 экв  W пр ( р ) x( p ) при отсутствии о .с . х(р) W5экв(р) – у(р)   Передаточная функция одноконтурной системы с отрицательной обратной связью определяется как: у( р ) х ( р ) при наличии W пр ( р ) W раз ( р   1  1  W пр ( р ) 1  W раз ( W зам ( р )  х(р)  обратной связи ) р) 23 Wпр(р) – у(р) §5. Статика САР. Способы уменьшения статизма. Описания линейной системы в статике можно получить, зная передаточную функцию системы. Поскольку К ст  у вых . уст . х вх . уст . W( p ) p 0 , структурные схемы в статике можно получить из структурных схем в динамике, заменив передаточные функции звеньев статическими коэффициентами передачи, найденными по этой формуле. Правила структурных схем, справедливые для динамики, можно применить и для структурных преобразований в статике. Качество систем автоматического регулирования в статике определяется статической ошибкой - разница между заданным и действительным значениями регулируемой величины в установившемся режиме. Пусть структурная схема САР в статике имеет вид: xуст  – yуст К0 Кр  По определению статическая ошибка  = xуст – yуст. Найдем Δ через параметры системы у уст  х уст  k зам  х уст   хуст  у уст  хуст  хуст Тогда k р k0 1  k р k0 k р  k0 1  k рk0 ,  хуст 1 , 1  k рk0 где kр∙kо = kраз – статический коэффициент передачи разомкнутой системы. Тогда   х уст 1 1  k раз зависит не только от параметров системы, но и от входного сигнала. Поэтому для оценки качества САР применяют относительную статическую ошибку – статизм, которую определяют как отношение абсолютной статический ошибки к заданному значению регулируемой величины. S  x зад 100 %  1 100 %. 1  k раз Качество системы в статике тем лучше, чем меньше статическая ошибка, которая зависит от величины kраз. Для уменьшения статической ошибки нужно: 1. Увеличивать kраз. Однако увеличение kраз ведёт к уменьшению запаса устойчивости поэтому увеличивать kраз нужно очень осторожно; 2. Включать в прямую цепь регулирования астатическое (интегрирующее) звено. x  kр k р р 0 24 k0 y  S исх  1  100 %. 1  k р k0 k раз ск  k р  S ск  k  . р р 0 1  100 %  0. 1  Астатическое звено уменьшает статическую ошибку системы до 0. Систему с нулевой статической ошибкой (при отсутствии остаточного отклонения между заданным и действительным значениями регулируемой величины) называется астатической. Система с наличием статической ошибки (при наличии остаточного отклонения между заданным и действительным значениями регулируемой величины) называется статической. Тема 4 Устойчивость систем автоматического регулирования §1. Физическое и математическое определение устойчивости. Система автоматического регулирования называется устойчивой, если после снятия возмущающего воздействия, которое вывело её из состояния равновесия, она вновь возвращается в состояние равновесия. Если система не возвращается в состояние равновесия после снятия возмущения, она неустойчива. x(t) у( t )  0 x( t )  0 t t 0 устойчивая система (кривые 1, 2) y(t) 1 3 у( t )   x( t )  0 t  неустойчивая (3). 2 Для определения математического условия устойчивости САР необходимо решить дифференциальное уравнение системы, когда правая часть этого уравнения равна 0 (при снятии возмущающего воздействия), и посмотреть, как ведет yвых (t) при t  . Пусть у( р ) bm p m    b1 p  b0 Wзам ( р )   ; х( р ) an p n    a1 p  a0 Тогда дифференциальное уравнение системы в операторной форме: 25 αnpny(p) + ... + α1py(p) + αoy(p) = bmpmx(p) + ... + b1px(p) + box(p) Оригинал дифференциального уравнения: an d n y(t ) d y(t ) d m x(t ) d x(t )    a  a y ( t )  b    b  b0 x(t). 1 m 1 dt dt dt n dt m Для определения устойчивости системы, описываемой этим уравнением, снимем возмущения x(t)=0 и решим уравнение: d n y(t) dy(t ) an   a1  a0 y(t )  0. n dt dt Для этого запишем характеристическое уравнение: H(p) = αnpn + .... + α1p + αo = 0. Как видно из последнего выражения, характеристическое уравнение звена или системы – это знаменатель передаточной функции звена или системы, приравненный к нулю. Если p1, p2, ..., pn – корни характеристического уравнения, то решение этого уравнения имеет вид: n y (t )  C i e pit , где Ci – постоянные интегрирования, определяемые из i 1 начальных условий. Рассмотрим отдельные случаи решения дифференциального уравнения: 1) p1, p2, ..., pn – отрицательные действительные корни: pi = -i. Решение уравнения в этом случае: n y(t) y( t )  Ciei t . C2 i 1 –2t C2e C1 0 lim y (t ) x (t )  0 –1t C1e Ci –it Cie t t 2) p1, p2, ..., pn - положительные действительные корни: pi = +i. n y (t )   C i e  it – решение уравнения в этом случае i 1 y(t) С2e+ 2t lim y (t ) x (t )0   . t  C2 Ci C1 26 С1e+ it С1e+ 1t t 3) p1, p2, ..., pn - корни комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью: n/2 pi = – i  ji . y (t )   A i e   i t sin  i t   i  i 1 y(t) -it Aie sin (it + i) t lim y (t ) x ( t )0 0 t 4) p1, p2, ..., pn – корни комплексно-сопряженные с положительной вещественной частью: n/2 pi = + i  ji y (t )   Ae   it i sin  i t   i  i 1 y(t) Aie+ it sin (it + i) lim y(t ) x (t )0   t  t Анализируя все случаи решения дифференциального уравнения для случая x(t) = 0, можно сделать вывод: система автоматического регулирования устойчива, если все корни ее характеристического уравнения отрицательные действительные или комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью. Если же среди корней характеристического уравнения системы имеется хотя бы один положительный действительный корень или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней с положительной вещественной частью, такая система неустойчива. Математические правила, позволяющие определить знаки корней алгебраического (характеристического) уравнения, не решая это уравнение, в ТАУ называют критериями устойчивости. 27 §2. Алгебраический критерий Гурвица. Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения. Система автоматического регулирования устойчива, если все коэффициенты её характеристического уравнения имеют одинаковые знаки, а главный диагональный определитель системы (определитель Гурвица) и его диагональные миноры будут положительными. (1 ) (2) n n 1 (n) ( n  1)  ...  a 1 p  a 0  0 – характеристическое уравнение Пусть a n p  a n  1 p системы; 1) Необходимые условия: α0 > 0, α1 > 0,……, αn  0 или α0<0, α1<0,….., αn<0. 2) Для проверки достаточного условия, составляют из коэффициентов уравнения главный диагональный определитель: - по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго. - столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициенты с последовательно убывающими индексами; столбцы вниз – коэффициентами с последовательно возрастающими индексами; - iый диагональный минор получают отчёркивая iый столбец и iую строку. Для исследуемой системы: ∆= αn-1 αn-3 αn-5 αn αn-2 αn-4 αn-1 αn-3 C1 C3 C4 C2 C1C2-C3C4 α1 i  (1) nm ai i1 α0 1= αn-1>0; 2= 3= αn-1 αn-3 αn αn-2 αn-1 αn αn-3 αn-2 αn-1 = αn-1 αn-2 - αn αn-3 >0; αn-5 αn-4 αn-3 >0; n= αn-1 αn-3 αn αn-2 >0; α0 Исходным выражением для определения устойчивости по Гурвицу является Н(р), следовательно, по Гурвицу определяют устойчивость замкнутых и разомкнутых систем. Пример 1. Определить по Гурвицу устойчивость системы первого порядка, заданной характеристическим уравнением: 28 Н(р)=α1р+α0=0 1)α1 >0; α0 >0 2)=| α0| >0, т.е. для того, чтобы система первого порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты её характеристического уравнения имели одинаковые знаки. Пример 2. Определить по Гурвицу устойчивость системы второго порядка заданной характеристическим уравнением: Н(р)=а2р2+α1р+α0=0 1)α1> 0; α2>0; α0>0 2)2= α1 0 = α1 α0 – α2 0 >0 α2 α0 т.е. для того чтобы система второго порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты её характеристического уравнения имели одинаковые знаки. Пример 3. Определить по Гурвицу устойчивость замкнутой системы, заданной следующей структурной схемой: x(p) k1 T 1p  1 - k2 T2 p  1 y (p) k3 T3 p  1 Исходным выражением для определения устойчивости по Гурвицу является характеристическое уравнение замкнутой САР, которое находится как знаменатель ее передаточной функции. k3 k1 k2 W раз ( р )  W пр ( р )     T1 p  1 T 2 p  1 T3 p  1 k1k 2 k 3  ; 3 T1T 2 T 3 p  ( T1T 2  T 2 T 3  T1 T3 ) p 2  ( T1  T 2  T 3 ) p  1 W зaм ( p )  W раз ( p ) 1  W раз ( p )  k1k 2 k 3  T1T2T3 p 3  ( T1T2  T2T3  T1 T3 ) p 2  ( T1  T2  T3 ) p  ( 1  k 1 k 2 k 3 ) b0 ; a 3 p 3  a 2 p 2  a1 p  a 0 где: b0  k1 k 2 k 3 ; a3  T1T2T3 ; a 2  (T1T3  T1T3  T2 T3 ); a1  (T1  T2  T3 ); a 0  1  b0 ; Первое условие: Н( р )зам  а3 р3  а2 р2  а1 р  а0  0 a1  0; a 2  0; a 3  0; a 0  0. 29  Второе условие: ∆= ∆1 = α2 >0, если ∆2= α2 α3 ∆3 = (-1) 3+3 α0 α1 а2 а0 а3 а1 а2 а0 выполняется первое условие; = α2 α1 - α3 α0 >0, в этом случае система устойчива; α0 ∆2>0 всегда, если α2>0 и выполняется первое условие. Для того, чтобы система третьего порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения имели одинаковые знаки, а произведение внутренних коэффициентов было больше произведения крайних. Но может оказаться, что 2<0, тогда система неустойчива, и ее необходимо скорректировать, не прибегая к структурной коррекции. Это, возможно меняя статический коэффициент передачи разомкнутой САР. Для данной системы kраз = b0, а коэффициент характеристического уравнения α0=f(kраз). В этом случае находят критическое значение kраз, при котором система находится на границе устойчивости, т. е. ∆2=0. ∆2= α2 α1 - α3 α0 кр=0 α0 кр= α2 α1/α3 kраз кр (для данной системы)= α0 кр - 1 Выбирают kраз ск < kраз кр и α0 ск = 1+ kраз ск ∆2 скор. сист. α2 α1 - α3 α0 ск >0, т. е. скорректированная система устойчива. §3. Частотный критерий Михайлова. Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид: H ( p)  an p n  an1 p n1  ...  a1 p  a0  0 (1) Заменив в Н(р) оператор р на оператор jω, получим вектор Н(jω) Пусть p1, p2,......, pn - корни характеристического уравнения. Тогда в соответствии с теоремой Безу характеристическое уравнение (1) можно переписать в виде: Н ( р )  ( р  р1 )  ( р  р 2 )  ...  ( р  р n )  0 или Н(jω)  ( j  p1 )( j  p 2 )  ...  ( j  p n )  0 (2) Величина (jω-pj) геометрически изображается векторами в комплексной плоскости, а Н(jω) представляет собой вектор, равный произведению элементарных векторов (jω-pi), модуль этого вектора равен произведению модулей элементарных векторов, а фаза – сумма фаз элементарных векторов. Условимся считать вращение против часовой стрелки положительным, тогда при изменении ω от 0 до ∞ каждый элементарный вектор повернется на некоторый угол. Пусть p1 - отрицательный действительный корень (“левый”, т. е. слева от мнимой оси), равный “ -α 1”. При изменении ω от 0 до ∞ j arg(jω- p1) jω    p1 2 (jω-p 1 ) p1=-α1 30 -α1 α1 + т. е. каждый “левый” действительный корень характеристического уравнения поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при  изменении ω от 0 до ∞ на угол в положительном направлении. 2 Если p2 - положительный действительный корень (“правый”), равный “+α2”,то при изменении ω от 0 до ∞ arg(jω- p2) (jω-p2)    p2  2 j p2=+α2 jω -α2 + +α2 т. е. каждый “правый” действительный корень характеристического уравнения поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при  изменении ω от 0 до ∞ на угол в отрицательном направлении. 2 Если p3,4 - корени комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью, равные –α3 ± jβ3, то j (jω-p4) p4=–α3-jβ3 jω (jω-p3) –α3+jβ3 p3=–α3+jβ3 +jβ3 –α3 γ γ γ γ -jβ3 –α3-jβ3 при изменении ω от 0 до ∞ arg(jω- p3) (jω- p4)  ( p3 , 4   3  j 3         )  2 , 2 2 2 31 + т. е. пара комплексно-сопряженных корней с отрицательной действительной частью поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол +2(π/2). Если p5,6 - комплексно-сопряженные корни с положительной вещественной частью, равные +α4 ± jβ4, то при изменении ω от 0 до ∞ arg(jω- p5) (jω- p6)     (      )  2 , p5 , 6  4  j 4 2 2 2 ( jω-р6) j +α4+ jβ4 jω +jβ4 (jω-р5) γ γ +α4 +α4- jβ4 -jβ4 т.е. пара комплексно-сопряжённых корней с положительной действительной частью поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол 2π⁄2 в отрицательном направлении. Анализируя выше изложенные случаи, можно сделать вывод: Если система устойчива - все корни левые, и каждый даёт поворот на +π⁄2. Произведение векторов (jω-pi)- тоже вектор. При изменении ω от 0 до ∞ его конец описывает кривую, называемую годографом Михайлова. Следовательно, если все корни левые, угол поворота вектора характеристического уравнения (вектор Михайлова) равен сумме углов поворота векторов (jω-pi), который в свою очередь равен +nπ⁄2. Если же хоть один корень правый, угол поворота вектора Михайлова меньше nπ⁄2, где n- порядок характеристического уравнения. Таким образом, критерий Михайлова формулируется так: САР устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ годограф Михайлова проходит последовательно n квадрантов, не обращаясь в 0, или САР устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ вектор Михайлова поворачивается на угол nπ⁄2 в положительном направлении, где n- порядок характеристического уравнения. j n=2 n=1 n=3 α0 32 n=4 + Годограф устойчивых систем j n=3 А α0 В + α0 кр При увеличении статического коэффициента передачи разомкнутой САР, коэффициент а0 растёт и годограф смещается вправо, параллельно самому себе. При некотором а0 кр годограф проходит через начало координат. Это граница устойчивости. Очевидно а0 кр=АВ, т.е. отрезку действительной оси, отсекаемому годографом Михайлова. §4. Частотный критерий Найквиста. Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутых САР по амплитуднофазовой характеристике разомкнутой САР. Замкнутая САР устойчива, если устойчива разомкнутая САР и её АФЧХ не охватывает точки с координатами (-1, j0) Пусть Wраз=N(p)/M(p), тогда К(jω)раз=N(jω)/M(jω) - выражение для АФЧХ. Построим АФЧХ разомкнутой САР. j устойчивая -1,0 + ω1 граница устойчивости неустойчивая система Пусть АФЧХ проходит через точку (-1, j0). Что это значит? yвых xвх объект 33 регулятор Пусть на выход разомкнутой САР подан сигнал xвх=Аsinωt. При некоторой частоте ω, -jπ К(jω1)=-1=1е , т.е. амплитуда сигнала на выходе системы равна амплитуде на входе. Далее: Отрицательная обратная связь сдвигает фазу колебаний на –π, кроме того, сама система сдвигает фазу колебаний на –π, т.е. общий сдвиг равен 2π.Входные и выходные колебания в фазе. Если замкнуть теперь САР, то выходные колебания совпадут с выходными. Входные можно отключить, а в системе всё равно останутся незатухающие колебания. Следовательно, САР находится на границе устойчивости. jφ Пусть Коб(jω)=Aоб е об jφрег Крег(jω)=Aрег е тогда Краз(jω)= Коб(jω)∙Крег(jω)=-1, т.е Аоб ∙ Арег = 1 φоб + φрег = - π условие возникновения незатухающих колебаний Если же АФЧХ охватывает точку (-1, j0), то при этом Аоб ∙ Арег >1 φоб + φрег = -π и следовательно, возникнут расходящиеся колебания. Если же Аоб ∙ Арег <1 φоб + φрег = -π , т.е АФЧХ не охватывает точку (-1, j0), в системе возникают затухающие колебания и система устойчива. §5. Структурно-неустойчивые (устойчивые) системы автоматического регулирования. Пусть структурная схема САР имеет вид: К1/Р К2/Р 1 Определим, используя критерий Найквиста, устойчивость данной системы при отсутствии местной обратной связи. Для этого построим АФЧХ разомкнутой САР: 34 W раз ( p )  k1 k2  p p k k k k K раз ( j )  1  2   1 2 j j 2 Из приведённого выражения видно, что АФЧХ разомкнутой САР совпадает с отрицательной полуосью и имеет направление из -∞ в 0 j ω=0 ω + Κраз(jω)(*) Κраз ск(jω) Замкнутая система, AФЧX разомкнутой которой имеет вид (*), неустойчива и будет оставаться неустойчивой при любых значениях параметров k1 и k2, т.к. будет иметь тот же вид. Такая система будет называться структурно неустойчивой, т.к. только изменяя структуру системы, можно сделать систему устойчивой. Если охватить одно из интегрирующих звеньев жёсткой отрицательной обратной связью, АФЧХ разомкнутой системы изменится следующим образом: k2 k k1k2 p W раз.ск.( p )  1   ; p 1  k 2 p( p  k2 ) p k1 k 2 k1k 2 (  2  jk 2 ) K раз ( j )ск    j ( j  k 2 ) (  2  jk 2 )(  2  jk 2 )  k1k 2 2  4   2k2 j k1k 2 2  4   2k2  k1 k 2  4  k2 j k 1k 2 2  3  k 2 Как видно из рисунка, Краз ск(jω) не охватывает точку (-1, j0) и не будет её охватывать ни при каких значениях параметров k1 и k2, т.к. никогда не пересечёт отрицательную действительную полуось. Таким образом, скорректированная система не просто устойчива, а структурно устойчива. Признаком структурной неустойчивости системы является наличие двух интегрирующих звеньев в прямой цепи системы автоматического регулирования. 35 Тема 5 Качество САР Устойчивость является необходимым, но не достаточным показателем САР. При исследовании систем автоматического регулирования приходится решать задачу обеспечения требуемых показателей качества переходного процесса: быстродействия, колебательности, перерегулирования, характеризующих точность и плавность протекания процесса. Показатели качества принято определять по кривой переходного процесса и называть прямыми. Кривая переходного процесса может быть получена теоретически (как решение дифференциального уравнения системы, когда правая часть уравнения [входной сигнал] единичная ступенька) или экспериментально. Пусть кривая переходного процесса системы имеет вид: h h1max 2∆ A3 A1 h2max A4 A2 hуст t tрег 1. Максимальное динамическое отклонение – максимальная разность между заданными и действительными значениями регулируемой величины в переходном режиме. ∆max дин =hуст 2. Максимальное перерегулирование – максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения переходной величины, выраженное в относительных единицах. h max 1  h уст A1  100 %   100 % h уст h уст  max  Обычно σmax ≤ 20÷30%. 3. Колебательность процесса:   A1  A3 A  A4  100 %  2  100 % A1 A2 (определяется как отношение разности двух соседних амплитуд, направленных в одну сторону, к большей из них в относительных единицах) Для работоспособных систем ψ ≥ 75÷90% 4. Время регулирования – tрегул – минимальное время от начала нанесения возмущения до момента, когда регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью; т.е. |h(t) – hуст| ≤ ∆, где ∆ - постоянная величина, значение которой нужно оговаривать (обычно ∆=2÷5% hуст). 36 В настоящее время при бурном развитии вычислительной техники трудности, связанные с расчётом переходных процессов существенно уменьшаются, поэтому роль прямых оценок качества при проектировании САР возрастает. Для получения общей оценки быстродействия системы и отклонения регулируемой величины от установившегося значения применяют интегральные оценки качества переходных процессов, которые являются интегралами от h(t) некоторых функций переходного процесса. Простейший интегральный критерий – линейный I1 определяется выражением hуст  I 1  0 ( h  h уст ) dt (с геометрической точки зрения I1 есть площадь между кривой h(t) и линией hуст) Величина I1 зависит от всех показателей качества. При этом с уменьшение ∆дин и tрегул (т.е. улучшением качества регулирования) I1 падает, а с увеличением колебательности (ψ →0) I1 тоже уменьшается, хотя качество регулирования при этом ухудшается. Итак, уменьшение I1 свидетельствует об улучшении качества регулирования только для хорошо затухающих переходных процессов и применения для оценки апериодических и слабо колебательных процессов. Критерий I1 может быть вычислен через коэффициенты дифференциального уравнения или передаточной функции разомкнутой САР. Для колебательных процессов применяют другие интегральные критерии:  I 0  0 | h  h уст | dt и (этот критерий не вычисляется через коэффициенты дифференциального уравнения)  I 2  0 | h  h уст |2 dt Тема 6 Обеспечение устойчивости, повышение качества регулирования В тех случаях, когда устойчивость САР и необходимое качество не могут быть достигнуты простым изменением параметров системы, эта задача решается введением в систему дополнительных устройств, называемых корректирующими. Корректирующие устройства включают в систему по-разному. Различают последовательные (а) и параллельные (б) корректирующие устройства. xвх(p) y(p) ЭС  Wисх.(P) Wпосл.(P) а) x(p) ЭС  y(p) Wнеохв.(P) Wохв.(P)  Wпар.(P) 37 б) Wисх.(p) = Wнеохв.(p)Wохв.(p) Последовательные корректирующие устройства включают непосредственно после ЭС или после предварительного усилителя в прямую цепь регулирования. Параллельные корректирующие устройства являются местной обратной связью, которая охватывает один из элементов прямой цепи. Причем, эти обратные связи могут быть положительными и отрицательными, жесткими и гибкими. Синтезируют корректирующее устройство на основании некоторого комплекса требований к свойствам системы (обеспечение устойчивости, повышение точности регулирования, улучшения переходных процессов и т.д.) Сначала определяют требуемые значения передаточной функции Wпосл.(р) последовательного корректирующего устройства. Затем выясняют, при каких значениях Wпар.(р) параллельного корректирующего устройства будет получен тот же эффект, после чего уже можно решать, какое корректирующее устройство целесообразнее создавать. Составим формулы для такого расчёта: Для схемы а) Wск.(p) = Wпосл.(p) Wисх.(p) Wíåîõâ ( p)  Wîõâ ( p) Wèñõ ( p)  б) Wск(p)= 1  W ( p)  W ( p) 1  W ( p)  W ( p) ïàð îõâ ïàð îõâ Из выражения (а) Wпосл( p )  Wск ( p ) Wисх( p ) 1   ;(*) Wисх( p ) ( 1  Wпар( p )  Wохв ( p ))  Wисх( p ) 1  Wпар( p )  Wохв ( p ) Из выражения (б) Wисх ( p ) Wисх ( p ) 1   W ск ( p ) Wисх ( p )  W посл ( p ) W посл ( p ) 1 1  W пар ( p )  (  1 ) ;(**) W посл ( p ) W охв ( p ) 1  W пар ( p )  W охв ( p )  Формулы (*) и (**) являются формулами перехода от одного вида корректирующего устройства к другому. Корректирующие средства являются основным способом повышения качества линейных непрерывных систем. Иногда в системе используют два корректирующих устройства: последовательное и параллельное, таким образом, функции, которые должны выполнять корректирующие устройства, распределяются между двумя корректирующими устройствами. Они могут быть выполнены из более простых элементов. А. Последовательная коррекция § 1. Введение производной в прямую цепь регулирования. Проще всего вводится производная в прямую цепь регулирования с помощью идеального дифференцирующего звена Wпосл.(p) = кр. Но такое звено делает скорректированную систему в статике разомкнутой, т.к. k ст.ск.  Wск ( p ) p  0  Wисх ( p )  k  p p  0  0 , 38 поэтому такая коррекция неприемлема. Производную вводят в прямую цепь регулирования с помощью пропорционально – дифференциального звена. Wпосл( p )  k  p  1, которое может быть реализовано следующей структурной схемой: x(p) + y(p) kp + 1 k ст .посл .  k  p  1 p  0  1 , т.е. статический коэффициент передачи этого звена равен 1 и пропорционально– дифференциальное звено не изменяет статику системы. Влияние этого звена на динамику системы рассмотрим на амплитудно–фазо–частотных характеристиках, исходной и скорректированной систем. Пусть Wисх( p )  а kисх 3 , 2 a3 p  a2 p  a1 p  a0 k исх K исх ( j  )  a 3 ( j  )3  a 2 ( j ) 2  a 1 j   a0 k посл ( j  )  W посл ( p ) p  j   kj   1 . АФЧХ скорректированной системы получается путём перемножения АФЧХ исходной системы и АФЧХ корректирующего звена. Для получения АФЧХ скорректированной системы необходимо перемножить вектора исходной системы и корректирующего звена в комплексной плоскости на частотах от 0 до  (при перемножении векторов в комплексной плоскости их модули перемножаются, а фазы складываются см. рис.) ω j  Kпосл. (j) 2 1 -1 ск 2 ск = 1 =0 1 =0 =0 ск 1 2 Kск.(j) 39 Kисх.(j) + Как видно из рисунка, АФЧХ скорректированной системы как бы повернулась против часовой стрелки, тем самым в скорректированной системе увеличился запас устойчивости по амплитуде и фазе. Если p1,p2,p3 – отрицательные действительные корни характеристического уравнения разомкнутой исходной системы, то её передаточная функция может быть записана в виде: Wисх(Р) = kисх ( Т1 р  1 )(T2 p  1 )( T3 p  1 ) , а переходная характеристика этой системы изображена на рисунке (кривая 1) Пусть Wпосл.1(р)=Т1р+1, тогда h kисх Wск.1(p)= ,а 4 ( Т 2 р  1 )( Т 3 р  1 ) kисх 1 3 2 hск.1 – кривая 2. Wпосл.2(р)=Т2р+1, тогда Wск.2(р)= k исх , а hск.2-кривая 3. Т3 р  1 t Wпосл.3(р)=Т3р+1, Wск.3(р)=Кисх (4) Как видно из рисунка, быстродействие системы. последовательное корректирующее звено увеличивает §2. Введение интеграла в прямую цепь регулирования. Интеграл вводим в прямую цепь регулирования с помощью идеального интегрирующего звена. Wпосл(р)=k/p Такое звено улучшает статику системы, т.к. уменьшает статическую системы до нуля (если в прямой цепи системы не было больше интегрирующих звеньев) (см. способы уменьшения статизма). Если же такое звено входило в передаточную функцию исходной САР, скорректированная система становится структурно неустойчивой. Динамика системы может быть прослежена на амплитудно-фазо-частотных характеристиках исходной и скорректированной систем. Кисх(jω)= kисх а3 ( j )3  a2 ( j )2  a1 j  a0 Кпосл(jω)= k k = j  j 40 , j ω2 ω1 ω=∞ t ω=0 ω2 -1 ω2 Кисх(jω) Kск(jω) ω1 ω1 ω 0 ω=0 Как видно из рисунка, АФЧХ скорректированной системы как бы повернулась по часовой стрелке, тем самым уменьшился запас устойчивости скорректированной системы по амплитуде и фазе, т.е. динамика системы ухудшилась. §3. Введение в прямую цепь регулирования безинерционного звена. В этом случае Wпосл(р)=k, причём k может быть больше 1 или меньше 1. При введении звена, коэффициент передачи которого больше 1, статизм скорректированной системы уменьшается, а звена с коэффициентом передачи меньше 1, статизм скорректированной системы увеличивается. ( см. Способы уменьшения статизма). Динамика скорректированной системы может быть рассмотрена на амплитудно-фазочастотных характеристиках исходной и скорректированной систем. Кисх(jω)= kèñõ 3 2 a3 ( j)  a2 ( j)  a1 j  a0 , а корректирующее звено не изменяет фазу исходной системы. 41 Кпосл(jω)=k=k·℮ j0 т.е. это Cк2 j Cк1 Cисх 2)Кпосл>1 1)Кпосл<1 1 -1 + 1)Кск(jω) γск2 γисх Кисх(jω) γск1 2)Кск(jω) Если Кпосл<1, АФЧХ скорректированной системы находится внутри АФЧХ исходной системы и запас устойчивости в этом случае увеличивается, динамика улучшается (статика ухудшается). Если же Кпосл>1, то запас устойчивости скорректированной системы уменьшается, динамика ухудшается (статика улучшается). 42 В. Параллельная коррекция §4. Охват инерциального звена жёсткой отрицательной обратной связью. Wэкв(p) x(p) Ê Òð  1 Wнеохв(p) y(p) kпар Для определения влияния такого корректирующего звена на структуру системы, статику и динамику системы, найдём Wэкв(p). = k Тр  1 k W охв ( р ) Wэкв(p)= = = = kk пар Тр  1  kk пар 1  W пар ( р )W охв ( р ) 1 Тр  1 k 1  kk пар k экв k = ( Т 1  kk пар ) р  1 Т экв p  1 , где kэкв= Тэкв= 1  kk пар < k, при любом kпар Т < Т, при любом kпар. 1  kk пар 1. Эквивалентное звено является инерционным звеном первого порядка, следовательно, структура системы не меняется. 2. Коэффициент передачи звена, а следовательно и коэффициент передачи скорректированной системы уменьшается при любом kпар, т.е. увеличивается запас устойчивости системы и одновременно увеличивается статизм системы. 3. Уменьшается постоянная времени звена, увеличивается его быстродействие, а следовательно и быстродействие системы. §5. Охват инерционного звена второго порядка жёсткой отрицательной обратной связью. x(p) у(p) k Ò ð  Ò1 ð  1 Wнеохв(p) 2 2 2 kпар Wэкв(p) 43 k k 1  kk пар Т 22 р 2  Т 1 р  1 W экв ( p )    2 kk пар T T 2 1 1 p2  p 1 2 2 1  kk пар 1  kk пар Т2 р  Т1р  1 k экв  ; ( T 2 экв ) 2 p 2  T 1 экв p  1 k T2 T1 где k экв  ; T 2 экв  ; T1 экв  ; 1  kk пар 1  kk пар 1  kk пар d экв  T1 1  kk пар T1 экв   2T 2 экв 2T 2 ( 1  kk пар ) d 1  kk пар 1. Структура звена, а следовательно и структура системы не изменяется. 2. Уменьшается коэффициент передачи звена, а следовательно и системы, увеличивается запас устойчивости системы и увеличивается её статизм. 3. Уменьшается постоянные времени звена, увеличивается его быстродействие и быстродействие системы. 4. Уменьшается коэффициент затухания звена d и при некотором значении kпар может стать меньше 1, а звено колебательным, что может привести у ухудшению переходного процесса. §6. Охват интегрирующего звена жёсткой отрицательной обратной связью. x(p) у(p) k/p Wнеохв(p) kпар Wэкв(p) 1 k пар k p k k экв    ; kk пар 1 p  kk пар T p  1 экв p1 1 kk пар p 1 1 k экв  ; T экв  ; k пар kk пар W экв ( p )  где 1. Изменяется структура звена, интегрирующее звено превращается в инерционное первого порядка. Такая коррекция применяется в тех случаях, когда в прямой цепи регулирования более одного интегрирующего звена, т.е. система структурно неустойчивая. В этом случае все интегрирующие звенья, кроме одного, охватываются жёсткой отрицательной обратной связью. 44 §7. Охват инерциального звена первого порядка положительной гибкой обратной связью. x(p) + Wнеохв(p) у(p) k Òð 1 + kпарp Wэкв(p) k k k Тр  1 W экв ( p )    ; k пар k  p ( T  kk пар ) p  1 T экв p  1 1 Тр  1 где Tэкв=T-kkпар 1. Структура звена, а следовательно и системы не изменяется. 2. Не изменяется статический коэффициент передачи звена, не изменяется статика скорректированной системы. 3. Уменьшается постоянная времени звена, увеличивается быстродействие звена, а следовательно и быстродействие системы. Т.о. обратная связь по скорости увеличивает быстродействие системы. §8. Преобразовательные элементы. Корректирующие устройства систем регулирования осуществляют преобразование сигнала управления. С этой целью их составляют из элементов, которые удобно называть преобразовательными. Используются электрические, механические, гидравлические, пневматические и иные преобразовательные элементы. Рассмотрим основные из них. А. Пассивные четырёхполюсники. Это электрически цепи из резисторов, конденсаторов и индуктивностей. Общая схема пассивного четырёхполюсника имеет вид: Z1 U1- входное напряжение четырёхполюсника, U2- выходное напряжение четырёхполюсника. 45 U1 Z2 U2 Zн 1   L1 p  C1 p   - операторы сопротивления; 1 Z 2 ( p)  R 2   L2 p   C2 p Ri , Li , Ci – активные сопротивления, ёмкости и индуктивности; Z 1 ( p )  R1  Zн – полное сопротивление нагрузки. Если Zн → ∞, то передаточная функция четырёхполюсника Wn ( p)  Z 2 ( p) Z1 ( p)  Z 2 ( p) Варьируя вид операторов Z1(p) и Z2(p) и значения Ri , Li , Ci можно получить большое количество четырёхполюсников, описываемых различными передаточными функциями. Стоимость пассивных четырёхполюсников низкая, а стабильность параметров достаточна высокая. Этими достоинствами объясняется и широкое использование в системах автоматического регулирования. Основной недостаток - ослабление сигнала. Наиболее характерные схемы пассивных четырёхполюсников: 1) C Z 2 ( p) R RpC Tp W ( p)     , Z1 ( p)  Z 2 ( p) 1 1  RpC 1  Tp R pC где T=RC. U1 R U2 R2 U2 реальное дифференцирующее 2) R2 W ( p)  R2   R2 R2  R1 где R1 R1 pC  1 R1 R2 ( R1 pC  1)   R2 R1 pC  R1  R2 C R1 pC  1 (Tp  1) k , R2 R1 kTp  1 pC  1 R2  R1 U1 k<1. (упругое с преобладанием дифференцирование) 3) 1 Z 2 ( p) pC 1 1 W ( p)     , 1 RpC  1 Tp  1 Z1 ( p)  Z 2 ( p) R pC где T=RC – инерционное первого порядка (реальное интегрирующее). 46 R U1 C U2 4) R2  1 pC R2 pC  1 T p 1 W ( p)    2 , 1 ( R1  R2 ) pC  1 T1 p  1 R1  R2  pC где T2= R1C T1= (R1+R1)C - упругое, с преобладанием интегрирования. R1 R2 U1 U2 C Б. Активные четырёхполюсники. Общая схема такого четырёхполюсника представлена на рисунке: В активных четырёхполюсниках используется операционные усилители с очень большим коэффициентом усиления, поэтому передаточная функция четырёхполюсника с достаточной точностью равна: Wï   Z2 Z1 Z2 Z1 U1 U2 Активные четырёхполюсники удаётся выполнять так, что они осуществляют почти идеальное дифференцирование или интегрирование, тем более в ограниченном диапазоне частоты. Например: Z2 R2 R pC Tp   2 1  1 , 1 Z1 1  R1 pC1 T2 p  1  R1 pC1 где T1= R2C1; T2= R1C1. R2 Wa   U1 1  R2 pC2 1  R2 pC2 1  T2 p Wa     , R1 R1 pC2 T1 p где R1 C1 U2 C2 R2 R1 U1 T2= R2C2; T1= R1C2. 47 U2