Теории автоматического управления

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ…………………......................................…………………..5 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ……………………………………………………………6 1.1 Функциональная схема системы автоматического управления…………………………………………………………………...…...…8 1.2 Классификация систем управления………………………….....9 1.3 Режимы линейных систем автоматического управления…..11 1.4 Контрольные вопросы…………………………………...……..12 Литература……………………………………………………...…...13 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ….……………………………14 2.1 Математическое моделирование объектов управления…….14 2.2 Структурные схемы систем автоматического управления…..17 2.3 Преобразование Лапласа…………………………………….....18 2.4 Основные характеристики систем автоматического управления…………………………………………………………………………21 2.5 Типовые звенья систем автоматического управления……….33 2.6 Контрольные вопросы……………………………...…………..50 Литература……………………………………………………...…...50 3 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ………...……....................................................................52 3.1 Понятие об устойчивости системы....…...……………...………52 3.2 Необходимое и достаточное условия устойчивости линейной системы………………………………………………….……..53 3.3 Критерий устойчивости Рауса–Гурвица……………...………...55 3.4 Критерий устойчивости Найквиста……………………...……..57 3.5 Критерий устойчивости Михайлова………………………...….59 3.6 Предельный коэффициент усиления…………………………...60 3.7 Запас устойчивости………………………………………...…….63 3.8 Устойчивость и установившаяся погрешность……………...…64 3.9 Структурная устойчивость…………………………………..….65 3.10 Контрольные вопросы…………………..……………….....…..71 Литература…………………………………………………….....…...71 4 КОРРЕКЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ………….....…......72 4.1 Корректирующие звенья………….....…...…………………...…72 4.2 ПИД-регулятор….………………………………………………..74 4.3 Контрольные вопросы…………………………………………...90 Литература……………………………..……………………………..90 5 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ……………………..………………...…..........................91 5.1 Типовые нелинейности..………….....…...……………………...92 5.2 Линеаризация нелинейных зависимостей……….......................93 5.3 Контрольные вопросы………………………………………....100 Литература……………………………..…………………………...100 6 ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ………………………………………………………….102 6.1 Методы исследования цифровых систем автоматического управления……….....……………………………………………………104 6.2 Контрольные вопросы……………………………………...…..105 Литература……………………………..…………...……………….105 ВВЕДЕНИЕ Совершенствование технологий и повышение производительности труда во всех отраслях народного хозяйства относятся к важнейшим задачам технического прогресса нашего общества. Решение этих задач возможно лишь при широком внедрении систем автоматического управления как отдельными объектами, так и производством в целом. Поэтому изучение основ теории автоматического управления (ТАУ) и регулирования (ТАР) предусматривается при подготовке выпускников практически всех инженерных специальностей. 1ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В настоящее время в науке и технике широко используется понятие управления. Под управлением понимают такую организацию того или иного процесса, которая обеспечивает достижение определенной цели на основе заданного алгоритма управления. Управление каким-либо объектом – это процесс воздействия на него с целью обеспечения требуемого течения процесса в объекте или требуемого изменения его состояния. Одной из важнейших проблем управления является получение наилучшего процесса, соответствующего назначению данного объекта. В зависимости от поставленной задачи наилучший процесс характеризуется наибольшей эффективностью, безопасностью, точностью, надежностью, быстродействием или, как правило, сочетанием этих факторов. Понятие управления связано с такими исходными понятиями, как объект управления, воздействие и цель. Объект управления (ОУ) может принадлежать как к неживой природе, в частности, быть техническим устройством (самолет, станок и т.п.), так и к живой природе (коллектив людей, животное и т.п.). Управляемой величиной (y) называют величину, характеризующую состояние объекта управления (его скорость, давление, температуру), значение которой требуется поддерживать постоянным или изменять надлежащим образом. Целенаправленное изменение режима работы объекта управления достигается воздействием на специальные каналы (входы) объекта. Эти воздействия называются управляющими. Управляющие воздействия на объект управления определяются характером поступающей информации, то есть сведениями о предполагаемом или прошедшем состоянии системы. Это в первую очередь характеристики и параметры объекта, а также данные о значениях координат, определяющих ход управляемого процесса. Определение величины и характера необходимого воздействия на объект, а также его осуществление могут выполняться человеком (самолетом управляет пилот) или специальным техническим устройством (самолетом управляет автопилот), называемым устройством управления (УУ). Системой управления (СУ) называют совокупность объекта управления и управляющего устройства, процесс взаимодействия которых приводит к выполнению поставленной цели управления. Если устройство управления функционирует без участия человека, то систему называют системой автоматического управления (САУ). Процесс управления подразумевает наличие умения и способности создать целенаправленное воздействие. Эти свойства определяют алгоритм управления. Под алгоритмом управления понимают совокупность правил, методов и способов, позволяющих синтезировать целенаправленное воздействие, если известно действительное состояние объекта управления. Блок-схему системы управления можно представить в следующем виде (рисунок 1.1). – входной сигнал; – выходной сигнал; – управляющее воздействие Рисунок 1.1 – Блок-схема системы управления Устройство управления на основе цели управления и в соответствии с алгоритмом управления вырабатывает управляющие воздействия, которые должны удовлетворять выбранному критерию управления и ограничениям, задаваемым моделью объекта управления. Качество процесса управления характеризуется тем, насколько процесс управления близок к желаемому. Количественно оно определяется критериями качества, которые выбираются в соответствии с целью управления. К ним могут относиться величина максимального отклонения управляемой величины от заданного значения, колебательность переходного процесса, его длительность и т.п. Точность управления характеризуется погрешностью системы в установившихся режимах, например, величиной установившегося отклонения управляемой величины от заданного значения по окончании переходного процесса. 1.1 Функциональная схема системы автоматического управления Функциональная схема системы автоматического управления представлена на рисунке 1.2. – входной сигнал; – сигнал рассогласования; – управляющее воздействие; – помехи; – выходной сигнал; – сигнал обратной связи; КС – командный сигнал; ЗУ – задающее устройство; УУ – устройство управления; ОУ – объект управления; ОС – элемент обратной связи Рисунок 1.2 – Функциональная схема САУ Командный сигнал, изображенный на схеме, отражает изменение цели управления (например, увеличение давления или уменьшение температуры объекта управления). Для того чтобы техническая система могла воспринять командный сигнал, используется задающее устройство (обычно типа делителя напряжения, обеспечивающего на выходе стандартное напряжение). Выходной сигнал с задающего устройства называют задающим воздействием, уставкой или входным сигналом системы управления. Сигнал поступает на вход элемента сравнения, условное изображение которого на рисунке 1.2 дано в виде круга, разделенного на секторы. На другой вход схемы сравнения подается сигнал обратной связи (как правило, с отрицательным знаком), а на выходе формируется сигнал , называемый сигналом ошибки или сигналом рассогласования, который является входным для устройства управления. Устройство управления, как правило, содержит чувствительное устройство для измерения переменных вычислительное устройство, реализующее алгоритм работы управляющего устройства при соответствующей обработке входной информации; исполнительный механизм для непосредственного управления объектом. Устройство управления на основе значения ошибки формирует такое управляющее воздействие которое при воздействии на объект управления должно обеспечить достижение цели управления, а именно – свести к нулю или к минимально допустимому значению отклонение управляемой величины от требуемого значения . Далее выходной сигнал поступает на элемент обратной связи и передается на схему сравнения. Основной задачей синтеза САУ является определение управляющего устройства в виде его математического описания для заданных объектов управления, требований к точности и качеству управления и условий работы, включая характеристики внешних воздействий, требования к надежности, весу, габаритам, потребляемой мощности и т.д. 1.2 Классификация систем управления В схеме САУ, изображенной на рисунке 1.2, на управляющее устройство поступают три вида информации: о величине , характеризующей состояние объекта, о величине , задающей цель управления, и о величине помех , нарушающих режим работы объекта. Однако существуют САУ, в которых используется лишь часть перечисленной информации. Если в процессе управления устройство управления не использует информацию об объекте управления, систему называют разомкнутой, в противном случае – замкнутой или системой с обратной связью. Возможны разомкнутые системы, в которых управляющее устройство измеряет только задающий сигнал (системы управления по задающему воздействию) или только помехи (системы управления по возмущению). Точность обеспечиваемого при этом соответствия между величинами и целиком определяется постоянством параметров системы и возмущений и никак не контролируется. Поэтому практически такие системы пригодны лишь при достаточно высокой стабильности указанных выше условий работы системы и невысоких требованиях к точности. В замкнутых системах появляется возможность оценить текущее состояние объекта управления и его отклонение от желаемого состояния, поэтому их еще называют системами управления по отклонению. Эти системы могут обеспечить принципиально неограниченную точность управления и представляют собой основной тип САУ. Частным, но широко распространенным видом систем автоматического управления являются системы автоматического регулирования, задача которых заключается в поддержании текущего значения выходной величины объекта на заданном уровне, то есть в сохранении равенства . При этом устройство управления называют регулятором, а выходную величину – регулируемой величиной. Требуемое значение регулируемой величины может быть: 1) постоянной величиной (требуемый размер детали должен быть зафиксирован); 2) заранее известной функцией времени (изменение температуры печи должно производиться по определенному закону); 3) заранее неизвестной функцией времени (угловое положение ствола зенитного орудия должно изменяться в зависимости от произвольного и заранее неизвестного положения цели). В соответствии с этим системы регулирования также подразделяют на три вида: 1) системы стабилизации; 2) системы программного управления; 3) следящие системы. Примером системы автоматического регулирования может служить автопилот, ведущий самолет по заданному курсу. В зависимости от количества выходных координат объекта управления, образующих вектор выходного сигнала , САУ делятся на одномерные и многомерные (двухмерные и т.д.). Системы автоматического управления также бывают непрерывного или дискретного действия в зависимости от характера действия составляющих систему звеньев. Непрерывная система состоит только из звеньев непрерывного действия, выходная величина которых изменяется плавно при плавном изменении входной величины. Дискретная система содержит хотя бы одно звено дискретного действия, выходная величина которого изменяется дискретно даже при плавном изменении входной величины. Скачки выходной величины могут наблюдаться либо при прохождении входной величиной определенных пороговых значений (звено релейного действия), либо через определенный интервал времени (звено импульсного действия). В соответствии с этим дискретные САУ делятся на три типа: релейные (системы с квантованием сигналов по уровню), импульсные (системы с квантованием сигналов по времени) и цифровые (с применением обоих видов квантования сигналов). Стационарными называют системы, все параметры которых неизменны во времени. Системы с переменными параметрами относятся к нестационарным системам. При математическом описании нестационарной системы некоторые коэффициенты получающегося дифференциального уравнения оказываются функциями времени. Примером нестационарной системы может служить система управления ракетой, масса которой изменяется вследствие расхода топлива. В отличие от нестационарной системы, реакция стационарной системы на одно и то же воздействие не зависит от момента приложения этого воздействия. Оптимальными называют системы, в которых обеспечено оптимальное значение какого-либо основного показателя качества работы системы – критерия оптимальности. Таким критерием может быть один из показателей качества переходных процессов (например, его длительность), а также точность, потребляемая мощность и т.п. Задача синтеза оптимальной САУ может быть решена только в том случае, когда объект является управляемым, т.е. когда существует хотя бы одно допустимое управление, переводящее объект из заданного начального в заданное конечное состояние за конечный промежуток времени. Кроме того, объект должен обладать свойством наблюдаемости, когда возможно определение его состояния по результатам измерения его координат или параметров. Адаптивными или самонастраивающимися называют системы управления, обладающие способностью приспосабливаться к изменению внешних условий работы, а также улучшать свою работу по мере накопления опыта. Обыкновенные (неадаптивные) системы такой способностью не обладают. Если вследствие какого-либо изменения условий работы обыкновенной системы ее настройку требуется изменить для того, чтобы сохранить заданное качество управления (точность или быстродействие), эту перенастройку должен сделать человек. В адаптивной системе это осуществляется автоматически самим управляющим устройством. Область применения адаптивных САУ – это управление объектами, свойства или условия работы которых недостаточно известны или существенно непостоянны. В этих обстоятельствах обыкновенная система либо будет работать неудовлетворительно, либо потребует постоянного надзора. 1.3 Режимы линейных систем автоматического управления Свойство системы изменять режим работы при отклонении ее параметров от номинальных (исходных) значений называют параметрической чувствительностью, а ее невосприимчивость к внешнему воздействию – инвариантностью. Системы автоматического управления могут находиться в одном из двух режимов – переходном и установившемся (стационарном). В установившемся режиме также выделяются два вида – статический и динамический режимы. При статическом режиме система находится в состоянии покоя вследствие того, что все внешние воздействия и параметры самой системы неизменны во времени. Динамический режим возникает, когда приложенные к системе внешние воздействия изменяются по какому-либо установившемуся закону, в результате чего система переходит в режим установившегося вынужденного движения. Динамические режимы, в свою очередь, бывают двух типов – детерминированные и случайные. При детерминированном режиме на систему действует детерминированное (регулярное) воздействие. Примером может служить установившийся гармонический режим в системе. Случайный режим является установившимся в статистическом смысле и имеет место, когда приложенные к системе воздействия представляют собой случайные функции времени. Примерами случайных воздействий являются для автопилота воздействие ветра на самолет или колебания тяги двигателя, для следящей системы радиолокационной станции сопровождения – перемещение цели. При наличии случайных воздействий на САУ ее выходная величина будет также изменяться случайным образом. Математическим аппаратом, применяемым для исследования подобных систем, является теория вероятностей, которая оперирует усредненными характеристиками, такими как среднее значение, корреляционная функция и спектральная плотность. 1.4 Контрольные вопросы 1. Сформулируйте определение процесса управления каким-либо объектом. 2. Что называют системой управления? 3. Какие элементы содержит устройство управления? 4. В чем отличие между замкнутой и разомкнутой системами управления? 5. Приведите классификацию систем автоматического регулирования. Литература 1. Шишмарев, В.Ю. Основы автоматического управления: учебное пособие / В.Ю. Шишмарев. – М.: Академия, 2008. – 348 с. 2. Софиева, Ю.Н. Основы линейной теории автоматического регулирования / Ю.Н. Софиева, В.Я. Бадеников, А.Э. Софиев. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994. – 124 с. 3. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М.: Наука, 1975. – 767 с. 4. Юревич, Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. – Л.: Энергия, 1975. – 416 с. 5. Иванов, В.А. Математические основы теории автоматического регулирования / В.А. Иванов, Б.К. Чемоданов, В.С. Медведев. – М.: Высшая школа, 1971. – 807 с. 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Особенностью современных технологических процессов любой природы является их большая сложность. Эта сложность проявляется в значительном числе параметров, определяющих течение процесса, в большом числе внутренних связей между параметрами и их взаимном влиянии. Для исследования свойств таких сложных систем широко применяют различного рода модели. 2.1 Математическое моделирование объектов управления Под моделью понимают такой материально или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал и отражает отдельные, ограниченные в нужном направлении стороны явления рассматриваемого процесса. Модели могут быть реализованы с помощью физических, реально существующих объектов (физические модели) или с помощью абстрактных объектов. Абстрактной моделью могут быть математические выражения, описывающие характеристики объекта моделирования. Таким образом, математическая модель – это приближенное отображение моделируемой системы с помощью уравнений и ограничивающих условий. Математическое описание основывается на физических, химических, энергетических и других закономерностях. Во многих случаях построение модели начинается с использования основных физических законов (законов Ньютона, Максвелла или Кирхгофа, законов сохранения энергии и импульса, законов перераспределения тепла и энтропии и т.д.) для математического описания исследуемого объекта, являющегося, например, механическим, электрическим или термодинамическим процессом. Рассмотрим примеры построения математических моделей различных объектов. Пример 1. Электрическая система представляет собой RC-схему, в которой за входное воздействие принято напряжение , а за выходной сигнал – напряжение (рисунок 2.1). Рисунок 2.1 – RC-схема Ток в цепи определяется током через конденсатор: . По закону Кирхгофа справедливо следующее соотношение: Обозначая , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка, описывающее поведение рассматриваемой электрической системы: . (2.1) Пример 2. Гидравлическая система представляет собой емкость цилиндрической формы, в которую поступает жидкость с объемной скоростью . Площадь основания емкости – , высота слоя жидкости – (рисунок 2.2). Рисунок 2.2 – Гидравлическая емкость Изменение объема жидкости в емкости определяется соотношением , где – объем жидкости. Учитывая, что объем цилиндра определяется по соотношению , уравнение, описывающее изменение уровня жидкости в рассматриваемой емкости примет вид: . (2.2) Пример 3. Гидравлическая система представляет собой емкость цилиндрической формы, в которую поступает жидкость с объемной скоростью и вытекает через отверстие в днище площадью с объемной скоростью . Площадь основания емкости – , высота слоя жидкости – (рисунок 2.3). Рисунок 2.3 – Гидравлическая емкость со стоком В данном случае изменение объема жидкости в емкости будет определяться разностью объемных скоростей подачи и истечения жидкости: . При равенстве притока и стока жидкости в системе будет наблюдаться стационарный режим, соответствующий постоянному уровню жидкости . Учтем, что скорость истечения жидкости зависит от высоты слоя жидкости в емкости по соотношению , где – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств жидкости, ускорения свободного падения и площади отверстия в днище. В итоге поведение рассматриваемой системы будет описываться нелинейным дифференциальным уравнением следующего вида: . (2.3) 2.2 Структурные схемы систем автоматического управления В общем случае порядок исследования САУ включает математическое описание системы и изучение ее переходных и установившихся режимов. Получение математической модели начинается с разбиения системы на звенья и описания этих звеньев. При рассмотрении принципа действия систем автоматического управления в п. 1.1 было дано понятие о функциональной схеме САУ (см. рисунок 1.2), где разбиение системы на звенья проводилось с учетом выполняемых ими функций, то есть с учетом их назначения. Для математического описания систему разбивают на звенья по другому принципу, а именно – исходя из удобства получения этого описания. Для этого систему следует разбить на возможно более простые звенья, обладающие свойством направленного действия. Звеном направленного действия называют звено, передающее воздействие только в одном направлении – со входа на выход, так что изменение состояния такого звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на его вход. Соответственно математическое описание всей системы в целом может быть получено как совокупность составленных независимо друг от друга уравнений или характеристик отдельных звеньев, образующих систему, дополненных уравнениями связи между звеньями. В результате разбиения САУ на звенья направленного действия и получения математического описания отдельных звеньев составляется структурная схема системы, которая и является ее математической моделью. Структурная схема САУ характеризует геометрию системы, то есть показывает, из каких элементов состоит система и как эти элементы связаны между собой. На схеме указывают прямоугольники, изображающие звенья, и пути распространения сигналов в системе в виде стрелок, соединяющих входы и выходы звеньев. Каждому звену структурной схемы придается описывающая его характеристика (передаточная функция), которая обычно записывается прямо внутри изображающего звено прямоугольника (рисунок 2.4). Рисунок 2.4 – Структурная схема САУ Получение структурной схемы является конечной целью математического описания системы автоматического управления. 2.3 Преобразование Лапласа В настоящее время под операционным исчислением понимают совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений, а также разностных и некоторых типов интегральных уравнений. Операционное исчисление нашло широкое применение в теории автоматического регулирования, где с его помощью производится анализ переходных и установившихся процессов в автоматических системах. Сущность операционного метода заключается в использовании прямого преобразовании Лапласа (ППЛ), которое некоторой функции действительной переменной ставит в соответствие функцию комплексной переменной : , (2.4) где – переменная (множитель) Лапласа. Условием существования преобразования Лапласа является сходимость интеграла в правой части равенства (2.4). Минимальное значение параметра , при котором данный интеграл сходится, носит название абсциссы сходимости. Обратное преобразование Лапласа (ОПЛ) имеет вид: . (2.5) Функция носит называние оригинала, а функция – изображения. Для пары преобразований Лапласа используется также операторная форма записи: и , где L – оператор Лапласа. Вычисление интегралов (2.4), (2.5) для некоторых видов функций может оказаться трудным или громоздким, поэтому для упрощения расчетов используют таблицы соответствий «оригинал – изображение» (таблица 1). Таблица 1 – Таблица оригиналов и их изображений ( – const) Оригинал Изображение Свойства преобразования Лапласа: 1. Изображение суммы функций равно сумме изображений отдельных функций: . 2. Временному запаздыванию функции в области оригиналов соответствует умножение ее изображения на множитель , где – время запаздывания: . 3. При нулевых начальных условиях дифференцирование в области оригиналов соответствует в области изображений умножению изображения функции на переменную Лапласа в степени, соответствующей порядку производной: при условии, что , и т.д. При ненулевых начальных условиях правило расчета изображения для производной 1-го порядка имеет вид: . 4. Интегрирование в области оригиналов соответствует делению на переменную Лапласа в области изображений: . 5. Постоянная величина выносится за знак преобразования: , где . 6. По виду изображения можно судить о начальном (при ) и предельном (при ) значениях оригинала (теоремы о начальном и конечном значениях): и . С помощью преобразования Лапласа существенно упрощается процедура решения дифференциальных или интегродифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Выделяют следующие этапы решения: 1) преобразование заданного дифференциального уравнения по Лапласу, учитывая при этом начальные условия (то есть переход из области оригиналов в область изображений); 2) решение полученного алгебраического уравнения относительно изображения; 3) переход от изображения решения к его оригиналу (например, с помощью таблиц преобразования Лапласа). Пример 4. Решить операторным методом Лапласа следующее дифференциальное уравнение (при нулевых начальных условиях): , . Выполним прямое преобразование Лапласа над исходным уравнением: . Учитывая 1-е свойство преобразования Лапласа, получим в левой части уравнения два слагаемых: . Применив 3-е и 5-е свойства к первому слагаемому в левой части уравнения и используя таблицу преобразований Лапласа для элемента в правой части уравнения, получим следующий результат: . Далее решим уравнение относительно изображения: , откуда по таблице преобразований Лапласа находим решение исходного дифференциального уравнения: . Применение преобразования Лапласа в теории автоматического управления связано с важнейшим понятием – передаточной функцией системы, относящейся к одной из основных характеристик САУ. 2.4 Основные характеристики систем автоматического управления Динамические свойства линейных звеньев и систем автоматического управления могут быть описаны уравнениями или графическими характеристиками. В теории автоматического управления применяют два типа таких характеристик – частотные и временные (переходные). Эти характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена. Имеется и обратная возможность – по экспериментально полученным характеристикам составить уравнение звена. Кроме того, с помощью этих характеристик можно определить реакцию звена на любое возмущение произвольного вида. Таким образом, частотные и временные характеристики однозначно связаны с уравнением звена и наряду с ним являются исчерпывающим описанием динамических свойств звена. К частотным характеристикам относятся передаточная функция системы и непосредственно частотная характеристика, к временным – переходная функция и импульсная характеристика. 2.4.1 Передаточная функция Рассмотрим отдельное звено САУ, на вход которого поступает воздействие , а на выходе формируется сигнал (рисунок 2.5). Рисунок 2.5 – Динамическое звено САУ Если для сигналов , существует преобразование Лапласа и , то передаточная функция звена определяется как отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях: . (2.6) Зная передаточную функцию звена и изображение входного воздействия , можно найти изображение выходного сигнала звена по соотношению: . (2.7) Далее, переходя от изображения к оригиналу , получают процесс изменения выходного сигнала звена при приложении к нему входного воздействия. Для решения аналогичной задачи при ненулевых начальных условиях сначала требуется получить выражение для изображения выходного сигнала путем преобразования по Лапласу дифференциального уравнения звена с учетом влияния начальных условий, а затем осуществить переход к оригиналу. Таким образом, передаточная функция полностью характеризует динамические свойства системы и поэтому является ее важнейшей характеристикой. Зная передаточную функцию системы, можно определить процесс изменения выходной координаты системы при наличии входного воздействия и заданных начальных условиях. Пример 5. Вывести выражение для передаточной функции звена, описываемого дифференциальным уравнением при нулевых начальных условиях: . Выполним над дифференциальным уравнением преобразование Лапласа: , откуда найдем передаточную функцию звена по соотношению (2.6): . Преобразование структурных схем САУ. Отдельные звенья САУ могут быть соединены друг с другом в различных комбинациях. Зная передаточные функции звеньев, образующих сложную систему c заданной структурной схемой, можно получить передаточную функцию системы в целом, учитывая следующие правила преобразования. 1) При последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются. В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух последовательно соединенных звеньев с известными передаточными функциями (рисунок 2.6). Рисунок 2.6 – Последовательное соединение звеньев Учитывая соотношение (2.7), запишем изображения выходных сигналов каждого из звеньев: , . По определению передаточной функции системы (пунктир на рисунке 2.6) получим: . (2.8) 2) При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются. В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух параллельно соединенных звеньев с известными передаточными функциями (рисунок 2.7). Рисунок 2.7 – Параллельное соединение звеньев Запишем изображения выходных сигналов каждого из звеньев и системы в целом (пунктир на рисунке 2.7): , , . Таким образом, передаточная функция системы определится как . (2.9) 3) Замкнутая система (система с обратной связью). Выведем выражение для передаточной функции замкнутой системы, для которой известны передаточные функции разомкнутой системы и обратной связи (рисунок 2.8). – передаточная функция разомкнутой системы; – передаточная функция обратной связи Рисунок 2.8 – Система с обратной связью Запишем изображение выходного сигнала разомкнутой системы: , где , . Осуществляя подстановку, получим: или . Обозначим передаточную функцию замкнутой системы (пунктир на рисунке 2.8) через , тогда конечная формула примет вид: . (2.10) Передаточная функция любого звена или системы в целом может быть представлена в виде отношения двух полиномов: . (2.11) Корни полинома в числителе выражения (2.11) носят название нулей передаточной функции, корни полинома в знаменателе – полюсов передаточной функции. 2.4.2 Частотная характеристика Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на его входе. Если на вход звена с передаточной функцией подано гармоническое воздействие, то по окончании переходного процесса на выходе звена будут наблюдаться гармонические колебания с той же частотой, но с измененной амплитудой и фазой. При фиксированной амплитуде входных колебаний амплитуда и фаза установившихся колебаний на выходе звена зависят от частоты колебаний. Эти зависимости определяются свойствами частотной характеристики звена, которая может быть легко получена по виду передаточной функции, полагая в ней аргумент : . (2.12) Частотную характеристику можно представить в показательном виде: , (2.13) где – амплитудная частотная характеристика (АЧХ); – фазовая частотная характеристика (ФЧХ). Амплитудная частотная характеристика звена на частоте входного сигнала представляет собой отношение амплитуды установившегося выходного гармонического сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала. Фазовая частотная характеристика звена на частоте входного сигнала показывает, на сколько выходной сигнал сдвинут по фазе (углу) относительно входного сигнала. Для частотной характеристики используется также и алгебраическая форма записи: , (2.14) где – действительная и мнимая части соответственно. Согласно выражениям (2.13), (2.14) справедлива следующая связь между приведенными характеристиками: , (2.15) . (2.16) Годографом частотной характеристики называют траекторию, которую описывает конец радиус-вектора, длина которого равна АЧХ системы, а угол поворота – ФЧХ (рисунок 2.9). Координатами годографа в комплексной плоскости являются функции при изменении аргумента в пределах . Рисунок 2.9 – Годограф инерционного звена Наиболее удобным оказывается графическое построение АЧХ и ФЧХ системы в логарифмическом масштабе. При этом вычисления, связанные с построением, сокращаются до минимума, и само построение может быть осуществлено непосредственно по виду передаточной функции. Применение метода логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) позволяет также установить характер влияния каждого из звеньев, образующих систему, на поведение системы в целом. В результате логарифмирования частотной характеристики получим: , где – логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ); – логарифмическая фазовая характеристика (ЛФХ), совпадающая с нелогарифмической фазовой характеристикой, но строящаяся в логарифмическом масштабе частоты. Логарифмическая амплитудная характеристика определяет степень усиления системой входного сигнала. При построении на графике вместо величины откладывают пропорциональную величину , что не сказывается на результатах анализа системы. Величину выражают в единицах, принятых при анализе усилительных устройств – децибелах. Бел – это единица десятичного логарифма коэффициента усиления мощности сигнала, то есть 1 бел соответствует усилению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз и т.д. Децибел равен одной десятой бела. При построении логарифмических характеристик на оси абсцисс откладывают не само значение частоты , а . В этом случае каждое очередное целое деление шкалы будет характеризовать изменение частоты в 10 раз, или, как говорят, на одну декаду (рисунок 2.10). Применяют также деление оси абсцисс на октавы, характеризующие изменение частоты в два раза. Рисунок 2.10 – Логарифмический масштаб частоты При использовании логарифмического масштаба точка, соответствующая , находится слева в бесконечности и логарифмические характеристики строят не от нулевой частоты, а от достаточно малого, но конечного значения , которое откладывается в точке пересечения координатных осей. 2.4.3 Переходная функция Переходной функцией системы называют ее отклик на входное воздействие в виде единичной ступенчатой функции, при условии, что на момент поступления воздействия система находилась в покое (что соответствует нулевым начальным условиям). Единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда, или функция включения) представляет собой воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным (рисунок 2.11). Рисунок 2.11 – Единичная ступенчатая функция Функция включения может быть описана равенством Таким образом, для переходной функции справедливо следующее соотношение: при . Выведем выражение, связывающее изображение переходной функции и передаточную функцию системы . Учитывая формулу и изображение единичной ступенчатой функции , в итоге получим: . (2.17) Используя выражение (2.17) и осуществив переход к оригиналу, можно определить переходную функцию системы с заданной передаточной функцией. Пример 6. Найти переходную функцию системы, передаточная функция которой имеет вид . Согласно выражению (2.17) изображение искомой функции определится выражением . Выполнив обратное преобразование Лапласа (например, с помощью таблицы 1), получим выражение для переходной функции системы: . 2.4.4 Импульсная характеристика Импульсной характеристикой системы называют ее отклик на входное воздействие в виде дельта-функции при условии, что на момент поступления воздействия система находилась в покое. Дельта-функция – это математическая идеализация предельно короткого импульсного сигнала. Иными словами, это импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности, площадь которого равна единице. Дельта-функция определяется следующими соотношениями: . Дельта-функция просто связана с единичной ступенчатой функцией: . (2.18) На графике дельта-функцию условно изображают в виде утолщения на оси ординат (рисунок 2.12). Рисунок 2.12 – Дельта-функция Для импульсной характеристики справедливо следующее соотношение: при . При известной импульсной характеристике системы вычислить ее реакцию на произвольное входное воздействие позволяет интеграл Дюамеля (интеграл свертки): . (2.19) Выведем выражение, связывающее изображение импульсной характеристики и передаточную функцию системы . Учитывая формулу и изображение дельта-функции , в итоге получим: . (2.20) Согласно формуле (2.18) переходная и импульсная функции связаны соотношением . (2.21) Пример 7. Найти импульсную характеристику системы, передаточная функция которой имеет вид . Согласно выражению (2.20) изображение искомой функции определится выражением . Выполнив обратное преобразование Лапласа, получим выражение для импульсной характеристики системы: . Решение возможно и при использовании выражения (2.21) и результата примера 6: . Информация о временных характеристиках системы позволяет судить о том, как будет вести себя система при подаче на ее вход постоянных или импульсных воздействий. Кроме того, их анализ может помочь при оценке устойчивости системы и в установлении типа наблюдающихся в ней режимов (апериодических или колебательных). 2.4.5 Качество переходных процессов К процессам управления в САУ предъявляются три основных требования: по точности в установившихся режимах, по устойчивости и по качеству переходных процессов. Точность и устойчивость САУ будут рассмотрены в разделе 3. Устойчивость САУ, то есть затухание переходных процессов в ней, является необходимым, но далеко не достаточным условием практической пригодности системы. Существенен еще сам характер протекания переходных процессов и, прежде всего, их длительность и колебательность. При общей характеристике качества переходных процессов в системе его обычно оценивают для единичного ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях, то есть для переходной функции. Примеры переходных характеристик колебательной и апериодической (неколебательной) систем представлены на рисунке 2.13. Рисунок 2.13 – Переходные характеристики САУ Качество переходных процессов численно характеризуют следующими показателями качества. Время переходного процесса (время регулирования) характеризует быстродействие системы и определяется как интервал времени от начала переходного процесса до момента, когда отклонение выходной величины от ее нового установившегося значения становится меньше определенной, достаточно малой величины, обычно 5 % . Статическая ошибка регулирования равна разности между установившимся значением регулируемой величины и ее требуемым значением. Динамическая ошибка регулирования определяется наибольшим отклонением регулируемой величины от ее нового установившегося значения или выражается в процентах в виде . (2.22) Величина носит название относительного перерегулирования. Колебательность переходного процесса обычно определяется числом колебаний, равным количеству минимумов кривой переходного процесса за время , или числом перерегулирований за этот же интервал. Обычно приемлемым числом колебаний в САУ считается 1, 2, однако бывают системы, в которых колебательность не допускается совсем. Количественной оценкой интенсивности затухания колебательных процессов служит степень затухания: , (2.23) для которой приемлемыми являются значения в пределах . При выборе структурной схемы и значений параметров САУ в процессе ее синтеза выполнение требований в отношении перечисленных показателей качества переходного процесса заставляет искать компромиссы в связи с противоречивостью этих требований. 2.5 Типовые звенья систем автоматического управления Характерные черты процессов управления или регулирования совершенно не зависят от физической природы регулируемой величины и аппаратуры, из которой построена система регулирования. Важен лишь характер процесса регулирования, который может быть одинаковым у регуляторов, например, напряжения и температуры, и отличным у двух регуляторов напряжения различного типа. Опыт показал, что звенья различной физической природы, имеющие различное конструктивное исполнение, могут иметь идентичный характер поведения, а значит, описываться идентичными частотными и временными функциями. С этой точки зрения все звенья в системах автоматического управления можно разбить по характеру происходящих в них процессов на несколько типов. Тип звена однозначно определяется законом, связывающим между собой сигналы на его входе и выходе . 2.5.1 Усилительное звено Усилительное звено изменяет величину передаваемого сигнала, не преобразуя характер его изменения во времени. Уравнение звена имеет следующий вид: , (2.24) где – коэффициент усиления (передачи), который может принимать как положительное, так и отрицательное действительное значение. Примерами такого звена могут служить рычажные усилители, блоки и трансформаторы. Рассчитаем основные характеристики усилительного звена. Выполним преобразование Лапласа над уравнением (2.24): , откуда получим выражение для передаточной функции: . Частотная характеристика звена примет вид . Учитывая соотношения (2.15), (2.16), выделим АЧХ и ФЧХ : , . Частотные характеристики усилительного звена представлены на рисунке 2.14. а) АЧХ; б) ФЧХ Рисунок 2.14 – Частотные характеристики усилительного звена Временные характеристики найдем с учетом выражений (2.17), (2.21). Для изображения переходной функции получим: , откуда . Для импульсной характеристики имеем . Временные характеристики усилительного звена представлены на рисунке 2.15. а) переходная функция; б) импульсная характеристика Рисунок 2.15 – Временные характеристики усилительного звена Анализ временных и частотных характеристик усилительного звена показывает, что его выходная величина копирует изменение входной величины без запаздывания или искажения, то есть в звене отсутствуют переходные процессы. Поэтому его еще называют безынерционным звеном. 2.5.2 Звено с запаздыванием Звено с запаздыванием осуществляет операцию сдвига входного сигнала на время в прошлое. Уравнение звена имеет следующий вид: , (2.25) где – время запаздывания. Выполнив преобразование Лапласа над уравнением (2.25), получим выражение для передаточной функции звена с запаздыванием: , . Частотная характеристика примет вид , откуда с учетом выражения (2.13) выделим АЧХ и ФЧХ: , . Частотные характеристики звена с запаздыванием представлены на рисунке 2.16. а) АЧХ; б) ФЧХ Рисунок 2.16 – Частотные характеристики звена с запаздыванием Временные характеристики звена с запаздыванием имеют очевидный вид , . Примерами звеньев с запаздыванием служат различные системы передачи сигналов в системах связи, материалов и энергии в системах транспортировки, в которых естественно ограничены скорости распределения и передвижения. 2.5.3 Идеальное дифференцирующее звено Идеальное дифференцирующее звено формирует на выходе сигнал, пропорциональный производной от входного сигнала. Уравнение звена имеет следующий вид: , (2.26) где – коэффициент усиления. Выполнив преобразование Лапласа над уравнением (2.26), получим выражение для передаточной функции дифференцирующего звена: , . Частотная характеристика примет вид , откуда выделим АЧХ и ФЧХ: , . Частотные характеристики дифференцирующего звена представлены на рисунке 2.17. а) АЧХ; б) ФЧХ Рисунок 2.17 – Частотные характеристики дифференцирующего звена Согласно графикам дифференцирующее звено существенно усиливает сигналы на высоких частотах и вносит опережение выходного сигнала относительно входного на угол 90о. Для переходной функции справедливы соотношения: , . Переходная функция дифференцирующего звена представлена на рисунке 2.18. Рисунок 2.18 – Переходная функция дифференцирующего звена Для импульсной характеристики имеем: . Анализ полученного результата позволяет сделать вывод о том, что для идеального дифференцирующего звена импульсная характеристика не определена. Идеальных дифференцирующих звеньев в природе не существует, поскольку не существует безынерционных систем. Их модель используется как математическая идеализация. Более реально звено, осуществляющее операцию дифференцирования приближенно. Передаточная функция реального дифференцирующего звена имеет вид: , где – коэффициент усиления; – постоянная времени. Реальное дифференцирующее звено не является типовым, поскольку его можно заменить последовательным соединением идеального дифференцирующего звена и инерционного звена 1-го порядка (п. 2.5.5). 2.5.4 Интегрирующее звено Интегрирующее звено формирует на выходе сигнал, пропорциональный интегралу от входного сигнала. Уравнение звена имеет следующий вид: , (2.27) где – коэффициент усиления. Иногда используется другая форма записи уравнения интегрирующего звена: , где – постоянная времени интегрирующего звена. Примером интегрирующего звена может служить гидравлическая емкость цилиндрической формы, в которую поступает жидкость с объемной скоростью (см. рисунок 2.2). Площадь основания емкости – , высота слоя жидкости –. Уравнение, описывающее поведение системы, имеет вид или , откуда легко найти его решение: . Полученное выражение полность совпадает с уравнением интегрирующего звена (2.27), где в качестве коэффициента усиления выступает величина, обратная площади основания емкости. Выполнив преобразование Лапласа над уравнением (2.27), получим выражение для передаточной функции интегрирующего звена: , . Частотная характеристика примет вид , откуда выделим АЧХ и ФЧХ: , . Частотные характеристики интегрирующего звена представлены на рисунке 2.19. а) АЧХ; б) ФЧХ Рисунок 2.19 – Частотные характеристики интегрирующего звена Анализ АЧХ интегрирующего звена позволяет сделать вывод о его сглаживающих (фильтрующих) свойствах. Кроме того, интегрирующее звено вносит запаздывание выходного сигнала относительно входного сигнала на угол 90о. Для переходной функции справедливы соотношения: , . Для импульсной характеристики имеем: . Временные характеристики интегрирующего звена представлены на рисунке 2.20. а) переходная функция; б) импульсная характеристика Рисунок 2.20 – Временные характеристики интегрирующего звена Из графика переходной функции видно, что при воздействии постоянного сигнала выходной сигнал интегрирующего звена стационарного значения не принимает. Такие звенья носят названия астатических. Реальные интегрирующие звенья обладают определенной инерционностью, вследствие чего осуществляемое ими интегрирование не является точным. Передаточная функция реального интегрирующего звена имеет вид , где – коэффициент усиления; – постоянная времени. Реальное интегрирующее звено можно заменить последовательным соединением двух звеньев – идеального интегрирующего и инерционного 1-го порядка. 2.5.5 Инерционное (апериодическое) звено 1-го порядка Уравнение инерционного звена 1-го порядка имеет следующий вид: , (2.28) где – коэффициент усиления; – постоянная времени, имеющая размерность времени. Примером инерционного звена может служить RC-схема (п. 2.1, пример 1), для которой , , , . Выполнив преобразование Лапласа над уравнением (2.28), получим выражение для передаточной функции инерционного звена 1-го порядка , . Частотная характеристика примет вид . (2.29) Для определения АЧХ и ФЧХ звена выделим в частотной характеристике согласно выражению (2.15) действительную и мнимую части. Для этого домножим числитель и знаменатель частотной характеристики (2.29) на величину, комплексно сопряженную выражению в знаменателе: . В итоге действительная часть частотной характеристики примет вид , а мнимая часть – . Используя правила (2.15), (2.16), определим АЧХ и ФЧХ звена: Частотные характеристики инерционного звена представлены на рисунке 2.21. а) АЧХ; б) ФЧХ Рисунок 2.21 – Частотные характеристики инерционного звена 1-го порядка Амплитудная частотная характеристика инерционного звена соответствует фильтру низких частот, а фазовый сдвиг нарастает с увеличением частоты нелинейно, стремясь к значению –90о. Рассчитаем логарифмическую амплитудную характеристику звена: . (2.30) Эта характеристика имеет две основные ветви, расположенные под некоторым углом друг к другу и представляющие собой почти прямые линии. Поэтому оказывается допустимым пользоваться приближенной характеристикой, образованной асимптотами двух основных ветвей, одна из которых соответствует низким, другая – высоким частотам. При малых значениях частоты, когда , выражение (2.30) примет вид . Таким образом, низкочастотная асимптота представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую на уровне . На больших частотах, когда , получим . В этом случае асимптота представляет собой прямую, имеющую наклон –20 дБ/дек. Это следует из того, что при увеличении частоты на декаду, то есть в 10 раз, величина уменьшается на , то есть на 20дБ: . Логарифмическая амплитудная характеристика инерционного звена 1-го порядка при представлена на рисунке 2.22. Рисунок 2.22 – Логарифмическая амплитудная характеристика инерционного звена при Обе асимптоты пересекаются в точке, соответствующей , называемой сопрягающей частотой. При согласно выражению (2.30) имеем дБ. Таким образом, максимальное расхождение между истинной и асимптотической ЛАХ оказалось равным всего 3дБ. Поэтому при практических построениях ЛАХ апериодических звеньев используют именно асимптотическую характеристику. Для переходной функции инерционного звена 1-го порядка справедливы соотношения: , . Для импульсной характеристики имеем . Временные характеристики инерционного звена представлены на рисунке 2.23. а) переходная функция; б) импульсная характеристика Рисунок 2.23 – Временные характеристики инерционного звена Величина постоянной времени определяет инерционность звена: чем она больше, тем длительнее переходный процесс в звене. Хотя теоретически время нарастания (для переходной функции) и убывания (для импульсной характеристики) експоненты равно бесконечности, практически переходный процесс считается завершенным, когда выходная величина достигает 95 % от своего установившегося значения. Для рассматриваемого звена это время равно . Действительно, например, для переходной функции получим . Значение параметра можно определить по экспериментально полученной переходной функции, если провести к ней касательную в точке . Касательная пересечет линию установившегося значения в точке, абсцисса которой будет равна постоянной времени системы (см. рисунок 2.23). Следует отметить, что изменение знака любого из элементов знаменателя передаточной функции инерционного звена 1-го порядка приведет к существенному изменению его характеристик. Звено с передаточной функцией вида носит название неустойчивого инерционного звена 1-го порядка. Свойства неустойчивых звеньев будут рассмотрены в разделе 3. 2.5.6 Колебательное звено 2-го порядка Примером колебательного звена является электрический колебательный контур (рисунок 2.24), в котором за входной сигнал принято напряжение , а за выходной сигнал – напряжение . Рисунок 2.24 – Колебательный контур Выведем уравнение звена. По закону Кирхгофа справедливо следующее соотношение: . (2.31) Ток в цепи определяется током через конденсатор и резистор: . (2.32) Выполнив подстановку выражения (2.32) в (2.31), получим: или . Для удобства введем обозначения: , . В итоге дифференциальное уравнение примет вид , (2.33) где – собственная частота колебаний; – коэффициент затухания, принимающий значения . Выполнив преобразование Лапласа над уравнением (2.33), получим выражение для передаточной функции звена: , . В общем случае передаточная функция колебательного звена 2-го порядка может содержать коэффициент усиления : . (2.34) Частотная характеристика примет вид . Перейдем к нормированной переменной и перепишем выражение для частотной характеристики: . Амплитудная и фазовая частотные характеристики звена равны соответственно: , . Их графики при различных значениях коэффициента затухания представлены на рисунке 2.25. а) АЧХ; б) ФЧХ Рисунок 2.25 – Частотные характеристики колебательного звена На графике АЧХ звена наблюдается максимум, который соответствует явлению резонанса. Значение резонансной частоты можно найти из условия , что соответствует равенству . Таким образом, получим , откуда . Анализ полученного выражения показывает, что при резонансная частота равна собственной частоте колебаний системы , а при , то есть явление резонанса уже не наблюдается. Таким образом, с увеличением резонансная частота уменьшается, смещаясь влево по оси частот до нуля. Фазовая характеристика колебательного звена отрицательна, запаздывание по фазе возрастает от 0 до 1800. Наибольшая крутизна кривой наблюдается в окрестности точки , при этом перегиб тем резче, чем меньше значение коэффициента затухания . При фазовая характеристика соответствует апериодическому звену. Переходная функция колебательного звена имеет вид , где Импульсная характеристика, соответственно, равна . Временные характеристики колебательного звена 2-го порядка представлены на рисунке 2.26. а) переходная функция; б) импульсная характеристика Рисунок 2.26 – Временные характеристики колебательного звена В данном случае наблюдаются колебательные переходные процессы с частотой , отличающейся от собственной частоты колебаний системы при , и амплитудой колебаний, убывающей пропорционально функции . С ростом значения колебательность переходных процессов будет уменьшаться, исчезая совсем при . Оценим значение 1-го максимума переходной функции, который определяет один из показателей переходного процесса колебательного звена – его перерегулирование. Время максимума найдем из условия , что соответствует равенству , откуда . Рассчитаем значение переходной функции в момент : Величина перерегулирования определяется как разность между значением 1-го максимума переходной функции и ее установившимся значением: . Наибольшее значение перерегулирования равно при , наименьшее – при , что соответствует полученным ранее результатам. Частным случаем колебательного звена 2-го порядка является консервативное звено, для которого коэффициент затухания и, следовательно, передаточная функция принимает вид . Переходная функция такого звена представляет собой незатухающие колебания. Еще одним частным случаем звена, описываемого уравнением (2.33), является звено при коэффициенте затухания , что соответствует двум действительным полюсам передаточной функции. Такое звено уже не является колебательным, для которого полюса передаточной функции образуют комплексно-сопряженную пару. Оно называется инерционным (апериодическим) звеном 2-го порядка и может быть заменено в структурной схеме двумя последовательно соединенными апериодическими звеньями 1-го порядка. Передаточная функция инерционного звена 2-го порядка может быть представлена в виде , где – постоянные времени апериодических звеньев 1-го порядка. Переходная функция для рассматриваемого звена представлена на рисунке 2.27. Рисунок 2.27 – Переходная функция инерционного звена 2-го порядка Как видно из графика, переходная функция качественно отличается от аналогичной характеристики колебательного звена (см. рисунок 2.26, а) и практически совпадает с характеристикой инерционного звена 1-го порядка (см. рисунок 2.23, а), за исключением начала переходного процесса (вблизи момента ). Последнее обстоятельство позволяет утверждать, что математическое описание апериодического звена 2-го порядка может быть приближенно заменено моделью апериодического звена 1-го порядка с запаздыванием (рисунок 2.28). Рисунок 2.28 – Переходная функция инерционного звена 1-го порядка с запаздыванием Передаточная функция звена 1-го порядка с запаздыванием при этом принимает вид , где – время запаздывания, определяемое по точке перегиба функции ; – наибольшая из постоянных времени звеньев 1-го порядка. 2.6 Контрольные вопросы 1. Что называют математической моделью объекта управления? 2. Перечислите этапы решения дифференциальных уравнений операторным методом Лапласа. 3. Какие характеристики САУ относятся к временным? 4. Поясните физический смысл амплитудной и фазовой частотных характеристик линейных САУ. 5. Перечислите типовые звенья САУ и укажите, чем определяются их свойства. Литература 1. Шишмарев, В.Ю. Основы автоматического управления: учебное пособие / В.Ю. Шишмарев. – М.: Академия, 2008. – 348 с. 2. Софиева, Ю.Н. Основы линейной теории автоматического регулирования / Ю.Н. Софиева, В.Я. Бадеников, А.Э. Софиев. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994. – 124 с. 3. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М.: Наука, 1975. – 767 с. 4. Иванов, В.А. Математические основы теории автоматического регулирования / В.А. Иванов, Б.К. Чемоданов, В.С. Медведев. – М.: Высшая школа, 1971. – 807 с. 5. Юревич, Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. – Л.: Энергия, 1975. – 416 с. 3 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 3.1 Понятие об устойчивости системы Основное условие нормального функционирования системы автоматического управления состоит в требовании устойчивости ее переходного процесса. Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный установившийся режим после выхода из него в результате какого-либо воздействия. Типичные кривые переходных процессов в устойчивой и неустойчивой системах представлены на рисунках 3.1, 3.2. а) апериодический режим; б) колебательный режим Рисунок 3.1 – Переходные процессы в устойчивых системах а) колебательный режим; б) апериодический режим Рисунок 3.2 – Переходные процессы в неустойчивых системах В случае устойчивой системы переходный процесс, вызванный каким-либо воздействием, со временем затухает (апериодически или колебательно), и система возвращается в установившееся состояние. Если система неустойчива, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс (апериодический или колебательный) выхода из исходного установившегося состояния. Неустойчивость САУ недопустима, поскольку не позволяет удовлетворительно управлять регулируемым параметром. Кроме того, неустойчивый режим часто оказывается опасным, так как может привести к преждевременному износу или повреждению системы. 3.2 Необходимое и достаточное условия устойчивости линейной системы Рассмотрим, от чего зависит устойчивость системы и чем она определяется. Для этого обратимся к уравнению движения линейной системы n-го порядка: , (3.1) где – входной и выходной сигналы системы соответственно; – постоянные величины. Уравнению (3.1) соответствует передаточная функция вида . (3.2) Решение неоднородного уравнения (3.1) состоит из двух слагаемых – частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения: . (3.3) Решение уравнения (3.3) носит название собственного решения уравнения (3.1), и именно оно определяет устойчивость линейной системы в целом. Таким образом, устойчивость линейной системы является ее внутренним свойством, не зависящим от внешних воздействий. Общее решение однородного уравнения (3.3) имеет вид , (3.4) где – постоянные величины, определяемые из начальных условий; – корни соответствующего характеристического уравнения , (3.5) которое может быть получено путем приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции системы (3.2). В общем случае корни являются комплексными, образуя сопряженные пары . Соответствующее корню слагаемое в выражении (3.4) имеет вид . Данная составляющая соответствует гармоническому колебанию с амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненциальному закону. При этом, если , составляющая будет затухать, то есть при . Наоборот, при будут наблюдаться расходящиеся колебания. Если , что соответствует чисто мнимым корням, колебания будут незатухающими. В частном случае действительного корня соответствующая ему составляющая переходного процесса представляет собой экспоненту, которая будет затухать или возрастать также в зависимости от знака . Таким образом, в общем случае переходный процесс в системе состоит из колебательных и апериодических составляющих. Каждая колебательная составляющая обязана своим появлением паре комплексных сопряженных корней, а каждая апериодическая – действительному корню. Но независимо от типа корней необходимым и достаточным условием затухания переходного процесса в целом, а значит, и устойчивости системы является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы, то есть всех полюсов ее передаточной функции. Наличие пары чисто мнимых корней соответствует граничному случаю между устойчивостью и неустойчивостью – система при этом находится на границе устойчивости. Такой режим так же неработоспособен, как и неустойчивый. Необходимым условием устойчивости системы является строгая положительность коэффициентов характеристического уравнения (при условии, что , чего всегда можно добиться умножением уравнения на ). Если хотя бы один из коэффициентов характеристического уравнения будет отрицателен или равен нулю, система однозначно будет являться неустойчивой. Однако положительность всех коэффициентов характеристического уравнения еще не гарантирует устойчивости этой системы. Необходимое условие устойчивости является и достаточным условием только для систем 1-го и 2-го порядков. Уже для систем 3-го порядка оно недостаточно. Для суждения об устойчивости системы нет необходимости каждый раз находить корни ее характеристического уравнения. Это связано с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней, а тем самым и об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти признаки называют критериями устойчивости. Существуют три основных критерия устойчивости: алгебраический критерий Рауса–Гурвица и частотные критерии Найквиста и Михайлова. 3.3 Критерий устойчивости Рауса–Гурвица Английским математиком Е. Раусом и швейцарским математиком А. Гурвицем в конце XIX века были предложены правила, соблюдение которых является необходимым и достаточным условием устойчивости системы. По критерию Рауса–Гурвица условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты характеристического уравнения (3.5) рассматриваемой системы -го порядка. Для этого строится матрица Гурвица, содержащая строк и столбцов: . (3.6) В первый столбец матрицы вписываются все нечетные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с , после чего столбец заполняется нулями до положенного числа элементов. Затем каждая строка матрицы дописывается последовательно коэффициентами с убывающими номерами вплоть до , после чего оставшиеся элементы вновь заполняются нулями. Критерий устойчивости Рауса – Гурвица формулируется следующим образом: для того чтобы рассматриваемая система -го порядка являлась устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы диагональные миноры матрицы Гурвица до -го порядка включительно были строго положительны. Минор 1-го порядка совпадает с коэффициентом : . Строгая положительность минора 2-го порядка определяет условие устойчивости системы 3-го порядка: . Минор 3-го порядка имеет вид: . Очевидно, что условия устойчивости, вытекающие из критерия Рауса–Гурвица, усложняются с ростом порядка системы. Поэтому данный критерий применяют только для систем невысокого порядка, как правило, не выше четвертого. Пример 8. Используя критерий Рауса–Гурвица, определить устойчивость системы, характеристическое уравнение которой имеет следующий вид: . Прежде всего проверим выполнимость необходимого условия устойчивости. Для этого выпишем коэффициенты характеристического уравнения и проанализируем их: ; ; ; ; . Все коэффициенты строго положительны (необходимое условие устойчивости выполнено), однако для системы 4-го порядка этого не достаточно. Строим матрицу Гурвица: . Далее проверяем знаки диагональных миноров до 3-го порядка включительно: , , . Все миноры строго положительны, из чего делаем вывод, что рассматриваемая система устойчива. 3.4 Критерий устойчивости Найквиста Замыкание системы регулирования может существенно изменить ее свойства, в том числе и устойчивость. Практика конструирования и создания радиотехнических устройств с обратной связью показала способность последних к самовозбуждению на различных частотах. Например, усилитель при определенных условиях мог приобрести свойства генератора гармонических колебаний некоторой частоты с возрастающей амплитудой. Возник вопрос об оценке устойчивости таких систем. В 1932 г. американский ученый Г. Найквист вывел критерий, который дает необходимые и достаточные условия устойчивости систем с обратной связью. Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по характеристике (годографу) разомкнутой системы. Пусть – передаточная функция разомкнутой системы -го порядка, для которой граница устойчивости определятся точкой с координатами . Тогда для замкнутой системы с передаточной функцией точка границы устойчивости сместится по оси абсцисс влево на единицу и ее координатами будут . Для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста формулируется следующим образом: для того чтобы устойчивая разомкнутая система оставалась устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф комплексной частотной характеристики разомкнутой системы не охватывал точку с координатами при изменении частоты в пределах . Термин «не охватывает точку» означает, что приращение угла поворота вектора, проведенного из точки с координатами к годографу, при изменении частоты в указанных пределах принимает нулевое значение . В противном случае, если , считают, что годограф точку охватывает. Годограф Найквиста для различных типов разомкнутых систем представлен на рисунке 3.3. а) замкнутая система устойчива; б) замкнутая система неустойчива Рисунок 3.3 – Годограф Найквиста устойчивой разомкнутой системы В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости замкнутой системы можно судить не только по годографу, но и совместно по АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Устойчивость будет иметь место, если при граничной частоте, на которой абсолютное значение фазы разомкнутой системы равно , амплитудная частотная характеристика будет меньше единицы: при . Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста формулируется иначе: для того чтобы разомкнутая система, имеющая неустойчивых полюсов, являлась устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф комплексной частотной характеристики разомкнутой системы охватывал точку с координатами на угол при изменении частоты в пределах . Годограф Найквиста разомкнутой системы при двух неустойчивых полюсах представлен на рисунке 3.4. Рисунок 3.4 – Годограф Найквиста неустойчивой разомкнутой системы , соответствующий устойчивой замкнутой системе Из критерия Найквиста следует, что нахождение замкнутой системы на границе устойчивости соответствует прохождению годографа разомкнутой системы через точку с координатами . 3.5 Критерий устойчивости Михайлова Графический критерий, предложенный в 1938 г. советским ученым А.В. Михайловым, позволяет оценивать устойчивость замкнутой системы на основании годографа функции, полученной по виду характеристического уравнения . Обозначим левую часть этого уравнения через и перейдем к частотной переменной, осуществив замену . В результате получим комплексную функцию , (3.7) где – действительная часть, полученная из членов , содержащих четные степени ; – мнимая часть, полученная из членов с нечетными степенями . Изображение функции (3.7) в комплексной плоскости при изменении частоты в пределах носит название годографа Михайлова. Критерий Михайлова формулируется следующим образом: для устойчивости замкнутой системы -го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь на положительной полуоси, последовательно проходил в положительном направлении (против часовой стрелки)квадрантов комплексной плоскости. Годограф Михайлова для различных типов систем представлен на рисунке 3.5. а) устойчивые системы; б) неустойчивая система Рисунок 3.5 – Годограф Михайлова Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа Михайлова через начало координат (рисунок 3.6). Рисунок 3.6 – Система на границе устойчивости Следствием из критерия Михайлова является утверждение, что для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни действительной и мнимой частей функции чередовались с ростом частоты, начиная с , а их общее число было равно порядку системы. 3.6 Предельный коэффициент усиления Построение годографа Михайлова осуществляется по виду левой части характеристического уравнения замкнутой системы, величина свободного коэффициента которого определяет начальную точку годографа при значении . В этот свободный коэффициент всегда входит коэффициент усиления системы . При увеличении значения соответствующим образом увеличивается абсцисса каждой точки годографа Михайлова, и вся кривая смещается вправо. При некотором значении годограф может переместиться на столько, что пройдет через начало координат, и условие устойчивости системы будет нарушено. Значение коэффициента усиления системы, при котором она находится на границе устойчивости, называют предельным (критическим) коэффициентом усиления . При уменьшении коэффициента усиления неустойчивой системы до величины, меньшей предельного значения, система становится устойчивой. Пример 9. Используя частотные критерии устойчивости, определить предельный коэффициент усиления системы, структурная схема которой представлена на рисунке 3.7: Рисунок 3.7 – Структурная схема системы а) По критерию Найквиста необходимо рассчитать амплитудную и фазовую частотные характеристики разомкнутой системы: , , где – АЧХ инерционного звена 1-го порядка (п. 2.5.5); – ФЧХ инерционного звена 1-го порядка; – номер звена в системе. Таким образом, для разомкнутой системы получим , , где – общий коэффициент усиления системы. Нахождение системы на границе устойчивости соответствует прохождению годографа Найквиста через точку с координатами . Это означает, что при граничной частоте, на которой абсолютное значение фазы разомкнутой системы равно , амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы должна быть равна единице: , откуда . В результате получим , откуда . б) По критерию Михайлова необходимо получить характеристическое уравнение замкнутой системы. Для этого сначала рассчитаем ее передаточную функцию . Характеристическое уравнение примет вид . Далее осуществим переход к частотной переменной, используя замену: . Выделим в левой части получившегося уравнения действительную и мнимую части: , . Далее найдем их положительные корни: , откуда . , откуда , . По критерию Михайлова для устойчивости системы необходимо, чтобы корни функций и чередовались с ростом частоты, начиная с , то есть должны выполняться неравенства . Поскольку , неравенство будет выполнено для любого положительного значения , поэтому для устойчивости системы необходимо, чтобы . Очевидно, что режим границы устойчивости будет соответствовать равенству : , откуда . 3.7 Запас устойчивости В условиях эксплуатации параметры системы автоматического управления могут изменяться в определенных пределах по различным причинам, например, вследствие старения, температурных колебаний и т.п. Колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Совокупность значений параметров системы, при которых система остается устойчивой, называют областью устойчивости системы. Совокупность значений параметров, при которых совершается переход из области устойчивости в область неустойчивости, и наоборот, называют границей области устойчивости. При проектировании системы управления необходимо не только обеспечить ее устойчивость, но и выбрать ее параметры достаточно далеко от границы области устойчивости. Для суждения о степени близости системы к границе области устойчивости используют понятие запаса устойчивости. В случае применения критерия Рауса–Гурвица о запасе устойчивости можно судить по тому запасу, с которым выполняются входящие в этот критерий неравенства. При использовании частотных критериев запас устойчивости определяется удаленностью соответствующих характеристик от критического положения, при котором система находится на границе устойчивости. Для критерия Найквиста это – удаленность годографа разомкнутой системы от точки с координатами , а для критерия Михайлова – удаленность годографа замкнутой системы от начала координат. Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости применительно к критерию Найквиста получили две величины – запас устойчивости по амплитуде (по коэффициенту усиления) и запас устойчивости по фазе . Запас устойчивости по амплитуде определяется расстоянием от критической точки с координатами до точки пересечения годографом оси абсцисс (рисунок 3.8). Этот параметр гарантирует сохранение устойчивости замкнутой системы, не смотря на непредвиденные изменения коэффициента усиления разомкнутой системы. Запас устойчивости по фазе определяется углом между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с окружностью единичного радиуса (см. рисунок 3.8). Он гарантирует сохранение устойчивости, несмотря на наличие, например, «паразитных» запаздываний, которые не учтены в системе. Рисунок 3.8 – Запас устойчивости по амплитуде и по фазе При проектировании САУ рекомендуется выбирать и дБ. Последнее соответствует примерно двойному запасу устойчивости по коэффициенту усиления (относительно его предельного значения). 3.8 Устойчивость и установившаяся погрешность К системе автоматического управления прежде всего предъявляются требования устойчивости ее переходного процесса, но не менее важным является требование к ее точности, то есть к малому значению ошибки в установившемся режиме. Эти два требования находятся в тесной связи друг с другом. Для иллюстрации сказанного проанализируем работу системы автоматического управления, передаточная функция которой имеет вид (пример 9, рисунок 3.7) . Подадим на вход системы единичный ступенчатый сигнал , и рассчитаем значение ошибки в установившемся состоянии по соотношению . Для определения выходного сигнала воспользуемся теоремой о конечных значениях (п. 2.3): откуда окончательно получим . (3.8) Из формулы (3.8) видно, что для уменьшения установившейся ошибки необходимо сделать коэффициент усиления системы как можно большим. Например, чтобы получить , требуется выбрать . Однако в примере 9 для рассматриваемой системы был рассчитан предельный коэффициент усиления , превышение которого однозначно приведет к потере устойчивости системы. Таким образом, существует конфликт между требованием устойчивости и высокой точности рассматриваемой системы. Разрешение этого конфликта – одна из основных задач при конструировании САУ. В рассмотренном примере проблему можно устранить путем разнесения постоянных времени отдельных звеньев за счет введения корректирующих или дополнительных звеньев (раздел 4). 3.9 Структурная устойчивость Пусть какая-либо система задана своей структурной схемой, то есть известно, из каких звеньев она состоит и какого рода связи осуществляются между звеньями. Совокупность положительных числовых значений всех постоянных времени и иных коэффициентов, которые необходимо знать для получения коэффициентов характеристического уравнения, носит название параметров системы. Изменение отличных от нуля параметров системы не вызывает изменения ее структурной схемы. В ряде случаев оказывается, что система неустойчива при любых значениях своих параметров, и добиться ее устойчивости можно только путем изменения структурной схемы. Такие системы называют структурно неустойчивыми, в отличие от структурно устойчивых систем, которые могут быть сделаны устойчивыми простым выбором соответствующих параметров. Таким образом, САУ может быть неустойчива по двум причинам: либо неподходящий состав динамических звеньев (структурно неустойчивая САУ), либо неподходящие значения параметров звеньев (структурно устойчивая САУ). Структурно неустойчивую систему можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья или с помощью местных обратных связей. Основные результаты по структурной устойчивости линейных систем были получены М.А. Айзерманом и сформулированы им в виде двух теорем. Для их рассмотрения введем понятия оператора воздействия и собственного оператора системы. Вспомним, что в общем виде передаточная функция любой системы может быть представлена в виде отношения двух полиномов (п. 2.4.1): или , где – оператор воздействия системы; – собственный оператор системы. С другой стороны, известно, что передаточная функция определяется через изображения Лапласа выходного и входного сигналов системы по формуле . Поэтому справедливым оказывается соотношение , откуда ясен смысл названия операторов и . Первая теорема Айзермана сформулирована для замкнутых систем -го порядка, характеристическое уравнение которых имеет вид , где , ; – постоянные коэффициенты усиления отдельных звеньев системы; – собственные операторы звеньев. Теорема Айзермана гласит, что для структурной устойчивости рассматриваемых систем необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих неравенств: (3.9) где – количество интегрирующих звеньев; – количество неустойчивых инерционных звеньев; – количество консервативных звеньев. Таким образом, система не должна одновременно содержать более одного интегрирующего и одного неустойчивого звеньев. Кроме того, для системы с одним консервативным звеном можно добиться устойчивости лишь в том случае, когда ее порядок выше 4, с двумя консервативными звеньями – выше 8 и т.д. Второе из неравенств (3.9) выполняется практически всегда, поскольку число консервативных звеньев мало. Чаще всего они отсутствуют. Убедимся в справедливости 1-й теоремы Айзермана на конкретных примерах. Пример 10. Проверить на структурную устойчивость замкнутую систему в составе неустойчивого инерционного звена (рисунок 3.9). Рисунок 3.9 – Замкнутая система в составе неустойчивого звена Рассчитаем передаточную функцию системы: , откуда характеристическое уравнение примет вид . Система имеет 1-й порядок, поэтому для ее устойчивости достаточно обеспечить строгую положительность коэффициентов характеристического уравнения , . Выполнение 1-го неравенства очевидно, поскольку постоянная времени может принимать только положительные значения. Для выполнения 2-го неравенства необходимо, чтобы значение коэффициента усиления было выбрано из условия . Таким образом, найдено такое сочетание значений параметров системы , при котором достигается ее устойчивость. Это означает, что данная система структурно устойчива. Тот же результат можно получить и по теореме Айзермана: откуда следует, что условия (3.9) теоремы выполнены и система действительно является структурно устойчивой. Пример 11. Проверить на структурную устойчивость замкнутую систему в составе интегрирующего и неустойчивого звеньев (рисунок 3.10). Рисунок 3.10 – Замкнутая система в составе неустойчивого и интегрирующего звеньев Рассчитаем передаточную функцию системы: , откуда характеристическое уравнение, имеющее 2-й порядок, примет вид . Выпишем коэффициенты уравнения , , . Для устойчивости системы 2-го порядка достаточно обеспечить строгую положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Для коэффициентов , это легко обеспечить за счет соответствующего выбора значений параметров системы . На значение коэффициента изменение параметров системы никакого влияния не окажет, поскольку он равен постоянной величине и от них не зависит. Таким образом, условию устойчивости рассматриваемой системы удовлетворить невозможно ни при каких значениях параметров системы. Следовательно, данная система структурно неустойчива. По теореме Айзермана имеем откуда следует, что 1-е из условий (3.9) теоремы не выполнено и система действительно является структурно неустойчивой. Вторая теорема Айзермана сформулирована для замкнутых систем -го порядка, характеристическое уравнение которых имеет вид , где ; ; – операторы воздействия отдельных звеньев системы. Звено с передаточной функцией вида носит название идеального форсирующего (упреждающего) звена или звена с воздействием по 1-й производной. Основной вывод из 2-й теоремы Айзермана состоит в том, что наличие в системе звеньев с воздействием по производной облегчает достижение ее структурной устойчивости. Пример 12. Проверить на структурную устойчивость замкнутую систему в составе интегрирующего, неустойчивого и форсирующего звеньев (рисунок 3.11). Рисунок 3.11 – Система с воздействием по производной Рассчитаем передаточную функцию системы: , откуда характеристическое уравнение, имеющее 2-й порядок, примет вид . Выпишем коэффициенты уравнения: , , . Для устойчивости системы 2-го порядка достаточно обеспечить строгую положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Для коэффициентов , это можно обеспечить за счет соответствующего выбора значений параметров системы . Положительность коэффициента возможна лишь при выполнении условия , откуда следует, что параметр форсирующего звена должен быть выбран в виде . Это означает, что подбором значений параметров звеньев можно добиться устойчивости рассматриваемой системы, поэтому она структурно устойчива. Таким образом, действительно наличие звена с воздействием по 1-й производной обеспечило структурную устойчивость системы, в составе которой имелись интегрирующее и неустойчивое звенья . 3.10 Контрольные вопросы 1. Сформулируйте необходимое и достаточное условия устойчивости линейной САУ. 2. Поясните способ получения характеристического уравнения системы. 3. Сформулируйте алгебраический критерий устойчивости линейной САУ. 4. Как оценить устойчивость замкнутой системы без графического построения годографа разомкнутой системы? 5. В чем отличия между структурно устойчивой и структурно неустойчивой системами? Литература 1. Шишмарев, В.Ю. Основы автоматического управления: учебное пособие / В.Ю. Шишмарев. – М.: Академия, 2008. – 348 с. 2. Софиева, Ю.Н. Основы линейной теории автоматического регулирования / Ю.Н. Софиева, В.Я. Бадеников, А.Э. Софиев. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994. – 124 с. 3. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М.: Наука, 1975. – 767 с. 4. Иванов, В.А. Математические основы теории автоматического регулирования / В.А. Иванов, Б.К. Чемоданов, В.С. Медведев. – М.: Высшая школа, 1971. – 807 с. 5. Юревич, Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. – Л.: Энергия, 1975. – 416 с. 4 КОРРЕКЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Коррекция динамических свойств САУ осуществляется для выполнения рассмотренных ранее требований по точности, устойчивости и качеству переходных процессов. 4.1 Корректирующие звенья Коррекция проводится с помощью введения в систему специальных корректирующих звеньев с особо подобранной передаточной функцией. Принципиально корректирующие звенья могут включаться либо последовательно с корректируемым звеном , либо параллельно ему с образованием местной обратной связи (рисунок 4.1). В соответствии со способом включения корректирующие звенья делятся на последовательные и параллельные . Следует отметить, что при параллельной коррекции основное применение получил именно вариант обратной (отрицательной) связи, а не прямого включения. а) последовательное включение б) параллельное включение Рисунок 4.1 – Способы включения корректирующих звеньев в систему Корректирующие обратные связи, помимо классификации на отрицательные и положительные, делятся на жесткие и гибкие. Идеальная жесткая обратная связь осуществляется усилительным звеном с передаточной функцией , идеальная гибкая обратная связь – дифференцирующим звеном с передаточной функцией , реальная гибкая обратная связь – реальным дифференцирующим звеном с передаточной функцией . В линейных системах оба рассмотренных типа коррекции (последовательный и параллельный) эквивалентны, то есть последовательное звено может быть заменено параллельным и, наоборот, при сохранении неизменными динамических свойств САУ. Приравняем результирующие передаточные функции, полученные при использовании обоих типов коррекции: . Отсюда, например, вытекает следующее выражения для передаточной функций последовательного корректирующего звена, эквивалентного данной обратной связи: . (4.1) Рассмотрим примеры коррекции свойств САУ. Пример 13. Охватим жесткой обратной связью интегрирующее звено в составе некоторой САУ (рисунок 4.2). Рисунок 4.2 – Коррекция свойств интегрирующего звена В результате коррекции передаточная функция звена примет вид , где , . Таким образом, получен важный результат – при охвате интегрирующего звена жесткой обратной связью оно преобразуется в инерционное звено 1-го порядка. Такой прием широко используют для снижения порядка астатизма (количества интегрирующих звеньев) системы и, соответственно, для улучшения ее устойчивости и качества переходных процессов. С этой целью жесткой обратной связью охватывают, например, электрические и гидравлические двигатели, используемые в качестве исполнительных звеньев управляющих устройств для перемещения органов управления объектами. Без обратной связи эти двигатели представляют собой интегрирующие звенья. Пример 14. Охватим жесткой обратной связью инерционное звено 1-го порядка в составе некоторой САУ (рисунок 4.3). Рисунок 4.3 – Коррекция свойств апериодического звена В результате коррекции передаточная функция звена примет вид , где , , . Таким образом, в результате охвата апериодического звена жесткой обратной связью его параметры (коэффициент усиления и постоянная времени) изменяются в раз. Уменьшение постоянной времени приводит к ускорению переходных процессов в звене, то есть снижает инерционность или, что равносильно, увеличивает быстродействие. Передаточная функция эквивалентного последовательного корректирующего звена, согласно выражению (4.1), должна иметь вид , где , , . Анализ полученного выражения позволяет утверждать, что при последовательной коррекции в рассматриваемом случае необходимо использовать каскадное включение идеального форсирующего звена с параметром и инерционного звена 1-го порядка с параметрами , . 4.2 ПИД-регулятор Изменение свойств САУ путем введения корректирующих звеньев возможно, если известны характеристики элементов системы, подлежащие коррекции. Однако практика конструирования САУ различного назначения позволила найти общие принципы управления, применение которых обеспечивает требуемые качества САУ даже в отсутствие полной информации о свойствах системы. Одним из самых распространенных классов САУ являются системы автоматического регулирования, задача которых заключается в поддержании текущего значения выходной величины объекта на заданном уровне. Устройство управления, которое в этом случае называют регулятором, формирует управляющее воздействие в соответствии с некоторым алгоритмом. Наибольшее применение в системах управления по отклонению получил алгоритм, носящий название пропорционально-интегро-дифференцирующего закона регулирования: , (4.2) где – сигнал ошибки (рассогласования); – коэффициент усиления пропорциональной части управления; – коэффициент усиления интегральной части управления; – коэффициент усиления дифференциальной части управления; – время регулирования. В системах автоматического регулирования в зависимости от вида используемой коррекции регуляторы классифицируются на следующие типы: пропорциональный (П), интегрирующий (И), пропорционально-интегрирующий (ПИ), пропорционально-дифференциру-ющий (ПД) и пропорционально-интегро-дифференцирующий (ПИД) регуляторы. Соответственно говорят об одноименных алгоритмах или законах регулирования. Таким образом, САР можно рассматривать, как систему с отрицательной обратной связью, для улучшения характеристик которой применяют последовательное корректирующее звено в виде ПИД-регулятора или его вариантов (рисунок 4.4). Рисунок 4.4 – ПИД-регулятор в составе САР Оценим влияние отдельных составляющих ПИД-закона регулирования на точность, устойчивость и быстродействие систем. 4.2.1 Пропорциональный регулятор Выходной сигнал П-регулятора пропорционален сигналу ошибки , откуда передаточная функция равна коэффициенту усиления . (4.3) Для анализа системы в качестве объекта управления выберем инерционное звено 1-го порядка . Передаточная функция замкнутой системы с единичной обратной связью примет вид , где , . Для проверки системы на точность подадим на ее вход ступенчатый сигнал и рассчитаем значение ошибки в установившемся состоянии по соотношению . Для определения выходного сигнала воспользуемся теоремой о конечных значениях: откуда окончательно получим . (4.4) Из данной формулы видно, что для уменьшения установившейся ошибки необходимо выбрать коэффициент усиления регулятора как можно большим. Однако в реальных системах является величиной ограниченной, поэтому добиться с помощью пропорционального регулятора абсолютной точности, когда , невозможно. Передаточная функция рассматриваемой системы соответствует инерционному звену 1-го порядка. Это означает, что П-регулятор не изменил тип и не повысил порядок системы, то есть не повлиял на устойчивость. Влияние П-регулятора на быстродействие системы оценим по величине постоянной времени . Очевидно, что с ростом значения инерционность системы снижается. Таким образом, пропорциональный регулятор обеспечивает невысокую точность, повышает быстродействие и не влияет на устойчивость системы. 4.2.2 Интегрирующий регулятор Выходной сигнал И-регулятора пропорционален интегралу от сигнала ошибки , а передаточная функция равна . (4.5) Для анализа системы в качестве объекта управления вновь выберем инерционное звено 1-го порядка , тогда передаточная функция замкнутой системы с единичной обратной связью примет вид . Для проверки системы на точность подадим на ее вход ступенчатый сигнал и рассчитаем значение установившейся ошибки , где . Окончательно получим . Это означает, что И-регулятор обеспечивает абсолютную точность системы, делая ее астатической. Для анализа устойчивости системы рассмотрим ее характеристическое уравнение , где . Порядок системы увеличился до 2-го, однако коэффициенты характеристического уравнения остались строго положительными, что достаточно для устойчивости. С увеличением коэффициента усиления регулятора дискриминант характеристического уравнения может стать отрицательным , в результате чего его корни примут комплексный сопряженный вид, что соответствует затухающим колебательным режимам в системе. Таким образом, И-регулятор увеличил порядок системы и в принципе может изменить тип переходных процессов. В рассматриваемом примере это не привело к потере устойчивости, однако с увеличением порядка объекта управления это вполне возможно. Влияние И-регулятора на быстродействие системы рассмотрим на примере усилителя, который относится к безынерционным звеньям: . Передаточная функция замкнутой системы с единичной обратной связью уже будет соответствовать инерционному звену 1-го порядка , где . Очевидно, что И-регулятор замедляет переходные процессы. Итак, интегрирующий регулятор обеспечивает абсолютную точность системы, но отрицательно влияет на устойчивость системы и снижает ее быстродействие. 4.2.3 Дифференцирующий регулятор Выясним причину, по которой не используется в чистом виде управляющее воздействие, пропорциональное скорости рассогласования: , . (4.6) Выберем в качестве объекта управления инерционное звено 1-го порядка и рассчитаем переходную характеристику системы регулирования, передаточная функция которой примет вид , где , . Учитывая связь , получим: , откуда . В установившемся режиме при входном сигнале реакция системы будет убывать до нуля , а ошибка будет максимальна . Полученные результаты объясняют причину, по которой отдельно дифференциальная составляющая управления не применяется – система автоматического управления при этом не выполняет своих функций слежения или стабилизации. 4.2.4 Пропорционально-дифференцирующий регулятор В соответствии с названием выходной сигнал ПД-регулятора содержит две составляющие – пропорциональную входной величине (рассогласованию) и ее первой производной: , а передаточная функция равна . (4.7) Для анализа системы в качестве объекта управления выберем инерционное звено 1-го порядка , при этом передаточная функция замкнутой системы с единичной обратной связью примет вид , где , . Для проверки системы на точность подадим на ее вход ступенчатый сигнал и рассчитаем значение ошибки в установившемся состоянии по соотношению . Для определения выходного сигнала воспользуемся теоремой о конечных значениях: , откуда окончательно получим . Данная формула полностью совпадает с аналогичным выражением (4.4) для П-регулятора, то есть дифференциальная составляющая управления влияние на точность системы не оказывает. Таким образом, добиться с помощью ПД-регулятора абсолютной точности системы, когда , невозможно. Передаточная функция ПД-регулятора соответствует идеальному форсирующему звену (с воздействием по 1-й производной). Согласно 2-й теореме Айзермана (п. 3.9) наличие таких звеньев в системе благоприятно сказывается на ее структурной устойчивости. Существуют пропорционально-дифференцирующие звенья, дающие на выходе составляющую, пропорциональную второй производной и выше. Обычно их получают последовательным включением двух и более звеньев с передаточной функцией вида (4.7). Введение дополнительных воздействий по производным до ()-го порядка позволяет добиться структурной устойчивости для систем с астатизмом порядка . Практика показала, что при использовании ПД-регулятора также снижается колебательность САУ, то есть происходит демпфирование колебаний переходного процесса в системе. Для оценки быстродействия системы с ПД-регулятором рассчитаем ее переходную функцию , откуда , где , . Переходная функция рассматриваемой системы и ее составляющие представлены на рисунке 4.5. Рисунок 4.5 – Переходная функция САУ с ПД-регулятором Из графиков видно, что ПД-регулятор уменьшает рассогласование в начале переходного процесса системы, тем самым снижая его длительность. В итоге можно сделать вывод, что пропорционально-дифференцирующий регулятор обеспечивает невысокую точность, повышает быстродействие системы и положительно влияет на ее устойчивость. 4.2.5 Пропорционально-интегрирующий регулятор Выходной сигнал ПИ-регулятора содержит две составляющие: , или в иной форме записи , где – постоянная (время) интегрирования. При подаче на вход регулятора постоянного рассогласования сигнал на его выходе будет изменяться по следующему закону: . Таким образом, постоянная интегрирования определяет промежуток времени, в течение которого выходной сигнал регулятора изменяется от своего начального значения, равного, на величину, равную входному сигналу (рисунок 4.6): при . Рисунок 4.6 – Определение постоянной интегрирования Передаточная функция ПИ-регулятора равна , (4.8) откуда видно, что регулятор имеет два параметра настройки – , не связанных между собой. На практике широко используется ПИ-регулятор в изодромном исполнении, для которого выходной сигнал определяется соотношением , где – постоянная (время) изодрома. При такой структуре изменение параметра настройки пропорциональной части управления повлияет и на интегральную часть, изменив постоянную интегрирования: . При подаче на вход регулятора постоянного рассогласования сигнал на его выходе будет изменяться по закону . Таким образом, постоянная изодрома определяет промежуток времени, в течение которого выходной сигнал регулятора удваивается (рисунок 4.7): при . Рисунок 4.7 – Определение постоянной изодрома Передаточная функция изодромного ПИ-регулятора имеет вид . (4.9) Учитывая структуру пропорционально-интегрирующего регулятора можно утверждать, что он сочетает в себе высокую точность интегрального управления с высоким быстродействием пропорционального управления, однако вносит астатизм в систему, что отрицательно влияет на ее устойчивость. 4.2.6 Пропорционально-интегро-дифференцирующий регулятор Выходной сигнал ПИД-регулятора формируется в виде , где – невзаимосвязанные параметры настройки. Выведем выражение для передаточной функции ПИД-регулятора, для чего осуществим преобразование Лапласа над его уравнением: , откуда . (4.10) Передаточная функция ПИД-регулятора состоит из 3-х слагаемых, что соответствует параллельному включению трех звенев – усилительного, интегрирующего и идеального дифференцирующего. ПИД-регулятор с взаимосвязанными параметрами настройки описывается выражением , где – время изодрома; – время предварения. ПИД-регулятор обеспечивает более сильную коррекцию динамических свойств САУ, сочетая в себе характеристики ранее рассмотренных регуляторов. 4.2.7 Дискретный ПИД-регулятор Применение цифровой вычислительной техники в системах автоматического управления позволяет заменить непрерывные регуляторы цифровыми. При этом сигналы поступают в систему регулирования в дискретные моменты времени с некоторым интервалом . Поскольку число разрядов представления этих сигналов в ЦВМ ограничено, они дискретны также и по уровню. Однако переход к дискретным сигналам, как правило, не вносит значительных изменений в расчет систем регулирования, поскольку точность представления сигналов в цифровой форме обычно гораздо больше точности измерительных устройств. Что же касается дискретизации по времени, то ввиду большой инерционности технологических процессов шаг дискретизации для них оказывается настолько мал, что характеристики систем с непрерывным и дискретным регуляторами практически не отличаются. Дискретная система характеризуется в динамике разностным уравнением, устанавливающим связь между двумя дискретными функциями в рекуррентной форме. Один из способов построения разностных уравнений состоит в дискретизации интегро-дифференциальных уравнений. При этом интегралы заменяются суммами (например, по методу прямоугольников или трапеций), а производные – конечными разностями на основе следующих соотношений (таблица 2). Таблица 2 – Соответствие производных и конечных разностей Непрерывная функция Дискретная функция Производная 1-го порядка: Разность 1-го порядка: Производная 2-го порядка: Разность 2-го порядка: Простейший способ получения дискретного алгоритма управления по ПИД-закону состоит в переходе от уравнения непрерывного регулятора к разностному уравнению. При интегрировании по методу прямоугольника получим , (4.11) где . В выражении (4.11) для формирования суммы необходимо помнить все предыдущие значения сигнала ошибки , что неудобно при реализации на ЭВМ. Кроме того, значение управляющего сигнала на каждом шаге вычисляется заново, что является основанием для названия данного нерекуррентного алгоритма позиционным. Позиционный алгоритм можно преобразовать в рекуррентный, по которому текущее значение управления вычисляется как сумма предыдущего значения и некоторой поправки: , (4.12) где – поправка. Для определения достаточно из уравнения (4.11) вычесть следующее: . В результате получим где , , . Таким образом, по алгоритму (4.12) на каждом шаге требуется вычислять только текущее приращение управляющей переменной и помнить лишь три значения сигнала ошибки (текущее и два предыдущих). Поэтому он носит название быстрого, или, скоростного алгоритма дискретного ПИД-регулятора. При малых значениях шага дискретизации переходные процессы в дискретной и непрерывной системах регулирования практически совпадают, поэтому выбор параметров настройки дискретных регуляторов производят по тем же соотношениям, что и для непрерывных. 4.2.8 Выбор параметров настройки регуляторов Один из этапов проектирования систем управления состоит в выборе структуры системы регулирования и расчете оптимальных параметров регуляторов, что определяется свойствами объекта регулирования. Любой объект регулирования характеризуется следующими основными группами переменных: 1) переменные, характеризующие состояние процессов в объекте; их совокупность называют вектором регулируемых величин ; 2) переменные, изменением которых система регулирования может воздействовать на объект с целью управления; их совокупность называют вектором управляющих воздействий ; 3) переменные, изменение которых не связано с воздействием системы регулирования, они отражают влияние на объект регулирования внешних условий, изменение характеристик самого объекта и т. п.; их совокупность называют вектором возмущающих воздействий . Анализ объекта регулирования предполагает оценку его статических и динамических свойств по каждому из каналов от любого управляющего воздействия к любому регулируемому параметру, а также оценку аналогичных характеристик по каналам связи регулируемых переменных с составляющими вектора возмущений. В ходе такого анализа, как правило, удается выделить контуры регулирования для каждой из регулируемых величин, то есть получить совокупность одноконтурных систем регулирования. Следующим этапом синтеза САУ является расчет одноконтурной системы регулирования. При этом необходимо выбрать структуру регулятора, то есть решить, с использованием какого регулирующего воздействия следует управлять параметром состояния, а также найти числовые значения его параметров. При расчете систем проверяют возможность использования наиболее простого закона регулирования, каждый раз оценивая качество регулирования, и если оно не удовлетворяет заданным требованиям, переходят к более сложным законам. Возможна, например, следующая последовательность выбора закона регулирования: . Качество регулирования обычно оценивают с использованием показателей качества переходных процессов (п. 2.4.5). Системы автоматического управления принято настраивать на один из трех типовых процессов: 1) апериодический процесс; 2) процесс с перерегулированием в 15 %; 3) процесс с минимальным интегральным критерием. Первые два типа процессов предполагают только приближенные методы настройки, поскольку установить точную аналитическую связь между параметрами настройки либо невозможно, либо даже для простейших систем она может иметь вид сложной трансцендентной зависимости. В этих случаях можно использовать графический критерий настройки, при котором параметры регулятора подбирают таким образом, чтобы график переходного процесса не выходил за пределы заданной графической области (рисунок 4.8). Рисунок 4.8 – Графический критерий настройки САР при . Для третьего типа процессов косвенной оценкой качества регулирования могут служить следующие интегралы: ; . Само по себе абсолютное значение данных интегралов роли не играет, но чем меньше их значение, тем предпочтительнее переходный процесс в САР. Интегральный критерий применим только к системам, для которых заведомо известна монотонность переходных процессов, то есть когда ошибка не меняет знака. Если переходный процесс является колебательным, то величина не может служить мерой его качества, поскольку значения ошибки разного знака будут вычитаться друг из друга. Например, ухудшение качества регулирования при переходе к незатухающим колебаниям в системе будет сопровождаться уменьшением до нуля. В таких случаях следует перейти к интегральному квадратичному критерию , который является наиболее применяемым на практике. Следует отметить, что в настоящее время интегральные критерии качества САР используются все чаще в связи с тем, что современные ЭВМ позволяют решать оптимизационные задачи за приемлемое время. Среди инженерных методов расчета настроек регуляторов одни являются более точными, но трудоемкими для ручного счета, другие – простыми, но приближенными. К последним относится метод незатухающих колебаний, или метод Циглера–Никольса. В соответствии с данным методом расчет настроек ПИД-регулятора проводят в два этапа. 1) Определяют критическую настройку пропорциональной составляющей (при нулевых значениях , ), при которой система регулирования будет находиться на границе устойчивости (режим незатухающих колебаний), а также соответствующую ей критическую частоту . Уравнения для расчета и имеют следующий вид: ; , где , – АЧХ и ФЧХ объекта управления соответственно. 2) По найденным значениям , находят оптимальные настройки регулятора , , , обеспечивающие степень затухания , по следующим соотношениям: – для П-регулятора: ; – для ПИ-регулятора: , ; – для ПИД-регулятора: , , . 4.3 Контрольные вопросы 1. Укажите цели при использовании корректирующих звеньев. 2. Перечислите простейшие законы регулирования. 3. Поясните основное назначение интегральной составляющей в типовых законах регулирования. 4. Зависит ли величина статической ошибки от значения дифференциальной настройки ПИД-регулятора? 5. Укажите отличия рекуррентного алгоритма ПИД-регулятора от позиционного. Литература 1. Шишмарев, В.Ю. Основы автоматического управления: учебное пособие / В.Ю. Шишмарев. – М.: Академия, 2008. – 348 с. 2. Софиева, Ю.Н. Основы линейной теории автоматического регулирования / Ю.Н. Софиева, В.Я. Бадеников, А.Э. Софиев. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994. – 124 с. 3. Юревич, Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. – Л.: Энергия, 1975. – 416 с. 4. Наладка средств автоматизации и автоматических средств регулирования. Справочное пособие под редакцией Клюева А.С. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 447 с. 5. Штейнберг, Ш.Е. Промышленные автоматические регуляторы / Ш.Е. Штейнберг, Л.О. Хвилевицкий, М.Я. Ястребенецкий. – М.: Энергия, 1973. – 321 с. 5 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С точки зрения математического описания системы автоматического управления делятся на линейные и нелинейные. Линейной называется система, которая описывается линейными уравнениями, в которых искомая функция и ее производные содержатся в первой степени. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что реакция системы на комбинацию внешних воздействий равна сумме реакций системы на каждое из этих воздействий, поданных на систему порознь. Принцип суперпозиции позволяет выразить реакцию системы на любое воздействие через реакцию на элементарное типовое воздействие, например, в виде ступеньки. Благодаря этому принципу разработана общая теория линейных систем автоматического управления. Нелинейной считают систему, содержащую хотя бы одно нелинейное звено, то есть звено, описываемое нелинейным уравнением. К нелинейным системам принцип суперпозиции не применим, поэтому отсутствует и общая теория нелинейных систем автоматического управления. Существует лишь ряд частных методов для решения некоторых видов нелинейных уравнений. Нелинейности придают САУ ряд качественно новых свойств, невозможных в линейных САУ. Нелинейные системы неизмеримо богаче по своим возможностям, чем линейные. В линейных системах точность, устойчивость и качество переходных процессов не зависят от величины внешних воздействий. Благодаря применимости к ним принципа суперпозиции изменение величины внешнего воздействия вызывает в них только пропорциональное изменение выходной величины. В нелинейных системах дело обстоит сложнее. Качество переходных процессов в них может изменяться в зависимости от начальных условий и величины внешнего воздействия. Кроме того, нелинейная система может быть устойчивой при одних значениях внешних воздействий и – неустойчивой при других значениях этого воздействия. В связи с этим при изучении нелинейных систем используют понятия устойчивости в малом (при малых отклонениях системы от исходного режима), в большом (при конечных отклонениях) и в целом (при неограниченных отклонениях). В линейных системах такой градации устойчивости не существует. Линейная система либо не устойчива, либо устойчива в целом. Для нелинейных систем также свойственен режим автоколебаний, то есть режим установившихся незатухающих колебаний, представляющих собой периодическое движение и возникающих не в результате действия внешней периодической силы, а вследствие собственных динамических свойств нелинейной системы. В линейных системах незатухающие колебания возможны только при нахождении системы на границе устойчивости, однако амплитуда этих колебаний определяется внешним воздействием. Характеристики элементарных нелинейных звеньев можно разделить на слабые нелинейности и существенные. К первой группе относятся нелинейные характеристики, которые при малом значении входного сигнала или при малом его отклонении от среднего значения могут быть заменены линейными. Наличие подобных нелинейностей в системах часто мало сказывается на их динамике. К существенным нелинейностям относятся характеристики, которые в значительной степени влияют на динамику поведения системы. В существенно нелинейных системах могут наблюдаться явления, которые принципиально невозможны в линейных системах и не могут быть описаны линейными моделями. 5.1 Типовые нелинейности Типовые нелинейности характеризуют отклонение реальных характеристик нелинейного звена от идеальных линейных характеристик (рисунок 5.1). – входной сигнал; – выходной сигнал Рисунок 5.1 – Характеристика линейного звена Типовые нелинейности подразделяют на две группы – однозначные и неоднозначные характеристики. Однозначные нелинейности характеризуются одинаковой нелинейной зависимостью между входной и выходной величинами как при возрастании, так и при убывании входной величины (рисунок 5.2). а) звено с насыщением б) звено с зоной нечувствительности в) двухпозиционное реле г) трехпозиционное реле Рисунок 5.2 – Однозначные характеристики нелинейных звеньев Для звеньев с неоднозначными характеристиками выходной сигнал зависит не только от значения входного сигнала, но и от направления его изменения. Для таких звеньев характерно явление гистерезиса (рисунок 5.3). Рисунок 5.3 – Двухпозиционное реле с петлей гистерезиса 5.2 Линеаризация нелинейных зависимостей Все реальные САУ нелинейны, однако трудность исследования нелинейных систем заставляет упрощать их описание. При этом часто имеется возможность, ограничившись рассмотрением малых отклонений от установившегося режима, свести задачу к исследованию линейной модели реальной системы путем линеаризации последней. Это, как правило, возможно для систем, содержащих только слабые нелинейности. 5.2.1 Линеаризация в окрестности стационарной точки Одним из наиболее распространенных способов линеаризации является разложение нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки в линейном приближении. Рассмотрим объект, описываемый нелинейным дифференциальным уравнением вида , (5.1) где – выходная величина; – входное воздействие; – нелинейная функция. Уравнение (5.1) характеризуется наличием стационарного решения , соответствующего стационарному воздействию , при котором выполняется условие . При отклонениях от стационарного режима уравнение объекта примет вид , (5.2) где – отклонения от установившихся значений. В основе метода линеаризации в окрестности стационарной точки лежит предположение, что в исследуемой системе переменные изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются все время достаточно малыми. Разложим функцию стоящую в правой части уравнения (5.2), в ряд по степеням указанных выше малых отклонений и ограничимся линейными слагаемыми: . (5.3) Если вычесть из уравнения (5.3) почленно уравнение (5.1) для стационарного режима, получим линеаризованное дифференциальное уравнение в приращениях: , или . (5.4) Решение нелинейного уравнения (5.2) находят в виде , где – решение линейного уравнения (5.4), которое может быть получено, например, с использованием операторного метода Лапласа. 5.2.2 Кусочно-линейная аппроксимация нелинейной характеристики Метод кусочно-линейной аппроксимации применим для нелинейных объектов, статические характеристики которых могут быть представлены в виде суммы отрезков линейных характеристик. Для каждого отрезка характеристики справедливо линейное дифференциальное уравнение. Переход от одного участка к другому осуществляется «припасовыванием» отдельных решений. При этом решение для конца одного участка является начальным условием для следующего и т.д. В результате решение нелинейного дифференциального уравнения заменяется решением совокупности линейных дифференциальных уравнений, соответствующих прямолинейным отрезкам линеаризованной характеристики. В соответствии с определением данного метода, решение нелинейного уравнения включает в себя в общем случае следующие основные этапы: 1. Исходная нелинейная характеристика заменяется ломаной линией  с конечным числом прямолинейных отрезков. 2. Для каждого участка ломаной определяются параметры линейного уравнения. 3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности. Рассмотрим объект, описываемый нелинейным дифференциальным уравнением вида: , (5.5) где – выходная величина; – входное воздействие; – нелинейная функция, которую можно представить в виде суммы линейной и нелинейной частей. Выберем для нелинейной функции два интервала линеаризации , (рисунок 5.4), на которых нелинейная функция будет заменена совокупностью линейных функций по следующему правилу: где – уравнение линейной характеристики; – коэффициенты линейного уравнения, подлежащие определению; – номер интервала линеаризации. – нелинейная функция; – линейные функции Рисунок 5.4 – Кусочная линеаризация нелинейной функции Для определения коэффициентов линейных уравнений рассмотрим каждый интервал отдельно. Для 1-го интервала линейная функция примет вид . В точке получим , откуда и . В точке получим , откуда . Таким образом, решение нелинейного уравнения (5.5) на 1-м интервале сводится к решению линейного уравнения следующего вида: Для 2-го интервала линейная функция примет вид . В точке получим , откуда . В точке получим , откуда . По аналогии коэффициенты линейного уравнения для -го интервала определяются по следующим соотношениям: , . Решение нелинейного дифференциального уравнения (5.5) заменяется совокупностью решений двух линеаризованных дифференциальных уравнений на отдельных интервалах. 5.2.3 Гармоническая линеаризация Гармоническое представление сигналов может быть положено в основу приближенного метода исследования периодических режимов в нелинейных автоматических системах. Наличие в системе одного или нескольких нелинейных звеньев при определенных условиях приводит к появлению в системе предельных циклов, то есть собственных периодических колебаний системы при отсутствии внешних воздействий. Параметры этих колебаний (амплитуда и частота) могут быть приближенно определены путем гармонической линеаризации нелинейностей, которая основана на принципе гармонического баланса. Этот принцип вытекает из следующего положения – несмотря на то, что колебания нелинейных систем редко описываются простыми гармоническими функциями времени, они чаще всего периодичны или близки к периодическим колебаниям, которые могут быть представлены в виде ряда Фурье из синусных и косинусных гармоник. Во многих случаях существенной оказывается лишь амплитуда основной гармоники. Согласно принципу гармонического баланса исходное нелинейное уравнение можно заменить линейным, решение которого совпадает с первым приближением решения нелинейного уравнения. Этот способ называется методом эквивалентной линеаризации. Более точные приближения решения могут быть получены, если дополнительно к основной гармонике учесть и высшие так, чтобы исходное нелинейное уравнение удовлетворялось по всем частотам учтенных компонент. За линеаризацию приходится платить тем, что коэффициенты получаемого линейного уравнения оказываются переменными, зависящими от параметров входного сигнала (амплитуды и частоты) или от времени. Рассмотрим некоторую автоматическую систему, в состав которой входит нелинейное звено, описываемое уравнением вида , (5.6) где – выходная величина; – входная величина, изменяющаяся по синусоидальному закону; – нелинейная функция. Выполним гармоническую линеаризацию уравнения (5.6), которое с учетом изменения входного сигнала по гармоническому закону примет вид . (5.7) Разложим функцию в ряд Фурье: (5.8) Введя новую переменную , определим коэффициенты разложения , , , Предположим, что периодические колебания имеют симметричный характер, то есть в разложении (5.8) отсутствует постоянная составляющая, а также пренебрежем в этом разложении в соответствии с приведенными выше соображениями второй, третьей и другими высшими гармониками. Тогда вместо равенства (5.8) приближенно получим Учитывая, что и введя обозначения , (5.9) , (5.10) получим приближенную запись сигнала на выходе нелинейного звена: (5.11) Уравнение (5.11) представляет собой гармонически линеаризованное уравнение нелинейного звена автоматической системы. Другими словами, нелинейное уравнение (5.7) при гармонической линеаризации заменяется линейным уравнением (5.11), коэффициенты которого зависят от амплитуды входного сигнала . К уравнению вида (5.11) могут быть отнесены, например, уравнения нелинейных звеньев, статические характеристики которых имеют петлю гистерезиса (см. рисунок 5.3). Наличие петли гистерезиса приводит к неоднозначной зависимости от , при этом значение зависит не от величины, а от знака производной Применительно к характеристике на рисунке 5.3 при рабочей является правая ветвь характеристики, а при – левая ветвь. Второе слагаемое в правой части уравнения (5.11) учитывает указанную зависимость от знака производной Если статическая характеристика нелинейного звена является однозначной, то есть без петли гистерезиса, то выходной сигнал звена не зависит ни от величины, ни от знака производной входного сигнала. В этом случае гармонически линеаризованное уравнение нелинейного звена примет вид , где определяется равенством (5.9). Коэффициент для таких нелинейностей равен нулю. Если выходной сигнал нелинейного звена системы зависит не только от значения входного сигнала , но и от величины производной , то есть имеется нелинейность , то гармонически линеаризованное уравнение нелинейного звена примет вид , где , . В этом случае коэффициенты гармонической линеаризации оказываются зависящими от амплитуды и частоты синусоидального сигнала на входе нелинейного звена. 5.3 Контрольные вопросы 1. Сформулируйте определения линейной и нелинейной систем. 2. Приведите примеры типовых нелинейностей в системах управления. 3. Укажите случаи, при которых линеаризация нелинейных зависимостей допустима. 4. От чего зависит количество решений нелинейного уравнения при кусочно-линейной аппроксимации? 5. Сформулируйте основную идею гармонического баланса при гармонической линеаризации нелинейного уравнения. Литература 1. Шишмарев, В.Ю. Основы автоматического управления: учебное пособие / В.Ю. Шишмарев. – М.: Академия, 2008. – 348 с. 2. Софиева, Ю.Н. Основы линейной теории автоматического регулирования / Ю.Н. Софиева, В.Я. Бадеников, А.Э. Софиев. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994. – 124 с. 3. Юревич, Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. – Л.: Энергия, 1975. – 416 с. 4. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М.: Наука, 1975. – 767 с. 5. Иванов, В.А. Математические основы теории автоматического регулирования / В.А. Иванов, Б.К. Чемоданов, В.С. Медведев. – М.: Высшая школа, 1971. – 807 с. 6 ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Цифровыми системами называют дискретные системы, в которых происходит квантование сигналов как по времени, так и по уровню. Другими словами, в них существуют дискретные сигналы в виде цифрового кода. Цифровые САУ – это наиболее совершенные по своим алгоритмическим возможностям дискретные САУ. В них в состав управляющего устройства входит цифровая вычислительная машина. Преобразование непрерывной величины в цифровую заключается в квантовании ее по времени, по уровню и представлении полученных дискретных значений в виде чисел, то есть в цифровом коде. Это преобразование может осуществляться либо путем последовательного выполнения перечисленных выше этапов, либо сразу в виде одной операции, называемой кодо-импульсной модуляцией. Поэтому цифровые системы иногда называют кодо-импульсными системами. В них каждое значение преобразуемой входной величины представляется определенной комбинацией дискретных значений. Существуют различные цифровые коды. В случае десятичного кода дискретная величина выражается в виде десятичного числа и представляется серией импульсов, количество которых равно числу разрядов этого числа. Каждый импульс несет информацию о цифре определенного разряда. Для этого модулируемый параметр импульса принимает одно из десяти дискретных значений. Наибольшее распространение получил двоичный код, соответствующий системе счисления с основанием 2. Каждый разряд двоичного числа может иметь только одно из двух значений: 0 или 1. Преобразование непрерывной величины в цифровой код принципиально содержит погрешность из-за квантования по уровню, то есть округления численного значения преобразуемой величины до целого числа, соответствующего номеру уровня квантования. Абсолютное значение погрешности квантования определяется величиной шага квантования – интервалом между двумя соседними уровнями квантования. Во всех цифровых САУ преобразование непрерывной величины в цифровую осуществляется путем квантования с округлением до ближайшего уровня. Основные достоинства цифровых САУ определяются теми возможностями, которые возникают в результате применения цифровой техники. Это, прежде всего, высокая точность, помехозащищенность и возможность реализации очень сложных алгоритмов управления, какие только доступны современным ЦВМ. Применение вычислительных машин позволяет, варьируя передаточные функции корректирующих звеньев и значения их параметров в широких пределах, быстро получить большое количество соответствующих кривых переходных процессов. Поэтому выбор коррекции и значений варьируемых параметров может быть выполнен простым перебором возможных вариантов. Полученная картина позволяет выбрать оптимальный способ коррекции. Все эти достоинства цифровых систем достигаются ценой значительно большей их сложности и стоимости. Поэтому, как правило, цифровые САУ применяются в тех случаях, когда иными, более простыми средствами задача решена быть не может. Например, существуют цифровые системы программного регулирования с цифровым задатчиком программы, цифровые следящие системы с цифровыми измерителями рассогласования и шаговыми исполнительными двигателями. Широко применяются цифровые регуляторы, особенно интегрального типа, в которых цифровое представление регулируемой величины позволяет осуществлять интегрирование с любой степенью точности. Однако основная область применения цифровых систем – это системы со сложным алгоритмом преобразования информации в управляющем устройстве, требующим применения ЦВМ. Примерами таких цифровых САУ являются системы управления судами, самолетами и ракетами с помощью малогабаритных бортовых ЦВМ, системы централизованного автоматического управления производством. В таких системах количество входных и выходных величин объекта управления может измеряться сотнями, а расстояния, на которые передаются эти величины, – тысячами километров. Цифровая система управления схематично изображена на рисунке 6.1. Рисунок 6.1 – Принципиальная схема цифровой системы управления Объект управления имеет на выходе непрерывный сигнал , который преобразуется в цифровую форму аналого-цифровым преобразователем (АЦП). Преобразование осуществляется в моменты квантования . Преобразованный сигнал интерпретируется вычислительной машиной как последовательность чисел; она производит преобразования по некоторому алгоритму и вырабатывает новую последовательность чисел . Полученная последовательность преобразуется в непрерывный сигнал цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП). Работа синхронизируется в компьютере таймером реального времени. ЦВМ функционирует последовательно. Каждая операция занимает определенное время, но на выходе ЦАП должен иметь непрерывный по времени сигнал. 6.1 Методы исследования цифровых систем автоматического управления Наличие в цифровой системе квантования по уровню делает ее принципиально нелинейной, что может привести к неустойчивости в малом с установлением автоколебаний, амплитуда которых определяется зоной нечувствительности системы, равной шагу квантования. Статическая точность цифровой САУ также зависит от шага квантования, минимальная величина которого ограничена точностью измерения выходных величин объекта, а также возможной точностью преобразования их в цифровую форму. При уменьшении шага квантования, то есть при увеличении количества уровней квантования и числа разрядов цифрового кода, цифровая система приближается по своим свойствам к импульсной системе. При достаточно малом шаге квантования квантованием по уровню можно пренебречь и приближенно рассматривать цифровую систему как импульсную. Такая система называется предельной импульсной системой. Особенностью динамики цифровых САУ по сравнению с импульсными является обязательное наличие фиксированного временного запаздывания в управляющем устройстве, определяемого длительностью одного цикла переработки информации в ЦВМ. Математическое описание цифровых САУ осуществляется с помощью разностных уравнений и дискретного преобразования Лапласа путем предварительной замены действующих в непрерывной части системы непрерывных величин на дискретные величины в виде решетчатых функций. В связи с тем, что в цифровых САУ имеется квантование по уровню, их структурная схема содержит, помимо импульсных элементов, квантователи – нелинейные звенья с многоступенчатой релейной статической характеристикой. Коррекция цифровых САУ осуществляется, прежде всего, путем выбора соответствующего алгоритма ЦВМ, входящей в состав управляющего устройства. Поэтому в таких системах принципиально применимы любая коррекция, любой алгоритм управления, которые могут быть реализованы с помощью соответствующей ЦВМ. При этом усложнение алгоритма работы управляющего устройства не ведет к снижению точности его реализации, как у систем непрерывного действия. 6.2 Контрольные вопросы 1. В чем отличие между дискретной и цифровой системами? 2. Перечислите этапы преобразования непрерывной величины в цифровую форму. 3. Укажите основные достоинства цифровых САУ. 4. Относится ли цифровая САУ к линейным системам? 5. В чем особенность динамики цифровых САУ по сравнению с импульсными системами? Литература 1. Шишмарев, В.Ю. Основы автоматического управления: учебное пособие / В.Ю. Шишмарев. – М.: Академия, 2008. – 348 с. 2. Изерман, Р. Цифровые системы управления / Р. Изерман. – М.: Мир, 1984. – 541 с. 3. Острем, К. Системы управления с ЭВМ / К. Острем, Б. Виттенмарк. – М.: Мир, 1987. – 480 с. 4. Юревич, Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. – Л.: Энергия, 1975. – 416 с.