Объемные поляритоны

Лекция N 3 Объемные поляритоны - II 1.Дисперсионное уравнение для поляритонов. На прошлой лекции мы получили дисперсионное уравнение в виде = ∎Решения Ω − + = этого уравнения (1) = ( ) называются ( ) или дисперсионными характеристиками, а их графические изображения – дисперсионными кривыми. Проведем детальный анализ дисперсионных характеристик. Преобразуем уравнение (1) к биквадратному алгебраическому уравнению относительно частоты (Д.З. N 1): + + =0 (2) Здесь: = = −( , ), + (3) = Как известно, решение уравнения (2) записывается в виде , = − ±√ −4 2 (4) Подставляя значения (3) в (4), получим (Д.З. N 2): , = 1 2 + ± 1 2 + − 4 (5) Эти выражения можно представить в виде = 1 2 + + 1 2 (6) = 1 2 + − 1 2 (7) Здесь = + − 4 (8) Рассмотрим предельные значения частот при При → 0, → →0 и → ∞. (Д.З. N 2). Поэтому (Д.З. N 3): lim = 1 2 + lim = 1 2 − → → 1 2 = 1 2 =0 (9) (10) Важно понять, по какому закону стремятся эти величины к своим предельным значениям. Для этого необходимо разложить корень, фигурирующий в (8) в ряд по малым значениям k . Введем = = + − 4 (11) Преобразуем (11), вспомнив выражение для статической диэлектрической проницаемости и квадрата частоты продольного фонона (см. Лекцию N 2): = ( = 0) = = Тогда + + Ω Ω (12) (13) = Ω 1+ +Ω = + +Ω = = Ω = = Следовательно, мы получили следующую связь между = и : (14) Тогда выражение для B преобразуется к виду: = + − 4 Найдем приближенное выражение B для малых значений k : = ≅ + +2 2 1− 2 4 + − = 1+ ≅ 2 1− 2 Тогда для A получаем (Д.З. N 4): =√ = 1+ 2 1− 2 ≅ + 1− 2 Следовательно, для малых k мы получили: ≅ + 1− 2 (15) Получим теперь выражения для асимптотических приближений частот при → 0 (Д.З. N 5): , = 1 2 + 1 2 + = Поскольку и ≅ + , и 1 2 + − = + 1 2 + 1 + − 1− 2 = 1 являются постоянными величинами, то введем обозначение для разности их обратных значений, которая также будет постоянной величиной 1 = 1 − 1 (16) →0 Тогда при ≅ ⟹ Следовательно, при + → (17) величина квадрата частоты стремится к значению квадрата частоты продольного фонона по параболе, задаваемой уравнением (17). Сама частота будет стремиться к частоте продольного фонона также по параболе, но несколько другой формы Займемся теперь асимптотикой = 1 2 + = 1 2 − − 1 2 1 2 1 2 ≅ + → 0. при + 1 2 − 1 2 − 1 2 + 1 2 + 2 1− 2 = = Следовательно, ⟹ Следовательно, при → линии, задаваемой уравнением: частота стремится к нулю по прямой = (18) ⟹Из (18) видно, что стремление происходит по линии, представляющей собой дисперсионную кривую для фотона в среде, с диэлектрической проницаемостью : = (19) → ∞. Имеем, Рассмотрим теперь поведение дисперсионных кривых при = ≅ +2 +2 + 1−2 = − 4 ≅ 1+2 1−2 (20) Поэтому (Д.З. N 6): =√ = 1+2 1 1+ 2 2 ≅ 1−2 1−2 = ≅ + 1−2 → ∞ получаем следующую асимптотику для A : Поэтому при ≅ + 1 2 + 1−2 (21) Тогда = ⟹ Следовательно, при + 1 2 →∞ ≅ + частота 1− ≅ также стремится к бесконечности по прямой линии, задаваемой уравнением: = (22) ⟹Из (22) видно, что стремление происходит по линии, представляющей собой дисперсионную кривую для фотона в среде, с диэлектрической проницаемостью : = (23) Рассмотрим, наконец, поведение ветви дисперсионной кривой ( ) при → ∞. Имеем, = 1 2 = + 1 2 − 1 2 + − ≅ 1 2 1 2 + + − + 1 2 + = 1−2 = = Здесь мы воспользовались соотношением (14). ⟹ Следовательно, при →∞ поперечного оптического фонона частота . стремится к частоте