Фазовая скорость для объемных поляритонов в кристалле

Лекция N 20 Фазовая скорость для объемных поляритонов в кристалле 1.Введение Поскольку объемные поляритоны представляют собой реальные коллективные возбуждения в резонансной среде, то возникает естественный вопрос о скорости их распространения в данной среде. Для электромагнитного поля существуют две скорости – фазовая и групповая. С первой скоростью в среде бежит фронт волны, а со второй – распространяется энергия электромагнитного поля. ▀ Фазовая скорость нормальной электромагнитной волны определяется по формуле: = (1) ▀ Групповая скорость нормальной электромагнитной волны определяется по формуле: = (2) Из этих формул очевидно, что обе скорости можно определить по дисперсионному уравнению для нормальных волн в среде. 2.Фазовая скорость распространения поляритона в среде Дисперсионное уравнение для объемных поляритонов имеет вид = ( ) (3) Здесь мы будем использовать полученные ранее два вида для диэлектрической проницаемости среды: ( )= Ω − + − − ( )= (4) − − = (5) Из формулы (3) получаем для фазовой скорости: = = с ( ) = (6) Здесь мы ввели показатель преломления среды: = ( ) (7) Имея в виду дальнейшие расчеты для конкретных кристаллов, представим формулу (6) в безразмерном виде. Для этого запишем ( )= ( ): − 1− (8) ⟹ Следовательно, мы получаем формулу для фазовой скорости объемного поляритона: = 3.Фазовая скорость − (9) − распространения поляритона в реальных кристаллах Мы проведем анализ частотных зависимостей фазовых скоростей объемных поляритонов для реальных кристаллов: LiF, SiO2-1, SiO2-2. Параметры этих кристаллов были приведены на прошлой Лекции. Кристалл LiF Безразмерная продольная частота приведена в Таблице 1. На Рисунке 1 приведены частотные зависимости действительной и мнимой частей показателя преломления. Таблица 1 uL 2,197299 30 25 20 15 ReN ImN 10 5 0,47 0,64 0,81 0,98 1,14 1,31 1,48 1,65 1,82 1,99 2,16 2,33 2,49 2,66 2,83 3,00 3,17 3,34 3,51 3,68 3,84 4,01 4,18 4,35 4,52 4,69 4,86 5,03 Рисунок 1. Частотные зависимости действительной и мнимой частей показателя преломления объемных поляритонов для кристалла LiF Из Рисунка 1 видно, что в запрещенной зоне =1< < = 2,197299 (10) действительная часть показателя преломления (синяя кривая) равна нулю, а мнимая (красная кривая) – отлична от нуля. На Рисунке 2 приведена частотная зависимость относительной фазовой скорости объемных поляритонов для кристалла LiF. ReVphase 14 12 10 8 ReVphase 6 4 2 0,47 0,64 0,81 0,98 1,14 1,31 1,48 1,65 1,82 1,99 2,16 2,33 2,49 2,66 2,83 3,00 3,17 3,34 3,51 3,68 3,84 4,01 4,18 4,35 4,52 4,69 4,86 5,03 Рисунок 2. Частотная зависимость отношения фазовой скорости объемных поляритонов к скорости света в вакууме для кристалла LiF Из Рисунка 2 видно, что для кристалла LiF в области частот > = , (11) фазовая скорость поляритона больше, чем скорость света. Не противоречит ли это специальной теории относительности, где утверждается, что скорости распространения сигналов не могут быть больше скорости света? Противоречия нет, потому что фазовая скорость не является скоростью переноса энергии, таковой будет групповая скорость, о которой речь будет идти в дальнейшем. Кристалл SiO2-1 Безразмерная продольная частота приведена в Таблице 2. На Рисунке 3 приведены частотные зависимости действительной и мнимой частей показателя преломления. Таблица 2 uL 1,555973 12 10 8 6 ReN ImN 4 2 0,35 0,47 0,60 0,72 0,85 0,97 1,10 1,22 1,35 1,47 1,60 1,72 1,85 1,97 2,10 2,22 2,35 2,47 2,60 2,72 2,85 2,97 3,10 3,22 3,35 3,47 3,60 3,72 Рисунок 3. Частотные зависимости действительной и мнимой частей показателя преломления объемных поляритонов для кристалла SiO2-1 Из Рисунка 3 видно, что в запрещенной зоне =1< < = 1,555973 (12) действительная часть показателя преломления (синяя кривая) равна нулю, а мнимая (красная кривая) – отлична от нуля. Отметим, что для этого кристалла запрещенная зона более узкая по сравнению с кристаллом LiF. На Рисунке 4 приведена частотная зависимость относительной фазовой скорости объемных поляритонов для кристалла SiO2-1. ReVphase 8 7 6 5 4 ReVphase 3 2 1 0,35 0,47 0,60 0,72 0,85 0,97 1,10 1,22 1,35 1,47 1,60 1,72 1,85 1,97 2,10 2,22 2,35 2,47 2,60 2,72 2,85 2,97 3,10 3,22 3,35 3,47 3,60 3,72 Рисунок 4. Частотная зависимость отношения фазовой скорости объемных поляритонов к скорости света в вакууме для кристалла SiO2-1. Из Рисунка 4 опять видно, что для кристалла SiO2-1 в области частот > = , (13) фазовая скорость поляритона больше, чем скорость света. Как отмечалось выше, здесь нет никакого противоречия со специальной теорией относительности. Кристалл SiO2-2 Безразмерная продольная частота приведена в Таблице 3. На Рисунке 5 приведены частотные зависимости действительной и мнимой частей показателя преломления. Таблица 3 uL 1,127516 8 7 6 5 4 ReN ImN 3 2 1 0,27 0,37 0,47 0,57 0,67 0,77 0,87 0,97 1,07 1,16 1,26 1,36 1,46 1,56 1,66 1,76 1,86 1,95 2,05 2,15 2,25 2,35 2,45 2,55 2,65 2,75 2,84 2,94 Рисунок 5. Частотные зависимости действительной и мнимой частей показателя преломления объемных поляритонов для кристалла SiO2-2 Из Рисунка 5 видно, что в запрещенной зоне =1< < = 1,127516 (14) действительная часть показателя преломления (синяя кривая) равна нулю, а мнимая (красная кривая) – отлична от нуля. Отметим, что для этого кристалла запрещенная зона является наиболее узкой по сравнению с кристаллами LiF и SiO2-1. На Рисунке 6 приведена зависимость относительной фазовой скорости объемных поляритонов для кристалла SiO2-2. ReVphase 4 3,5 3 2,5 2 ReVphase 1,5 1 0,5 0,27 0,37 0,47 0,57 0,67 0,77 0,87 0,97 1,07 1,16 1,26 1,36 1,46 1,56 1,66 1,76 1,86 1,95 2,05 2,15 2,25 2,35 2,45 2,55 2,65 2,75 2,84 2,94 Рисунок 6. Частотная зависимость отношения фазовой скорости объемных поляритонов к скорости света в вакууме для кристалла SiO2-2. Из Рисунка 6 опять видно, что для кристалла SiO2-2 в области частот > = , (15) фазовая скорость поляритона больше, чем скорость света. Никакого противоречия со специальной теорией относительности здесь также нет. На следующей Лекции мы займемся анализом групповой скорости объемных поляритонов в реальных кристаллах.