Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности

Лекция 9. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности в областях специального вида по пространственным переменным В этой лекции мы переходим к изучению уравнения теплопроводности – типичного представителя уравнений параболического типа. Напомним постановку основных краевых задач для уравнения теплопроводности (коэффициент перед оператором Лапласа для краткости полагаем равным единице; изменения для случая очевидны): где – 1-я краевая задача (Дирихле), – 2-я краевая задача (Неймана), – 3-я краевая задача. Кроме того, в отличие от уравнения Пуассона, для которого задача Коши, как можно показать, является некорректно поставленной задачей, для уравнения теплопроводности будет рассматриваться задача Коши: корректность которой будет установлена ниже. 1. Решение краевых задач методом разделения переменных в случаях, когда представляет собой отрезок или прямоугольник. Будем решать задачу Дирихле – случаи второй и третьей краевых задач отличаются лишь набором собственных функций соответствующей задачи Штурма-Лиувилля (эти собственные функции были указаны, когда изучался метод Фурье для уравнения Пуассона). Рассмотрим сначала одномерный случай: . Как это делалось и для уравнения Пуассона, начинаем с решения однородного уравнения при нулевых краевых условиях: Ищем решение в виде произведения , откуда после подстановки в уравнение . Разделяем переменные: , получаем задачу Штурма-Лиувилля: . Собственные функции этой задачи нам известны: . Далее ищем решение исходной задачи в виде ряда , подстановка которого в уравнение дает равенство (здесь ). Приравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях в левой и правой частях полученного равенства, приходим к уравнениям для : Подстановка ряда для в начальное условие дает , откуда Получили задачу Коши для уравнения первого порядка относительно неизвестной . Задача с неоднородными краевыми условиями с помощью указанных при рассмотрении уравнения Пуассона замен неизвестной функции сводится к однородной задаче. Теперь рассмотрим двумерный случай, сначала для прямоугольной области: . Действуем как в одномерном случае: рассматриваем однородное уравнение при нулевых краевых условиях . Ищем решение в виде произведения Получаем: . Далее, . Ищем решение в виде ряда подстановкой которого в уравнение теплопроводности получаем уравнения для : Здесь – коэффициенты разложения функции в двойной ряд по синусам: . Аналогично, подстановкой ряда для в начальное условие получаем 2. Задача Дирихле в круге. Уравнение Бесселя и функции Бесселя. Наконец, рассмотрим задачу Дирихле в круге с нулевым краевым условием на его границе: . Вспомним запись оператора Лапласа в полярных координатах: – и будем искать решение однородного уравнения в виде произведения . Подстановка в уравнение: . Разделение переменных: Учитывая необходимость периодичности решения по , приходим к задаче Штурма-Лиувилля решениями которой являются функции и . Соответственно, , и, в свою очередь, получаем задачу Штурма-Лиувилля уже для функции : Остановимся на ней более подробно. Можно проверить, что при рассматриваемая задача имеет только тривиальное решение . В случае , т.е. , получаем уравнение . Сделаем в нем замену и пересчитаем производные: , . Заменяя в уравнении для производные в соответствии с приведенными формулами, получим уравнение Бесселя: Из курса математического анализа вам известно, что фундаментальную систему решений уравнения Бесселя образуют функции – функция Бесселя – и – функция Неймана. Поскольку при , а искомое решение должно быть определено в круге и, в частности, в его центре, т.е. при (а значит и при ), то . Вспомним о краевом условии . Как известно, функция Бесселя имеет счетное множество нулей , причем множество дискретно (не имеет предельных точек). Отсюда . Таким образом, для каждого наша задача Штурма-Лиувилля имеет бесконечное множество собственных функций отвечающих собственным значениям , а решение рассматриваемой задачи Дирихле следует искать в виде ряда