Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности. Однородная задача.

Лекция 9. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности. Однородная задача. Рассмотрим задачу о распространении тепла в тонком однородном стержне длины l ( 0  x  l ), боковая поверхность которого теплоизолирована, а концы x  0 , x  l поддерживаются при нулевой температуре. Таким образом, требуется решить задачу 𝑢𝑡 = 𝑎2 𝑢𝑥𝑥 , 𝑡 > 0, 0 < 𝑥 < 𝑙, (1) u t  0  u0 ( x), (2) u x  0  0, u x  l  0. (3) Будем ее решать методом разделения переменных. Частное решение уравнения (1) ищем в виде u( x, t )  X ( x)T (t )  0. (4) Теперь подставим функцию (4) в (1), получим 𝑇 ′ (𝑡)𝑋(𝑥) = 𝑎2 𝑇(𝑡)𝑋 ″ (𝑥). Затем делим обе части на произведение (4), поскольку оно не обращается в нуль 𝑇 ′ (𝑡) 𝑎2 𝑇(𝑡) где = 𝑋 ″ (𝑥) 𝑋(𝑥) = −𝜆, (5)  – это параметр. Из соотношения (5) получаем T (t )  a2T (t )  0, X ( x)  X ( x)  0. (6) (7) Подстановка (4) в (3) дает соотношение X (0)  X (l )  0. (8) Таким образом, приходим к задаче Штурма-Лиувилля о нахождении собственных значений и собственных функций (7), (8) X ( x)  X ( x)  0. X (0)  X (l )  0. В случае   0 задача (7), (8) имеет лишь тривиальное решение X (0)  0 , а в случае   0 получаем 𝜋𝑛 2 𝜋𝑛𝑥 𝜆𝑛 = ( ) , 𝑋𝑛 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 , 𝑛 = 1,2,3, . . .. 𝑙 𝑙 Далее, находим решение уравнения (6), T (t )  a2T (t )  0, или 𝜋𝑛𝑎 2 𝑇 ′ (𝑡) + ( ) 𝑇(𝑡) = 0. 𝑙 Для этого разделяем переменные 𝑑𝑇(𝑡) 𝜋𝑛𝑎 2 +( ) 𝑇(𝑡) = 0 𝑑𝑡 𝑙 или 𝑑𝑇(𝑡) 𝜋𝑛𝑎 2 = −( ) 𝑇(𝑡), 𝑑𝑡 𝑙 𝑑𝑇(𝑡) 𝜋𝑛𝑎 2 = −( ) 𝑑𝑡 𝑇(𝑡) 𝑙 и интегрируем, полученное соотношение ∫ 𝑑𝑇(𝑡) 𝑇(𝑡) 𝜋𝑛𝑎 2 = −( 𝑙 ) ∫ 𝑑𝑡. Получаем следующее выражение 𝜋𝑛𝑎 2 ( )| 𝑙𝑛|𝑇 𝑡 = − ( ) 𝑡 + 𝑙𝑛𝐶𝑛 , 𝑙 где 𝐶𝑛 −константа интегрирования. Далее потенцируем ⅇ 𝑙𝑛|𝑇(𝑡)| =ⅇ −( 𝜋𝑛𝑎 2 ) 𝑡+𝑙𝑛𝐶𝑛 𝑙 и имеем 2 Tn (t )  Cn  na    t l   e , где Cn – произвольное число. Таким образом, функции 2 un ( x, t )  X n ( x)Tn (t )  Cn  na    t l   e sin nx l являются частными решениями (1), удовлетворяющие граничным условиям (3). Общее решение задачи запишем в виде суммы всех частных решений  u ( x, t )  2   u ( x, t )   C n n1 n  na    t e  l  sin n1 nx l . (9) Подставив соотношение (9) в начальное условие (2), получим  u t 0   Cn sin n 1 nx l  u0 ( x), откуда l 2 nx Cn  u0 ( x) sin dx. l l  (10) Следовательно, решение задачи (1)-(3) задается формулами (9) и (10). ПРИМЕР. Решить следующую задачу ut  a 2u xx , 0  x  l , u t  0  A, A  const, u x  0  0, u x l  0. Решение. По формуле (10) определим коэффициент Cn , учитывая, что u0 ( x)  A , 2 𝑙 𝜋𝑛𝑥 2𝐴 𝜋𝑛𝑥 𝑙 2𝐴 𝐶𝑛 = ∫ 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠 | = (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜋𝑛) 𝑙 0 𝑙 𝜋𝑛 𝑙 0 𝜋𝑛 0, 𝑛 = 2𝑘, 2𝐴 𝑛 4𝐴 = (1 − (−1) ) = { , 𝑛 = 2𝑘 + 1. 𝜋𝑛 𝜋(2𝑘 + 1) Полученный результат подставим в формулу (9) и получим u ( x, t )  4A   1  k  0 2k  1 2  a ( 2 k 1)    t e  l  sin (2k  1)x . l