Логарифмическая функция. Определение и свойства логарифма

Лекция 6 «Логарифмическая функция» Определение логарифма Логарифмом положительного числа в по основанию а (а > 0, а не равно1) называется показатель степени х, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число в, т.е. logа в = х или ах = в. Например: log 2 8 =3 т.к. 23 =8 log 125= -3 т.к. log4 = -4 т.к. 4-4 = log4 2= т.к. =2 Необходимо запомнить следующие соотношения: 1) log а 1 = 0; 2) log а а = 1; 3) log а а т; 4) если а > 1, то log a в > 0 и log а в< 0 при 0< в < 1; 5) если 0< а < 1, то log а в < 0 при в > 1 и log а в > 0 при 0 < в < 1. Например: 1) log 5 1=0, т.к. 50 =1; 2) Log7 7=1, т.к. 71 =7; 3) Log3 3 4=4, т.к. log3 3 4= 4 log3 3; 4) а>1, а=2, в > 1, в=16, то Log2 16 =4, 0 < в < 1, в = , то Log2 = -4< 0; 5) 0< а <1, а= , в >1, в=27, то Log 27=-3 0< в <1, в = , а = , то log =3. =125 Поскольку логарифм определен для положительных чисел, а, значит, для натуральных чисел N, то его определение можно сформулировать следующим образом: Логарифм числа N по основанию а (обозначает logaN) называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число N, т.е. b=logaN, если ab=N. По определению логарифма справедливо равенство , из которого на основе свойств показательной функции устанавливаются основные свойства логарифмов (здесь М, N и k – положительные числа): , , , Эти свойства позволяют сводить умножение и деление чисел (представленных в виде степеней некоторого числа, принятого за основание) к сложению и вычитанию показателей степеней, а возведение в степень и извлечение корня – к умножению и делению на показатель степени, поэтому применение логарифмов упрощает и сокращает сложные вычисления. При выполнении преобразований логарифмических выражений часто используют свойства степеней: а m+n= а m+ аn; а m-n = ; (а m) n = а mn = (а n ) m. Из определения следует, что а log а в = в - это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Например: , т.к , т.к , т.к , т.к Свойства логарифмов 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: Например: 2. Если а,b,c-положительные числа, причем а не равно 1, то справедливо равенство Например: 3. Если a и b- положительные числа, причем а не равно 1, то для любого числа r справедливо равенство 4. Если а,b и с – положительные числа, то . Если основанием логарифма является число е=2,71828…, то логарифм называется натуральным и обозначается ln x = log e x. При нашей десятичной системе счисления самым удобным основанием является число 10. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg: lg N =log 10 N. Функция , ее свойства Мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида , о ее графике и свойствах. Этим мы и займемся . Рассмотрим одновременно две функции: показательную у = ах и логарифмическую у = logaх. Пусть точка (b;с) принадлежит графику функции у = ах; это значит, что справедливо равенство с = ab. Перепишем это равенство “на языке логарифмов”: . Последнее равенство означает, что точка (с; b) принадлежит графику функции . Итак, если точка (b;с) принадлежит графику функции у = аx, то точка (с; b) принадлежит графику функции у = logax. В связи с тем, что точки координатной плоскости хОу с координатами (b;с) и (с;b) симметричны относительно прямой у=х (рис. 1). рис.1. Таким образом, справедливо следующее утверждение. График функции у = loga х симметричен графику функции у = аx относительно прямой у = х. На рис.2 схематически изображены графики функций у = аx и у = logaх в случае, когда a>1; на рис.3 схематически изображены графики функций у = аx и у = logaх в случае, когда 0 < a < 1. рис.2. рис.3. График функции у = logaх называют логарифмической кривой, хотя на самом деле нового названия можно было не придумывать. Ведь это та же экспонента, что служит графиком показательной функции, только подругому расположенная на координатной плоскости. Если значение основания а указано, то график логарифмической функции можно построить по точкам. Пусть, например, нужно построить график функции у=Iog2х. Составляя таблицу контрольных точек, будем руководствоваться соотношением Iog22r = r. Поэтому в таблицу в качестве значений аргумента х мы включим числа, являющиеся степенями числа 2. Имеем: log21 = log220 = 0, log24 = log222 = 2, log2 = log22-2 = -2,log2 = log22-1 = -1, log22 = log221 = 1, log28 = log223 = 3. рис.4. Сведем полученные результаты в таблицу: X 1 1 1248 У = Iog2 х -2 -1 0 1 2 3 Построив на координатной плоскости точки ( ;-2), ( ;-1), (1;0), (2;1), (4;2), (8;3), проводим через них логарифмическую кривую (рис. 4). Свойства функции у = logax, a > 1. Необходимую информацию извлекаем из геометрической модели, представленной на рис. 2. 1) D(f) = (0; + ); 2) не является ни четной, ни нечетной; 3) возрастает на (0; + ); 4) не ограничена сверху, не ограничена снизу; 5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна; 7) Е(f) = (- ;+ ); 8) выпукла вверх. Замечание. Сравните график функции у = logax, изображенный на рис.2, и график функции у = хr (0 < r < 1). Не правда ли, они похожи (при х > а)? На самом деле между ними есть принципиальная разница: график функции у = хr “набирает обороты” быстрее. Иными словами, для достаточно больших значений х ордината графика степенной функции у=хr ( при 0= 1) значительно больше соответствующей ординаты графика логарифмической функции с любым основанием, большим, чем 1. В курсе математического анализа доказано, что при а>1 и r>0 выполняется равенство . Свойства функции у = logax, 0 < a < 1. Необходимую информацию извлекаем из геометрической модели, представленной на рис.3. 1) D(f) = (0; + ); 2) не является ни четной, ни нечетной; 3) убывает на (0; + ); 4) не ограничена сверху, не ограничена снизу; 5) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна; 7) E(f) = (- ;+ ); 8) выпукла вниз. Отметим, что ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда a>1, ив случае, когда 0