Частотные характеристики электрических цепей

124 Лекция 15 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 1. Комплексные передаточные функции. 2. Логарифмические частотные характеристики. 3. Заключение. 1. Комплексные передаточные функции (комплексные частотные характеристики) Сопротивления индуктивных и емкостных элементов являются функциями частоты приложенного напряжения. Поэтому изменение частоты гармонических колебаний входного воздействия приводит к изменению амплитуды и начальной фазы реакции. Частотную зависимость отношений амплитуд реакции и входного воздействия называют амплитудно-частотной характеристикой, а зависимость разности начальных фаз реакции и входного воздействия от частоты – фазочастотной характеристикой. Электронные цепи, которые служат для передачи сигналов, имеют обычно две пары внешних зажимов, т. е. являются четырехполюсниками (рис. 15.1). Передающие свойства четырехполюсника характеризуют передаточными функциями. Комплексной передаточной функцией называют отношение комплексной амплитуды реакции к комплексной амплитуде входного воздействия. Поскольку входным воздействием и реакцией могут быть ток или напряжение, различают четыре вида передаточных функций. Рис. 15.1 Функция передачи напряжений равна отношению напряжений на выходе и на входе цепи: 125 H U  j  U  . U  Здесь U  , U  – комплексы напряжений соответственно на входе и выходе цепи. Функция передачи тока равна отношению выходного и входного токов H I  j  Передаточным сопротивлением напряжения U  к входному току I : Z 21  j   I . I называют отношение выходного U 2 . I1 Передаточная проводимость – это отношение выходного тока I к напряжению на входе U  : Y21  j   I2 . U 1 Следует подчеркнуть несколько особенностей передаточных функций. Во-первых, для однозначного определения передаточной функции необходимо указать направления токов и напряжений. Во-вторых, следует помнить, что первый индекс соответствует выходу, а второй – входу. В-третьих, передаточное сопротивление Z  j не является величиной, обратной проводимости Y j. Передаточные функции принимают комплексные значения при любых значениях частоты jω . Их можно представить в алгебраической форме через вещественные и мнимые части либо в показательной форме через модуль и аргумент. Представим комплексную передаточную функцию в показательной форме записи: H  j H  j e j . Модуль комплексной передаточной функции определяет амплитудночастотную характеристику, а аргумент – фазочастотную характеристику. Запишем комплексную амплитуду входного воздействия в показательной форме U m  U me j . 126 Комплексная амплитуда реакции U m 2  H  j U m1  H  j  e j  U m1e j . 1 Амплитуда реакции равна произведению амплитуды входного воздействия на модуль комплексной передаточной функции: U m   H  j U m . Начальная фаза реакции равна сумме начальной фазы входного воздействия и значения фазочастотной характеристики на частоте :  2   1     . Поскольку H  jω – комплексная величина, ее можно изобразить вектором на комплексной плоскости. Длина вектора равна значению АЧХ на частоте , а угол, который образует вектор с вещественной положительной полуосью – значению ФЧХ. С изменением частоты конец вектора опишет кривую, которую называют годографом комплексной передаточной функции или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Годограф H  jω строят при изменении частоты  от 0 до ω   . Функции цепи можно найти как отношение определителей и алгебраических дополнений матриц коэффициентов системы узловых или контурных уравнений. В качестве примера рассмотрим четырехполюсную цепь, на входе которой действует источник тока (рис. 15.2). Рис. 15.2 Входным является узел 1, а выходным – узел 2. Напряжения входного и выходного узлов:    D   D   U  ; U  . D D 127 Здесь D – главный определитель системы узловых уравнений, Dij – минор, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Комплексная передаточная функция   U    D . H  j   U  D В общем случае, если входным является узел номером i, а выходным – узел j, передаточная функция определяется формулой i j U j   Di j . H  j   U i Dii (15.1) Элементы матрицы контурных или узловых уравнений являются рациональными функциями частоты jω . Поскольку суммы, произведения и разности рациональных функций также рациональные функции, комплексные функции линейных цепей являются дробно-рациональными функциями, т. е. отношением полиномов от jω . Все коэффициенты в числителе и знаменателе функции цепи – вещественные числа. Порядок функции цепи равен суммарному числу реактивных элементов. Пример. Определить комплексную передаточную функцию интегрирующей RC-цепи, показанной на рис. 15.3. Рис. 15.3 Комплексная передаточная функция представляет отношение комплексов напряжения на входе и выходе цепи: H  j  U    . U  jCR   Амплитудно-частотная характеристика 128 H  j   1  CR  2 1 . Фазочастотная характеристика     arg H  j   arctg CR . Графики АЧХ и ФЧХ анализируемой цепи показаны на рис. 15.4, а, б. а б Рис. 15.4 Амплитудно-частотная характеристика RC-цепи монотонно убывает с ростом частоты и стремится к нулю при ω   . Фазочастотная характеристика π также монотонно убывает, изменяясь от 0 при ω  0 до  при ω   . 2 Рис. 15.5 На рис. 15.5 показан график амлитудно-фазовой характеристики цепи. Годограф H  jω представляет кривую, начинающуюся в точке с координатами (1, 0) и заканчивающуюся в точке (0, 0). 2. Логарифмические частотные характеристики В технике связи, теории автоматического регулирования широко используются устройства, у которых значения амплитудно-частотных характе- 129 ристик изменяются в очень широких пределах. Примером являются резонансные контуры, используемые в радиотехнике, электрические фильтры, усилители и т. д. В таких случаях удобнее оперировать логарифмическими частотными характеристиками (ЛАХ), которые пропорциональны логарифму от соответствующей безразмерной АЧХ. Обычно используют аббревиатуры ЛАХ или ЛАЧХ. ЛАХ принято оценивать в децибелах (дБ): Aω  20 lg H ω , где lg – логарифм при основании 10. Переход к логарифмической шкале позволяет существенно «сжать» пределы изменения амплитудно-частотных характеристик. Усилению сигнала в два раза соответствует приращение Aω на 6 дБ; усилению в 10 раз соответствует значение Aω, равное 20 дБ. Величину Aω называют логарифмическим усилением или усилением в децибелах. Усилению сигнала соответствуют положительные значения Aω, ослаблению – отрицательные значения логарифмического усиления. При исследовании ЛАЧХ в широком диапазоне частот изменение частоты также целесообразно оценивать в логарифмических единицах. Отношение частот двух гармонических колебаний называют интервалом, а интервал, соответствующий удвоению частоты, – октавой. Например, изменению частоты в четыре раза соответствует интервал в две октавы, а восьмикратному увеличению частоты – в три октавы. Число октав N  может быть приближенно найдено из формулы N   . lg  .  Интервал, соответствующий изменению частоты в десять раз, называют декадой. Число декад определяется формулой N  lg  .  Изменению частоты в 10 раз соответствует одна декада, в 100 раз – две декады и т. д. Использование логарифмического масштаба позволяет рассмотреть изменение частотных характеристик в широком диапазоне на небольшом графике. Кроме того, умножение передаточных функций отдельных звеньев сложной цепи заменяется суммированием ЛАХ. 3. Заключение 130 1. 2. 3. Комплексной передаточной функцией электрической цепи называют отношение комплексной амплитуды реакции к комплексной амплитуде входного воздействия. Частотную зависимость отношений амплитуд реакции и входного воздействия называют амплитудно-частотной характеристикой. Зависимость разности начальных фаз реакции и входного воздействия от частоты называют фазочастотной характеристикой.