Функция распределения дискретной случайной величины

Лекция ТВиМС Функция распределения дискретной случайной величины. Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путем задания значений самой величины и вероятностей этих значений. Поэтому встает задача по возможности отказаться от индивидуального подхода к каждой задаче и найти по возможности наиболее общий способ задания любых типов случайных величин. Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что с.в. Х примет значение, меньшее х, т.е. Х < x, обозначим через F(x). Для дискретной случайной величины можно ввести понятие функции распределения , которая равна вероятности случайного события, состоящего в том, что дискретная случайная величина примет одно из возможных значений, меньших некоторого значения т.е. . Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания , то можно задать в виде: Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид: . В формуле (2) суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х. Функция распределения д.с.в. Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение хi. Графически функция распределения представляется в виде ступенчатой функции: Пример: Среди 10 новых автомобилей 4 имеют заводской дефект. Наудачу выбираются 2 автомобиля. Написать закон распределения вероятностей числа автомобилей, имеющих дефект среди выбранных. Решение: Пусть случайная величина автомобилей, имеющих дефект среди выбранных 2 автомобилей. Случайная величина может принимать значения , , . Для определения вероятности появления каждого из этих значений воспользуемся формулой: . Где - число автомобилей, имеющих дефект среди наудачу выбранных автомобилей; - всего имеющихся автомобилей; - число автомобилей, имеющих дефект среди всех 10 автомобилей. Вычисляем вероятности: ; ; . Значит, закон распределения имеет вид: 1 2 Ответ: см. таблицу. Пример. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее вынимают наудачу 2 шара. Найти функцию распределение числа белых шаров в выборке. Решение. Возможные значения с.в. Х – числа белых шаров в выборке есть х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2. Вероятности их соответственно будут: p1 = P {X = 0} = , p2 = P {X = 1} = , p3 = P {X = 2} = , контроль: . Тогда 1. Если х  0, то очевидно, . 2. Если 0 < х  1, то . 3. Если 1 < х  2, то . 4. Если 2 < х, то . Таким образом, функция распределения имеет вид: . Строим график F(x) (см. рис. 10). Таким образом, не имеет смысла говорить о каком-либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой-либо интервал, что соответствует большинству практических задач. Непрерывные случайные величины Функция распределения вероятностей и плотность вероятности Случайные величины значения которых сколь угодно мало отличающиеся друг от друга называются непрерывными. Функцией распределения называется функция , определяющая для каждого значения вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , т.е. . Свойства функции распределения. 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку : . 2. Функция распределения есть неубывающая функция: , если . Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале: . Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, например , равна нулю: . 3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то при ; при . Следствие. Справедливы следующие предельные соотношения: , . 4. Функция распределения непрерывна слева: . Производная от функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности: . Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения . Свойства плотности распределения. 1. Плотность распределения неотрицательна т.е. 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах до равен единице: . Пример №1: Случайная величина задана функцией распределения . Найти вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключенное в интервале . Решение: Вероятность того, что примет значение, заключенное в интервале находим по формуле . . Ответ: 0,25. Практическое занятие Из 20 вопросов к экзамену студент (фамилию можете поставить на свое усмотрение) выучил только 13. В экзаменационном билете 3 вопроса. Написать закон распределения вероятностей числа вопросов выученных студентом, среди вопросов, выпавших в билете. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины числа вопросов известных студенту в билете. Найти функцию распределения, построить ее график.