Справочник от Автор24
Высшая математика

Конспект лекции
«Двумерные случайные величины.»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по высшей математике / Двумерные случайные величины.

Выбери формат для чтения

docx

Конспект лекции по дисциплине «Двумерные случайные величины.», docx

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Двумерные случайные величины.». docx

txt

Конспект лекции по дисциплине «Двумерные случайные величины.», текстовый формат

Лекция . Двумерные случайные величины. 1. Понятие двумерной случайной величины и закон ее распределения. 2. Дискретные двумерные случайные величины 3. Функция распределения двумерной СВ 4. Двумерные непрерывные случайные величины 5. Условные законы распределения составляющих системы СВ 6. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х1 – температура, Х2 – давление, Х3 – влажность воздуха, Х4 – скорость ветра. Успеваемость студента, получающего диплом, характеризуется системой n случайных  величин  - оценками, проставленными в дипломе . В этом случае говорят о многомерной случайной величине или о системе случайных величин . Рассмотрим двумерную случайную величину , возможные значения которой есть пары чисел . Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости . Например, точка попадания снаряда определяется не одной случайной величиной, а двумя: абсциссой и ординатой - и может быть рассмотрена как комплекс двух случайных величии или случайная точка на плоскости Точка падения метеорита характеризуется системой двух случайных величин: Х- географическая широта места падения и Y – долгота этого места. Определение Если составляющие Х и Y – дискретные случайные величины, то - дискретная двумерная случайная величина, а если Х и Y – непрерывные, то - непрерывная двумерная случайная величина. Определение Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. 2. Дискретные двумерные случайные величины Закон распределения двумерной дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом (см. таблица 6.1), где - вероятность того, что составляющая Х приняла значение xi, а составляющая Y – значение yj. Таблица 1.1. Y X y1 y2 … yj … ym x1 p11 p12 … p1j … p1m x2 p21 p22 … p2j … p2m … … … … … … … xi pi1 pi2 … pij … pim … … … … … … … xn pn1 pn2 … pnj … pnm Так как события , составляют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равна 1, т.е. . (1.1) Из таблицы 6.1 можно найти законы распределения одномерных составляющих Х и Y. Пример 1. Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы 1.2. Таблица 1.2. Y X 2 5 7 -1 0,11 0,13 0,23 3 0,1 0,12 0,09 4 0,11 0,08 0,03 Решение. Так как , то проводя суммирование по строкам таблицы 1.2 получим распределение Х: Аналогично суммируя по столбцам, получим распределение Y: 2 5 7 0,32 0,33 0,35 Определение Если зафиксировать значение одного из аргументов, например , то полученное распределение величины Х называется условным распределением СВ Х. Аналогично определяется условное распределение Y. Пример 2. По распределению двумерной случайной величины, заданной табл. 1.2, найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии ; б) условный закон распределения Y при условии, что . Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам , . (1.2) Тогда а) , , . Условный закон распределения Х при условии имеет вид -1 3 4 0,394 0,364 0,242 Контроль: . б) Аналогично находим условный закон Y при условии . 2 5 7 0,5 0,364 0,136 Контроль: . 3. Функция распределения двумерной СВ Определение Интегральной функцией распределения системы двух случайных величин ( X,Y )   называется вероятность совместного выполнения неравенств  X<x  ,   Y<y  , т.е.                        F(x,y)=P(X<x,Y<y). Закон распределения двумерной случайной величины можно задать в виде функции распределения , определяющей, как следует из определения , для каждой пары чисел вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее y: . (1.3) Геометрически функция означает вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (рис. 1.1). y x - Рис. 1.1. Свойства . 1. Область значений функции - , т.е. . 2. Функция - неубывающая функция по каждому аргументу. 3. Имеют место предельные соотношения: ; ; ; . При функция распределения системы становится равной функции распределения составляющей Х, т.е. . Аналогично, . Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник Зная , можно найти вероятность попадания случайной точки в пределы прямоугольника ABCD (рис. 1.2). y B(x1,y2) C(x2,y2) A(x1,y1) D(x2,y1) x Рис. 1.2. А именно, =. (1.3) Пример 1.3. Двумерная дискретная случайная величина задана таблицей распределения Y X 1 3 -1 0,17 0,11 0,09 1 0,27 0,10 0,26 Найти функцию распределения . Решение. Значение в случае дискретных составляющих Х и Y находится суммированием всех вероятностей с индексами i и j, для которых , . Тогда, если и , то (события и - невозможны). Аналогично получаем: если и , то ; если и , то ; если и , то ; если и , то ; если и , то ; если и , то ; если и , то ; если и , то ; если и , то . Полученные результаты оформим в виде таблицы (6.1.3) значений : при 0,17 0,28 0,37 0,44 0,65 1 4. Двумерные непрерывные случайные величины Интегральная функция распределения существует для систем и непрерывных, и  дискретных  величин. Если же случайные величины, образующие систему, непрерывны, то закон распределения можно создать с помощью дифференциальной функции распределения :             .   Функция    называется плотностью распределения системы двух непрерывных случайных величин  (  Х, Y ).     Геометрически   - это некоторая поверхность, такая, что объем между этой поверхностью и координатной плоскостью хоу равен единице. Если система двух случайных величин ( X,Y ) задана  функцией плотности  , то вероятность попадания случайной точки в некоторую область плоскости равна объему, который опирается на эту область и ограничен сверху поверхностью . В других обозначениях плотность вероятности . (1.4) Геометрически плотность вероятности представляет собой поверхность распределения в пространстве (рис. 1.3). Рис. 1.3 Свойства двумерной плотности вероятности Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами: 1. 2. 3. Функция распределения может быть выражена через по формуле . (1.5) 4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в область равна . (1.6) 5. В соответствии со свойством (4) функции имеют место формулы: (1.7) (1.7) (1.8) (1.9) Пример 1.4. Задана функция распределения двумерной случайной величины . Найти: 1) двумерную плотность вероятности ; 2) вероятность попадания случайной величины в прямоугольник, ограниченный прямыми , , , . Решение. 1) Так как , то дифференцируя сначала по : , а затем по : , получим . 2) Используя формулу (1.3) и рис. 1.4, получим . y (0,1) (4,1) (0,0) (4,0) х Рис 1.4. 5. Условные законы распределения составляющих системы СВ По аналогии с условными вероятностями вводятся условные законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины , а именно - (1.10) условная плотность распределения Х при заданном значении ; - (1.11) условная плотность распределения Y при заданном значении . Если случайные величины X и Y независимые, т.е. закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение принимает вторая величина, то условные и безусловные законы Х и Y совпадают. В частности, и . Таким образом, для независимых составляющих Х и Y двумерная плотность вероятности находится следующим образом (1.12) и функция распределения имеет вид . (1.13) Заметим, что если имеют место соотношения (1.12) или (1.13), то составляющие Х и Y – независимые случайные величины. Если составляющие Х и Y дискретной случайной величины – независимые случайные величины, то , (1.14) где , , , . Пример 1.5. Законы плотности распределения независимых составляющих Х и Y: Найти: 1) плотность совместного распределения; 2) функцию распределения системы . Решение. 1) В силу независимости составляющих Х и Y плотность совместного распределения при и при или . 2) Найдем и . . Аналогично . Тогда при , , при или . 6. Числовые характеристики двумерной случайной величины. При изучении двумерных случайных величин рассматриваются числовые характеристики составляющих: , , , , где (2.1) для дискретных составляющих X и Y и (2.2) в случае непрерывных составляющих. Определение Упорядоченную пару чисел называют математическим ожиданием двумерной случайной величины, а - ее дисперсия. Отмеченные выше числовые характеристики не определяют степень зависимости составляющих X и Y. Эту роль выполняют корреляционный момент (иначе: ковариация ), который определяется следующим образом: . (2.3) Для дискретных случайных величин (2.4) Для непрерывных случайных величин (2.5) Корреляционный момент можно вычислить по формуле (2.6) . (2.6) Определение Если Х и Y независимы, то . Если , то Х и Y зависимые случайные величины. Определение В случае случайные величины X и Y называют некоррелированными, при этом она могут быть как зависимыми, так и независимыми. Ковариация X и Y характеризует не только степень зависимости случайных величин, но и их рассеяние вокруг точки . Кроме того, - размерная величина, что затрудняет ее использование для оценки степени зависимости для различных случайных величин. Для оценки зависимости вводится коэффициент корреляции , (2.7) где и - среднеквадратические отклонения X и Y. Коэффициент корреляции - безразмерная величина, обладающая следующими свойствами: 1. - ограниченная величина, а именно . 2. Если X и Y – независимые случайные величины, то . 3. Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью , то и наоборот. Из последнего свойства можно сделать вывод: коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости случайных величин X и Y. Пример 2.1. В урне содержится 4 белых и 2 черных шара. Из нее извлекают 2 шара без возвращения. Пусть X – число извлеченных белых шаров, Y – число извлеченных черных шаров. Составить закон совместного распределения двумерной случайной величины и найти коэффициент корреляции . Решение. Как Х, так и Y могут принимать значения 0; 1; 2. Вычислим соответствующие вероятности. , , . X Y 1 2 0,4 1 2 Очевидно, что , , , , . Составим распределения X и Y. X 1 2 pi 0,4 Y 1 2 pj 0,4 Найдем , . Вычислим . Вычислим и . . Вычислим . Следовательно, Х и Y связаны сильной линейной зависимостью, причем с ростом одной СВ другая уменьшается . Пример 2.2. Плотность совместного распределения случайных величин Х и Y задана формулой . Найти: 1) коэффициент с; 2) безусловные и условные плотности распределения Х и Y; 3) , ; 4) ковариацию Х и Y. Решение. Так как , то вычислив =, получим и . Найдем и . Условный закон распределения Х . Аналогично, условный закон распределения У . Вычислим и . . Аналогично . Вычислим .

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Теория вероятностей

Двумерные случайные величины

Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 111 Ëåêöèÿ 6. Äâóìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, åå ñâîéñòâà. Ïëîòí...

Автор лекции

Берков Н.А.

Авторы

Теория вероятностей

Случайные величины

Раздел II. Случайные величины 4. Многомерные случайные величины Обычно для описания результатов эксперимента необходимо использовать не одну, а нескол...

Теория вероятностей

Многомерные случайные величины

Задание: 10 1. Производится два выстрела по мишени в неизменных условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Случайные велич...

Теория вероятностей

Теории вероятностей; случайные события; алгебра событий

Лекция 1. Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность случайного события. Полная группа событ...

Теория вероятностей

Многомерные случайные величины. Функции случайной величины. Числовые характеристики случайных величин

ЛЕКЦИЯ 5 МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Определение: Двумерный вектор {ξ ,η} на...

Высшая математика

Системы случайных величин

1.11. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН При изучении случайных явлений часто приходится одновременно рассматривать две, три и большее число случайных величин....

Теория вероятностей

Выборка из одномерной генеральной совокупности

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы и решение типовых задач Выборка из одномерной генеральной совокупности Пусть Х – случ...

Высшая математика

Математическая статистика

Московский институт психоанализа Факультет психологии Программа курса «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» (квалификация (степень) «бакалавр») Составитель: к.п...

Автор лекции

Майнина И.Н.

Авторы

Информационные технологии

Введение. Основные понятия.

Введение. Основные понятия. Понятие «информация» используется в различных смыслах. Так, говорят об информации в смысле соответствия какого-либо высказ...

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Гурьянова И.Э. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КУРС ЛЕКЦИЙ Москва, 2014 УДК 519.2(075.8) ББК 22.17г95 Рецензент: С.А.Зададаев, кандидат физико-математических нау...

Автор лекции

Гурьянова И.Э.

Авторы

Смотреть все